Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
1
CZWÓRNIKI AKTYWNE
4.1. Podstawowe okre
ś
lenia czwórników aktywnych
Elementy aktywne to elementy wykazujące zdolność dostarczania energii elektrycznej. W zależności
od rodzaju elementu, jego budowy i przeznaczenia, cechą charakterystyczną i dominującą może być
przetwarzanie energii i jej dostarczanie, akumulacja energii lub rozpraszanie energii.
Czwórnikiem aktywnym nazywamy czwórnik zawierający w swojej strukturze element aktywny
(np. wzmacniacz operacyjny, tranzystor, rezystor ujemny). Wynika z tego, że czwórniki aktywne
oprócz elementów pasywnych (rezystor, cewka, kondensator) zawierają w swej strukturze nie
kompensujące się elementy aktywne.
Rozważaniom poddamy czwórniki aktywne liniowe, tzn. czwórniki zbudowane z elementów
liniowych w rozważanym zakresie prądów i napięć. Czwórniki aktywne są z reguły nieodwracalne,
czyli spełnione są następujące równania
12
21
12
21
12
21
12
21
1
'
'
'
'
1
)
(
det
1
1
)
(
det
g
g
h
h
y
y
z
z
C
B
D
A
C
B
D
A
−
≠
−
≠
≠
≠
≠
−
⇔
≠
≠
−
⇔
≠
B
A
(4.1)
Czwórniki aktywne umożliwiają realizację takich funkcji charakteryzujących obwody, jakich nie
można zrealizować za pomocą czwórników pasywnych. Na przykład wykorzystując czwórniki
aktywne można zasymulować ujemną rezystancję, pojemność lub indukcyjność w postaci impedancji
wejściowej pewnego czwórnika aktywnego.
4.2. Schematy zast
ę
pcze czwórników aktywnych
W przypadku czwórnika aktywnego, wobec jego nieodwracalności, istnieją cztery parametry
charakteryzujące określoną postać macierzy czwórnika. W przypadku czwórników pasywnych, w
których spełniony jest warunek odwracalności, wystarczy znać trzy parametry niezależne macierzy
np. łańcuchowej, aby odwzorować za pomocą trzy elementów pasywnych tworzących strukturę np.
typu T lub typu Π. Gdy dodatkowo czwórnik pasywny odwracalny jest symetryczny, to wystarczy
nam znajomość dwóch niezależnych parametrów, by odwzorować strukturę czwórnika. W przypadku
czwórników aktywnych należy wyznaczyć cztery parametry macierzy opisującej czwórnik i liczba
elementów niezależnych w schemacie czwórnika też jest równa cztery.
Uogólnione schematy zastępcze czwórników aktywnych zawierają elementy pasywne i źródła
sterowane zbudowane na podstawie równań wiążących napięcia i prądy na wejściu i na wyjściu
czwórnika.
Opierając się na równaniach admitancyjnych (3.7)
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
2
22
1
21
2
2
12
1
11
1
U
y
U
y
I
U
y
U
y
I
można zbudować czwórnik aktywny o schemacie
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
2
I
1
I
2
U
1
U
2
y
11
y
12
U
2
1
1’
2
2’
y
21
U
1
y
22
Rys. 4.1. Schemat zastępczy czwórnika aktywnego opisanego równaniami admitancyjnymi
gdzie:
11
y
- admitancja obwodu wejścia;
2
12
U
y
⋅
- źródło prądu sterowane napięciem
2
U
;
1
21
U
y
⋅
- źródło prądu sterowane napięciem
1
U
;
22
y
- admitancja obwodu wyjścia.
B
A
I
1
I
2
U
1
U
2
y
11
y
12
U
2
1
1’
2
2’
y
21
U
1
y
22
I
11
I
12
I
21
I
22
Rys. 4.2. Rozpływ prądów w czwórniku aktywnym opisanym równaniami admitancyjnymi
Rozważając schemat przedstawiony na rys. 4.2 zapiszmy równania wynikającego z I prawa
Kirchhoffa:
•
dla węzła
A
4
3
42
1
4
3
42
1
12
11
2
12
1
11
12
11
1
I
I
U
y
U
y
I
I
I
⋅
+
⋅
=
+
=
(4.2)
•
dla węzła
B
4
3
42
1
4
3
42
1
22
21
2
22
1
21
22
21
2
I
I
U
y
U
y
I
I
I
⋅
+
⋅
=
+
=
(4.3)
Zauważmy, że równania (4.2) i (4.3) mają taką samą postać jak równania w układzie równań
admitancyjnych czwórnika (3.7). Potwierdza to poprawność schematu przedstawionego na rys. 4.1.
Moc pierwszego źródła sterowanego wynosi
1
2
12
U
U
y
⋅
⋅
, zaś moc drugiego
2
1
21
U
U
y
⋅
⋅
. Moce te
(np. przy prądzie stałym) są równe, jeśli
21
12
y
y
=
, co jest słuszne tylko dla czwórników
odwracalnych.
Opierając się na równaniach impedancyjnych (3.3)
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
2
22
1
21
2
2
12
1
11
1
I
z
I
z
U
I
z
I
z
U
można zbudować czwórnik aktywny o schemacie
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
3
I
1
I
2
U
1
U
2
z
11
z
12
I
2
1
1’
2
2’
z
21
I
1
z
22
Rys. 4.3. Schemat zastępczy czwórnika aktywnego opisanego równaniami impedancyjnymi
gdzie:
11
z
- impedancja obwodu wejścia;
2
12
I
z
⋅
- źródło napięcia sterowane prądem
2
I
;
1
21
I
z
⋅
- źródło napięcia sterowane prądem
1
I
;
22
z
- impedancja obwodu wyjścia.
I
1
I
2
U
1
U
2
z
11
z
12
I
2
1
1’
2
2’
z
21
I
1
z
22
U
11
U
22
U
12
U
21
Rys. 4.4. Spadki napięć w czwórniku aktywnym opisanym równaniami impedancyjnymi
Rozważając schemat przedstawiony na rys. 4.4 zapiszmy równania wynikającego z II prawa
Kirchhoffa:
•
dla oczka z lewej strony
4
3
42
1
3
2
1
12
11
2
12
1
11
12
11
1
U
U
I
z
I
z
U
U
U
⋅
+
⋅
=
+
=
(4.4)
•
dla oczka z prawej strony
4
3
42
1
4
3
42
1
22
21
2
22
2
21
22
21
2
U
U
I
z
I
z
U
U
U
⋅
+
⋅
=
+
=
(4.5)
Zauważmy, że równania (4.4) i (4.5) mają taką samą postać jak równania w układzie równań
impedancyjnych czwórnika (3.3). Potwierdza to poprawność schematu przedstawionego na rys. 4.3.
Opierając się na równaniach hybrydowych (3.19)
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
2
22
1
21
2
2
12
1
11
1
U
h
I
h
I
U
h
I
h
U
można zbudować czwórnik aktywny o schemacie
I
1
U
1
h
11
h
12
U
2
1
1’
I
2
U
2
2
2’
h
21
I
1
h
22
Rys. 4.5. Schemat zastępczy czwórnika aktywnego opisanego równaniami hybrydowymi
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
4
gdzie:
11
h
- impedancja obwodu wejścia;
2
12
U
h
⋅
- źródło napięcia sterowane napięciem
2
U
;
1
21
I
h
⋅
- źródło prądu sterowane prądem
1
I
;
22
h
- admitancja obwodu wyjścia.
C
I
21
I
22
I
1
U
1
h
11
h
12
U
2
1
1’
I
2
U
2
2
2’
h
21
I
1
h
22
U
11
U
12
Rys. 4.6. Rozpływ prądów i spadki napięć w czwórniku aktywnym opisanym równaniami hybrydowymi
Rozważając schemat przedstawiony na rys. 4.4 zapiszmy równania wynikającego z I i II prawa
Kirchhoffa:
•
dla oczka z lewej strony (II prawo Kirchhoffa)
4
3
42
1
3
2
1
12
11
2
12
1
11
12
11
1
U
U
U
h
I
h
U
U
U
⋅
+
⋅
=
+
=
(4.6)
•
dla węzła
C
(I prawo Kirchhoffa)
4
3
42
1
4
3
42
1
22
21
2
22
1
21
22
21
2
I
I
U
h
I
h
I
I
I
⋅
+
⋅
=
+
=
(4.7)
Zauważmy, że równania (4.6) i (4.7) mają taką samą postać jak równania w układzie równań
hybrydowych czwórnika (3.19). Potwierdza to poprawność schematu przedstawionego na rys. 4.5.
Uwaga: Wszystkie wielkości w równaniach wymienionych czwórników są albo wielkościami
zespolonymi (dla sygnałów sinusoidalnie zmiennych) albo funkcjami operatorowymi (przy analizie
stanów nieustalonych).
4.3. Klasyfikacja czwórników aktywnych
Klasyfikacja czwórników aktywnych może być oparta na różnych kryteriach. W badaniu ich
własności zaciskowych ważne są macierze:
H
Y
Z
,
,
, jednak podstawą klasyfikacji jest macierz
łańcuchowa
A . Ze względu na własności macierzy A czwórniki aktywne dzielimy na:
•
źródła sterowane,
•
konwertery impedancji,
•
inwertery impedancji,
•
układy nulatororo
−
noratorowe.
4.3.1.
Ź
ródła sterowane
Elementy aktywne, których dominującą cechą jest dostarczanie energii, nazywamy elementami
aktywnymi źródłowymi lub krótko źródłami. Wyróżniamy źródła niesterowane i źródła sterowane
Źródło niesterowane może być przedstawione za pomocą jednego z dwóch schematów zastępczych:
szeregowego (rys. 4.17a) lub równoległego (rys. 4.17c). Źródło przedstawione za pomocą schematu
szeregowego nazywamy źródłem napięcia, źródło przedstawione za pomocą schematu równoległego
nazywamy źródłem prądu.
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
5
a)
E
R
w
b)
E
J
ź
G
w
c)
d)
J
ź
Rys. 4.7. Symbole graficzne źródeł niesterowanych: a) rzeczywiste źródło napięcia;
b) idealne źródło napięcia; c) rzeczywiste źródło prądu; d) idealne źródło prądu
Napięcie źródłowe i prąd źródłowy nie zależą od napięcia lub prądu występującego we własnej lub
innej gałęzi obwodu elektrycznego.
Źródło sterowane jest czwórnikiem charakteryzującym się tym, że napięcie źródłowe lub prąd
ź
ródłowy związany z jedną parą zacisków jest proporcjonalny do napięcia lub prądu związanego z
inną parą zacisków.
Napięcie lub prąd strony pierwotnej nazywamy wielkością sterującą, a napięcie lub prąd po stronie
wtórnej wielkością sterowaną. Współczynnik proporcjonalności między wielkością sterującą i
wielkością sterowaną jest liczbą rzeczywistą oznaczaną w zależności od źródła przez
α
µ
lub
,
,
g
r
.
Rozróżniamy cztery typy źródeł sterowanych:
•
źródło napięcia sterowane prądem (rys. 4.8),
•
źródło napięcia sterowane napięciem (rys. 4.9),
•
źródło prądu sterowane napięciem (rys. 4.10),
•
źródło prądu sterowane prądem (rys. 4.11).
Źródło napięcia sterowane prądem
Symbol graficzny źródła napięcia sterowanego prądem przedstawiono na rys. 4.8. Wielkością
sterującą jest prąd
1
I
, a wielkością sterowaną jest napięcie
2
U
. Współczynnik proporcjonalności
pomiędzy wielkością sterowaną (
2
U
) a sterującą (
1
I
) oznaczmy przez r (wymiar w [Ω]).
Wówczas źródło napięcia sterowane prądem opisane jest układem równań
=
⋅
=
0
1
1
2
U
I
r
U
(4.8)
Macierz łańcuchowa
A oraz macierz impedancyjna Z mają postać
=
=
0
0
0
0
1
0
0
r
r
Z
A
(4.9)
a)
b)
I
1
≠
0
U
1
=0
U
2
I
1
U
2
Rys. 4.8. Symbole graficzne źródła napięcia sterowanego prądem: a) rzeczywiste źródło
napięcia sterowanego prądem; b) idealne źródło napięcia sterowanego prądem
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
6
Źródło napięcia sterowane napięciem
Symbol graficzny źródła napięcia sterowanego napięciem przedstawiono na rys. 4.9. Wielkością
sterującą jest napięcie
1
U
, a wielkością sterowaną jest napięcie
2
U
. Współczynnik
proporcjonalności pomiędzy wielkością sterowaną (
2
U
) a sterującą (
1
U
) oznaczmy przez
µ
(wielkość bezwymiarowa). Wówczas źródło napięcia sterowane napięciem opisane jest układem
równań
=
=
0
1
1
2
I
U
U
µ
(4.10)
Macierz łańcuchowa
A oraz macierz hybrydowa odwrócona G mają postać
=
=
0
0
0
0
0
0
1
µ
µ
G
A
(4.11)
Ź
ródło napięcia sterowane napięciem można traktować jako idealny wzmacniacz napięcia o
współczynniku wzmocnienia równym
µ
.
a)
b)
U
1
U
2
I
1
=0
U
1
≠
0
U
2
Rys. 4.9. Symbole graficzne źródła napięcia sterowanego napięciem: a) rzeczywiste źródło
napięcia sterowanego napięciem; b) idealne źródło napięcia sterowanego napięciem
Źródło prądu sterowane napięciem
Symbol graficzny źródła prądu sterowanego napięciem przedstawiono na rys. 4.10. Wielkością
sterującą jest napięcie
1
U , a wielkością sterowaną jest prąd
2
I . Współczynnik proporcjonalności
pomiędzy wielkością sterowaną (
2
I ) a sterującą (
1
U ) oznaczmy przez g (wymiar w [S]). Wówczas
ź
ródło prądu sterowane napięciem opisane jest układem równań
=
=
0
1
1
2
I
U
g
I
(4.12)
Macierz łańcuchowa
A oraz macierz admitancyjna Y mają postać
=
=
0
0
0
0
0
1
0
g
g
Y
A
(4.13)
a)
b)
I
1
=0
U
1
≠
0
I
2
U
1
I
2
Rys. 4.10. Symbole graficzne źródła prądu sterowanego napięciem: a) rzeczywiste źródło
prądu sterowanego napięciem; b) idealne źródło prądu sterowanego napięciem
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
7
Źródło prądu sterowane prądem
Symbol graficzny źródła prądu sterowanego napięciem przedstawiono na rys. 4.11. Wielkością
sterującą jest prąd
1
I
, a wielkością sterowaną jest prąd
2
I
. Współczynnik proporcjonalności
pomiędzy wielkością sterowaną (
2
I
) a sterującą (
1
I
) oznaczmy przez
α
(wielkość bezwymiarowa).
Wówczas źródło prądu sterowane prądem opisane jest układem równań
=
=
0
1
1
2
U
I
I
α
(4.14)
Macierz łańcuchowa
A oraz macierz hybrydowa H mają postać
=
=
0
0
0
1
0
0
0
α
α
H
A
(4.15)
Ź
ródło prądu sterowane prądem można traktować jako idealny wzmacniacz prądu o wzmocnieniu
α
.
a)
b)
I
1
≠
0
U
1
=0
I
2
I
1
I
2
Rys. 4.11. Symbole graficzne źródła prądu sterowanego prądem: a) rzeczywiste źródło
prądu sterowanego prądem; b) idealne źródło prądu sterowanego prądem
We wszystkich źródłach sterowanych wielkość wyjściowa jako sterowana jest proporcjonalna do
wielkości wejściowej – sterującej, a współczynniki proporcjonalności pomiędzy tymi wielkościami są
liczbami rzeczywistymi. Ponieważ wielkość sterująca nie zależy od sterowanej, przekazywanie
sygnału odbywa się tylko w jednym kierunku. Są to zatem układy o jednostronnym działaniu, czyli
nieodwracalne.
Zauważmy, że macierz łańcuchowa
A każdego idealnego źródła sterowanego posiada tylko jeden
niezerowy element:
D
C
B
A
lub
,
,
- element ten w każdej z macierzy łańcuchowej poszczególnych
ź
ródeł zajmuje inną pozycję, tę samą natomiast pozycję niezerowy element zajmuje w macierzach
Z,
G, H, Y przedstawionych w równaniach (4.9), (4.11), (4.13) i (4.15).
Cechą charakterystyczną wszystkich czterech idealnych źródeł sterowanych jest to, że
moc wejściowa
jest równa zeru. Zgodnie z teorią moc chwilową na wejściu źródła możemy obliczyć ze wzoru:
)
(
)
(
)
(
1
1
1
t
i
t
u
t
p
=
. Z równań opisujących źródła wynika, że w każdym z czterech przypadków, albo
V
0
)
(
1
=
t
u
, albo
A
0
)
(
1
=
t
i
. Tak więc
W
0
)
(
1
=
t
p
. Moc na wyjściu idealnych źródeł sterowanych
nie jest zerowa, poza przypadkiem, gdy wielkość sterująca jest zerowa.
4.3.2. Konwertery impedancji
Konwertery impedancji są czwórnikami aktywnymi, dla których macierz łańcuchowa ma dwa
parametry zerowe:
S
0
,
0
=
Ω
=
C
B
. Podobnie jest dla macierzy hybrydowej:
S
0
,
0
22
11
=
Ω
=
h
h
.
Możemy więc napisać
D
h
A
h
h
h
D
A
k
k
1
i
gdzie
,
0
0
,
0
0
21
12
21
12
−
=
=
=
=
H
A
(4.16)
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
8
Z postaci macierzy
k
k
H
A
i
(4.16) wynikają następujące równania dla konwertera
•
Równanie łańcuchowe
=
=
⇒
⋅
=
2
1
2
1
2
2
1
1
0
0
I
D
I
U
A
U
I
U
D
A
I
U
(4.17)
•
Równanie hybrydowe
=
=
⇒
⋅
=
1
21
2
2
12
1
2
1
21
12
2
1
0
0
I
h
I
U
h
U
U
I
h
h
I
U
(4.18)
Równania te nasuwają możliwość przedstawienia konwertera w postaci pary idealnych źródeł
sterowanych (rys. 4.12). Zwróćmy uwagę na kierunek prądu
2
I .
1
1
I
D
lub
2
U
A
2
12
U
h
1
21
I
h
I
2
I
1
I
2
I
1
U
2
U
1
U
2
U
1
Rys. 4.12. Równoważne schematy zastępcze konwertera
Konwertery impedancji posiadają zdolność konwertowania impedancji
0
Z podłączonej po stronie
wtórnej. Zdolność konwersji wyraża się tym, że impedancja wejściowa konwertera jest
proporcjonalna do
0
Z . Współczynnik proporcjonalności może być dodatni lub ujemny. Impedancja
wejściowa konwertera obciążonego impedancją
0
Z wyznaczana jest z zależności
0
0
21
12
0
0
0
Z
K
Z
h
h
Z
D
A
D
Z
C
B
Z
A
Z
k
we
=
−
=
=
+
+
=
(4.19)
Wielkość
k
K nazywamy współczynnikiem konwersji. Konwerter przekształca z pewnym dodatnim
lub ujemnym współczynnikiem konwersji K
k
impedancję dołączoną do wyjścia.
Na podstawie równania (4.19) możemy zapisać
21
12
lub
h
h
K
D
A
K
k
k
−
=
=
(4.20)
W zależności od znaku współczynnika konwersji rozróżniamy konwertery dodatnio
−
impedancyjne
(ang.
Positive Impedance Converter, w skrócie PIC) oraz konwertery ujemno
−
impedancyjne (ang.
Negative Impedance Converter, w skrócie NIC).
Przykładem konwertera dodatnio-impedancyjnego jest transformator idealny, przy czym
ϑ
ϑ
1
,
=
=
D
A
I
2
I
1
U
2
U
1
ϑ
Rys. 4.13. Transformator idealny
Transformator idealny - element czterozaciskowy, który zawiera
dwie cewki sprzężone magnetycznie, a mianowicie cewkę
pierwotną i wtórną. Parametrem charakteryzującym transformator
idealny jest przekładnia
ϑ
. Ponieważ dla trafo idealnego mamy
ϑ
=
2
1
U
U
oraz
ϑ
1
2
1
=
I
I
to macierzowe równanie łańcuchowe
transformatora idealnego ma postać:
⋅
=
2
2
1
1
1
0
0
I
U
I
U
ϑ
ϑ
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
9
Większe znaczenie praktyczne mają konwertery ujemno
−
impedancyjne, ponieważ pozwalają na
realizację ujemnych rezystancji, indukcyjności i pojemności.
Zmianę znaku impedancji wejściowej
we
Z
uzyskuje się poprzez zmianę zwrotu prądu (układ zwany
C NIC) lub napięcia (układ zwany V NIC).
Macierz łańcuchowa konwertera ujemno-impedancyjnego typu C NIC ma postać
−
=
2
1
NIC
C
1
0
0
k
k
A
(4.21)
Macierz łańcuchowa konwertera ujemno-impedancyjnego typu V NIC ma postać
−
=
2
1
NIC
V
1
0
0
k
k
A
(4.22)
4.3.3. Inwertery impedancji
Inwertery impedancji są czwórnikami aktywnymi, dla których macierz łańcuchowa ma dwa
parametry zerowe:
0
,
0
=
=
D
A
. Podobnie jest dla macierzy impedancyjnej:
Ω
=
Ω
=
0
,
0
22
11
z
z
.
Możemy więc napisać
C
z
B
z
z
z
C
B
i
i
1
i
gdzie
,
0
0
,
0
0
21
12
21
12
=
=
=
=
Z
A
(4.23)
Z postaci macierzy
i
i
Z
A i
(4.23) wynikają następujące równania dla inwertera
•
Równanie łańcuchowe
=
=
⇒
⋅
=
2
1
2
1
2
2
1
1
0
0
U
C
I
I
B
U
I
U
C
B
I
U
(4.24)
•
Równanie impedancyjne
=
=
⇒
⋅
=
1
21
2
2
12
1
2
1
21
12
2
1
0
0
I
z
U
I
z
U
I
I
z
z
U
U
(4.25)
Równania te nasuwają możliwość przedstawienia każdego inwertera w postaci pary idealnych źródeł
sterowanych (rys. 4.14). Zwróćmy uwagę na kierunek prądu
2
I .
lub
I
2
I
1
I
2
I
1
U
2
U
1
U
2
U
1
1
1
I
C
2
I
B
2
12
I
z
1
21
I
z
Rys. 4.14. Równoważne schematy zastępcze inwertera
Inwertery impedancji posiadają zdolność odwracania (w sensie matematycznym) impedancji
0
Z
podłączonej po stronie wtórnej. Impedancja wejściowa inwertera obciążonego impedancją
0
Z
wyznaczana jest z zależności
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
10
0
0
21
12
0
0
0
1
1
1
Z
K
Z
z
z
Z
C
B
D
Z
C
B
Z
A
Z
i
we
=
−
=
=
+
+
=
(4.26)
Wielkość
i
K nazywamy współczynnikiem inwersji. Inwerter odwraca impedancję obciążenia z
pewnym dodatnim lub ujemnym współczynnikiem inwersji K
i
.
Na podstawie równania (4.26) możemy zapisać
21
12
lub
z
z
K
C
B
K
i
i
−
=
=
(4.27)
W zależności od znaku współczynnika inwersji rozróżniamy inwertery dodatnio
−
impedancyjne (ang.
Positive Impedance inVerter, w skrócie PIV) oraz inwertery ujemno
−
impedancyjne (ang.
Negative
Impedance inVerter, w skrócie NIV).
Znaczenie praktyczne ma inwerter dodatnio
−
impedancyjny zwany ż
yratorem. Symbol graficzny
żyratora przedstawiono na rys. 4.15.
I
2
I
1
I
2
I
1
U
2
U
1
U
2
U
1
R
-G U
1
G U
2
a)
b)
Rys. 4.15. Żyrator: a) symbol graficzny, b) realizacja przy pomocy źródeł sterowanych
R na rysunku 4.15 nazywamy
rezystancją żyracji, a G = 1/R konduktancją żyracji. Żyrator opisany
jest następującymi równaniami i macierzami
−
=
−
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
2
1
2
1
G
G
R
R
G
R
U
G
I
I
R
U
ż
ż
ż
Y
Z
A
(4.28)
Współczynnik inwersji oraz impedancję wejściową żyratora obciążonego impedancją
0
Z można
obliczyć ze wzorów
0
2
2
1
Z
R
Z
R
G
R
C
B
K
we
i
=
=
=
=
(4.29)
Wa
żną cechą żyratora jest zdolność symulowania indukcyjności, nawet o dużych wartościach.
Rzeczywi
ście, jeżeli żyrator obciążyć kondensatorem o impedancji
)
j
/(
1
C
Z
C
ω
=
, to wówczas
impedancja wejściowa żyratora
L
C
R
C
R
Z
R
Z
C
we
ω
ω
ω
j
j
j
1
2
2
2
=
=
=
=
(4.30)
Tak więc jeżeli do zacisków wyjściowych żyratora dołączymy kondensator o pojemności C to od
strony zacisków wejściowych można żyrator traktować jako element indukcyjny L o wartości
określonej wzorem
C
R
L
2
=
.
Np. dla pojemności
µ
F
1
=
C
i rezystancji żyracji
Ω
=
k
1
R
, symulowana indukcyjność
H
1
=
L
.
Ż
yrator jest czwórnikiem nieodwracalnym. Jest układem bezstratnym, ponieważ jeżeli
2
1
I
R
U
−
=
oraz
2
1
U
G
I
=
to
0
2
2
1
1
=
⋅
+
⋅
I
U
I
U
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
11
Jeżeli w macierzy łańcuchowej (4.28) przyjmiemy
1
1
1
G
R
B
=
=
oraz
2
2
1
G
R
C
=
=
to żyrator jest
wówczas nieidealny i posiada dwie rezystancje (konduktancje) żyracji.
4.3.4. Układy nulatorowo-noratorowe
Do budowy schematów zastępczych układów zawierających elementy aktywne często stosuje się dwa
rodzaje dwójników o specyficznych własnościach. Są to:
nulator i norator (rys. 4.16).
I
I
U
U
a)
b)
Rys. 4.16. Symbole graficzne: a) nulatora i b) noratora
Elementy te nazywa się zdegenerowanymi, gdyż własności, które wykazują różnią się w istotny
sposób od własności elementów rozpatrywanych dotychczas.
Nulator jest to element, przez który nie płynie prąd i na zaciskach którego nie występuje napięcie.
Norator charakteryzuje się z kolei tym, że płynie przez niego prąd o dowolnej wartości i na jego
zaciskach panuje napięcie również o dowolnej wartości. Napięcie i prąd noratora nie zależą więc od
siebie wzajemnie.
Nulatora i noratora nie można zrealizować fizycznie, mimo to układy nulatorowo
−
noratorowe dają
możliwość modelowania wielu realnych elementów. Na przykład połączenie szeregowe (rys. 4.17a)
nulatora z noratorem odwzorowuje przerwę w obwodzie. Połączenie równoległe (rys. 4.17b) tych
elementów odwzorowuje zwarcie.
I
U
2
U
a)
U
1
I
b)
U
I
1
I
2
Rys. 4.17. Połączenia nulatora z noratorem: a) szeregowe; b) równoległe
W układzie przedstawionym na rys. 4.17a napięcie na nulatorze U
1
=0 (własności nulatora), napięcie
na noratorze przyjmuje wartość dowolną (własności noratora). Prąd płynący przez nulator jest równy
zeru (własności nulatora), zatem układ przedstawia element, którego prąd jest równy zeru, a na
którego zaciskach napięcie ma wartość dowolną, co jest równoznaczne z przerwą w obwodzie.
W układzie przedstawionym na rys. 4.17b napięcie na zaciskach układu jest równe zeru (własności
nulatora). Prąd I
1
płynący przez nulator jest równy zeru (własności nulatora), a prąd I
2
płynący przez
norator ma wartość dowolną (własności noratora). Prąd całkowity I będący sumą prądów I
1
i I
2
przyjmuje zatem wartość dowolną. Układ zatem przedstawia element, na zaciskach którego napięcie
jest równe zeru, a przepływający przez ten element prąd przyjmuje wartość dowolną, co jest
równoznaczne ze zwarciem w obwodzie.
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
12
Czwórnik, który po stronie pierwotnej posiada nulator, a po wtórnej norator ma własności idealnego
wzmacniacz operacyjnego. Taki czwórnik nazywamy nulorem (rys. 4.18).
U
1
I
1
I
2
U
2
Rys. 4.18. Nulor – czwórnik posiadający w obwodzie
wejścia nulator, a w obwodzie wyjścia norator
W układzie przedstawionym na rys. 4.18 napięcie na wejściu i prąd na wejściu są równe zeru
(własności nulatora), a napięcie na wyjściu i prąd na wyjściu przyjmują wartości dowolne (własności
noratora). Jeżeli porównamy własności idealnego wzmacniacza operacyjnego z własnościami nulora
to stwierdzimy, że nulor odwzorowuje wzmacniacz operacyjny. Nulorowi można więc
przyporządkować realny element.
W układach zastępczych tworzonych z nulatorów i naratorów elementy te występują parami i
odwzorowują realnie istniejące czwórniki aktywne. Przykładami mogą być idealny wzmacniacz
napięcia (rys. 4.19) i idealny wzmacniacz prądu (rys. 4.20).
I
1
U
2
U
1
a)
b)
I
2
1
1’
2
2’
1’
2’
I
2
2
U
2
I
1
U
1
1
Rys. 4.19. Idealny wzmacniacz napięcia: a) schemat nulatorowo-noratorowy;
b) tranzystor w układzie wspólnego kolektora
W układzie przedstawionym na rys. 4.19 prąd na wejściu I
1
=0 (prąd płynący przez nulator jest równy
zeru), napięcie na wejściu jest równe napięciu na wyjściu U
1
=U
2
(napięcie na nulatorze jest równe
zeru). Napięcie na wyjściu przyjmuje wartość dowolną (taka jest własność napięcia na noratorze), zaś
prąd na wyjściu I
2
przyjmuje wartość dowolną (jest to własność prądu płynącego przez norator) i
zależny jest od impedancji obciążenia. Wymienione własności ma idealny wzmacniacz napięcia o
wzmocnieniu równym jedności realizowany np. w układzie tranzystora o wspólnym kolektorze
(wtórnik emiterowy), przedstawionym na rys. 4.19b.
I
1
U
2
U
1
a)
b)
I
2
1
1’
2
2’
1’
2’
I
2
2
U
2
I
1
U
1
1
Rys. 4.20. Idealny wzmacniacz prądu: a) schemat nulatorowo-noratorowy;
b) tranzystor w układzie wspólnej bazy
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
13
W układzie przedstawionym na rys. 4.20 napięcie na wejściu U
1
=0 (napięcie na nulatorze jest równe
zeru), prąd na wejściu jest równy i przeciwnie skierowany do prądu na wyjściu I
1
=-I
2
. Prąd ten
przyjmuje wartość dowolną (prąd płynący przez norator przyjmuje wartość dowolną). Wymienione
własności ma idealny wzmacniacz prądu o wzmocnieniu równym jedności realizowany np. w układzie
tranzystora o wspólnym bazie przedstawionym na rys. 4.20b.
4.4. Realizacja
ź
ródeł sterowanych, konwerterów i inwerterów
Podstawowym elementem aktywnym, który pozwala na realizację źródeł sterowanych,
konwerterów i inwerterów jest wzmacniacz operacyjny. Wzmacniaczem operacyjnym nazywamy
wzmacniacz napięcia o
•
bardzo dużym współczynniku wzmocnienia K>10
5
V/V,
•
dużej rezystancji wejściowej R
we
>1 M
Ω
•
małej rezystancji wyjściowej R
wy
<100
Ω
.
Wzmacniacz operacyjny ma trzy zaciski:
•
zacisk 1 oznaczony znakiem „-” nosi nazwę wejścia odwracającego.
•
zacisk 2 oznaczony znakiem „+” nosi nazwę wejścia nieodwracającego.
•
zacisk 3 to zacisk wyjściowy.
Napięcie wyjściowe
2
U
związane jest z napięciem wejściowym zależnością
•
dla układu jak rys. 4.21a):
)
(
2
−
+
−
=
U
U
K
U
•
dla układu jak rys. 4.21b):
−
−
=
U
K
U
2
, ponieważ
V
0
=
+
U
a)
b)
U
2
U
+
U
--
2
3
1
+
1
U
2
U
--
2
3
+
Rys. 4.21. Wzmacniacz operacyjny a) różnicowy, b) odwracający
Przy badaniu obwodów elektrycznych zawierających wzmacniacze operacyjne zakłada się
zazwyczaj, że wzmacniacz jest elementem idealnym. Idealny wzmacniacz operacyjny ma
•
współczynnik wzmocnienia
∞
=
K
•
rezystancję wejściową nieskończenie dużą
∞
=
we
R
,
•
rezystancję wyjściową znikomo małą
Ω
=
0
wy
R
.
Dla wzmacniacza idealnego zachodzi równość
−
+
=
U
U
, gdyż tylko wtedy napięcie
0
)
(
2
⋅
∞
=
−
=
−
+
U
U
K
U
ma skończoną wartość. Ponadto prądy wejściowe wzmacniacza są równe
zeru z powodu
∞
=
we
R
.
)
(
2
−
+
−
=
U
U
K
U
−
−
=
U
K
U
2
a)
I
1
=0A
I
2
=0A
U
2
U
+
U
--
2
3
1
b)
I
1
=0A
I
2
=0A
1
U
2
U
--
2
3
Rys. 4.22. Schematy zastępcze wzmacniacza: a) różnicowego (U
2
=K(U
+
-U
-
), b) odwracającego (U
2
=-KU
-
)
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
14
Schematy zastępcze wzmacniaczy z rys. 4.21 przedstawiono na rys. 4.22. Widzimy, że wzmacniacz
operacyjny jest wzmacniaczem napięcia, bo na schemacie zastępczym znajduje się źródło napięcia
sterowane napięciem. Podczas rozwiązywania zadań, w których
∞
=
K
należy najpierw wyznaczyć
żą
dane wielkości np. impedancję wejściową obwodu zachowując symbol K we wzorach, a dopiero
po otrzymaniu ostatecznych formuł dokonać przejścia granicznego
∞
→
K
.
a)
1
U
2
U
1
2
3
+
1
2
U
K
U
−
=
KE
U
1
U
2
-KE
E
-E
b)
Dla U
1
<E
napięcie wyjściowe
jest liniowo zależne
od wejściowego
Dla U
1
>E
napięcie wyjściowe
jest stałe (nasycenie)
Rys. 4.23. Wzmacniacz operacyjny w układzie odwracającym (rys.
a
);
charakterystyka napięciowo-napięciowa (wejście-wyjście) (rys. b)
Przykład realizacji źródła napięcia sterowanego napięciowo przedstawiono na rys. 4.24 (wzmacniacz
operacyjny jest idealny).
R
2
U
2
U
1
U
--
R
1
+
I
1
Rys. 4.24.Przykład realizacji źródła napięcia sterowanego napięciowo
Dla tego układu zachodzi relacja:
2
2
1
2
R
U
R
R
U
−
=
+
(4.31)
Dla wzmacniacza idealnego zachodzi
1
U
U
=
−
, wówczas
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
U
R
R
U
R
U
R
R
U
+
=
⇒
=
+
(4.32)
Z własności idealnego wzmacniacza operacyjnego wynika ponadto, że
0
1
=
I
(4.33)
Zauważmy, że równania (4.32) i (4.33) są zgodne z równaniem (4.10)
=
=
0
1
1
2
I
U
U
µ
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
15
a zatem układ przedstawiony na rys. 4.24 jest źródłem napięcia sterowanym napięciowo.
Współczynnik proporcjonalności
2
1
1
R
R
+
=
µ
(4.34)
Przykład realizacji konwertera ujemno-impedancyjnego NIC na rys. 4.25 (wzmacniacz operacyjny
jest idealny).
U
2
U
1
R
1
+
I
1
R
2
I
2
Rys. 4.25.Przykład realizacji konwertera ujemno-impedacyjnego NIC
Dla tego układu spełnione s
ą równania:
2
1
U
U
=
(4.35)
2
2
2
1
1
1
U
I
R
I
R
U
=
⋅
+
⋅
−
(4.36)
Przekształcaj
ąc równanie (4.36) (przy uwzględnieniu równania 4.35) otrzymamy
2
1
2
1
I
R
R
I
⋅
=
(4.37)
Równania (4.35) i (4.37) zapiszmy w postaci macierzowej
−
⋅
−
=
2
2
1
2
1
1
0
0
1
I
U
R
R
I
U
(4.38)
(znak „-” przy prądzie I
2
wynika z innego zastrzałkowania tego prądu w stosunku do przyjętego
strzałkowania prądu I
2
na schemacie przy rozważaniu postaci łańcuchowej równań czwórnika)
Porównując równanie (4.38) z równaniem (4.17) stwierdzamy, że układ przedstawiony na rys. 4.25
jest układem konwertera ujemno-impedancyjnego, ponieważ współczynnik konwersji jest ujemny
1
2
R
R
D
A
K
k
−
=
=
(4.39)
Również żyrator (inwerter ujemno-impedancyjny) może być zrealizowany przy użyciu kilku
wzmacniaczy operacyjnych i kilkunastu rezystorów.
4.5. Podstawowe układy wykorzystuj
ą
ce wzmacniacz operacyjny
4.5.1.
Wzmacniacz w układzie odwracającym
Wzmacniacz w układzie odwracającym przedstawiono na rys. 4.26.
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
16
-
+
K
R
1
R
2
U
wy
U
we
a)
-
+
K
R
1
I
1
R
2
I
2
U
wy
U
we
U
R1
U
R2
b)
I
w
U
k
Rys. 4.26. Wzmacniacz w układzie odwracającym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)
W układzie przedstawionym na rys. 4.26b można zapisać następujące równania:
w
I
I
I
+
=
2
1
(4.40)
k
R
we
U
U
U
+
=
1
(4.41)
wy
R
k
U
U
U
+
=
2
(4.42)
Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy
•
0
=
w
I
, ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza
∞
=
we
R
•
0
=
k
U
, ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia
∞
=
K
(
0
=
∞
=
=
wy
wy
k
U
k
U
U
)
Otrzymamy wówczas
2
1
I
I
=
(4.43)
1
1
1
I
R
U
U
U
we
R
we
⋅
=
⇒
=
(4.44)
2
2
2
2
0
I
R
U
U
U
U
U
wy
R
wy
wy
R
⋅
−
=
⇒
−
=
⇒
+
=
(4.45)
Z równania (4.44) otrzymamy
1
1
1
1
R
U
R
U
I
we
R
=
=
(4.46)
Z równania (4.45) otrzymamy
2
2
2
2
R
U
R
U
I
wy
R
−
=
=
(4.47)
Ze względu na równość prądów (4.43) możemy zapisać
2
1
2
1
R
U
R
U
I
I
wy
we
−
=
⇒
=
(4.48)
Po przekształceniu równania (4.48) otrzymamy
1
2
R
R
U
U
we
wy
−
=
(4.49)
Wzmocnienie napięciowe w układzie odwracającym (rys. 4.26b) wynosi
1
2
R
R
U
U
k
we
wy
Uf
−
=
=
(4.50)
Zatem, mając dane napięcie na wejściu układu, można wyznaczyć napięcie na wyjściu
we
we
Uf
wy
U
R
R
U
k
U
⋅
−
=
⋅
=
1
2
(4.51)
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
17
4.5.2.
Wzmacniacz w układzie nieodwracającym
-
+
K
R
1
R
2
U
wy
U
we
a)
-
+
K
R
1
I
1
R
2
I
2
U
wy
U
we
b)
U
R1
U
R2
I
w
U
k
Rys. 4.27. Wzmacniacz w układzie nieodwracającym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)
W układzie przedstawionym na rys. 4.27b można zapisać następujące równania:
w
I
I
I
+
=
2
1
(4.52)
0
1
=
+
+
R
k
we
U
U
U
(4.53)
0
2
=
−
−
+
wy
R
k
we
U
U
U
U
(4.54)
Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy
•
0
=
w
I
, ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza
∞
=
we
R
•
0
=
k
U
, ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia
∞
=
K
(
0
=
∞
=
=
wy
wy
k
U
k
U
U
)
Otrzymamy wówczas
2
1
I
I
=
(4.55)
1
1
1
1
0
I
R
U
U
U
U
U
we
R
we
R
we
⋅
−
=
⇒
−
=
⇒
=
+
(4.56)
2
2
2
2
0
I
R
U
U
U
U
U
U
U
U
we
wy
R
we
wy
wy
R
we
⋅
−
=
⇒
−
=
⇒
=
−
−
(4.57)
Z równania (4.56) otrzymamy
1
1
1
1
R
U
R
U
I
we
R
−
=
=
(4.58)
Z równania (4.57) otrzymamy
2
2
2
2
R
U
U
R
U
I
wy
we
R
−
=
=
(4.59)
Ze względu na równość prądów (4.55) możemy zapisać
2
1
2
1
R
U
U
R
U
I
I
wy
we
we
−
=
−
⇒
=
(4.60)
Po przekształceniu równania (4.60) otrzymamy
[
]
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
U
U
U
R
R
U
R
R
U
U
R
R
U
R
U
U
R
U
we
wy
we
wy
wy
we
we
wy
we
we
+
=
+
=
⋅
+
=
⇒
⋅
+
=
⋅
−
⋅
=
−
⇒
−
=
−
(4.61)
Wzmocnienie napięciowe w układzie nieodwracającym (rys. 4.27b) wynosi
1
2
1
1
2
1
R
R
R
R
R
U
U
k
we
wy
Uf
+
=
+
=
=
(4.62)
Zatem, mając dane napięcie na wejściu układu, można wyznaczyć napięcie na wyjściu
we
we
we
Uf
wy
U
R
R
R
U
R
R
U
k
U
⋅
+
=
⋅
+
=
⋅
=
1
2
1
1
2
1
(4.63)
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
18
4.5.3.
Wzmacniacz w układzie całkującym
-
+
K
R
a)
C
u
we
(t)
u
wy
(t)
-
+
K
R
b)
C
u
we
(t)
u
wy
(t)
i
1
i
2
u
R
u
C
i
w
u
k
Rys. 4.28. Wzmacniacz w układzie całkującym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)
W układzie przedstawionym na rys. 4.28b można zapisać następujące równania:
w
i
i
i
+
=
2
1
(4.64)
0
=
−
−
R
k
we
u
u
u
(4.65)
0
=
−
−
wy
C
k
u
u
u
(4.66)
Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy
•
0
=
w
i
, ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza
∞
=
we
R
•
0
=
k
u
, ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia
∞
=
K
(
0
=
∞
=
=
wy
wy
k
u
k
u
u
)
Otrzymamy wówczas
2
1
i
i
=
(4.67)
1
0
i
R
u
u
u
u
u
we
R
we
R
we
⋅
=
⇒
=
⇒
=
−
(4.68)
C
wy
wy
C
u
u
u
u
−
=
⇒
=
−
−
0
(4.69)
Z równania (4.68) otrzymamy
R
u
R
u
i
we
R
=
=
1
(4.70)
Prąd płynący przez kondensator obliczamy z zależności
dt
du
C
i
C
C
=
(4.71)
Podstawiając do równania (4.71) równanie (4.69) otrzymamy
dt
du
C
dt
du
C
i
i
wy
C
C
−
=
=
=
2
(4.72)
Ze względu na równość prądów (4.67) możemy zapisać
dt
du
C
R
u
i
i
wy
we
−
=
⇒
=
2
1
(4.73)
Po przekształceniu równania (4.73) otrzymamy
τ
τ
d
u
RC
u
dt
du
u
RC
dt
du
C
R
u
t
we
wy
wy
we
wy
we
∫
−
=
⇒
=
⋅
−
⇒
−
=
0
)
(
1
1
(4.74)
Zatem przebieg czasowy napięcia na wyjściu układu przedstawionego na rys. 4.28b w funkcji
napięcia na wejściu wyraża się za pomocą zależności
∫
−
=
t
we
wy
d
u
C
R
t
u
0
)
(
1
)
(
τ
τ
(4.75)
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
19
Przykład
Na wejście układu przedstawionego na rys. 4.28a) podano napięcie
)
(t
u
we
o kształcie
przedstawionym na rys. 4.29. Obliczyć i narysować przebieg napięcia
)
(t
u
wy
, jakie pojawi się na
wyjściu układu. Wzmacniacz jest idealny. Dane:
µ
F
1
,
kΩ
200
=
=
C
R
.
3
6
-5
2
t
[s]
u
we
(t) [mV]
Rys. 4.29. Sygnał wejściowy w przykładzie obliczeniowym
Rozwiązanie:
W celu wyznaczenia napięcia na wyjściu układu
)
(t
u
wy
należy obliczyć całkę podaną we wzorze
(4.75). Przedstawmy sygnał wejściowy
)
(t
u
we
w postaci przedziałów
>
<
<
−
<
<
<
=
s
6
dla
0
s
6
s
3
dla
5
s
3
s
0
dla
2
s
0
dla
0
)
(
t
t
t
t
t
u
we
(4.76)
Na podstawie danych obliczamy:
s
0.2
µ
F
1
k
200
=
⋅
Ω
=
C
R
. Tak więc
∫
∫
−
=
−
=
t
we
t
we
wy
d
u
d
u
C
R
t
u
0
0
)
(
5
)
(
1
)
(
τ
τ
τ
τ
(4.77)
Ponieważ
)
(t
u
we
jest funkcją nieciągłą to całkowanie rozdzielamy na przedziały.
s
3
s
0
<
<
t
]
mV
[
10
10
2
5
)
(
0
0
t
d
t
u
t
t
wy
−
=
−
=
−
=
∫
τ
τ
s
6
s
3
<
<
t
]
mV
[
)
25
105
(
25
10
5
5
2
5
)
(
3
3
0
3
3
0
t
d
d
t
u
t
t
wy
+
−
=
+
−
=
−
−
=
∫
∫
τ
τ
τ
τ
s
6
>
t
]
mV
[
45
25
10
0
)
5
(
5
2
5
)
(
6
3
3
0
6
6
3
3
0
=
+
−
=
+
−
−
−
=
∫
∫
∫
τ
τ
τ
τ
τ
t
wy
d
d
d
t
u
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można w każdym z rozważanych przedziałów sporządzić
wykres napięcia na wyjściu wzmacniacza.
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
20
Rys. 4.30. Wymuszenie
)
(t
u
we
i odpowiedź
)
(t
u
wy
układu całkującego przedstawionego na rys. 4.28a
4.5.4.
Wzmacniacz w układzie różniczkującym
-
+
K
R
C
u
we
(t)
u
wy
(t)
a)
-
+
K
R
b)
C
u
we
(t)
u
wy
(t)
i
1
i
2
u
C
u
R
i
w
u
k
Rys. 4.31. Wzmacniacz w układzie różniczkującym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)
W układzie przedstawionym na rys. 4.31b można zapisać następujące równania:
w
i
i
i
+
=
2
1
(4.78)
0
=
−
−
k
C
we
u
u
u
(4.79)
0
=
−
−
wy
R
k
u
u
u
(4.80)
Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy
•
0
=
w
i
, ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza
∞
=
we
R
•
0
=
k
u
, ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia
∞
=
K
(
0
=
∞
=
=
wy
wy
k
u
k
u
u
)
Otrzymamy wówczas
2
1
i
i
=
(4.81)
C
we
C
we
u
u
u
u
=
⇒
=
−
0
(4.82)
2
0
i
R
u
u
u
u
u
wy
R
wy
wy
R
⋅
−
=
⇒
−
=
⇒
=
−
−
(4.83)
Z równania (4.83) otrzymamy
R
u
R
u
i
wy
R
−
=
=
2
(4.84)
Prąd płynący przez kondensator obliczamy z zależności
dt
du
C
i
C
C
=
(4.85)
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
21
Podstawiając do równania (4.85) równanie (4.82) otrzymamy
dt
du
C
dt
du
C
i
i
we
C
C
−
=
=
=
1
(4.86)
Ze względu na równość prądów (4.81) możemy zapisać
R
u
dt
du
C
i
i
wy
we
=
−
⇒
=
2
1
(4.87)
Po przekształceniu równania (4.87) otrzymamy
dt
du
RC
u
R
u
dt
du
C
we
wy
wy
we
−
=
⇒
=
−
(4.88)
Zatem przebieg czasowy napięcia na wyjściu układu przedstawionego na rys. 4.31b w funkcji
napięcia na wejściu wyraża się za pomocą zależności
dt
t
du
C
R
t
u
we
wy
)
(
)
(
−
=
(4.89)
Przykład
Na wejście układu przedstawionego na rys. 4.31 podano napięcie
V
)
90
sin(
220
)
(
o
−
=
t
t
u
we
ω
.
Obliczyć i narysować przebieg napięcia
)
(t
u
wy
, jakie pojawi się na wyjściu układu. Wzmacniacz jest
idealny. Dane:
Hz
50
,
µ
F
1
,
kΩ
200
=
=
=
f
C
R
.
Rozwiązanie:
Na podstawie danych obliczamy:
0.2s
µ
F
1
k
200
=
⋅
Ω
=
C
R
. Wynik wstawiamy do wzoru (4.89)
dt
t
du
dt
t
du
C
R
t
u
we
we
wy
)
(
2
.
0
)
(
)
(
−
=
−
=
(4.90)
Podstawiając do wzoru (4.90)
V
)
90
sin(
220
)
(
o
−
=
t
t
u
we
ω
otrzymamy
(
)
[
]
(
)
(
)
o
o
o
o
90
90
sin
44
90
cos
44
90
sin
220
2
.
0
)
(
2
.
0
)
(
+
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=
t
t
t
dt
d
dt
t
du
t
u
we
wy
ω
ω
ω
ω
ω
(4.91)
Ostatecznie
( )
( )
( )
( )
kV
sin
823
,
13
sin
13823
sin
50
2
44
sin
44
)
(
t
t
t
t
t
u
wy
ω
ω
ω
π
ω
ω
ω
−
=
−
=
⋅
⋅
⋅
−
=
−
=
4
3
42
1
(4.92)
Rys. 4.32. Wymuszenie
)
(t
u
we
i odpowiedź
)
(t
u
wy
układu różniczkującego przedstawionego na rys. 4.31
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
22
4.5.5.
Wzmacniacz w układzie sumującym
-
+
K
u
wy
R
1
u
we1
R
2
u
we2
R
3
u
we3
R
4
a)
-
+
K
u
wy
R
1
U
we1
R
2
U
we2
R
3
U
we3
R
4
b)
I
1
I
4
U
k
I
2
I
3
U
R1
U
R4
I
w
Rys. 4.33. Wzmacniacz w układzie sumującym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)
W układzie przedstawionym na rys. 4.33b można zapisać następujące równania (wynikające z I prawa
Kirchhoffa):
w
I
I
I
I
I
+
=
+
+
4
3
2
1
(4.93)
Równanie (4.93) można zapisać także w innej postaci
w
wy
k
k
we
k
we
k
we
I
R
U
U
R
U
U
R
U
U
R
U
U
+
−
=
−
+
−
+
−
4
3
3
2
2
1
1
(4.94)
Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy
•
0
=
w
I
, ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza
∞
=
we
R
•
0
=
k
U
, ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia
∞
=
K
(
0
=
∞
=
=
wy
wy
k
U
k
U
u
)
Otrzymamy wówczas
4
3
3
2
2
1
1
R
U
R
U
R
U
R
U
wy
we
we
we
−
=
+
+
(4.95)
Ostatecznie mając dane napięcia wejściowe można wyznaczyć napięcie na wyjściu układu
+
+
⋅
−
=
3
3
2
2
1
1
4
R
U
R
U
R
U
R
u
we
we
we
wy
(4.96)
W przypadku gdy
R
R
R
R
R
=
=
=
=
4
3
2
1
wówczas
(
)
3
2
1
we
we
we
wy
U
U
U
u
+
+
−
=
(4.97)
-
+
K
u
wy
R
1
u
we1
R
2
u
we2
R
3
u
we3
R
4
R
5
a)
-
+
K
R
1
R
2
U
wy
U
we
b)
R
3
Rys. 4.34. Wzmacniacz w układzie sumującym (rys. a); i w układzie odwracającym (rys. b)
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
23
Jeżeli w układzie sumującym pojawi się rezystancja R
5
dołączona do wejścia nieodwracającego
(rys. 4.34a), to jej wartość dobiera się na podstawie zależności
1
4
3
2
1
5
1
1
1
1
−
+
+
+
=
R
R
R
R
R
(4.98)
Podobnie, jeżeli w układzie odwracającym pojawi się rezystancja R
3
dołączona do wejścia
nieodwracającego (rys. 4.34b), to jej wartość dobiera się na podstawie zależności
1
2
1
3
1
1
−
+
=
R
R
R
(4.99)
Dzięki tak dobranej wartości rezystancji R
3
uzyskuje się najmniejszy błąd spowodowany napięciem
niezrównoważenia, powstałym na skutek przepływu wejściowych prądów polaryzujących.
Wejściowe napięcie niezrównoważenia – jest to napięcie, które należy doprowadzić między
końcówki wejściowe wzmacniacza, aby na wyjściu otrzymać napięcie równe zeru.
Do prawidłowej pracy wzmacniacza konieczny jest przepływ wejściowych prądów
polaryzujących stopień wejściowy i nazywanych wejściowymi prądami polaryzującymi. W
katalogach jako wejściowy prąd polaryzacji podaje się zwykle średnią wartość obu prądów
zmiennych przy zerowym wejściowym napięciu sumacyjnym i zerowym napięciu
wyjściowym.
FILTRY AKTYWNE
4.6. Podstawowe własno
ś
ci filtrów aktywnych
Filtry aktywne są stosowane w wielu dziedzinach elektrotechniki. Zadania przed nimi stawiane są
podobne jak dla filtrów pasywnych. Użycie elementów aktywnych takich jak wzmacniacz operacyjny
pozwala zrezygnować z cewek sprawiających wiele uciążliwości. Dzięki elementom aktywnym
można budować układy lżejsze, o mniejszych rozmiarach i lepszych własnościach elektrycznych.
Podczas projektowania filtrów aktywnych należy jednak zwrócić uwagę na ich stabilność, gdyż mogą
generować szkodliwe drgania. Przyczyną drgań są zazwyczaj niewielkie wahania parametrów filtru
spowodowane na przykład warunkami zewnętrznymi (temperatura, wilgotność powietrza itp.).
Filtry aktywne różnią się od pasywnych występowaniem źródeł sterowanych oraz pracą przy
dowolnym obciążeniu. Opis filtrów aktywnych można ograniczyć do filtrów dolnoprzepustowych,
ponieważ można je za pomocą transformacji częstotliwości przekształcić w filtry górnoprzepustowe,
pasmowoprzepustowe oraz pasmozaporowe.
-
+
K
u
wy
R
1
u
we
R
3
R
0
a)
C
1
-
+
K
u
wy
R
2
u
we
C
1
R
3
R
0
b)
R
1
C
2
Dr inż. Mariusz Trojnar
Obwody i Sygnały 2
Wykład nr 10
24
Rys. 4.35. Realizacja filtru dolnoprzepustowego: a) pierwszego rzędu, b) drugiego rzędu
4.7. Zestawienie wła
ś
ciwo
ś
ci układów aktywnych i pasywnych
Element (układ) aktywny charakteryzuje się tym, że energia pobrana przez niego ze źródła – może być
ujemne, zaś dla pasywnego – dodatnia lub równa zeru. W odpowiednich przedziałach czasu element
aktywny można traktować jako źródło o parametrach zależnych od parametrów układu zewnętrznego i
rozpatrywać jako połączenie układu pasywnego ze źródłami sterowanymi. W praktyce większość
elementów aktywnych jest nieliniowa, ale w pewnych zakresach częstotliwości dla określonego
poziomu wartości sygnałów można je zastąpić modelami liniowymi.
Zastosowanie elementów aktywnych zwiększa niezawodność układu, powoduje jego zmniejszenie
(wymiarów i ciężaru) wskutek eliminacji cewek, a także likwiduje sprzężenia indukcyjne.
Układy aktywne znajdują zastosowanie w realizacji wzmacniaczy, filtrów częstotliwościowych i
występują w połączeniach z pasywnymi elementami R, C.
Właściwość
Układ aktywny
Układ pasywny
Realizowalność
fizyczna
Bez ograniczeń. Realizuje każdą
rzeczywistą funkcję wymierną.
Tylko rzeczywiste funkcje wymierne
w prawej półpłaszczyźnie zmiennej
„s”
Użycie cewek
Cewki są niepotrzebne
Konieczne w większości układów
Impedancja
ź
ródła dla filtrów
W większości przypadków może być
dowolnej wartości
Rezystancja o małej wartości
Impedancja
obciążenia filtrów
Może być dowolnej wartości
Zwykle musi być rezystancją
Stabilność
Potencjalnie niestabilny w całym paśmie
a w niewielkim zakresie stabilny
Bezwzględnie stabilny
Dodatkowe
zasilanie
Bezwzględnie wymagane do polaryzacji
Nie jest potrzebne
Wykorzystano następujące materiały:
1.
J. Bajorek, L. Gołębiowski, W. Posiewała, Obwody elektryczne. Laboratorium mikrokomputerowe,
Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 1996.
2.
S. Bolkowski, Teoria obwodów elektrycznych, WNT, Warszawa, 1995.
3.
P. Horowitz, W. Hill, Sztuka elektroniki cz.1 i cz.2, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności,
Warszawa, 1992.
4.
M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna. Tom I. Obwody liniowe i nieliniowe, Państwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1983.
5.
A. Kuczyński, M. Ossowski, W. Zieliński, J. Ziemnicki, Teoria obwodów. Zadania, Wydawnictwo
Politechniki Łódzkiej, Łódź, 1994.
6.
R. Kurdziel, Podstawy elektrotechniki, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1973.
7.
T. Masewicz, Radioelektronika dla praktyków, Wydawnictwa Komunikacji i Łączności,
Warszawa, 1986.
8.
K. Rzepka, Wykłady z Obwodów i Sygnałów dla Studentów kierunku Informatyka na Wydziale
Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Rzeszowskiej.
9.
A. Szczepański, M. Trojnar, Obwody i Sygnały. Laboratorium komputerowe, Wyd. II, Oficyna
Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 2004.