Przykład 1.6. ObciąŜenie termiczne
Wyznaczyć siły w prętach przedstawionego układu prętowego wywołane obciąŜeniem
termicznym ∆t [˚C] jednego pręta. Przekroje poprzeczne prętów są jednakowe i wynoszą
A [m
2
], długości l w [m], ich moduł Younga - E [N/m
2
] i współczynnik rozszerzalności
liniowej α
t
[1/˚C],
l
l
E,A
l
E,
A,
α
t
,
∆
t
l
l
Rozwiązanie
ObciąŜenie termiczne ∆t > 0 pręta wywołuje jego wydłuŜenie. PoniewaŜ jednak swoboda jego
odkształcania jest ograniczona, więc powstaje stan wstępnych napręŜeń wywołany
niemoŜnością swobodnego odkształcenia ogrzanego pręta i odkształceniami pozostałych
prętów układu.
Wprowadźmy oznaczenia sił w prętach i
opiszmy przemieszczenia dwu swobodnych węzłów
1 i 2 składowymi wektorów ich przemieszczeń, odpowiednio u
1
, v
1
i u
2
, v
2
.
S
3
2
S
5
S
4
S
3
1
S
1
S
2
x
y
1
u
1
V
1
2
U
2
V
2
Równania geometryczne.
Równania geometryczne przyjmują postać
o
1
o
1
2
o
1
o
1
1
45
cos
v
45
cos
u
l
45
cos
v
45
cos
u
l
+
=
∆
+
−
=
∆
2
o
2
o
2
5
o
2
o
2
4
2
1
3
45
cos
v
45
cos
u
l
45
cos
v
45
cos
u
l
v
v
l
−
−
=
∆
−
=
∆
+
−
=
∆
(1-5)
Warunki fizyczne
WydłuŜenia prętów wynoszą:
EA
l
2
S
l
1
1
=
∆
,
tl
α
2
EA
l
2
S
l
t
2
2
∆
+
=
∆
,
EA
l
S
l
3
3
=
∆
,
EA
l
2
S
l
4
4
=
∆
,
EA
l
2
S
l
5
5
=
∆
(6-10)
Wyznaczając siły z równań (6-10) i uwzględniając równania (1-4) otrzymujemy
(
)
1
1
1
v
u
l
2
EA
S
+
−
=
(
)
tl
α
2
v
u
l
2
EA
S
t
1
1
2
∆
−
+
=
(
)
2
1
3
v
v
l
EA
S
+
−
=
(6*-10*)
(
)
2
2
4
v
u
l
2
EA
S
−
=
(
)
2
2
5
v
u
l
2
EA
S
−
−
=
Zapiszemy teraz równania równowagi dla węzłów swobodnych 1 i 2.
Węzeł 1
∑
∑
=
−
+
⇒
=
=
+
−
⇒
=
0
S
2
1
S
2
1
S
0
P
0
2
1
S
2
1
S
0
P
3
2
1
iy
2
1
ix
(11,12)
Węzeł 2
∑
∑
=
+
−
−
⇒
=
=
+
−
⇒
=
0
S
2
1
S
2
1
S
0
P
0
2
1
S
2
1
S
0
P
3
5
4
iy
5
4
ix
(13,14)
Podstawiając wyraŜenia (6*-10*) do równań (11-14) mamy układ 4 równań:
(
)
(
)
0
tl
α
2
v
u
l
2
EA
v
u
l
2
EA
t
1
1
1
1
=
∆
−
+
+
+
−
−
(
)
(
)
(
)
0
v
v
l
EA
2
tl
α
2
v
u
l
2
EA
v
u
l
2
EA
2
1
t
1
1
1
1
=
+
−
−
∆
−
+
+
+
−
(
)
(
)
0
v
u
l
2
EA
v
u
l
2
EA
2
2
2
2
=
−
−
+
−
−
(
)
(
)
(
)
0
v
v
l
EA
2
v
u
l
2
EA
v
u
l
2
EA
2
1
2
2
2
2
=
+
−
+
−
−
−
−
−
który po uporządkowaniu ma postać:
3
0
tl
α
u
t
1
=
∆
−
(
)
tl
α
2
v
2
v
2
2
2
t
2
1
∆
=
−
+
0
u
2
=
(
)
0
v
2
2
v
2
2
1
=
+
−
Z rozwiązania układu otrzymujemy
tl
α
u
t
1
∆
=
,
u
2
= 0 ,
tl
α
7
2
3
v
t
1
∆
+
=
,
tl
α
7
2
4
v
t
2
∆
−
=
.
Z równań (6*-10*) wyznaczamy siły w prętach
(
)
t
α
EA
1847
.
0
t
α
EA
2
4
14
1
S
S
S
S
t
t
5
4
2
1
∆
⋅
−
=
∆
−
−
=
=
=
=
,
(
)
t
α
EA
2612
.
0
t
α
EA
1
2
2
7
1
S
t
t
3
∆
⋅
−
=
∆
−
−
=
.
Wszystkie pręty są ściskane.
Ćwiczenie
Wykorzystując przedstawione rozwiązanie wyznacz siły w prętach tego układu, przy
załoŜeniu, Ŝe pręt nr 2 jest nieodkształcalny (np. wykonany jest z materiału o duŜo większym
module Younga, niŜ pozostałe pręty). Porównaj rozwiązania.
E,A
E,
A,
α
t
,
∆
t
E
1
A
E
1
A
→∞