Problem wyboru portfela papierów warto ciowych
Za o enia o racjonalnym wyborze: teoria u yteczno ci
1. Jednostka ma preferencje i mo e je wyrazi".
Maj$c dwie mo liwo ci: Q1, Q2 jednostki
albo
preferuje
Q1 nad Q2
albo preferuje Q2 nad Q1
albo dwie mo liwo ci s$ jej oboj%tne
2. Preferencje s$ przechodnie
Je eli Q1 jest preferowane nad Q2 a Q2 nad Q3, to Q1 jest preferowane nad Q3.
(To samo dotyczy oboj%tno ci)
3. Zasada substytucji
Je eli mo liwo ci Q1, Q2 s$ jednostce oboj%tne, to dla dowolnej mo liwo ci Q3
oboj%tne s$ jednostce dwie gry losowe:
(a)
Q1 z prawdop. p oraz Q3 z prawdop. (1 - p)
(b) Q2 z prawdop. p oraz Q3 z prawdop. (1 - p)
(Preferencje nie zmieniaj$ si% pod wp ywem ryzyka)
4. Istnieje "pewno ciowy" odpowiednik ka dej gry
Niech mo liwo " Q1 b%dzie preferowana nad mo liwo " Q2, a Q2 nad Q3.
Istnieje takie prawdop. p, e jednostce jest oboj%tne czy otrzyma Q2 na pewno
czy Q1 z prawdop. p oraz Q3 z prawdop. (1 - p).
(Trudno " w konstrukcji gry powstaje, gdy Q3 oznacza bardzo z y wynik:
bankructwo, mier" itp.)
Twierdzenie o istnieniu funkcji u yteczno ci
Przy za o eniach 1-4 (i pewnych "technicznych") istnieje indeks wyra aj$cy
preferencje jednostki okre lany jako funkcja u yteczno ci.
(Von Neumanna, Morgensterna funkcja u yteczno ci)
Kwadratowa funkcja u yteczno ci:
2
,
0
,
;
)
(
2
<
>
+
+
=
Q
Q
Q
Q
U
2
))
(
(
)
(
p
p
p
p
R
E
R
c
bR
a
R
U
+
=
Funkcja (kwadratowa) oboj%tno ci
)
(
)
(
))
(
(
2
2
1
p
p
p
R
R
E
const
R
U
E
+
=
=
Zadanie Markowitza konstrukcji portfela optymalnego:
max
R
E
R
D
p
p
+
)
(
)
(
5
.
0
2
=
=
=
n
i
n
j
j
i
j
i
p
R
R
X
X
R
D
1
1
2
)
,
cov(
)
(
=
=
n
i
i
i
p
R
E
X
R
E
1
)
(
)
(
1
1
=
=
n
i
i
X
;
0
i
X
(i = 1,2,...,n)
W praktyce trudno ustali" warto " parametru . Standardowo przyjmuje si%, e
= 3
Inne zadania wyboru portfela papierów warto ciowych
Dominacja stochastyczna
Portfel papierów warto ciowych X dominuje stochastycznie nad portfelem Y,
je eli z punktu widzenia inwestora jest on w pewnym sensie lepszy od portfela
Y w ka dym stanie natury (sytuacji gospodarczej, sytuacji na rynku
kapita owym itp.)
Dominacja pierwszego rz%du (dominacja w sensie mocnym):
Niech F
X
(r ), F
Y
(r ) oznaczaj$ dystrybuanty stóp zwrotu z portfeli X, Y. Portfel
X dominuje stochastycznie nad portfelem Y, je eli:
F
X
(r ) ? F
Y
(r ) dla wszystkich r
F
X
(r ) @ F
Y
(r ) dla przynajmniej jednego r
Dominacja drugiego rz%du (dominacja w sensie rednim):
Portfel X dominuje nad portfelem Y, je eli:
[ ( )
( )]
0
r
Y
X
F r
F r dr
dla wszystkich r
F
X
(r ) @ F
Y
(r ) dla przynajmniej jednego r
Dominacja stochastyczna
PrawdopodobieCstwo
Dystrybuanta stóp
zwrotu
Stopy zwrotu
[%] X
Y
Z
F
X
( R) F
Y
( R) F
Z
( R)
8
0,1 0,0 0,1 0,1 0,0 0,1
9
0,1 0,1 0,2 0,2 0,1 0,3
10 0,2
0,2
0,2
0,4
0,3
0,5
11 0,2
0,4
0,2
0,6
0,7
0,7
12 0,2
0,2
0,2
0,8
0,9
0,9
13 0,1
0,1
0,1
0,9
1,0
1,0
14 0,1
0,0
0,0
1,0
1,0
1,0
E(R
i
)
11 11 10,5
D
2
(R
i
)
3
1,2 2,25
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
7
8
9
10
11
12
13
14
Stopa zwrotu
D
ys
tr
yb
u
an
ta
X
Y
Z
Dominacja stochastyczna 1 rz%du: portfel X dominuje nad portfelem Z
Dominacja stochastyczna 2 rz%du: portfel Y dominuje nad portfelem X
Uwzgl%dnienie bezpieczeCstwa portfela
Kryterium Roya
min
min
min
(
)
min
(
)
max
( )
( )
(
)
p
p
p
p
p
P R
r
E R
r
k
D R
E R
r
kD R
<
=
=
+
Przyk ad:
Portfel
Charakterystyka
1
2
3
Oczekiwana stopa zwrotu
6
8
10
Odchylenie standardowe
3
4
6
Przy poziomie minimalnym 2% i 5% wybra" portfel optymalny w sensie
kryterium Roya.
Kryterium Roya w wietle nierówno ci Czebyszewa (dla nieznanego rozk adu)
2
min
2
(
)
1
(
)
1
(
)
p
p
p
p
R
E R
P
k
D R
k
P R
r
k
>
<
Kryterium Kataoki
min
min
max
(
)
p
r
P R
r
<
Minimalna stopa zwrotu nie jest dana, ale wyznaczana w ten sposób, aby
prawdopodobieCstwo uzyskania zwrotu z portfela ni szego od tej stopy nie
przekracza o z góry przyj%tego poziomu .
Je eli stopa zwrotu ma rozk ad normalny, to kryterium Kataoki dla O = 0.05
przyjmuje posta":
max
)
(
64
.
1
)
(
min
=
p
p
R
D
R
E
r
Przyk#ad: Dla danych z poprzedniego przyk adu wyznaczy" – przy poziomie
ryzyka O = 0.05 – portfel optymalny w sensie kryterium Kataoki.
Kryterium Kataoki w wietle nierówno ci Czebyszewa
2
1
(
(
)
(
))
p
p
p
P R
E R
kD R
k
>
Kryterium Teslera
min
min
(
)
max
(
)
(
)
( ) (
)
p
p
p
p
E R
P R
r
E R
r
k
D R
<
+
Zbiór portfeli dopuszczalnych w sensie kryterium Teslera mo e by" zbiorem
pustym.
Przyk ad: Dla wcze niejszych danych i przy poziomie ryzyka O = 0.05 oraz
minimalnej stopie zwrotu
r
min
= 1% wyznaczy" najpierw portfele dopuszczalne,
a nast%pnie portfel optymalny w sensie kryterium Teslera.
Strategie inwestycyjne (zarz$dzania portfelem)
•
Pasywna – „by" jak rynek” przy jednoczesnym minimalizowaniu kosztów
transakcyjnych i ilo ci po wi%conego czasu:
Fundusze indeksowe
Kup i trzymaj (buy and hold)
•
Aktywna – „by" lepszym ni rynek”
Strategia opiera si% na doborze akcji (z uwzgl%dnieniem analizy technicznej i
fundamentalnej), sektora i czasu inwestycji;
Decyzje podejmowane s$ na podstawie oczekiwaC co do warto ci pewnych
parametrów w przysz o ci.
Ocena jako ci portfela papierów warto ciowych
Miernik Sharpe’a
(premia za ryzyko przypadaj$ca na jednostk% ryzyka portfela)
t
f
t
t
r
r
S
/
)
(
=
Miernik Treynora
(premia za ryzyko przypadaj$ca na jednostk% ryzyka systematycznego portfela)
t
f
t
t
r
r
T
/
)
(
=
Miernik Jensena
Ocena na podstawie oszacowania wyrazu wolnego równania
i
M
i
i
r
J
r
+
+
=
*
(Ocena ta mierzy zdolno " zarz$dzaj$cego portfelem do przewidywania
przychodu z walorów)
dla przypomnienia linia charakterystyczna:
i
M
i
i
i
r
r
+
+
=
*
Document Outline