Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

1

 

Klasyfikacja obwodów elektrycznych i metod ich badania 

 

Badanie  obwodu  elektrycznego  polega  na  wyznaczenie  pewnych  wielko

ś

ci  niewiadomych 

charakteryzuj

ą

cych dany obwód. 

 

Rozró

ż

niamy nast

ę

puj

ą

ce typy zagadnie

ń

: 

1).  Analiza  obwodu  –  polega  na  ocenie jego  odpowiedzi  na  ró

ż

ne  sygnały  wej

ś

ciowe  i  na 

okre

ś

leniu jego wła

ś

ciwo

ś

ci 

 

2).  Synteza  obwodu  –  sprowadza  si

ę

  do  okre

ś

lenia  jego  struktury  w  zale

ż

no

ś

ci  od 

przyj

ę

tych, realizowanych charakterystyk 

 

3).  Zagadnienie  aproksymacji  –  polega  na  przybli

ż

eniu  wymaganych  charakterystyk 

projektowych przez charakterystyki fizycznie realizowalne 
 
Metody badania obwodu mo

ż

na podzieli

ć

 na: 

 

1).  Sieciowe,  gdy  dana  jest  pełna  struktura  obwodu  i  parametry  jego  elementów  a 
poszukujemy  rozpływu  pr

ą

du  i  rozkładów  napi

ęć

  na  poszczególnych  elementach  sieci 

elektrycznej. 

 

2).  Zaciskowe,  gdy  obwód  jest  traktowany  jako  dwójnik,  czwórnik  lub  ogólnie  n-wrotnik; 
wówczas okre

ś

la si

ę

 zale

ż

no

ś

ci pomi

ę

dzy wielko

ś

ciami zwi

ą

zanymi z zaciskami obwodu bez 

wnikania w jego struktur

ę

 wewn

ę

trzn

ą

. 

 
Obwód  albo  sie

ć

  jest  kombinacj

ą

  elementów  poł

ą

czonych  z  zewn

ę

trznymi 

ź

ródłami. 

Ź

ródła 

wytwarzaj

ą

 w sieci sygnały wej

ś

ciowe lub wymuszenia. Wynikaj

ą

ce st

ą

d napi

ę

cia i pr

ą

dy 

w ró

ż

nych miejscach sieci s

ą

 jej sygnałami wyj

ś

ciowymi albo odpowiedziami. 

 

Mo

ż

na  powiedzie

ć

, 

ż

e  analiza  sieci  polega  na  wyznaczeniu  odpowiedzi  danej  sieci  na 

zadane  sygnały  wej

ś

ciowe,  za

ś

  synteza  sieci  polega  na  takim  jej  zaprojektowaniu,  aby 

uzyska

ć

 

żą

dane odpowiedzi na zadane sygnały. 

 

Graficznym opisem struktury sieci oraz rodzaju i funkcji jej elementów jest schemat ideowy. 
Natomiast graficznym opisem wła

ś

ciwo

ś

ci zaciskowych sieci jest schemat blokowy. 

 

Schemat ideowy cewki idealnej 

(bezrezystancyjnej) 

i

 

 

 

u

 

 

 

L

 

 

 

u

 

L

 

 

 

 

   

Schemat blokowy 

y(t)=L 

i’(t)

 

x(t)=

i(t)

 

wyj

ś

cie 

wej

ś

cie 

y(t)=Lx’(t)

 

 

i

 – wymuszenie (prąd)   

 

 

 

Sygnał wyjściowy jest proporcjonalny  

uL

 – odpowiedź (napięcie samoindukcji) 

 

do pochodnej sygnału wejściowego 

dt

di

L

u

L

=

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sygnał wyjściowy jest proporcjonalny 

do pochodnej sygnału wejściowego 
Ten sam schemat blokowy może przedstawiać 
 kondensator jeśli: x(t)=u(t), zaś  
y(t)=C(du/dt); schemat ideowy będzie inny. 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

2

W  schemacie  ideowym  sygnały:  wejściowy  i  wyjściowy  są  wielkościami  fizycznymi  tj. 
napięciami i prądami, a schemat pokazuje nie tylko ich wzajemną zależność, ale także typ i 
rodzaj użytych elementów. 
 
Schematy  blokowe  nie  dają  żadnej  informacji  na  temat  struktury  i  rodzaju  elementów 
sieci, a ich wielkości wejściowe i wyjściowe nie muszą być wielkościami fizycznymi. 

 

Obwody elektryczne i ich elementy dzielimy na: 

 

1). Liniowe – spełniaj

ą

 zasad

ę

 superpozycji: odpowied

ź

 obwodu liniowego na jednoczesne 

działanie kilku wymusze

ń

 jest równa sumie algebraicznej odpowiedzi na ka

ż

de wymuszenie 

z osobna. 

 

2). Nieliniowe – nie spełniaj

ą

 zasady superpozycji, opisuj

ą

 je równania nieliniowe, w których 

wielko

ś

ci elektryczne i ich pochodne wyst

ę

puj

ą

 w pot

ę

dze ró

ż

nej od jeden. 

 

3). Stacjonarne – zło

ż

one z elementów o warto

ś

ciach niezmiennych w czasie. 

4). Niestacjonarne – nazywane parametrycznymi. 

 

5). Pasywne – zło

ż

one z elementów pasywnych R, L, C (energia pobrana przez te elementy 

jest wi

ę

ksza lub równa 0). 

 

6).  Aktywne  –  je

ś

li  w  skład  obwodu  wchodzi  chocia

ż

  jeden  element  aktywny  np. 

ź

ródło, 

dioda tunelowa, tranzystor, wzmacniacz operacyjny. 

 

7). O parametrach skupionych – gdy mog

ą

 by

ć

 pomini

ę

te zjawiska falowe przy przepływie 

sygnałów. 

 

8).  O  parametrach  rozło

ż

onych  –  gdy  potrzebny  jest  sko

ń

czony  czas  na  przeniesienie 

sygnału z jednego ko

ń

ca obwodu do drugiego (np. linia długa zwana transmisyjn

ą

). 

 

9).  Odwracalne  –  maj

ą

  takie  same  wła

ś

ciwo

ś

ci  niezale

ż

nie  od  sposobu  poł

ą

czenia  i  od 

biegunowo

ś

ci przyło

ż

onego napi

ę

cia. 

 

10). Nieodwracalne – np. dioda, tranzystor. 

 

11). Dwójniki – maj

ą

 dwa zaciski. 

 

12). Wielobiegunniki – maj

ą

 „n” zacisków (np. tranzystor – ma 3 zaciski). 

 

13).  Elementy  idealne  –  charakteryzuje  jeden  rodzaj  procesów:  a)  wytwarzane  energii 
(

ź

ródła); b) rozpraszanie (rezystory); c) akumulacja (w cewkach i kondensatorach) 

 

14). Elementy rzeczywiste – charakteryzuj

ą

 dwa lub trzy rodzaje procesów z a), b), c). 

 

Klasyfikacja sygnałów i obwodów elektrycznych 

 

Sygnały.

  Funkcje  opisujące  zmienność  w  czasie  wielkości  fizycznych  będziemy  nazywać 

przebiegami  czasowymi

  tych  wielkości  lub 

sygnałami

.  Możemy  zatem  powiedzieć,  że 

napięcie określone wzorem: 

 
ma przebieg sinusoidalny lub że ta powyższa zależność określa sygnał sinusoidalny. (nazwy 
„sinusoidalny”  używamy  w  odniesieniu  do  powyższego  sygnału,  niezależnie  od  tego  czy  w 
zapisie  posługujemy  się  funkcją  sinus,  czy  cosinus,  tzn.  niezależnie  od  wartości  fazy 
początkowej 

ψ

u) 

 

)

sin(

)

(

u

m

t

U

t

u

ψ

ω

+

=

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

3

Nazwy „sygnał” używamy zwłaszcza wtedy, kiedy chodzi o podkreślenie rodzaju zmienności 
w  czasie,  a  nie  rodzaju  wielkości  fizycznej.  Mówimy  np.:  sygnały  stałe,  sygnały  okresowo 
zmienne, sygnały o skończonej energii itp. Nie precyzując najczęściej czy chodzi tu o sygnały 
napięć, prądów, sił elektromotorycznych itp. 
 
Istnieje wiele rodzajów sygnałów, np.: 
• sygnał radiowy, 
• sygnał optyczny, 
• sygnał ultradźwiękowy, 
• sygnał elektryczny. 
 
Sygnałami  elektrycznymi  są  różne  napięcia  i  prądy  w  sieci  elektrycznej  nazywanej 
„obwodem” lub „układem” elektrycznym. 
 
Pojęcie „układ” jest ogólne i można je odnieść do wielu dziedzin nauki i techniki, np.: 
• układ elektroniczny, 
• układ transportowy, 
• układ biologiczny, 
• układ planetarny. 
 
W elektrotechnice układ jest prostym lub złożonym obwodem elektrycznym składającym się z 
oporników (rezystorów), cewek, kondensatorów i źródeł energii.  
 
Sygnały elektryczne są funkcjami czasu związanymi zbiorem równań wynikających z praw 
fizycznych (praw Kirchhoffa). 
 
Zjawiska fizyczne z dziedziny elektryczności i magnetyzmu opisują zależności matematyczne 
z  dość  dużą  dokładnością,  dlatego  rozważania  teoretyczne  mają  w  elektrotechnice  dużo 
większe znaczenie niż w innych dziedzinach techniki. 
 
Ponieważ  oporniki  (rezystory)  są  elementami  mnożącymi,  cewki  i  kondensatory  – 
elementami  różniczkującymi  i  całkującymi,  to  obwód  elektryczny  można  traktować 
jako układ realizujący wymienione operacje matematyczne. 
 
Sygnały zaś są dowolnymi funkcjami powiązanymi równaniami uwzględniającymi wzajemne 
połączenia elementów. Można więc powiedzieć, że obwody elektryczne są wykorzystywane 
do przetwarzania różnych sygnałów. 
 
Obwody  elektryczne  są  układami  analogowymi  i  często  mogą  być  zastąpione  przez  układy 
cyfrowe  (komputery),  w  których  sygnały  wejściowy  i  wyjściowy  są  ciągami  liczb  czyli 
sygnałami dyskretnymi. 
 
Sygnał  –  nośnik  wiadomości  umożliwiający  jej  przesyłanie  na  odległość  lub  w  czasie 
(rejestracja); może mieć postać umownego znaku (np. rysunku, liter) lub przebiegu wielkości 
fizycznej, którego co najmniej jeden parametr (np. kształt, częstotliwość, amplituda) zależy 
od  przesyłanej  nim  wiadomości;  rozróżnia  się 

sygnały  elektryczne

  (np.  zmieniające  się 

napięcie lub natężenie prądu), 

akustyczne

 (zmieniająca się częstotliwość dźwięku), 

optyczne

 

(zmieniające  się  natężenie  lub  barwa  światła);  stosuje  się  też  podział  sygnałów  na 

analogowe

  (

ciągłe

),  w  przypadku  których  wielkość  reprezentująca  wiadomość  może 

przyjmować dowolne wartości ze zbioru nieskończenie wielu wartości, i 

dyskretne

 (

nieciągłe

) 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

4

–  wielkość  może  przyjmować  tylko  określone  wartości  ze  skończonego  ich  zbioru,  np. 
zakodowane w postaci cyfr (

sygnał cyfrowy

), najczęściej zer i jedynek (

sygnał binarny

).  

 

Źródło: Encyklopedia Multimedialna PWN ’98; opublikowano w:  

J. Izydorczyk, G. Płonka, G. Tyma: 

Teoria Sygnałów, 

Wydawnictwo HELION, 1999  

 
lub krótko  
 
Sygnał  –  proces  zmian  w  czasie  stanu  fizycznego  dowolnego  obiektu,  służący  do 
wizualizacji, rejestracji i przesyłania wiadomości (informacji).  
 
Własności sygnałów rozważa teoria sygnałów. Związek pomiędzy naturą fizyczną sygnałów 
i zawartą w nich informacją rozważa teoria informacji.  

 

 

 

 

 

 

 
 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

8

 

 
 

Układy 

 

Układ to inaczej: 

a)  system  o 

ś

ci

ś

le  powi

ą

zanych  ze  sob

ą

  elementach  (zbiór  elementów  wraz  z  ich 

relacjami); 

b)  relacja wzajemna, zale

ż

no

ść

 ró

ż

nych elementów (wielko

ś

ci, przedmiotów, zjawisk); 

c)  porz

ą

dek rozmieszczenia poszczególnych elementów wzgl

ę

dem siebie 

 

Podział układów 

 

Układ otwarty

 to układ, na który mog

ą

 wpływa

ć

 zdarzenia spoza układu. 

 

Układ zamkni

ę

ty

 to układ, na który zewn

ę

trzne zdarzenia nie maj

ą

 wpływu. 

 

W praktyce spotyka si

ę

 układy b

ę

d

ą

ce poł

ą

czeniem układu otwartego i układu zamkni

ę

tego. 

 

Układ dynamiczny

 – zawiera elementy i/lub przepływy zmienne w czasie. 

Wyró

ż

niamy tu układy:  

a)  stabilny – odsuni

ę

ty od stanu równowagi dynamicznej wraca do niego samorzutnie, 

np. wahadło (zob. ujemne sprz

ęż

enie zwrotne) 

b)  labilny (niestabilny) – odchylony od stanu pocz

ą

tkowego ju

ż

 do niego nie wraca, ale 

oddala si

ę

 od niego coraz dalej (np. 

ś

nieg na stoku i lawina) 

 

Układ statyczny

 – nie zmienia si

ę

 w czasie. 

 

Układ analogowy 

 

Układ  analogowy

  to  układ,  w  którym  zwi

ą

zki  pomi

ę

dzy  sygnałem  wej

ś

ciowym  a  sygnałem 

wyj

ś

ciowym  mo

ż

emy  zapisa

ć

  poprzez  równanie  ró

ż

niczkowe  lub  tzw.  transmitancj

ę

 

Laplace’a uzyskan

ą

 na podstawie równa

ń

 ró

ż

niczkowych. 

 

 

Y(S) 

S 

H(S) 

X(S) 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

9

 

Układ cyfrowy 

 

Układ  cyfrowy

  to  układ,  w  którym  zwi

ą

zki  pomi

ę

dzy  sygnałem  wej

ś

ciowym  a  sygnałem 

wyj

ś

ciowym  mo

ż

emy  zapisa

ć

  za  pomoc

ą

  równa

ń

  ró

ż

nicowych  lub  za  pomoc

ą

  tzw. 

transmitancji Z, któr

ą

 mo

ż

na wyprowadzi

ć

 na podstawie tych równa

ń

. 

 

 

1110 1100 1011.... 

.... 0101 1110 1001 

Y(Z) 

Z 

H(Z) 

X(Z) 

 

 

Elementy 

 

Występujące  w  układach  elementy  możemy  scharakteryzować  za  pomocą:  równań 
różniczkowych,  transmitancji  operatorowej,  transmitancji  widmowej,  charakterystyk 
widmowych, a także poprzez odpowiedzi tych elementów na wymuszenia.  
Podstawowe  elementy  to  element  proporcjonalny,  element  różniczkujący,  i  element 
całkujący. 

 

Klasyfikacja układów 

 

Układ liniowy

 to układ, w którym wyst

ę

puj

ą

ce elementy s

ą

 liniowe (idealny rezystor, cewka, 

kondensator). Sygnały przechodz

ą

ce przez te elementy poddawane s

ą

 liniowym operacjom 

matematycznym  takim  jak:  mno

ż

enie  sygnału  przez  stały  czynnik,  ró

ż

niczkowanie  oraz 

całkowanie.  
 
W układach liniowych obowi

ą

zuje zasada superpozycji, zgodnie z któr

ą

 sygnał na wyj

ś

ciu 

układu  mo

ż

na  wyznaczy

ć

  jako  sum

ę

  sygnałów  wyj

ś

ciowych  pochodz

ą

cych  od  wszystkich 

sygnałów wej

ś

ciowych.  

 

y

3

 

y

2

 

y

1

 

x

3

 

x

2

 

x

1

 

Układ liniowy 

y=y

1

+y

2

+y

3

 

x

3

 

x

2

 

x

1

 

Układ liniowy 

 

 

Układ nieliniowy

 to układ, w którym co najmniej jeden element jest nieliniowy. W układach 

nieliniowych  nie  jest  spełniona  zasada  superpozycji  -  nie  mo

ż

na  sygnału  wyj

ś

ciowego 

rozdzieli

ć

 na składniki pochodz

ą

ce od ró

ż

nych sygnałów wej

ś

ciowych. 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

10

 

Sygnały sinusoidalnie zmienne 

 

W

ś

ród  sygnałów  elektrycznych  zmiennych  w  czasie  du

ż

e  znaczenie  praktyczne  maj

ą

 

sygnały  przemienne  okresowe.  Warunek  okresowo

ś

ci  funkcji  (sygnału)  mo

ż

na  wyrazi

ć

 

zale

ż

no

ś

ci

ą

: 

 

)

(

)

(

t

f

T

t

f

=

+

 

 

Je

ż

eli warunek okre

ś

lony równaniem (2.1) nie jest spełniony, to sygnał jest nieokresowy lub 

aperiodyczny.  

Sygnał  okresowy  nazywamy  przemiennym,  je

ż

eli  pole  powierzchni  ograniczonej 

przebiegiem sygnału w ci

ą

gu okresu T jest równe zeru, tzn. je

ś

li jest spełniony warunek 

 

0

d

)

(

0

=

∫

T

t

t

f

 

 

Szczególne  miejsce  w  elektrotechnice  zajmuj

ą

  sinusoidalne  (harmoniczne)  sygnały  pr

ą

du  i 

napi

ę

cia.  Głównym  tego  powodem  jest  ich  naturalna  powszechno

ść

  w  przyrodzie  oraz 

łatwo

ść

  wytwarzania  wynikaj

ą

ca  ze 

ś

cisłego  zwi

ą

zku  ruchu  obrotowego  z  funkcjami 

trygonometrycznymi sinus i cosinus. 

Rys.  Sygnał sinusoidalny napi

ę

ciowy 

 

Energia  elektryczna  docieraj

ą

ca  do  naszych  domów  otrzymywana  jest  w  generatorach 

synchronicznych,  które  s

ą

  maszynami  elektrycznymi  wiruj

ą

cymi.  Generatory  te  wytwarzaj

ą

 

napi

ę

cia  sinusoidalnie  zmienne  w  czasie  o  unormowanych  parametrach.  Ogólna  posta

ć

 

napi

ę

cia harmonicznego 

 

]

V

[

)

sin(

)

(

u

m

t

U

t

u

ψ

ω

+

=

 

 

przy czym: 

t  – czas w sekundach [s], 

)

(t

u

 – wartość chwilowa napięcia w woltach [V], 

m

U

 – wartość szczytowa napięcia (amplituda) w woltach [V], 

u

ψ

 – faza początkowa napięcia w radianach [rad], 

u

t

ψ

ω

+

 – faza napięcia w chwili t w radianach [rad], 

f

T

π

2

/

π

2

=

=

ω

 – pulsacja w radianach na sekundę [rad/s], 

T

f

/

1

=

 – częstotliwość w hercach [Hz], 

T

 – okres w sekundach [s]. 

 

t

T

u 

0 

u(t)

=

U

m

sin(ωt+

ψ

u

) 

U

m

 

ψ

u

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

11

)

(

d

)

(

d

...

d

)

(

d

d

)

(

d

)

(

d

)

(

d

...

d

)

(

d

d

)

(

d

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

t

x

a

t

t

x

a

t

t

x

a

t

t

x

a

t

y

a

t

t

y

a

t

t

y

a

t

t

y

a

k

k

k

k

k

k

n

n

n

n

n

n

+

+

+

+

=

+

+

+

+

−

−

−

−

−

−

)

(

)

(

d

)

(

d

..........

d

)

(

d

d

)

(

d

0

1

1

1

1

t

f

t

y

a

t

t

y

a

t

t

y

a

t

t

y

a

n

n

n

n

n

n

=

+

+

+

+

−

−

−

Sygnały okresowe niesinusoidalnie 

 

Rozwa

ż

my  układ  liniowy,  na  wej

ś

cie  którego  podano  sygnał  okresowy  niesinusoidalny. 

Elementy liniowe tworz

ą

ce ten układ b

ę

d

ą

 oddziaływa

ć

 na sygnał  wej

ś

ciowy, dokonuj

ą

c na 

nim  operacji  matematycznych  charakteryzuj

ą

cych  si

ę

  liniowo

ś

ci

ą

.  Do  operacji  tych  nale

ż

y 

zaliczy

ć

  mno

ż

enie  sygnału  przez  stały  czynnik,  ró

ż

niczkowanie  oraz  całkowanie.  Układ 

liniowy  mo

ż

na  wi

ę

c  traktowa

ć

  jako  zbiór  liniowych  przetworników  sygnału,  b

ę

d

ą

cych 

kombinacj

ą

  podukładów  proporcjonalnych,  ró

ż

niczkuj

ą

cych  i  całkuj

ą

cych.  Dzi

ę

ki  tym 

własno

ś

ciom  odpowied

ź

  układu  liniowego  na  sygnał  okresowy  niesinusoidalny  jest  równie

ż

 

okresowa. 

 

UKŁAD 

LINIOWY

 

wymuszenie 

okresowe 

niesinusoidalne

 

odpowied

ź

 

okresowa 

niesinusoidalna

 

 

Rys. Układ liniowy jako przetwornik sygnału okresowego niesinusoidalnego 

 

f( ),f(t)

 

 

T

 

2

 

π

 

T/2

 

π

 

A

 

-A

 

nr 1

 

α

 

[rad] 

t[s]

 

α

 

 

Rys.  Przykład sygnału antysymetrycznego 

 

 

Zwi

ą

zek pomi

ę

dzy sygnałami wej

ś

ciowymi i wyj

ś

ciowymi  

w układach liniowych

 

 
Układy analogowe przetwarzaj

ą

 wej

ś

ciowe sygnały analogowe daj

ą

c na wyj

ś

ciu równie

ż

 

sygnał analogowy zale

ż

ny od: 

•

 

sygnału wej

ś

ciowego 

•

 

parametrów układu liniowego 

 

Du

ż

e  znaczenie  praktyczne  maj

ą

  układy  liniowe,  dla  których  sygnał  wej

ś

ciowy  x(t)  i 

wyj

ś

ciowy y(t) s

ą

 zwi

ą

zane ze sob

ą

 równaniem ró

ż

niczkowym: 

 

Równanie ró

ż

niczkowe opisuje zwi

ą

zek pomi

ę

dzy sygnałem wej

ś

ciowym i jego pochodnymi 

oraz sygnałem wyj

ś

ciowym i jego pochodnymi. 

 
Je

ż

eli  znamy posta

ć

 sygnału wej

ś

ciowego x(t) to znamy równie

ż

 jego pochodne i równanie 

ró

ż

niczkowe mo

ż

emy przekształci

ć

 do postaci: 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

12

0

1

,...,

,

a

a

a

n

n

−

0

)

(

d

)

(

d

...

d

)

(

d

d

)

(

d

0

1

1

1

1

=

+

+

+

+

−

−

−

t

y

a

t

t

y

a

t

t

y

a

t

t

y

a

n

n

n

n

n

n

Współczynniki 

s

ą

 bezpo

ś

rednio zwi

ą

zane z parametrami opisuj

ą

cymi układ. 

 

Wyznaczanie odpowiedzi y(t)  

 

W celu wyznaczenia odpowiedzi y(t) nale

ż

y rozwi

ą

za

ć

 równanie ró

ż

niczkowe. 

 
Rozwi

ą

zanie  ogólne  równania  ró

ż

niczkowego  niejednorodnego  składa  si

ę

  z    sumy  dwóch 

rozwi

ą

za

ń

: 

• Rozwi

ą

zania szczególnego (całki szczególnej) równania ró

ż

niczkowego niejednorodnego 

(czyli składowej ustalonej y

u

(t) lub inaczej nazywanej składowej wymuszonej y

w

(t) ) 

•  Rozwi

ą

zania  ogólnego  (całki  szczególnej)  równania  ró

ż

niczkowego  jednorodnego  (czyli 

składowej przej

ś

ciowej y

p

(t) lub inaczej nazywanej składowej swobodnej y

s

(t) ) 

 

 
 
 

 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

13

 

 
 

Reakcja elementów R, L, C na skok jednostkowy

 

Napi

ę

cie  na  rezystorze  nie  powoduje  przesuni

ę

cia  wzgl

ę

dem 

pr

ą

du,  wi

ę

c  kształt  obydwu  sygnałów  jest  taki  sam  z 

dokładno

ś

ci

ą

 do czynnika skaluj

ą

cego R 

 
Cewka  b

ę

dzie  przeciwdziała

ć

  zmianom  pr

ą

du  w  obwodzie, 

wytwarzaj

ą

c  sił

ę

  elektromotoryczn

ą

  samoindukcji  przeciwnie 

skierowan

ą

 do wzrastaj

ą

cego napi

ę

cia 

 
Nienaładowany  idealny  kondensator  po  podł

ą

czeniu  zasilania 

mo

ż

na  traktowa

ć

  w  zasadzie  jak  zwarcie,  teoretycznie  pr

ą

d 

zmienia  si

ę

  skokowo  od  zera  do  niesko

ń

czono

ś

ci  (w  praktyce 

rezystor  ogranicza  warto

ść

  tego  pr

ą

du,  a  je

ś

li jest  on  bardzo  mały  to mo

ż

e  si

ę

  zdarzy

ć

, 

ż

e 

„wyparuj

ą

” przewody) 

Je

ś

li elementy R, L i C s

ą

 poł

ą

czone szeregowo to kształt pr

ą

du w takim obwodzie, b

ę

dzie 

zale

ż

ał od warto

ś

ci poszczególnych elementów. 

 

Stany nieustalone 

 

Sygnały elektryczne, przy okre

ś

lonej strukturze obwodu i 

ź

ródłach, nie uzyskuj

ą

 natychmiast 

swoich  warto

ś

ci  ustalonych.  Mi

ę

dzy  jednym  stanem  stabilnym  a  drugim  wyst

ę

puj

ą

  wahania 

napi

ęć

 i pr

ą

dów.  

Przyczyn

ą

  wyst

ę

powania  zjawisk  przej

ś

ciowych  w  obwodzie  (trwaj

ą

cych  od  chwili 

wyst

ą

pienia  zakłóce

ń

,  a

ż

  do  chwili  ustalenia  si

ę

  zjawisk)  jest  ka

ż

da  zmiana  struktury 

poł

ą

cze

ń

 lub parametrów elementów, wchodz

ą

cych w skład obwodu.  

W wielu przypadkach stany nieustalone s

ą

 zjawiskami niepo

żą

danymi (np. niepo

żą

dane s

ą

 

zjawiska  przej

ś

ciowe  wyst

ę

puj

ą

ce  przy  zwarciach  i  przy  wł

ą

czaniu  napi

ęć

  w  obwodach 

elektrycznych).  W  innych  za

ś

  przypadkach  stany  nieustalone  s

ą

  normalnym  stanem  pracy 

urz

ą

dze

ń

 (np. układy automatycznej regulacji).  

Cech

ą

 charakterystyczn

ą

 zjawisk w obwodach elektrycznych pr

ą

du stałego lub sinusoidalnie 

zmiennego  jest  to, 

ż

e  generatory  zasilaj

ą

ce  te  obwody  narzucaj

ą

  sposób  zmienno

ś

ci 

czasowej  pr

ą

dów  i  napi

ęć

.  W  przypadku  generatorów  pr

ą

du  stałego,  napi

ę

cia  i  pr

ą

dy  w 

obwodzie  s

ą

  wielko

ś

ciami  stałymi,  a  w  przypadku  generatorów  pr

ą

du  sinusoidalnego, 

napi

ę

cia  i  pr

ą

dy  zmieniaj

ą

  si

ę

  sinusoidalnie.  Tego  rodzaju  stan  obwodu  nazywamy 

ustalonym lub stacjonarnym.  
W  obwodach  elektrycznych  spotyka  si

ę

  tak

ż

e  zjawiska  spowodowane  zmian

ą

  dokonan

ą

  w 

obwodzie,  jak  np.  wł

ą

czenie 

ź

ródła  energii  do  obwodu,  zwarcie  cz

ęś

ci  obwodu  itp.  Tego 

 

t 

1 

1/2 







<

≥

=

0

dla

0

0

dla

1

)

(

t

t

t

ε











<

=

>

=

1

dla

0

0

dla

2

1

0

dla

1

)

(

t

t

t

t

ε

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

14

)

(t

i

L 

R 

(

0

) 

(

2

) 

)

(

2

t

e

E

1

 

(

1

) 

t = 0 s 

rodzaju  zmiany  w  obwodzie  wywołane  s

ą

  działaniem  czynników  zewn

ę

trznych,  obwód 

zostaje  wyprowadzony  ze  stanu  równowagi,  a  w  obwodzie  wytwarza  si

ę

  stan  zwany 

przej

ś

ciowym lub nieustalonym. 

W  stanie  nieustalonym  pr

ą

dy  i  napi

ę

cia  w  obwodzie  zmieniaj

ą

  si

ę

  inaczej  ni

ż

  siły 

elektromotoryczne generatorów zasilaj

ą

cych układ.  

Teoretycznie  stan  przej

ś

ciowy  trwa  niesko

ń

czenie  długo,  jednak  praktycznie  po  upływie 

dostatecznie  długiego  czasu  zjawiska  przej

ś

ciowe  zanikaj

ą

  i obwód  osi

ą

ga  stan 

ustalony.Przy  analizie  stanów  nieustalonych  w  obwodach  elektrycznych  liniowych  zarówno 
napi

ę

cie  u,  jak  i  pr

ą

d  i  przedstawiane  s

ą

  w postaci  sumy  dwóch  składników,  a  mianowicie 

składowej ustalonej i składowej przej

ś

ciowej. 

Wyra

ż

aj

ą

 to zale

ż

no

ś

ci 

p

u

u

u

u

+

=

 oraz 

p

u

i

i

i

+

=

 

Składowe  ustalone  (uu,  iu)  zwi

ą

zane  s

ą

  ze  stanem  ustalonym,  za

ś

  składowe  przej

ś

ciowe 

(up, ip) ze stanem przej

ś

ciowym obwodu. 

 

Okre

ś

lanie warunków pocz

ą

tkowych 

 

Do  analizy  zjawisk  w  stanie  nieustalonym  konieczna  jest  znajomo

ść

  stanu  pocz

ą

tkowego 

obwodu.  
 
Warto

ś

ci  wybranych  napi

ęć

  i  pr

ą

dów  w  stanie  pocz

ą

tkowym  nazywamy  warunkami 

pocz

ą

tkowymi. Warunki pocz

ą

tkowe mog

ą

 by

ć

 zerowe lub niezerowe. Je

ż

eli s

ą

 zerowe, to 

obwód był na pocz

ą

tku w stanie bezenergetycznym.  

Poniewa

ż

 gromadzi

ć

 energi

ę

 mog

ą

 tylko cewki i kondensatory, to oprócz 

ź

ródeł, napi

ę

cia na 

wszystkich  pojemno

ś

ciach  i  pr

ą

dy  płyn

ą

ce  przez  wszystkie  indukcyjno

ś

ci  w  chwili    t=0s 

decyduj

ą

 o zachowaniu si

ę

 obwodu w czasie pó

ź

niejszym.  

 

Prawa komutacji 

 

Rozwa

ż

amy tu chwil

ę

 t=0s, gdy

ż

 zakładamy, 

ż

e wła

ś

nie 

wtedy  nast

ą

piła  zmiana  topologii  układu (np.  doł

ą

czono 

ź

ródło, zwarto element itp.).  

 
Zmiana  topologii  mo

ż

liwa  jest  dzi

ę

ki  zamykaniu  lub 

otwieraniu ł

ą

czników. Zakładamy, 

ż

e s

ą

 one idealne, to 

znaczy, 

ż

e  zamykaj

ą

  si

ę

  lub  otwieraj

ą

  natychmiast,  w 

stanie  zamkni

ę

cia  maj

ą

  zerow

ą

  rezystancj

ę

,  a  w  stanie 

otwarcia niesko

ń

czon

ą

 oraz, 

ż

e nie wyst

ę

puje w nich zjawisko łuku elektrycznego.  

 
Zjawiskiem komutacji, a wi

ę

c procesem zmiany struktury układu rz

ą

dz

ą

 prawa komutacji.  

Wynikaj

ą

  one  z  wa

ż

nego  prawa  fizyki, 

prawa  zachowania  energii. 

Prawa  komutacji  mo

ż

na 

wypowiedzie

ć

 nast

ę

puj

ą

co:  

 
„Energia  w  polu  magnetycznym  cewki  nie  mo

ż

e  zmieni

ć

  si

ę

  skokowo”    (I  prawo 

komutacji) 
oraz 
 
„Energia w polu elektrycznym kondensatora nie mo

ż

e zmieni

ć

 si

ę

 skokowo” (II prawo 

komutacji) 

 

Z matematycznego punktu widzenia funkcje energii cewki i kondensatora  
 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

15

2

)

(

)

(

2

t

i

L

t

w

L

L

=

 oraz 

2

)

(

)

(

2

t

u

C

t

w

C

C

=

 musz

ą

 by

ć

 ci

ą

głe wzgl

ę

dem czasu.  

Ze wzorów na warto

ś

ci chwilowe energii w cewce i w kondensatorze wynika równie

ż

 ci

ą

gło

ść

 

funkcji pr

ą

du i

L

(t) oraz napi

ę

cia u

C

(t).  

 
Ponadto,  ze  wzorów  na  warto

ś

ci  chwilowe  strumienia  magnetycznego  w  cewce 

)

(

)

(

t

i

L

t

L

⋅

=

Ψ

  oraz ładunku elektrycznego w kondensatorze 

)

(

)

(

t

u

C

t

q

C

⋅

=

 wnioskujemy 

o ci

ą

gło

ś

ci strumienia

)

(t

Ψ

 oraz ładunku 

)

(t

q

 

 
Podsumowuj

ą

c  powy

ż

sze  rozwa

ż

ania,  prawa  komutacji  mo

ż

emy  dla  chwili    opisa

ć

 

nast

ę

puj

ą

cymi równo

ś

ciami:  

 

I prawo komutacji                   

)

0

(

)

0

(

),

0

(

)

0

(

),

0

(

)

0

(

+

−

+

−

+

−

=

Ψ

=

Ψ

=

L

L

L

L

i

i

W

W

 

 

II prawo komutacji                  

)

0

(

)

0

(

),

0

(

)

0

(

),

0

(

)

0

(

+

−

+

−

+

−

=

=

=

C

C

C

C

u

u

q

q

W

W

 

 
Dodajmy jeszcze, 

ż

e chocia

ż

 pr

ą

d płyn

ą

cy przez cewk

ę

 nie mo

ż

e zmienia

ć

 si

ę

 skokowo, to 

napi

ę

cie na cewce mo

ż

e si

ę

 zmienia

ć

 skokowo.  

 
Podobnie  jest  z  pr

ą

dem  płyn

ą

cym  przez  kondensator  -  on  równie

ż

  mo

ż

e  zmienia

ć

  si

ę

 

skokowo, ale napi

ę

cie na kondensatorze musi by

ć

 ci

ą

gł

ą

 funkcj

ą

 czasu.  

 
Dla rezystora mo

ż

liwa jest skokowa zmiana zarówno pr

ą

du jak i napi

ę

cia, chyba 

ż

e rezystor 

poł

ą

czony jest szeregowo z cewk

ą

 lub równolegle z pojemno

ś

ci

ą

. 

 

Metody analizy stanów nieustalonych 

 

1.  Metoda  klasyczna  –  zwi

ą

zana  z  klasycznymi  metodami  rozwi

ą

zywania  równa

ń

 

ró

ż

niczkowych i ró

ż

niczkowo-całkowych 

2.  Metoda operatorowa – oparta o przekształcenie Laplace’a 
3.  Metoda zmiennych stanu – zwi

ą

zana z zastosowaniem funkcji macierzy 

 

Równanie charakterystyczne 

 

Na podstawie równania 

 

)

(

f

)

(

d

)

(

d

d

)

(

d

d

)

(

d

0

1

1

1

1

t

t

x

a

t

t

x

a

t

t

x

a

t

t

x

n

n

n

n

n

=

+

+

+

+

−

−

−

L

 

 
piszemy  tzw.  równanie  charakterystyczne,  które  jest  r

ó

wnaniem  algebraicznym 

wzgl

ę

dem zmiennej pomocniczej s. R

ó

wnanie to ma posta

ć

  

 

0

0

1

1

1

=

+

+

+

+

−

−

a

s

a

s

a

s

n

n

n

L

 

 

Równanie  to  ma  n  jedno-  lub  wielokrotnych  pierwiastków  rzeczywistych  lub  zespolonych 
sprz

ęż

onych.  Z  ka

ż

dym  pierwiastkiem  si  lub  z  grup

ą

  pierwiastków  zwi

ą

zany  jest  kolejny 

składnik  rozwi

ą

zania  dla  xp(t).  Zale

ż

no

ść

  składnika  od  własno

ś

ci  danego    zestawiono  w 

tabeli.  

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

16

Tabela 1. Składniki rozwi

ą

zania 

)

(t

x

s

 w zale

ż

no

ś

ci od rodzaju pierwiastków 

i

s

 

własności pierwiastków 

funkcje wchodzące w skład 

)

(t

x

s

 

i

s - pojedynczy, rzeczywisty 

t

s

i

i

C

t

x

e

)

(

1

=

 

i

s - podwójny, rzeczywisty 

t

s

i

i

t

C

C

t

x

e

)

(

)

(

2

1

+

=

 

i

s - potrójny, rzeczywisty 

t

s

i

i

t

C

t

C

C

t

x

e

)

(

)

(

2

3

2

1

+

+

=

 

... itd. 

 

β

α

j

±

=

i,j

s

 

dwa pierwiastki zespolone 
sprzężone, pojedyncze 

))

sin(

)

cos(

(

e

)

(

2

1

t

C

t

C

t

x

t

ij

β

β

α

+

=

 

β

α

j

±

=

i,j

s

 

dwa pierwiastki zespolone 
sprzężone, podwójne 

]

)

sin(

)

(

)

cos(

)

(

[

e

)

(

4

3

2

1

t

t

C

C

t

t

C

C

t

x

t

ij

β

β

α

+

+

+

=

 

... itd. 

 

 

Układy II rz

ę

du 

 

Załó

ż

my równanie charakterystyczne drugiego stopnia (układ RLC) 

 

0

1

2

=

+

+

LC

s

L

R

s

 

 

a pierwiastki równania charakterystycznego dane s

ą

 wzorami 

 

β

α

±

−

=

−













±

−

=

LC

L

R

L

R

s

1

2

2

2

2

,

1

 

 

przy czym  

LC

LC

L

R

L

R

1

1

2

=

   

,

2

2

2

−

=

−













=

α

β

α

 

 
Przy  u

ż

yciu  tych  oznacze

ń

  wyra

ż

amy  poszczególne  pierwiastki  równania  w  sposób 

nast

ę

puj

ą

cy  

β

α

β

α

−

−

=

+

−

=

2

1

   

, s

s

 

 
Je

ż

eli zało

ż

ymy, 

ż

e indukcyjno

ść

 L i pojemno

ść

 C s

ą

 stałe, to rezystancj

ę

 R mo

ż

na dobra

ć

 

tak, 

ż

e  wyró

ż

nik  równania  charakterystycznego  mo

ż

e  by

ć

  dodatni,  ujemny,  a  w  przypadku 

granicznym  -  staje  si

ę

  zerem.  Zale

ż

nie  od  warto

ś

ci  rezystancji  rozró

ż

niamy  wi

ę

c  trzy 

przypadki.  

1. Przy  

C

L

R

2

>

 

  

wielko

ść

  b  przedstawia  liczb

ę

  rzeczywist

ą

,  przy  czym  wobec 

α

>

β

  -  obydwa  pierwiastki  s

ą

 

rzeczywiste  i  ujemne,  s1=  -

α

+

β

<0,  s2=  - 

α

-

β

<0.  Fizycznie  odpowiada  temu  ładowanie 

kondensatora  ze 

ź

ródła  napi

ę

cia  stałego  poprzez  rezystancj

ę

  R  i  indukcyjno

ść

  L,  maj

ą

ce 

charakter aperiodyczny (nieokresowy).  

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

17

i , u

c

, u

L

E

0

t

1

u

L

u

c

i

t

 

Rys. Przebiegi pr

ą

du i napi

ęć

 w obwodzie szeregowym RLC 

 

 

2. W przypadku granicznym przy  

R

L

C

=

2

 

  

wielko

ść

 

β

  staje  si

ę

  zerem,  pierwiastki  równania  charakterystycznego  s

ą

  sobie  równe  i 

tworz

ą

  jeden  pierwiastek  podwójny,  s1=s2=  -

α

,  rzeczywisty  i  ujemny.  Fizycznie  odpowiada 

temu  ładowanie  kondensatora  ze 

ź

ródła  napi

ę

cia  stałego  poprzez  rezystancj

ę

  R  i 

indukcyjno

ść

 L, maj

ą

ce charakter aperiodyczny krytyczny (nieokresowy krytyczny) 

 

.3. Przy  

R

L

C

<

2

 

  

wielko

ść

 

β

 przedstawia liczb

ę

 urojon

ą

. Wprowadzamy oznaczenie  

 

 

β

ω

=

j

 

  

gdzie 

ω

 jest ju

ż

 liczb

ą

 rzeczywist

ą

, która spełnia równanie 

 

α ω

2

2

1

+

=

LC

 

  

Obydwa  pierwiastki  równania  charakterystycznego  s

ą

  zespolone  sprz

ęż

one,  równe 

odpowiednio 

 

s

s

1

2

= − +

= − −

α

ω

α

ω

j ,    

j

 

  

Fizycznie  odpowiada  temu  ładowanie  kondensatora  ze 

ź

ródła  napi

ę

cia  stałego  poprzez 

rezystancj

ę

  R  i  indukcyjno

ść

  L  takie, 

ż

e  przebiegi  napi

ę

cia  na  kondensatorze  i  pr

ą

du  w 

funkcji czasu s

ą

 oscylacyjne tłumione, w szczególno

ś

ci sinusoidalne tłumione. 

 

Rys. Przebiegi oscylacyjne tłumione pr

ą

du i napi

ę

cia na kondensatorze  

w układzie szeregowym RLC 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

18

 

 
We  wszystkich  trzech  przypadkach  pierwiastki  równania  charakterystycznego  le

żą

  w  lewej 

półpłaszczy

ź

nie, Re s1<0 oraz Re s2<0; w zwi

ą

zku z tym składowa przej

ś

ciowa odpowiedzi 

uCp(t)  maleje  do  zera  dla  czasu  d

ążą

cego  do  niesko

ń

czono

ś

ci.  W  przypadku  1  obydwa 

pierwiastki  le

żą

  na  ujemnej  cz

ęś

ci  osi  rzeczywistej,  symetrycznie  wzgl

ę

dem  punktu -

α

,  a  w 

przypadku  2  obydwa  pierwiastki  tworz

ą

  jeden  podwójny  równy  -

α

;  w  ka

ż

dym  z  tych 

przypadków  składowa  przej

ś

ciowa  uCp(t)  maleje  asymptotycznie  do  zera.  Wreszcie  w 

przypadku  3  pierwiastki  sl  i  s2  s

ą

  zespolone  sprz

ęż

one,  w  konsekwencji  składowa 

przej

ś

ciowa uCp(t)  maleje oscylacyjnie do zera. 

Stany nieustalone – Metoda klasyczna  

 przykłady obliczeniowe (rozwi

ą

zane podczas wykładu) 

 

Zadanie 1. Dla obwodu przedstawionego na rys. 1 oblicz i narysuj przebiegi czasowe pr

ą

du 

płyn

ą

cego  przez  cewk

ę

 

)

(t

i

L

  oraz  napi

ęć

 

)

(t

u

R

  i 

)

(t

u

L

.  Zbadaj  wpływ  warto

ś

ci  i  znaku 

warunku pocz

ą

tkowego na cewce na odpowiedzi czasowe obwodu. Jak warto

ś

ci elementów 

R oraz L wpływaj

ą

 na czas ustalania si

ę

 przebiegów? Dane: 

V

 

20

=

U

, 

Ω

=

 

4

R

, 

mH

 

20

=

L

. 

 

(

2

) 

VU 

(

1

) 

(

0

) 

L 

R 

)

(t

i

L

 

)

(t

u

L

 

)

(t

u

R

 

U

 

s

0

=

t

 

L 

R 

a)

 

b)

 

 

Rys. 1. a) obwód do zadania 1, b) przystosowany do analizy w PSpice 

 

 

Rys. 1.1. Wykresy czasowe sygnałów przy zerowym warunku pocz

ą

tkowym 

 

Rys. 1.2. Wykresy czasowe przy dodatnim warunku pocz

ą

tkowym 

R

U

I

/

0

>

 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

19

 

Rys. 1.3. Wykresy czasowe przy ujemnym warunku pocz

ą

tkowym 

 

Rys. 1.4. Wpływ indukcyjno

ś

ci na szybko

ść

 ustalania si

ę

 przebiegów  (

A

0

0

=

I

) 

 

Rys. 1.5. Wpływ rezystancji na szybko

ść

 ustalania si

ę

 przebiegów  (

A

0

0

=

I

) 

 

Zadanie  2.  W  układzie  z  rys.  2a  w  chwili  t  =  0 s  otwarto  klucz  K,  przez  co  odł

ą

czono 

zasilanie  z  rzeczywistego 

ź

ródła  napi

ę

cia  stałego.  Znajd

ź

  wzory,  jakimi  opisane  s

ą

  po 

komutacji:  napi

ę

cie  na  kondensatorze  i  pr

ą

d  w  cewce.  Sporz

ą

d

ź

  wykresy  czasowe  tych 

sygnałów przej

ś

ciowych. Dane: 

Ω

=

Ω

=

40

,

60

2

1

R

R

, 

V

50

,

mF

25

,

H

10

=

=

=

E

C

L

. 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

20

K 

L 

)

(t

u

C

 

R

2

 

C 

R

1

 

)

(t

i

 

(

0

) 

(

2

) 

E 

(

1

) 

)

(t

u

L

 

)

(

2

t

u

R

 

)

(t

u

C

 

R2 

a) 

)

(t

i

 

L 

(

0

) 

(

2

) 

(

1

) 

b) 

C 

t = 0 s 

 

Rys. 2. Obwód do zadania 2, a) przed komutacją, b) po komutacji 

 

Rys. 2.1. Wykresy dla obwodu z zadania 2 

 

 
Zadanie 3. W układzie przedstawionym na rys. 3a w chwili t = 0 s otwarto ł

ą

cznik, przez co 

odł

ą

czono  zasilanie  sinusoidalne.  Wyznacz  przebieg  pr

ą

du  w  cewce  oraz  napi

ę

cia  na 

kondensatorze w stanie nieustalonym.  

Dane: 

mF

20

,

H

5

,

0

,

2

,

14

V,

)

30

10

sin(

70

)

(

2

1

=

=

Ω

=

Ω

=

+

=

C

L

R

R

t

t

e

o

 

)

(t

u

C

 

(

2

) 

(

1

) 

(

0

) 

)

(t

e

 

)

(

2

t

i

 

s

0

=

t

 

L 

R

2

 

C 

R

1

 

)

(t

i

L

 

)

(

1

t

i

 

(

2

) 

R2 

(

0

) 

(

1

) 

L 

C 

a) 

b) 

)

(t

i

L

 

)

(t

u

C

 

 

Rys. 3. Obwód do zadania 3, a) przed komutacj

ą

, b) po komutacji 

 

Rys. 3.1. Wykres pr

ą

du płyn

ą

cego przez cewk

ę

 z rys. 3 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

21

 

Rys. 3.2. Wykres napi

ę

cia na kondensatorze z rys. 3

 

 

 

Przekształcenie Laplace’a – Wprowadzenie 

 

W

ś

ród  metod  cz

ę

stotliwo

ś

ciowych  badania  układów  analogowych  najcz

ęś

ciej  znajduje 

zastosowanie metoda przekształcenia Laplace'a.  
 
Podstawow

ą

 cech

ą

 tej metody jest algebraizacja oblicze

ń

 stanów dynamicznych.  

 
Algebraizacja  polega  na  zast

ą

pieniu  działania  ró

ż

niczkowania  funkcji  czasu  przez 

pomno

ż

enie funkcji zmiennej zespolonej zwanej transformat

ą

 przez parametr zespolony s, 

oraz  na  zast

ą

pieniu  całkowania  funkcji  czasu  w  granicach  od  0  do  t    przez  podzielenie 

transformaty przez ten

ż

e parametr.  

 
Metod

ę

 

przekształcenia 

Laplace'a 

zaliczamy 

do 

metod 

operatorowych, 

a  zespół  twierdze

ń

  i  reguł  zwi

ą

zanych  z  zastosowaniem  przekształcenia  Laplace'a 

nazywamy rachunkiem operatorowym.  
 

Zalety rachunku operatorowego  

 
1. Prostota dokonywania operacji na równaniach algebraicznych 

 

2. Wprowadzenie warunków pocz

ą

tkowych wprost i na samym pocz

ą

tku 

3.  Mo

ż

liwo

ść

  rozwi

ą

zywania  przypadków  nie  posiadaj

ą

cych  rozwi

ą

zania  przy  metodzie 

klasycznej 
4. Mo

ż

liwo

ść

 korzystania z tablic 

5.  Przekształcenie  Laplace’a  dla  funkcji  spotykanych  w  technice  jest  wzajemnie 
jednoznaczne 
 
 

Przekształcenie Laplace’a  

 
W  przekształceniu  Laplace'a,  zwanym  te

ż

  transformacj

ą

  Laplace'a,  rozpatruje  si

ę

  dwie 

funkcje:  
 
1.  funkcj

ę

  f(t)  argumentu  rzeczywistego  (zmiennej  rzeczywistej)  t;  funkcj

ę

  f(t)  nazywamy 

funkcj

ą

 oryginaln

ą

, oryginałem lub te

ż

 funkcj

ą

 czasu; w elektrotechnice argument  t  oznacza 

zazwyczaj czas,  
2.  funkcj

ę

  F(s)  argumentu  zespolonego  (zmiennej  zespolonej)    zwanego  te

ż

  parametrem 

zespolonym, okre

ś

lon

ą

 wzorem  

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

22

∫

∞

−

=

0

d

e

)

(

f

)

(

F

t

t

s

t

s

 

zwan

ą

 transformat

ą

 funkcji czasu, jej funkcj

ą

 przekształcon

ą

 lub obrazem.  

 
W odniesieniu do funkcji czasu, o której mówimy, 

ż

e jest transformowalna według Laplace'a, 

czynimy nast

ę

puj

ą

ce zało

ż

enia:  

 
1.  znika dla argumentów ujemnych, tzn. f(t) =0 dla t<0,  
 
2. jest  jednoznacznie  okre

ś

lona  w  całym  przedziale  od  0  do  +

∞

    oraz  jest 

w  tym  przedziale  ci

ą

gła,  z  wyj

ą

tkiem  co  najwy

ż

ej  sko

ń

czonej  liczby  punktów  nieci

ą

gło

ś

ci 

pierwszego rodzaju, tzn. takich, w których nast

ę

puje skok funkcji o sko

ń

czon

ą

 warto

ść

,  

 
   3. wzrasta co do warto

ś

ci bezwzgl

ę

dnej nie szybciej ni

ż

 funkcja wykładnicza, tzn. dla danej 

funkcji  f(t)  mo

ż

na  dobra

ć

  tak

ą

  liczb

ę

  dodatni

ą

  M  oraz  tak

ą

  stał

ą

 

α

  nieujemn

ą

, 

ż

e  dla 

wszelkich warto

ś

ci argumentu t zachodzi 

 

t

M

t

α

e

)

(

f

<

 

Rozpatrzmy przykład wyznaczania transformaty Laplace’a funkcji wykładniczej 
 

t

t

α

e

)

(

f

=

 

przy stałej 

a

>0 

 

∫

∞

−

−

−

=

∞

−

−

=

=

0

)

(

1

0

e

1

d

e

e

)

(

F

α

α

α

α

s

s

t

s

t

s

t

s

t

 

 

(*) 

 

   Podany  wynik  otrzymuje  si

ę

  przy  zało

ż

eniu  Re(s)  > 

α

  ,  a  wi

ę

c  gdy 

σ

  jest  wi

ę

ksza  od 

α

. 

Obliczana  całka  jest  wówczas  zbie

ż

na.  Gdy  natomiast 

σ

  < 

α

  ,  całka  ta  jest  rozbie

ż

na. 

Wielko

ść

 

α

 nazywamy odci

ę

t

ą

 zbie

ż

no

ś

ci transformaty.  

 
   Gdy  zatem  parametr  zespolony 

σ

  jest  poło

ż

ony  na  płaszczy

ź

nie  zmiennej  zespolonej  na 

prawo  od  prostej 

σ

  = 

α

  równoległej  do  osi  urojonej,  wówczas  transformata  istnieje  i  jest 

okre

ś

lona wzorem  (*) 

Przekształcenie określone wzorem 

 

∫

∞

−

=

0

d

e

)

(

f

)

(

F

t

t

s

t

s

 

 

oznaczamy symbolem 

ℒ 

F(s) = 

ℒ

{f(t)} 

i nazywamy przekształceniem prostym, bo służy ono do wyznaczania transformaty danej 
funkcji czasu.  

 

Jeżeli natomiast dana jest transformata F(

s

), a szukamy funkcji czasu f(

t

), wówczas piszemy 

zależność odwrotną

 

f(t) = 

ℒ

-1

{F(s)}

 

 

stanowiącą zapis przekształcenia odwrotnego Laplace'a.  

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

23

Mo

ż

na  wykaza

ć

, 

ż

e  przekształcenie  odwrotne,  napisane  w  postaci  całki  wzgl

ę

dem 

zmiennej zespolonej s, ma posta

ć

  

 

∫

∞

+

∞

−

=

j

j

d

e

)

(

F

j

π

2

1

)

(

f

c

c

t

s

s

s

t

 

gdzie c jest liczb

ą

 rzeczywist

ą

 dodatni

ą

, nie mniejsz

ą

 od odci

ę

tej zbie

ż

no

ś

ci transformaty, a 

całkowanie  przebiega  wzdłu

ż

  prostej  równoległej  do  osi  urojonej  układu  współrz

ę

dnych 

zgodnie z kierunkiem wzrostu argumentu urojonego.  
 

Podstawowe własno

ś

ci Przekształcenia Laplace’a  

1. liniowo

ść

  

Podstawow

ą

  własno

ś

ci

ą

  przekształcenia  Laplace'a  jest  jego  liniowo

ść

;  innymi  słowy 

przekształcenie Laplace'a spełnia zasad

ę

 superpozycji. 

W  odniesieniu  do  dwóch  funkcji  czasu,  przy  zało

ż

eniu, 

ż

e 

λ

1

  i 

λ

2

 

s

ą

  skalarami,  własno

ść

 

liniowo

ś

ci przekształcenia Laplace’a mo

ż

emy wyrazi

ć

 nast

ę

puj

ą

co

  

 

ℒ

)

(

F

)

(

F

}

)

(

f

)

(

f

{

2

2

1

1

2

2

1

1

s

s

t

t

λ

λ

λ

λ

+

=

+

 

 
w której

 

λ

1

 i 

λ

2

 

s

ą

 skalarami.  

 

2. splot 
 
Jednym  z  podstawowych  poj

ęć

  rachunku  operatorowego  jest  splot  dwóch  funkcji  czasu. 

Definiuj

ą

 go równowa

ż

nie poni

ż

sze całki oznaczone niewła

ś

ciwe  

 

∫

∫

∞

∞

−

∞

∞

−

−

=

−

=

=

τ

τ

τ

τ

τ

τ

d

)

(

f

)

(

f

d

)

(

f

)

(

f

)

(

f

*

)

(

f

)

(

f

2

1

2

1

2

1

t

t

t

t

t

 

Poniewa

ż

  w ramach przekształcenia Laplace'a rozwa

ż

amy funkcje, które znikaj

ą

 dla chwil t 

ujemnych, to mo

ż

na dla takich funkcji zaw

ę

zi

ć

 przedział całkowania  zmiennej  we  wzorze i 

okre

ś

li

ć

 splot inaczej  

∫

∫

−

=

−

=

=

t

t

t

t

t

t

t

0

2

1

0

2

1

2

1

d

)

(

f

)

(

f

d

)

(

f

)

(

f

)

(

f

*

)

(

f

)

(

f

τ

τ

τ

τ

τ

τ

 

Do transformaty splotu odnosi si

ę

 twierdzenie Borela wyra

ż

one zale

ż

no

ś

ci

ą

 

ℒ

)

(

F

)

(

F

)}

(

f

*

)

(

f

{

2

1

2

1

s

s

t

t

=

 

Twierdzenie to, którego dowód pomijamy, mo

ż

emy wysłowi

ć

 w nast

ę

puj

ą

cy sposób:  

 

Transformata splotu dwóch funkcji czasu równa się 

iloczynowi transformat tych funkcji. 

 

Transformaty Laplace'a typowych sygnałów maj

ą

 posta

ć

 ilorazu b

ę

d

ą

cego funkcj

ą

 wymiern

ą

 

wzgl

ę

dem parametru s 

)

(

N

)

(

L

)

(

F

s

s

s

=

 

W  najprostszym  przypadku  zakładamy, 

ż

e  mianownik  N(s)  nie  ma  pierwiastków 

wielokrotnych,  a  stopie

ń

  licznika  L(s)  jest  mniejszy  od  stopnia  mianownika  N(s).  Zgodnie  z 

twierdzeniem o rozkładzie, rozpatrywanej transformacie odpowiada funkcja czasu 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

24

)

0

(

)

(

F

)

(

f

s

s

t

f

dt

d

−

=













L

)

(

F

)

(

F

)}

(

f

)

(

{f

2

1

2

1

s

s

s

t

t

dt

d

⋅

=













∗

L

[ ]

s

s

t

f

)

(

F

)

(

=

∫

L

)

exp(

)

(

N'

)

(

L

)

(

f

1

t

s

s

s

t

k

n

k

k

k

∑

=

=

 

gdzie n oznacza stopie

ń

 wielomianu N(s), a sk s

ą

 pierwiastkami równania 

N( )

s

=

0

 

 
3. Pochodna   

 

 

Pochodna splotu 

 

 

4. Całka 

 
 
 

 

Wybrane transformaty Laplace’a  

 

 

 

 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

25

 

 

 

 

 

 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

27

)]

(

)

(

[

)

(

f

b

t

a

t

A

t

−

−

−

=

ε

ε

 

f(t) 

t 

A 

0 

a 

b 

f(t) 

 A·ε(t-a) 

t 

A 

0 

a 

b 

-A 

f(t) 

 A·ε(t-a) 

t 

A 

0 

a 

b 

-A·ε(t-b) 

-A 

)]

(

)

(

[

)

(

f

b

t

a

t

A

t

−

−

−

=

ε

ε

)]

exp(

)

[exp(

)

(

F

bs

as

s

A

s

−

−

−

=

 

f(t) 

t 

A 

0  a 

b 

f(t) 

 A·ε(t-a) 

t 

A 

0 

a 

b 

-A·ε(t-b) 

-A 

)]

(

)

(

[

)

(

f

b

t

a

t

A

t

−

−

−

=

ε

ε

Zasilanie impulsowe obwodu  

 

W badaniach sygnałów du

ż

e znaczenie maj

ą

 transformaty impulsów jednorazowych.  

 

a) Pojedynczy impuls prostok

ą

tny 

 

W  najprostszym  przypadku  mamy  do  czynienia  z  jednorazowym  impulsem  prostok

ą

tnym, 

który powstaje w chwili t=a, znika w chwili t=b, a przez czas trwania impulsu wynosz

ą

cy 

(b-a) ma stał

ą

 amplitud

ę

 A.  

Impuls  taki  mo

ż

emy  traktowa

ć

  jako  sum

ę

  algebraiczn

ą

  dwóch  funkcji  jednostkowych 

pomno

ż

onych  przez  amplitud

ę

  A  i  opó

ź

nionych  odpowiednio  o  a  oraz  b  jednostek  czasu. 

Powy

ż

sze  rozwa

ż

ania  nasuwaj

ą

  zapis  jednorazowego  impulsu  prostok

ą

tnego  nast

ę

puj

ą

c

ą

 

funkcj

ą

 czasu 

 
 
a) 

 

 

 

 

b) 

 

 

 

c) 

 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Wspomniano, 

ż

e jednorazowy impuls prostok

ą

tny zapisany jest funkcj

ą

 czasu 

 
 
 
W oparciu o przytoczone uprzednio wzory stwierdzamy, 

ż

e transformata tego impulsu wynosi  

 
 
 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

28

 

f(t) 

t 

A 

0 

a 

-A 

A·sin(ωt)·ε(t) 

f(t) 

t 

A 

0 

a 

3a 

2a 

 

f(t) 

t 

A 

0 

a 

-A 

A·sin(ωt)·ε(t) 

f(t) 

t 

A 

0 

a 

A·sin(ω(t-a))·ε(t-a) 

3a 

2a 

 

f(t) 

t 

A 

0 

a 

-A 

A·sin(ωt)·ε(t) 

f(t) 

t 

A 

0 

a 

A·sin(ω(t-a))·ε(t-a) 

3a 

2a 

)

(

))

(

sin(

)

(

)

sin(

)

(

f

a

t

a

t

t

t

t

−

−

+

=

ε

ω

ε

ω

)]

exp(

1

[

)

(

F

2

2

as

s

s

−

+

+

=

ω

ω

b) Pojedynczy impuls sinusoidalny 

 

Analogicznie,  w  stosunku  do  pojedynczego  impulsu  prostok

ą

tnego,  mo

ż

na  wyznaczy

ć

 

transformat

ę

  jednorazowego  impulsu  sinusoidalnego  półfalowego,  który  daje  si

ę

  wyrazi

ć

 

sum

ą

 dwóch funkcji sinusoidalnych: podstawowej i opó

ź

nionej o pół okresu.

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Jednorazowy impuls sinusoidalny mo

ż

na zapisa

ć

 w postaci  

 

)

(

))

(

sin(

)

(

)

sin(

)

(

f

a

t

a

t

t

t

t

−

−

+

=

ε

ω

ε

ω

 

 

W oparciu o przytoczone uprzednio wzory stwierdzamy, 

ż

e transformata tego impulsu wynosi  

 
 
 

 

 
 

Metoda operatorowa 

 

Patrz - zadania przedstawione na wykładzie 
 

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

29

 

Metoda zmiennych stanu 

 

Je

ż

eli badany jest układ liniowy z wymuszeniami uporz

ą

dkowanymi w wektor wymusze

ń

 





























=

)

(

:

)

(

)

(

)

(

2

1

t

u

t

u

t

u

t

p

u

 

oraz odpowiedziami uporz

ą

dkowanymi w wektor odpowiedzi 





























=

)

(

:

)

(

)

(

)

(

2

1

t

y

t

y

t

y

t

q

y

 

to wektor odpowiedzi mo

ż

na wyznaczy

ć

 z zale

ż

no

ś

ci 

 

  

 

)

(

)

(

)

(

t

t

t

Du

Cx

y

+

=

        

 

(MZS 1) 

w której wektor 

























=

)

(

:

)

(

)

(

)

(

2

1

t

x

t

x

t

x

t

n

x

 

jest nazywany wektorem stanu układu, a jego elementy - zmiennymi stanu.  

Zmiennymi stanu nazywamy wielko

ś

ci x1(t), x2(t), ..., xn(t), które nale

ż

y zada

ć

 w chwili 

pocz

ą

tkowej  t = t0,  aby  przy  zadanych  wymuszeniach  u1(t),  u2(t),  ...,  up(t)  okre

ś

li

ć

 

jednoznacznie  zachowanie  si

ę

  układu  dla  t > t0.  W obwodach  elektrycznych  zmiennymi 

stanu  s

ą

  pr

ą

dy  płyn

ą

ce  przez  cewki  i napi

ę

cia  na  kondensatorach  -  wielko

ś

ci  te  musz

ą

 

spełnia

ć

 warunki pocz

ą

tkowe wynikaj

ą

ce z praw komutacji. 

 

Wektor stanu jest rozwi

ą

zaniem równania stanu 

 

)

(

)

(

)

(

d

d

t

t

t

t

Bu

Ax

x

+

=

 

 

(MZS 2) 

które  jako  równanie  ró

ż

niczkowe  pierwszego  rz

ę

du  musi  mie

ć

  zadany  wektor  stanu 

pocz

ą

tkowego 

 

 

0

0

)

(

x

x

=

t

 

 

(MZS 3) 

Macierze w równaniach (MZS 1) i (MZS 2) okre

ś

la si

ę

 jako: 

A - macierz układu, wymiar n 

×

 n,  

B - macierz wymusze

ń

, wymiar n 

×

 p,  

C - macierz odpowiedzi, wymiar q 

×

 n,  

D - macierz transmisyjna, wymiar q 

×

 p.  

Ró

ż

niczkowe  równanie  macierzowe  (MZS  2)  z  warunkiem  pocz

ą

tkowym  (MZS  3)  dla 

chwili czasu  t = 0 ma rozwi

ą

zanie w postaci 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

30

 

 

∫

−

+

=

t

t

t

t

0

0

d

)

(

))

(

exp(

)

exp(

)

(

τ

τ

τ

Bu

A

x

A

x

 

  (MZS 4)    

przy czym funkcja wykładnicza macierzy układu zdefiniowana jest zale

ż

no

ś

ci

ą

 

 

∑

∞

=

=

0

!

)

(

)

exp(

k

k

k

t

t

A

A

 

 

(MZS 5)

  

Rozwi

ą

zanie równania stanu mo

ż

na wyznaczy

ć

 równie

ż

 w postaci sumy składowej ustalonej 

i przej

ś

ciowej 

)

(

)

(

)

(

p

u

t

t

t

x

x

x

+

=

 

W  prostych  obwodach  elektrycznych  wyznaczenie  rozwi

ą

zania  dla  składowej  ustalonej  nie 

nastr

ę

cza zwykle wi

ę

kszych trudno

ś

ci. Z rozwi

ą

zania dla składowej ustalonej wynika równie

ż

 

warunek pocz

ą

tkowy dla tej składowej oraz dla składowej przej

ś

ciowej 

)

0

(

)

0

(

)

0

(

u

p

x

x

x

−

=

 

Dla składowej przej

ś

ciowej równanie stanu w postaci macierzowej mo

ż

na zapisa

ć

 jako 

0

)

(

)

(

d

d

p

p

=

−

t

t

t

Ax

x

 

i jego rozwi

ą

zanie ma posta

ć

 

)

0

(

)

exp(

)

(

p

p

x

A

x

t

t

=

 

 

Wyznaczanie funkcji exp(At) z zastosowaniem twierdzenia Sylvestera 

 

Rozpatrujemy  macierz  układu  A  stopnia  n,  której  elementy  s

ą

  znane,  macierz 

jednostkow

ą

  oznaczon

ą

  przez  1  oraz  skalar

 

λ

 

b

ę

d

ą

cy  liczb

ą

  rzeczywist

ą

  lub  zespolon

ą

. 

Ró

ż

nic

ę

 macierzy 

λ

1 

−

 A

 n

azywamy macierz

ą

 charakterystyczn

ą

 macierzy kwadratowej A, 

a  jej  wyznacznik  det

(

λ

1 

−

 A),

 

który  jest  wielomianem  stopnia  n  wzgl

ę

dem

 

λ

,

 

wielomianem 

charakterystycznym  macierzy  A.  Przyrównuj

ą

c  do  zera  ten  wielomian,  otrzymujemy 

równanie stopnia n wzgl

ę

dem

 

λ

 

 

0

)

det(

=

−

A

1

λ

 

zwane  równaniem  charakterystycznym  macierzy  kwadratowej  A;  równanie  to  mo

ż

na 

zapisa

ć

 krótko  

0

)

(

=

λ

ϕ

 

Pierwiastki  równania 

0

)

(

=

λ

ϕ

  nazywamy  pierwiastkami  charakterystycznymi  macierzy 

kwadratowej A lub cz

ęś

ciej jej warto

ś

ciami własnymi

.  

 

Twierdzenie Sylvestera, w swojej podstawowej postaci, pozwala wyrazi

ć

 dowolny wielomian  

macierzy kwadratowej A stopnia n w postaci wielomianu stopnia n-1 wzgl

ę

dem macierzy A. 

Jest  ono  w  zakresie  algebry  macierzy  odpowiednikiem  znanego  z  algebry  wzoru 
interpolacyjnego  Lagrange'a,  który  pozwala  wyrazi

ć

  warto

ść

  funkcji  badanej  w  pewnym 

przedziale w zale

ż

no

ś

ci od n znanych warto

ś

ci tej funkcji w n punktach tego przedziału. 

 

Twierdzenie  Sylvestera  mo

ż

emy  stosowa

ć

  nie  tylko  do  wielomianu  wzgl

ę

dem  macierzy  A, 

ale równie

ż

 do funkcji przest

ę

pnych, rozwijalnych w szereg niesko

ń

czony. Do takich funkcji 

nale

ż

y  funkcja  wykładnicza  macierzy  A,  okre

ś

lona  zale

ż

no

ś

ci

ą

  (MZS  5).  Twierdzenie 

Sylvestera  pozwala  na  wyra

ż

enie  takich  funkcji  w  postaci  zamkni

ę

tej,  tzn.  prostszej  ni

ż

  za 

pomoc

ą

 szeregu niesko

ń

czonego. Dla funkcji wykładniczej macierzy kwadratowej A stopnia 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

31

n,  maj

ą

cej  n  pierwiastków  charakterystycznych  ró

ż

nych  od  siebie,  z  twierdzenia  Sylvestera 

wynika wzór  

∑

∏

∏

=

≠

≠

−

−

=

n

r

r

s

r

s

r

s

s

r

t

t

0

)

(

)

(

)

exp(

)

exp(

λ

λ

λ

λ

A

A

1

 

 

 

(MZS 6)   

W  przypadku  szczególnym,  w  którym  macierz  kwadratowa  A  jest  stopnia  n = 2,  wzór 
(MZS 6) przybiera prost

ą

 posta

ć

 

2

1

1

1

2

2

2

1

e

)

(

e

)

(

)

exp(

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

−

−

+

−

−

=

t

t

t

A

A

A

1

1

 

 

 

(MZS 7)   

 

Przykład rozgał

ę

zionego obwodu RLC z niezerowym wymuszeniem [8] 

 

Stosuj

ą

c  metod

ę

  zmiennych  stanu,  obliczy

ć

  przebiegi  pr

ą

du  w  cewce  i

L

(t)  oraz  napi

ę

cia  na 

kondensatorze u

C

(t) po zamkni

ę

ciu wył

ą

cznika w układzie jak na rysunku 1. Dane liczbowe: 

a) E = 14 V, R1 = 5 

Ω

, R2 = 9 

Ω

, C = 0.1 F,  L = 1 H 

b) E = 13 V, R1 = 5 

Ω

, R2 = 0.2 

Ω

, C = 0.1 F,  L = 0.1 H  

c) E = 200 V, R1 = 200 

Ω

, R2 = 0.05 

Ω

, C = 0.01 F,  L = 0.1 H  

 

 
 

 
 

 

 
 
 
 

Rys. 1.  Schemat obwodu RLC z niezerowym wymuszeniem 

 

Rozwi

ą

zanie 

 
Przypadek a) 

Oznaczamy zmienne stanu  







=

=

2

1

)

(

)

(

x

t

i

x

t

u

L

C

 

Jak łatwo zauwa

ż

y

ć

, warunki pocz

ą

tkowe (dla t = 0):  













=

0

0

0

X

 

Stan ustalony obliczony metod

ą

 klasyczn

ą

 













=

























+

+

=

1

9

2

1

2

2

1

u

R

R

E

R

R

R

E

X

   

Układ równa

ń

 otrzymany z praw Kirchhoffa      



















+

=

+

=

=

+

+

−

=

⇒

=

+

2

3

2

1

2

2

2

1

1

1

1

1

d

d

d

d

i

t

u

C

i

i

i

u

i

R

t

i

L

R

E

R

u

i

E

u

i

R

C

C

C

C

 

E 

i

1

 

R

1

 

R

2

 

L 

C 

t

=0 

i

C

 

i

2

 

 Dr inż. Mariusz Trojnar  

 Obwody i Sygnały 2 

Wykłady nr 1,2,3,4,5 

 

 

32

przekształcamy w równania stanu  













+

−

=

+

−

−

=

L

u

i

L

R

t

i

C

R

E

C

R

u

C

i

t

u

C

C

C

2

2

2

1

1

1

d

d

d

d

 

Uwzgl

ę

dniaj

ą

c przyj

ę

te oznaczenia zmiennych stanu, mo

ż

emy równania zapisa

ć

 ostatecznie 

jako  












−

=

+

−

−

=

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

d

d

1

1

d

d

x

L

R

x

L

t

x

C

R

E

x

C

x

C

R

t

x

 

lub w postaci macierzowej   





























+





































−

−

−

=













0

0

0

0

1

)

(

)

(

1

1

1

)

(

)

(

d

d

1

2

1

2

1

2

1

E

C

R

t

x

t

x

L

R

L

C

C

R

t

x

t

x

t

 

Odpowied

ź

 czasowa ma dwie składowe: ustalon

ą

 i przej

ś

ciow

ą

 

)

(

)

(

)

(

p

u

t

t

t

x

x

x

+

=

 

Dla składowej przej

ś

ciowej równanie stanu w postaci macierzowej mo

ż

na zapisa

ć

 jako 

 





































−

−

−

=













)

(

)

(

1

1

1

)

(

)

(

d

d

p

2

p

1

2

1

p

2

p

1

t

x

t

x

L

R

L

C

C

R

t

x

t

x

t

  

Dla danych zadania powy

ż

sze równanie przybiera posta

ć

  

























−

−

=













)

(

)

(

9

1

10

2

)

(

)

(

d

d

p

2

p

1

p

2

p

1

t

x

t

x

t

x

t

x

t

 

Składow

ą

 przej

ś

ciow

ą

 policzymy nast

ę

puj

ą

co:   

)

0

(

)

exp(

)

(

p

p

x

A

x

t

t

=

 

gdzie składowa przej

ś

ciowa w zerze ma posta

ć

 

 













−

−

=













−













=

−

=

1

9

1

9

0

0

)

0

(

)

0

(

)

0

(

u

p

x

x

x

 

Obliczenie macierzy exp(At) metod

ą

 Sylvestera 

Warto

ś

ci własne macierzy 

2

1

,

λ

λ

 obliczymy z równania charakterystycznego 

[

]

28

11

10

)

9

)(

2

(

9

1

10

2

       

          

9

1

10

2

+

det

9

1

10

2

0

0

det

det

2

+

+

=

+

+

+

=

+

−

+

=

=













+

−

=

























−

−

−

−













=

−

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

λ

A

1

 

Jako  rozwi

ą

zanie  równania  charakterystycznego  otrzymujemy  dwa  pierwiastki  rzeczywiste 

ujemne  

 

7

    

, 

4

3

    

,

9

0

28

11

2

1

2

−

=

−

=

=

∆

=

∆

=

+

+

λ

λ

λ

λ

 

Wskazuje  to  na  aperiodyczny  charakter  przebiegów.  Uwzgl

ę

dniaj

ą

c  wzór  Sylvestera 

(MZS 7), otrzymujemy