PROMIENIOWANIE CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO

Wszystkie rozgrzane ciała emitują promieniowanie elektromagnetyczne. Fale elektromagnetyczne emitowane przez te ciała maj
róŜne  długości  fali.  Widmem  promieniowania  ciała  nazywamy  funkcj
długości  fali.  W  danej  temperaturze  róŜne  ciała  maj
światła czerwonego, a mniej niebieskiego, a inne odwrotnie. Nie mo
widmo promieniowania rozgrzanych ciał.
MoŜna  wprowadzić  jednak  pewien  model,  który  pozwala  wyprowadzi
własności promieniowania niektórych ciał. Model ten nosi nazw
Ciało  doskonale  czarne  całkowicie  pochłania  padaj
zakresach długości fali. Mówiąc inaczej, ciało doskonale czarne nie odbija wcale promieniowania elektromagnetycznego.

Ciało doskonale czarne nie odbija światła, mo
otwór  prowadzący  do  zamkniętej  wnęki.  Ś
praktycznie  całkowicie  pochłonięte.  Innym  przykładem  ciał,  które  w  dobrym  przybli
czarnego są gwiazdy.

Dla ciał doskonale czarnych obowiązuje
wypromieniowana (moc wypromieniowana we wszystkich zakresach długo
proporcjonalna to czwartej potęgi temperatury ciała (wyra

gdzie

Wyprowadzenie zgodnej z doświadczeniem zale

doskonale czarnego wymaga załoŜenia, Ŝe światło mo
częstością fali, a

stałą Plancka. Próba wyprowadzenia widma promieniowania ciała doskonale czarnego była pierwszym z

bodźców prowadzących do uznania korpuskularnej natury

promieniowania ciała doskonale czarnego wyprowadzony przez Plancka ma posta

Wielkość

oznacza moc promieniowania przypadaj

temperaturze

, przypadającej na zakres długo

odpowiada mocy na jednostkę powierzchni jak

Na rysunku przedstawione zostało widmo promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze

Wzór Plancka

ma tę własność, Ŝe wraz ze spadkiem temperatury ciała nie tylko

ciało, ale rozkład przesuwa się w stronę fal o wi
temperaturach

ma maksimum odpowiadające długości fali
maksimum dla długości fali

(barwa zielona).

Ze wzoru Plancka moŜna wyprowadzić prawo Stefana
ciała doskonale czarnego w całym zakresie widma wynosi:

PROMIENIOWANIE CIAŁA DOSKONALE CZARNEGO

promieniowanie elektromagnetyczne. Fale elektromagnetyczne emitowane przez te ciała maj

ci fali. Widmem promieniowania ciała nazywamy funkcję opisującą zaleŜność mocy pr

Ŝne ciała mają w ogólności inne widmo promieniowania. Jedne ciała emituj

wiatła czerwonego, a mniej niebieskiego, a inne odwrotnie. Nie moŜna więc podać jednego wzoru, który by opisywał

jednak pewien model, który pozwala wyprowadzić wzór na widmo promieniowania i który dobrze opisuje

ci promieniowania niektórych ciał. Model ten nosi nazwę modelu ciała doskonale czarnego

Ciało doskonale czarne całkowicie pochłania padające na nie promieniowanie elektromagnetyczne we wszystkich

c inaczej, ciało doskonale czarne nie odbija wcale promieniowania elektromagnetycznego.

wiatła, moŜe natomiast je emitować. Dobrym przykładem ciała doskonale czarnego jest mały

ki. Światło, które wpada przez otwór, doznaje tylu odbi

nym przykładem ciał, które w dobrym przybliŜeniu mają

ązuje prawo promieniowania Stefana-Boltzmanna mówi

wypromieniowana (moc wypromieniowana we wszystkich zakresach długości fali) przez ciało na jednostk

gi temperatury ciała (wyraŜonej w skali Kelvina):

nosi nazwę stałej Stefana-Boltzmanna.

wiadczeniem zaleŜności mocy promieniowania od długości fali dla promieniowania ciała

Ŝe światło moŜe być emitowane tylko w porcjach o energii

Plancka. Próba wyprowadzenia widma promieniowania ciała doskonale czarnego była pierwszym z

cych do uznania korpuskularnej natury światła i wprowadzenia pojęcia fotonu. Wzór opisuj

ale czarnego wyprowadzony przez Plancka ma postać:

oznacza moc promieniowania przypadającą na jednostkę powierzchni ciała doskonale czarnego w

cej na zakres długości fali od

. WyraŜenie:

powierzchni jaką wypromieniowuje ciało w zakresie długości fali od

Na rysunku przedstawione zostało widmo promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze

e wraz ze spadkiem temperatury ciała nie tylko spada całkowita moc wypromieniowywana przez

w stronę fal o większej długości. Na rysunku pokazano widma promieniowania ciał o

. Widać, Ŝe podczas gdy widmo promieniowania ciała o temperaturze

ci fali

(barwa fioletowa), widmo ciała o temperaturze

(barwa zielona).

prawo Stefana-Boltzmanna. Całkowita moc promieniowania na jednostk

o w całym zakresie widma wynosi:

promieniowanie elektromagnetyczne. Fale elektromagnetyczne emitowane przez te ciała mają

ść mocy promieniowania ciała od

ci inne widmo promieniowania. Jedne ciała emitują np. duŜo

jednego wzoru, który by opisywał poprawnie

wzór na widmo promieniowania i który dobrze opisuje

rnego.

ce na nie promieniowanie elektromagnetyczne we wszystkich

c inaczej, ciało doskonale czarne nie odbija wcale promieniowania elektromagnetycznego.

. Dobrym przykładem ciała doskonale czarnego jest mały

wiatło, które wpada przez otwór, doznaje tylu odbić wewnątrz wnęki, Ŝe jest

eniu mają właściwości ciała doskonale

mówiące, Ŝe całkowita moc

ci fali) przez ciało na jednostkę powierzchni jest

ści fali dla promieniowania ciała

emitowane tylko w porcjach o energii

, gdzie

jest

Plancka. Próba wyprowadzenia widma promieniowania ciała doskonale czarnego była pierwszym z

cia fotonu. Wzór opisujący widmo

powierzchni ciała doskonale czarnego w

ci fali od

Na rysunku przedstawione zostało widmo promieniowania ciała doskonale czarnego o temperaturze

spada całkowita moc wypromieniowywana przez

ci. Na rysunku pokazano widma promieniowania ciał o

e podczas gdy widmo promieniowania ciała o temperaturze

(barwa fioletowa), widmo ciała o temperaturze

Boltzmanna. Całkowita moc promieniowania na jednostkę powierzchni

Stefana-Boltzmanna

14 grudnia 1900 Max Planck przedstawił uzasadnienie wzoru przedstawionego 19 pa
wersją wzoru Wiena. Poprawka Plancka polegała na odj
oscylatory wytwarzające promieniowanie cieplne mog
nie promieniowanie moŜe być wysyłane tylko
cześć rozkładem Plancka:

gdzie:

radiancja spektralna

kierunku prostopadłym do emitującej powierzchni (jednostka w SI:
Plancka,

temperatura ciała doskonale czarnego,

Wiedząc Ŝe promieniowanie emitowane jest w postaci fotonów, mo

fotonów dN o energii z zakresu dE w postaci

Maksimum funkcji intensywności promieniowania opisuje

Gęstość energii promieniowania (gaz bozonowy

podobną zaleŜność ma strumień promieniowania emitowanego w jednej sekundzie przez ciało doskonale czarne

gdzie

σ = ca / 4. PowyŜszy wzór wyraŜa prawo Stefana

temperaturę  powierzchniową  gwiazdy  i  zwi
pozostałe  po  Wielkim  Wybuchu  ma  widmo
Zgodnie  z  hipotezą  Stephena  Hawkinga  czarna  dziura
prowadzi do jej powolnego parowania.

przedstawił uzasadnienie wzoru przedstawionego 19 października 1900 roku i b

Plancka polegała na odjęciu od mianownika ułamka liczby 1. W uzasadnieniu Planck przyj

ce promieniowanie cieplne mogą przyjmować tylko pewne wybrane stany energetyczne, a emitowane przez

wysyłane tylko określonymi porcjami. Zaproponowany rozkład został nazwany potem na jego

radiancja spektralna częstotliwościowa (tzn. radiancja na jednostk

cej powierzchni (jednostka w SI: W·m

-2

·sr

-1

·Hz

-1

częstotliwo

ciała doskonale czarnego, prędkość światła w próŜni, stała Boltzmana.

e promieniowanie emitowane jest w postaci fotonów, moŜna zapisać wzór wyraŜający

w postaci

Wzór ten jest nazywany prawem Plancka.

ci promieniowania opisuje prawo przesunięć Wiena

gaz bozonowy dla bezmasowych fotonów) zaleŜy tylko od temperatury

promieniowania emitowanego w jednej sekundzie przez ciało doskonale czarne

prawo Stefana-Boltzmanna. W astronomii prawo Wiena

i związać ją z barwą gwiazdy. Wypełniające cały Wsze

ma widmo takie samo jak promieniowanie ciała doskonale czarnego o temperaturze 2,7

czarna dziura emituje promieniowanie podobnie do ciała doskonale czarnego, co

co daje ostatecznie prawo

dziernika 1900 roku i będącego poprawioną

ciu od mianownika ułamka liczby 1. W uzasadnieniu Planck przyjął, Ŝe

tylko pewne wybrane stany energetyczne, a emitowane przez

Zaproponowany rozkład został nazwany potem na jego

ciowa (tzn. radiancja na jednostkę częstotliwości) w

ęstotliwość promieniowania,

stała

Ŝający średnią liczbę emitowanych

Wzór ten jest nazywany prawem Plancka.

y tylko od temperatury

promieniowania emitowanego w jednej sekundzie przez ciało doskonale czarne

Wiena pozwala wyznaczyć efektywną

Wszechświat promieniowanie tła

takie samo jak promieniowanie ciała doskonale czarnego o temperaturze 2,7 K.

emituje promieniowanie podobnie do ciała doskonale czarnego, co

EFEKT FOTOELEKTRYCZNY

Efekt fotoelektryczny (zjawisko fotoelektryczne

emisji elektronów z powierzchni przedmiotu (

zewnętrznym dla odróŜnienia od wewn

przeniesieniu nośników ładunku elektrycznego

wewnętrzne), w wyniku naświetlania
odpowiedniej częstotliwości, zaleŜnej od r

Emitowane w zjawisku fotoelektrycznym elektrony nazywa si
zaleŜy od natęŜenia światła a jedynie od jego cz
fotojonizacji, gdy zachodzi zjawisko fotoelektryczne wewn

Odkrycie i wyjaśnienie efektu fotoelektrycznego przyczyniło si
obiektom mikroświata przypisywane są jednocze
opis efektu fotoelektrycznego zawdzięczamy
przez Maxa Plancka w 1900 roku.

Doświadczenie Hertza z cewką - W roku 1887
cewki  odbierającej  fale  elektromagnetyczne.  Zbudowany  przez  niego  odbiornik  fal  składał  si
ilekroć odbiornik rejestrował fale elektromagnetyczne, na cewce przeskakiwała iskra. Hert
pudle, by iskra była lepiej widoczna i zaobserwował,
fal  i  odbiornik  pochłaniała  promieniowanie  ultrafioletowe
Zastąpienie  szkła  kwarcem  nie  powodowało  zmniejszenia  iskry,  gdy
Hertz nie analizował dalej zaobserwowanego przez siebie zjawiska i ograniczył si

Zaproponowane przez Alberta Einsteina wyja

załoŜeniu, Ŝe energia wiązki światła pochłaniana jest w postaci porcji (
oznacza częstotliwość fali. Kwant promieniowania pochłaniany jest przy tym w cało
elektronu z powierzchni metalu (substancji) wymaga pewnej pracy zwanej
daną substancję (stałą materiałową). Pozostała energia unoszona jest przez emitowany elektron. Z tych rozwa

gdzie: h

maksymalna energia kinetyczna emitowanych elektronów.

Hipoteza kwantów wyjaśnia, dlaczego energia fotoelektronów jest zale
częstotliwości światła, zjawisko fotoelektryczne nie zachodzi. Einstein op
fotoelektryczne, w Annalen der Physik w 1905

Otrzymane  równanie  zostało  potwierdzone  do
Einsteina  i  przez  10  lat  eksperymentował  próbuj
słuszności kwantowej natury  światła. Co  wię
Plancka. Równanie opisujące zaleŜności energetyczne w fotoefekcie nazywane bywa równaniem Millikana

Odstępstwa od powyŜszego opisu

Światło zazwyczaj oddziałuje z elektronami znajduj

głębiej. Wówczas uwolniony elektron, zanim opu

W przypadku bardzo duŜych natęŜeń

elektron moŜe zaabsorbować energię

zjawisko fotoelektryczne, fotoefekt) – zjawisko fizyczne polegające na

z powierzchni przedmiotu (zjawisko fotoelektryczne zwane równieŜ

nienia od wewnętrznego);

ników ładunku elektrycznego pomiędzy pasmami energetycznymi (tzw.

wietlania promieniowaniem elektromagnetycznym (na przykład

Ŝnej od rodzaju przedmiotu.

Emitowane w zjawisku fotoelektrycznym elektrony nazywa się czasem fotoelektronami. Energia kinetyczna

a jedynie od jego częstotliwości. Gdy oświetlanym ośrodkiem jest

zi zjawisko fotoelektryczne wewnętrzne mówi się o fotoprzewodnictwie.

nienie efektu fotoelektrycznego przyczyniło się do rozwoju korpuskularno-falowej

jednocześnie własności falowe i materialne (korpuskularne). Wyja

czamy Albertowi Einsteinowi, który w 1905 roku wykorzystał hipotez

1887 Hertz opublikował wyniki swych badań nad przeskokiem iskier w iskrowniku

e. Zbudowany przez niego odbiornik fal składał się z obr

odbiornik rejestrował fale elektromagnetyczne, na cewce przeskakiwała iskra. Hertz umieś

pudle, by iskra była lepiej widoczna i zaobserwował, Ŝe spowodowało to osłabienie iskry. Okazało si

promieniowanie ultrafioletowe, które towarzyszyło przeskokowi elektronów w szczelinie cewki.

nie powodowało zmniejszenia iskry, gdyŜ kwarc nie pochłania promienio

Hertz nie analizował dalej zaobserwowanego przez siebie zjawiska i ograniczył się do publikacji swych wyników.

Zaproponowane przez Alberta Einsteina wyjaśnienie zjawiska i jego opis matematyczny oparte jest na

wiatła pochłaniana jest w postaci porcji (kwantów) równych hν, gdzie

fali. Kwant promieniowania pochłaniany jest przy tym w całości. Einstein zało

elektronu z powierzchni metalu (substancji) wymaga pewnej pracy zwanej prac

ą wyjścia, która jest wielko

). Pozostała energia unoszona jest przez emitowany elektron. Z tych rozwa

– stała Plancka; ν – częstotliwość padającego fotonu;

emitowanych elektronów.

nia, dlaczego energia fotoelektronów jest zaleŜna od częstości światła oraz,

wiatła, zjawisko fotoelektryczne nie zachodzi. Einstein opublikował swoją pracę

w 1905 r.

Otrzymane równanie zostało potwierdzone doświadczalnie przez Millikana. Millikan był zagorzałym przeciwnikiem koncepcji
Einsteina i przez 10 lat eksperymentował próbując ją obalić. Paradoksalnie, jego doświadczenia stały si

wiatła. Co więcej, precyzyjne pomiary Millikana umoŜliwiły bardzo dokładne wyznaczenie stałej

ci energetyczne w fotoefekcie nazywane bywa równaniem Millikana

wiatło zazwyczaj oddziałuje z elektronami znajdującymi się na powierzchni katody, ale niektóre fotony mog

biej. Wówczas uwolniony elektron, zanim opuści katodę, moŜe wytracić część energii na zderzenia wewn

ęŜeń światła (np. z lasera) mogą zachodzić procesy wielofotono

energię kilku fotonów.

zwane równieŜ zjawiskiem fotoelektrycznym

(tzw. zjawisko fotoelektryczne

(na przykład światłem widzialnym) o

Energia kinetyczna fotoelektronów nie

rodkiem jest gaz, zachodzi zjawisko

falowej teorii materii, w której

ci falowe i materialne (korpuskularne). Wyjaśnienie i matematyczny

roku wykorzystał hipotezę kwantów wysuniętą

nad przeskokiem iskier w iskrowniku

ę z obręczy i cewki zapłonowej –

z umieścił swe urządzenie w ciemnym

e spowodowało to osłabienie iskry. Okazało się, Ŝe szyba izolująca źródło

, które towarzyszyło przeskokowi elektronów w szczelinie cewki.

kwarc nie pochłania promieniowania ultrafioletowego.

do publikacji swych wyników.

nienie zjawiska i jego opis matematyczny oparte jest na

, gdzie h jest stałą Plancka a ν

ci. Einstein załoŜył dalej, Ŝe usunięcie

, która jest wielkością charakteryzującą

). Pozostała energia unoszona jest przez emitowany elektron. Z tych rozwaŜań wynika wzór:

cego fotonu; W – praca wyjścia; E

–

światła oraz, Ŝe poniŜej pewnej

pracę, w której wyjaśnił zjawisko

. Millikan był zagorzałym przeciwnikiem koncepcji

wiadczenia stały się koronnym dowodem

liwiły bardzo dokładne wyznaczenie stałej

ci energetyczne w fotoefekcie nazywane bywa równaniem Millikana-Einsteina.

erzchni katody, ale niektóre fotony mogą wnikać

energii na zderzenia wewnątrz katody.

procesy wielofotonowe, co oznacza, Ŝe jeden

Zjawisko  fotoelektryczne  wewnętrzne  -
pochłaniana  przez  elektron.  Ale  elektron  nie  jest  uwalniany,  jak  to
przenosi się do pasma przewodnictwa zmieniaj
zachodzi  tylko  wówczas,  gdy  energia  fotonu  jest  wi
między pasmem walencyjnym a pasmem przewodnictwa).

Zjawisko  Comptona,  rozpraszanie  komptonowskie
promieniowania  gamma,  czyli  promieniowania  elektromagnetycznego
związanych  elektronach,  w  wyniku  którego  nast
przy  tym  elektron,  którego  energia  wiązania
padającego fotonu. Zjawisko przebiega w tym przypadku praktycznie tak samo, jak dla elektronu swobodnego.

Zwiększenie długości fali rozproszonego fotonu, zwane

ze wzorem:

gdzie:

–

zmiana

długości

fali

fotonu,

(przesuni

Plancka,

– masa spoczynkowa elektronu

Zatem zmiana długości fali nie zaleŜy od jej pocz

padającego promieniowania. Maksymalna zmiana długo

(rozproszenie wsteczne). I tak na przykład dla
długości fali w tym wypadku wynosi około 0,001%, efekt jest wi

, co odpowiada energii fo

Wzór na przesunięcie długości fali moŜna przekształci

W efekcie fotoelektrycznym wewnętrznym energia fotonu te

pochłaniana przez elektron. Ale elektron nie jest uwalniany, jak to ma miejsce w zjawisku fotoelektrycznym zewn

do pasma przewodnictwa zmieniając tym samym własności elektryczne materiału (Fotoprzewodnictwo

zachodzi tylko wówczas, gdy energia fotonu jest większa, niŜ wynosi szerokość pasma wzbronionego (odległo

dzy pasmem walencyjnym a pasmem przewodnictwa).

rozpraszanie komptonowskie - zjawisko rozpraszania promieniowania X

promieniowania elektromagnetycznego o duŜej częstotliwości

, w wyniku którego następuje zwiększenie długości fali promieniowania. Za słabo zwi

ązania w atomie, cząsteczce lub sieci krystalicznej jest znacznie ni

ebiega w tym przypadku praktycznie tak samo, jak dla elektronu swobodnego.

rozproszonego fotonu, zwane przesuni

ęciem Comptona, zaleŜy od ką

fali

fotonu,

(przesunięcie

Comptona);

–

– stała, tzw. komptonowska długo

elektronu, – prędkość światła,

– długość fali rozproszonej,

y od jej początkowej długości. Oznacza to, Ŝe względna zmiana zale

cego promieniowania. Maksymalna zmiana długości fali

wyst

(rozproszenie wsteczne). I tak na przykład dla światła widzialnego, od długości rzędu

ci fali w tym wypadku wynosi około 0,001%, efekt jest więc bardzo słaby. Jednak dla promieniowania o długo

fotonów około 1 MeV, oznacza to niemal dziesięciokrotny wzrost długo

na przekształcić w wyraŜenie na energię fotonu po rozproszeniu:

, gdzie

jest energią fotonu padającego (przed rozproszeniem).

trznym energia fotonu teŜ jest całkowicie

ma miejsce w zjawisku fotoelektrycznym zewnętrznym,

Fotoprzewodnictwo). Zjawisko to

pasma wzbronionego (odległość energetyczna

promieniowania X (rentgenowskiego) i

stotliwości, na swobodnych lub słabo

ci fali promieniowania. Za słabo związany uwaŜamy

steczce lub sieci krystalicznej jest znacznie niŜsza, niŜ energia

ebiega w tym przypadku praktycznie tak samo, jak dla elektronu swobodnego.

y od kąta rozproszenia fotonu zgodnie

kąt

rozproszenia

fotonu;

komptonowska długość fali elektronu;

– stała

fali rozproszonej, – długość fali padającej.

dna zmiana zaleŜy od długości fali

występuje dla kąta

względna zmiana

c bardzo słaby. Jednak dla promieniowania o długości fali

ciokrotny wzrost długości fali.

fotonu po rozproszeniu:

cego (przed rozproszeniem).

KWANTOWANIE, POSTULAT PLANCKA

Kwantowanie, kwantyzacja — konstrukcja pozwalająca na przejście z klasycznej teorii pola do kwantowej teorii pola.
Kwantowanie jest uogólnieniem konstrukcji stosowanej przy przejściu z mechaniki klasycznej do mechaniki kwantowej.

W bardziej popularnym znaczeniu przez kwantowanie rozumie się fakt istnienia skończonego lub przeliczalnego zbioru
dopuszczalnych wartości danej wielkości. Na przykład mówiąc, Ŝe energia elektronu w atomie jest skwantowana rozumie się
przez to, Ŝe moŜliwe do zaobserwowania są tylko określone jej wartości, zwane w tym przypadku poziomami energetycznymi.

Stała Plancka (oznaczana przez h) jest jedną z podstawowych stałych fizycznych. Ma wymiar działania, pojawia się w
większości równań mechaniki kwantowej. Historycznie stała Plancka pojawiła się w pracy Maxa Plancka na temat wyjaśnienia
przyczyn tzw. katastrofy w nadfiolecie w prawie promieniowania ciała doskonale czarnego. Planck stwierdził, Ŝe energia nie
moŜe być wypromieniowywana w dowolnych ciągłych ilościach, a jedynie w postaci "paczek" (kwantów) o wartości hν, gdzie ν
jest częstotliwością.

Stała Plancka w układzie SI jest równa: h = 6,626 0693 (11)·10

–34

J·s = 4,135 667 443 (35)·10

–15

eV·s

O wiele częściej niŜ stałej Plancka uŜywa się wielkości nazywanej h kre

ślone (albo stała Diraca):

gdzie π jest liczbą pi. Wielkość ta jest równa:

1,054 571 68 (18)·10

–34

J·s = 6,582 119 15 (56)·10

–16

eV·s = 197, 326 968 (17) MeV·fm/c

jest kwantem momentu pędu, a więc tym samym i spinu. Z tego teŜ powodu przez wielu uwaŜana za stałą bardziej podstawową

niŜ sama stała Plancka. Oznaczenie to wprowadził brytyjski fizyk Paul A. M. Dirac.

FUNKCJA FALOWA I JEJ INTERPRETACJA KOPENHASKA

Funkcja  falowa  to  w  mechanice  kwantowej
będąca  rozwiązaniem  równania  Schrödingera
parametrów  nazywa  się  amplitudą  prawdopodobie
prawdopodobieństwa  znalezienia  cząstki  w  danym  punkcie  przestrzeni  (jest  to  tzw.  postulat  Borna).
matematyczna  wymaga  odniesienia  się  do  własno
stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru
istnienie funkcji falowej.

Same funkcje falowe i ich wartości nie s
przedstawiona w postaci iloczynu modułu i fazy i w odpowiednich warunkach dla niektórych układów mo
wartości faz funkcji falowych (porównaj efekt Aharonowa

Ściślejsza  definicja  określa  funkcję  falową  jako  reprezentacj
wektora  z  abstrakcyjnej,  na  ogół  nieskończeniewymiarowej,
skalarnego takŜe w relację równowaŜności, w której równowa
rzutować  na  określony  punkt  sfery  jednostkowej  (funkcje  falowe  okre
przyporządkowuje  się  tylko  tym  wektorom,  dla  których  mo
obliczany przy uŜyciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego, jest proporcjonalny do prawdopodobie
zarejestrowania układu w stanie opisywanym tym wektorem falowym.

własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opis

przypadku zespolona funkcja współrz

prawdopodobieństwo znalezienia czą

- wielkość nazywamy g

ęsto

przestrzeni, w otoczeniu którego wybrano element obj

- wielkość gdzie ∆V jest mał
w chwili t w objętości ∆V

- prawdopodobieństwo tego, Ŝe cząstka znajduje si
nosi nazwę warunku normalizacji a funkcję

Interpretacja  kopenhaska  funkcji  falowej
znalezienia  cząstki  w  danym  punkcie  jest  równa
punkcie. Interpretacja kopenhaska nie jest jedyn
argumentów  na  jej  rzecz.  Jest  jednak  w  powszechnym  u
zbiorze  liczb  zespolonych.  Rzeczywista  warto
znalezienia  obiektu  (np.  cząstki  elementarnej)  w  tym  punkcie.  Podobny  opis  dotyczy  innych  własno
Podstawowe kierunki interpretacji są następują

opis kwantowy jest kompletny, przypadko

opis kwantowy jest niekompletny, przypadkowo

ukryte pozwoliłoby na powrót do determinizmu.

Wariant (a) odpowiada interpretacji kopenhaskiej (Nielsa Bohra), wariant (b)
rozwiniętej przez Johna Bella.

p ∆

∆

∫

FUNKCJA FALOWA I JEJ INTERPRETACJA KOPENHASKA

mechanice kwantowej funkcja zmiennych konfiguracyjnych np. połoŜenia, o warto

równania Schrödingera, opisująca czysty stan kwantowy cząstki. Wartość

prawdopodobieństwa, a kwadrat jej modułu jest proporcjonalny do g

stki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna).

do własności przestrzeni Hilberta. Wg interpretacji kopenhaskiej

stan naszej wiedzy o układzie kwantowym i jako taka nie ma charakteru ontologicznego. Inne interpretacje cz

ci nie są bezpośrednio mierzalne. Jako funkcja zespolona mo

postaci iloczynu modułu i fazy i w odpowiednich warunkach dla niektórych układów mo

efekt Aharonowa-Bohma).

ą jako reprezentację w określonych współrzędnych (poło

ńczeniewymiarowej, przestrzeni Hilberta stanów układu, wyposa

, w której równowaŜne są elementy tzw. promienia, czyli wektory daj

lony punkt sfery jednostkowej (funkcje falowe określone są z dokładnością do czynnika skali, fizyczny sens

tylko tym wektorom, dla których moŜliwe jest unormowanie do jednoś

yciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego, jest proporcjonalny do prawdopodobie

zarejestrowania układu w stanie opisywanym tym wektorem falowym.

stki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje funkcja falowa

przypadku zespolona funkcja współrzędnych przestrzennych oraz czasu: Ψ(x,y,z,t)

stwo znalezienia cząstki określa kwadrat modułu funkcji falowej

tością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w chwili t w pewnym punkcie

przestrzeni, w otoczeniu którego wybrano element objętości ∆V

V jest małą objętością w przestrzeni, jest równa prawdopodobie

stka znajduje się „gdziekolwiek” w przestrzeni wynosi 1.

a funkcję Ψ spełniającą ten warunek nazywamy funkcj

ą unormowan

funkcji falowej jest interpretacją probabilistyczną. Mianowicie

stki w danym punkcie jest równa kwadratowi modułu funkcji falowej (funkcja razy

nterpretacja kopenhaska nie jest jedyną moŜliwą interpretacją, i na gruncie ani teorii ani eksperymentu nie znajdujemy

mentów na jej rzecz. Jest jednak w powszechnym uŜytku. KaŜdy obiekt opisany jest tzw. funkcj

zbiorze liczb zespolonych. Rzeczywista wartość absolutna tej funkcji w określonym punkcie wyznacza prawdopodobie

stki elementarnej) w tym punkcie. Podobny opis dotyczy innych własno

ępujące:

opis kwantowy jest kompletny, przypadkowość jest realną cechą natury,

przypadkowość jest wynikiem naszej niewiedzy, uzupełnienie go o tzw. zmienne

ukryte pozwoliłoby na powrót do determinizmu.

Wariant (a) odpowiada interpretacji kopenhaskiej (Nielsa Bohra), wariant (b) – interpretacji Davida Bohma

∗

∫

∞

Ŝenia, o wartościach zespolonych,

stki. Wartość funkcji falowej dla danych

jest proporcjonalny do gęstości

stki w danym punkcie przestrzeni (jest to tzw. postulat Borna). Ścisła definicja

interpretacji kopenhaskiej funkcja falowa opisuje

. Inne interpretacje często zakładają realne

rednio mierzalne. Jako funkcja zespolona moŜe być funkcja falowa

postaci iloczynu modułu i fazy i w odpowiednich warunkach dla niektórych układów moŜliwy jest pomiar róŜnic

dnych (połoŜenia, pędy, inne) pewnego

stanów układu, wyposaŜonej obok iloczynu

elementy tzw. promienia, czyli wektory dające się wzajemnie

ą do czynnika skali, fizyczny sens

liwe jest unormowanie do jedności). Kwadrat modułu wektora,

yciu zdefiniowanego dla przestrzeni Hilberta iloczynu skalarnego, jest proporcjonalny do prawdopodobieństwa

uje funkcja falowa Ψ. Jest to w ogólnym

stki w chwili t w pewnym punkcie

prawdopodobieństwu znalezienia cząstki

Warunek powyŜszy

unormowaną.

. Mianowicie gęstość prawdopodobieństwa

funkcji falowej (funkcja razy funkcja sprzęŜona) w tym
, i na gruncie ani teorii ani eksperymentu nie znajdujemy

dy obiekt opisany jest tzw. funkcją falową o wartościach w

lonym punkcie wyznacza prawdopodobieństwo

stki elementarnej) w tym punkcie. Podobny opis dotyczy innych własności cząstek, np. ich spinu.

jest wynikiem naszej niewiedzy, uzupełnienie go o tzw. zmienne

interpretacji Davida Bohma – Louisa de Broglie,

POSTULAT de BROGLIE. ZASADA SUPERPOZYCJI FUNKCJI FALOWYCH. DUALIZM FALOWAO-

KORPUSKULARNY I ZASADA KOMPLEMENTARNOŚCI

Pomysł opisu cząstek za pomocą fal pochodzi od Louisa de Broglie'a, który w 1924 roku uogólnił teorię fotonową efektu
fotoelektrycznego. W tym czasie wiedziano juŜ, Ŝe na potrzeby opisu niektórych zjawisk fizycznych, kaŜdą falę
elektromagnetyczną moŜna traktować jako strumień cząstek - fotonów. Fotonom, mimo Ŝe nie mają masy, moŜna przypisać pęd

gdzie λ - długość fali fotonu.

Propozycja De Broglie'a polegała na odwróceniu rozumowania - aby kaŜdej cząstce o róŜnym od zera pędzie przypisać falę, o
określonej długości i częstotliwości. Zgodnie z tym, de Broglie zaproponował odwrócenie zaleŜności między pędem a długością
fali, znanej dla fotonu, tak aby długość fali była wyraŜona przez pęd cząstki. Hipoteza ta nie miała Ŝadnych podstaw
doświadczalnych i była czysto logiczną spekulacją.

Fale materii, zwane teŜ falami de Broglie'a jest to, alternatywny w stosunku do klasycznego (czyli korpuskularnego), sposób
opisu obiektów materialnych. Według hipotezy de Broglie'a dualizmu korpuskularno-falowego kaŜdy obiekt materialny moŜe być
opisywany na dwa sposoby: jako zbiór cząstek, albo jako fala (materii). Obserwuje się efekty potwierdzające falową naturę
materii w postaci dyfrakcji cząstek elementarnych a nawet całych jąder atomowych.

Wzór pozwalający wyznaczyć długość fali materii dla cząstki o określonym pędzie ma postać

, gdzie: λ - długość fali

cząstki, h - stała Plancka, p - pęd cząstki.

Korpuskularno-falowa natura materii jest jednym z głównych aspektów mechaniki kwantowej: kaŜdy obiekt materialny moŜe
przejawiać naturę falową, co oznacza, Ŝe moŜe podlegać zjawiskom dyfrakcji i interferencji.

Zgodnie z mechaniką kwantową cała

materia charakteryzuje się takim dualizmem, chociaŜ uwidacznia się on bezpośrednio tylko w bardzo subtelnych eksperymentach
wykonywanych na atomach, fotonach, czy innych obiektach kwantowych. Dualizm korpuskularno-falowy jest ściśle związany z
falami de Broglie'a, koncepcją która przyczyniła się do powstania mechaniki kwantowej, a w szczególności do wyprowadzenia
równania Schrödingera.

Stosunkowo łatwo jest zaobserwować efekty falowe w przypadku cząstek lekkich, np. elektronów (małe obiekty przejawiają
właściwości falowe). Dyfrakcję i interferencję fal elektronów moŜna uzyskać wykorzystując technikę zbliŜoną do metod znanych
z krystalografii rentgenowskiej.

Dzięki temu, Ŝe długość fali materii dla elektronu jest bardzo mała w porównaniu z długością fali światła, elektrony doskonale
nadają się do obserwacji małych obiektów. Zostało to wykorzystane m.in. do budowy mikroskopu elektronowego, który ma
wielokrotnie wyŜszą rozdzielczość od mikroskopu optycznego.

PowyŜsze rozwaŜania dotyczą ruchu swobodnego cząstek (którym odpowiadałyby fale płaskie). W realnych przypadkach cząstce
naleŜy przypisać pewną grupę fal materii, tzw. paczkę falową. Pełny i ścisły obraz falowego aspektu materii daje mechanika
kwantowa nazywana czasem mechaniką falową, gdzie mówi się o falach prawdopodobieństwa zamiast o falach materii.

Superpozycja fal to sumowanie się kilku niezaleŜnych ruchów falowych. Dla małych amplitud fal (małych natęŜeń fali)
prawdziwa jest zasada superpozycji mówiąca, Ŝe fala wypadkowa, będąca wynikiem jednoczesnego nałoŜenia się kilku ruchów
falowych, jest sum

ą fal składowych. Prawo to nie zachodzi w ośrodkach nieliniowych znacznych natęŜeń fal. Wówczas fala

wypadkowa nie jest zwykle sumą fal składowych i nie moŜna mówić o superpozycji fal, choć nadal następuje ich nakładanie się.

ZASADA KOMPLEMENTARNOŚCI:

    cechy falowe i korpuskularne uzupełniają się wzajemnie, dając pełny opis danego obiektu
    w danym pomiarze stosuje się tylko jeden model, zatem w tych samych warunkach nie moŜna stosować obu modeli
    dany obiekt fizyczny, rejestrowany w wyniku pewnego rodzaju oddziaływania, zachowuje się jak cząstka w tym sensie,

Ŝe jest zlokalizowany (posiada określoną wielkość, kształt i masę), natomiast kiedy porusza się – zachowuje się jak fala,
która nie jest zlokalizowana, lecz rozciąga się w przestrzeni

RÓWNANIE SCHRODINGERA DLA JEDNEJ CZĄSTECZKI. POSTAĆ ZALEśNA I NIEZALEśNA OD

CZASU

Równanie Schrödingera to podstawowe i najwaŜniejsze równanie nierelatywistycznej mechaniki kwantowej - teorii kwantowej
obowiązującej dla prędkości małych w porównaniu z prędkością światła. Zostało ono sformułowane w 1926 roku przez
austriackiego fizyka - Erwina Schrödingera.

MoŜemy wyprowadzić równanie Schrödingera rozpoczynając od klasycznego wzoru na energię całkowitą E cząstki w potencjale
V(x,y,z). Energię tą obliczamy ze wzoru:

E = E

kin

+ E

pot

= (p

/2m) + V(x,y,z) gdzie: E

kin

- energia kinetyczna, E

pot

=V(x,y,z) - energia potencjalna, p - pęd cząstki, m - masa

cząstki

W mechanice kwantowej, mierzalne wielkości (takie jak np. pęd, energia, moment pędu) zastępujemy odpowiadającymi im
operatorami. Operatory te działają na funkcję falową Ψ, reprezentującą stan cząstki.

Odpowiednie operatory to:

E → iħ ∂/∂t

p → -iħ (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
V(x,y,z) → V(x,y,z)

Podstawiając teraz te operatory do wzoru na energię całkowitą cząstki i wiedząc, Ŝe operatory muszą działać na funkcję (falową),
otrzymujemy równanie Schrödingera zale

Ŝne od czasu:

-(ħ

/2m)(∂

Ψ/∂x

+ ∂

Ψ/∂y

+ ∂

Ψ/∂z

) + VΨ = iħ ∂Ψ/∂t gdzie: i - jednostka urojona, ħ - stała Plancka (h) podzielona przez 2π, m

- masa cząstki, Ψ - funkcja falowa, V - potencjał.

Obowiązuje ono dla kaŜdej nierelatywistycznej cząstki w polu potencjalnym.
Równanie Schrödingera odczytujemy jak następuje: suma drugich pochodnych funkcji falowej po współrzędnych przestrzennych
pomnoŜonych przez -ħ

/2m dodać iloczyn potencjału i tej funkcji jest równa pochodnej tej funkcji po czasie pomnoŜonej przez iħ.

Rozwiązaniem tego równania jest zaleŜna od czasu i współrzędnych przestrzennych funkcja falowa Ψ. Mając to rozwiązanie
wiemy w jakim stanie kwantowym cząstka znajduje się w dowolnym czasie i jak ów stan będzie się z czasem zmieniał.
Równanie Schrödingera jest tak waŜne jak II zasada dynamiki Newtona, której równanie pozwala nam wyznaczyć w jakim
połoŜeniu znajduje się w dowolnym czasie cząstka, jeśli znamy działające na nią siły.

Jeśli układ ma stałą w czasie energię E (stan stacjonarny), to funkcję falową takiego stanu moŜemy przedstawić następująco:

Ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z) exp(-iEt/ħ)

Wtedy to, po podstawieniu do powyŜszego równania zaleŜnego od czasu, otrzymujemy równanie Schrödingera niezale

Ŝne od

czasu. Dzięki niemu moŜemy wyznaczyć te stany kwantowe, które mają ściśle określone energie, a takŜe moŜliwe wartości tych
energii.

-(ħ

/2m)(∂

ψ/∂x

+ ∂

ψ/∂y

+ ∂

ψ/∂z

) + Vψ = Eψ

Według interpretacji będących poza paradygmatem mechaniki kwantowej, funkcja Ψ nie reprezentuje fali materii, ale pokazuje
zmiany czasowe i przestrzenne kąta precesji spinu cząstki. Natomiast równanie Schrödingera, to równanie podające warunek
stabilności stanu cząstki w obecności zaburzeń. Dla atomu mówi ono na jakich trajektoriach elektron nie straci energii w
oscylacyjnym polu cząstek jądra. Okazuje się, Ŝe są to tory, na których kąt precesji spinu wykona całkowitą wielokrotność
pełnych obrotów. I to właśnie dlatego u zarania mechaniki kwantowej postulowano orbity stabilne, jako mieszczące całkowitą
wielokrotność długości fal materii. Ale da się to wytłumaczyć jaśniej, czyli bardziej obrazowo, a mniej - matematycznie. I nie
trzeba mieszać cząstek z falami. Cząstki są tu zawsze sobą.

Ogólnie Schrödingera równanie ma postać:

gdzie: i - jednostka urojona, h = h/2π (h - stała Plancka), t - czas, H - hamiltonian układu, ψ - funkcja falowa opisująca ten układ.

KOMUTATORY, JEDNOCZESNA MIE

NIEOZNACZONOŚCI HEISENBERGA

Obserwabla - w mechanice kwantowej mierzalne
obserwablami. Aby dany operator był obserwabl
operatora hermitowskiego są rzeczywiste. Podczas pomiaru danej
własnych obserwabli przyporządkowanej danej wielko

Wartość średnią operatora

w unormowanym

jako:

zagadnienia własnego:

gdzie a jest wartością własną operatora

. W szczegó

Wartości własne mogą być zdegenerowane, tzn. jednej warto
własnych.

Heisenberga zasada nieoznaczoności (nieokre
wartości par pewnych wielkości fizycznych, opisuj
podstawowych twierdzeń mechaniki kwantowej.

Zasada nieoznaczoności mówi, Ŝe nie moŜna z dowoln
sformułowana przez Wernera Heisenberga w
postać zasady nieoznaczoności:

KOMUTATORY, JEDNOCZESNA MIEśALNOŚĆ WIELKOŚCI FIZYCZNYCH. ZASADA

CI HEISENBERGA

mierzalne wielkości fizyczne są reprezentowane przez operatory hermitowskie

obserwablami. Aby dany operator był obserwablą jego wektory własne muszą tworzyć bazę przestrzeni Hilberta.

rzeczywiste. Podczas pomiaru danej wielkości fizycznej otrzymujemy jako wynik

dkowanej danej wielkości fizycznej.

w unormowanym stanie kwantowym

opisywanym przez funkcję

Natomiast wartość obserwabli w danym stanie własnym

. W szczególności dla obserwabli jest to liczba rzeczywista.

, tzn. jednej wartości własnej odpowiada kilka liniowo niezale

ci (nieokreśloności), postulat głoszący niemoŜność równoczesnego, dokładnego okre

ci fizycznych, opisujących układ kwantowy, np. połoŜenia i pędu czą

mechaniki kwantowej.

Ŝna z dowolną dokładnością wyznaczyć jednocześnie poło

w 1927 roku, jest konsekwencją dualizmu korpuskularno

CI FIZYCZNYCH. ZASADA

operatory hermitowskie zwane

przestrzeni Hilberta. Wartości własne

otrzymujemy jako wynik jedną z wartości

funkcję falową

definiujemy

obserwabli w danym stanie własnym

wyznaczamy z

ci dla obserwabli jest to liczba rzeczywista.

lka liniowo niezaleŜnych wektorów

równoczesnego, dokładnego określenia

du cząstki, energii i czasu; jedno z

nie połoŜenia i pędu cząstki. Odkryta i

dualizmu korpuskularno-falowego. Matematyczna

gdzie:

•

∆x – nieokreśloność pomiaru połoŜenia (odchylenie standardowe połoŜenia),

•

∆p

– nieokreśloność pomiaru pędu (wariancja pędu),

•

h – stała Plancka.

Jest uogólniana na inne pary (kanonicznie sprzęŜonych) wielkości fizycznych, np. czas i energię – nie moŜna z dowolną
dokładnością wyznaczyć jednocześnie czasu Ŝycia nietrwałej cząstki i energii stowarzyszonej z nią fali de Broglie'a:

gdzie:

•

∆E – nieokreśloność pomiaru energii (odchylenie standardowe energii),

•

∆t – nieokreśloność pomiaru czasu (odchylenie standardowe czasu).

ZaleŜność ta pierwszy raz została zaproponowana przez Leonida Mandelshtama oraz Igora Tamma w roku 1945.

WaŜne jest by podkreślić, Ŝe ∆x itd. nie są błędami pomiarowymi wynikającymi z niedoskonałości urządzeń lub metody
pomiarowych, ale rozrzutami wyników (wariancją) wynikających z istoty samego pomiaru lub istoty samej mechaniki kwantowej
(interpretacja kopenhaska). Z matematycznego punktu widzenia zasada nieoznaczoności jest konsekwencją braku komutacji
operatorów połoŜenia i pędu

gdzie komutator [A,B]=AB – BA. W mechanice kwantowej operatory opisujące wielkości fizyczne (obserwable) nie muszą
komutować (być przemienne). Konsekwencją tego jest zasada nieoznaczoności. Zachodzi ona dla dowolnych dwóch obserwabli
(A i B) gdy tylko [A,B] jest róŜne od zera.

10.

CZĄSTKA SWOBODNA W JEDNYM WYMIARZE. RÓWNANIE SHRODINGERA, FUNKCJA FALOWA,

ENERGIA. ZJAWISKO DEGENERACJI

Równanie Schrödingera na funkcję falową

zadanym funkcją

ma postać:

gdzie

(

jest stałą Plancka), a jest jednostk

,,Wyprowadzenie''

PoniŜsze rozumowanie nie jest w Ŝadnym razie
pewnych intuicji prowadzących do niego.

Obserwacje światła prowadzą do wniosku, Ŝe jego natura jest nie tylko falowa, ale i cz
fotoelektrycznego i efekt Comptona). Cząstki

częstości

związane są fotony o pędzie i energii danych wzorami

gdzie

jest liczbą falową, a

cząstkowe, jak i falowe. PowyŜszy związek p
wszystkich cząstek, nie tylko dla fotonów.

PowyŜsze związki prowadzą do wniosku, Ŝe cz
falą płaską - ma określoną częstość i długość

proporcjonalna do pewnej kombinacji liniowej funkcji sinus

Taka funkcja falowa odpowiada cząstce biegn

liczbami zespolonymi, to biorąc

gdzie skorzystaliśmy ze wzoru Eulera
opisującą cząstkę o określonej energii i pędzie. Powy

gdyŜ z uwagi na fakt, Ŝe

, ma ona t

falowej  będzie  z  kolei  słuŜył  do  wyznaczania  prawdopodobie
falowej  danej  powyŜszym  wzorem  będzie  mogła  by
punkt nie będzie wyróŜniony.

Poszukujemy  równania  ewolucji  funkcji  falowej  zwi
nierelatywistyczną  (tzn.  porusza  się  z  prędko
kinetyczna  jest  znacznie  mniejsza  od  jej  energii  spoczynkowej
słuŜyć  tylko  do  opisu  takich  cząstek.  W  szczególno

nierelatywistyczny związek energii

i pędu cz

gdzie

jest energią potencjalną cząstki, gdy znajduje si

cząstki  za  pomocą  pewnego  równania  na  funkcj
energią  i  pędem.  ZauwaŜmy,  Ŝe  uŜywając  funkcji  falowej  odpowiadaj
moŜemy napisać

STKA SWOBODNA W JEDNYM WYMIARZE. RÓWNANIE SHRODINGERA, FUNKCJA FALOWA,

O DEGENERACJI

falową

cząstki o masie

poruszającej się w jednym wymiarze, w potencjale

jest jednostką urojoną.

adnym razie ścisłym wyprowadzeniem równania Schrödingera, lecz jedynie przedstawieniem

do wniosku, Ŝe jego natura jest nie tylko falowa, ale i cząstkowa (sugeruj

fotoelektrycznego i efekt Comptona). Cząstki światła nazywamy fotonami. Z falą elektromagnetyczn

dzie i energii danych wzorami

. Inne cząstki (elektrony, neutrony...) równie

ązek pędu i energii z długością i częstością związanej z dan

do wniosku, Ŝe cząstka ma określoną energię i pęd jedynie wtedy, gdy odpowiadaj

i długość fali. Oznacza to, Ŝe fala związana z cząstką o okre

proporcjonalna do pewnej kombinacji liniowej funkcji sinus i cosinus

stce biegnącej w prawo. Jeśli dopuścimy, aby współczynniki w powy

dostajemy

. Funkcję falową o takiej postaci przy

ędzie. PowyŜsza funkcja falowa jest dość wyjątkową kombinacj

, ma ona tę własność, Ŝe jej moduł

jest stały - nie zale

ył do wyznaczania prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym punkcie. Cz

dzie mogła być znaleziona z równym prawdopodobieństwem w całej przestrzeni

Poszukujemy równania ewolucji funkcji falowej związanej z cząstką o masie

. Zakładamy,

z prędkością znacznie mniejszą od prędkości światła lub, mówi

tyczna jest znacznie mniejsza od jej energii spoczynkowej

). Równanie Schrödingera, do którego zmierzamy, b

stek. W szczególności nie będzie się ono nadawać do opisu fotonów. Klasyczny,

ędu cząstki

ma postać

ąstki, gdy znajduje się ona w punkcie

. Naszym celem jest sformułowanie dynamiki

pewnego równania na funkcję falową związaną z cząstką, takiego aby zachowa

ąc funkcji falowej odpowiadającej cząstce o określonym p

STKA SWOBODNA W JEDNYM WYMIARZE. RÓWNANIE SHRODINGERA, FUNKCJA FALOWA,

w jednym wymiarze, w potencjale

cisłym wyprowadzeniem równania Schrödingera, lecz jedynie przedstawieniem

stkowa (sugerują to obserwacje zjawiska

elektromagnetyczną o długości fali

) równieŜ wykazują cechy zarówno

zanej z daną cząstką fali obowiązuje dla

d jedynie wtedy, gdy odpowiadająca jej fala jest

ą o określonej energii i pędzie jest

cimy, aby współczynniki w powyŜszej kombinacji były

o takiej postaci przyjmiemy jako funkcję falową

kombinacją funkcji sinus i cosinus,

nie zaleŜy od

i . Moduł funkcji

stki w danym punkcie. Cząstka o funkcji

ństwem w całej przestrzeni - Ŝaden

. Zakładamy, Ŝe cząstka jest cząstką

wiatła lub, mówiąc inaczej, jej energia

). Równanie Schrödingera, do którego zmierzamy, będzie

ć do opisu fotonów. Klasyczny,

. Naszym celem jest sformułowanie dynamiki

, takiego aby zachować powyŜszy związek między

lonym pędzie i połoŜeniu (równanie,

działanie na funkcję falową operacją

napisać

Operacja

w działaniu na funkcję falow

następującego utoŜsamienia energii i pędu z odpowiednimi oper
róŜniczkowania po czasie pomnoŜona przez

przez

Pędowi

kwadracie

będzie

odpowiada

Jeśli zatem związek energii i pędu pomnoŜymy przez funkcj

następnie

energię

pęd

wstawimy

uto

Degeneracja (zwyrodnienie) - w fizyce kwantowej
układu odpowiada wiele stanów kwantowych
energie róŜnych stanów kwantowych mogą zmieni

Typowym  przykładem  degeneracji  są  orbitale
liczba  elektronów  o  tej  samej  energii,  róŜnią
spinem  związany  jest  moment  magnetyczny
gdyŜ elektron ze spinem ustawionym zgodnie z zewn
spinem ustawionym w kierunku przeciwnym. Efektem tego jest mi
magnetycznego - Efekt Zeemana, pola elektrycznego

Ogólnie  w  mechanice  kwantowej,  opisuje  się
własnych)  operatorów  kwantowych  skojarzonych  z  pewn
wartości  własnej  operatora  A  odpowiada  kilka  stanów  własnych.  Mówimy  wówczas,
bowiem mierząc wartość wielkości A, nie jeste
istnieje wielkość B, która pozwala rozróŜnić poszczególne stany odpowiadaj

gdzie w ostatnim przejściu skorzystaliśmy ze zwi

powoduje pomnoŜenie funkcji falowej przez energi

ę falową powoduje więc pomnoŜenie jej przez pęd czą

ędu z odpowiednimi operacjami na funkcji falowej. Energii odpowiada operacja

ona przez

, natomiast pędowi będzie odpowiadać operacja róŜ

odpowiadać

dwukrotne

działanie

operacją

Ŝymy przez funkcję falową

wstawimy

utoŜsamione

nimi

operacje,

otrzymamy

równanie

które jest właśnie równaniem Schrödingera.

fizyce kwantowej zwykle mianem degeneracji określa się sytuację

stanów kwantowych układu. Zmieniając warunki fizyczne, np. umieszczaj

ą zmienić się w róŜnym stopniu, rozdzielając jeden poziom energetycz

orbitale elektronowe w atomach. Na kaŜdej powłoce energetycznej

Ŝniących się jednak wartościami liczb kwantowych, są

moment magnetyczny, przyłoŜenie zewnętrznego pola magnetycznego powoduje usuni

ustawionym zgodnie z zewnętrznym polem znajdzie się w innym stanie energetycznym ni

spinem ustawionym w kierunku przeciwnym. Efektem tego jest między innymi rozdzielenie linii spektralnych

, pola elektrycznego - efekt Starka.

, opisuje się zjawisko kwantowe, polegające na pojawianiu się

kwantowych skojarzonych z pewną wielkością fizyczną, powiedzmy A, o takiej własno

operatora A odpowiada kilka stanów własnych. Mówimy wówczas, Ŝe stany wielko

ci A, nie jesteśmy w stanie rozpoznać, w jakim stanie kwantowym znajduje si

Ŝnić poszczególne stany odpowiadające zdegenerowanej warto

śmy ze związków. Oznacza to, Ŝe

enie funkcji falowej przez energię cząstki. Podobnie moŜemy

d cząstki. MoŜemy zatem dokonać

acjami na funkcji falowej. Energii odpowiada operacja

operacja róŜniczkowania po

pomnoŜona

funkcję

falową

samione

nimi

operacje,

otrzymamy

równanie

rödingera.

sytuację, kiedy jednej wartości energii

c warunki fizyczne, np. umieszczając go w polu magnetycznym,

poziom energetyczny na kilka.

powłoce energetycznej znajduje się pewna

, są to stany zdegenerowane. Ze

powoduje usunięcie degeneracji,

w innym stanie energetycznym niŜ elektron ze

linii spektralnych pod wpływem pola

ce na pojawianiu się stanów kwantowych (stanów

my A, o takiej własności, Ŝe tej samej

e stany wielkości A są zdegenerowane,

, w jakim stanie kwantowym znajduje się układ. Zwykle

ce zdegenerowanej wartości wielkości A.

11.

EFEKT TUNELOWY. WNIKANIE CZĄSTKI W OBSZAR KLASYCZNIE NIEDOZWOLONY. ODBICIE

CZĄSTKI OD PROGU POTENCJAŁU

Przedyskutujemy teraz rozwiązania niezaleŜnego od czasu równania Schrödingera dla cząstki, której energię potencjalną moŜna
przedstawić w postaci funkcji V(x) mającej róŜne stałe wartości na kilku kolejnych odcinkach osi x.

By rozwiązanie było fizycznie poprawne, funkcję własną

i ich pochodne

muszą mieć następujące

własności:

- musi być skończona;

- musi być jednoznaczna;

- musi być

ciągła.

Warunki te zapewniają, Ŝe funkcje własne są matematycznie "gładkimi" funkcjami, a więc i mierzalne wielkości fizyczne
obliczone na podstawie znajomości tych funkcji własnych będą takŜe zmieniać się w sposób gładki.

Skok potencjału

Warunki początkowe: cząsteczka nadlatuje z lewej strony na barierę potencjału od

której moŜe się odbić lub wniknąć do obszaru II

< V

ZałóŜmy, Ŝe cząstka o masie m i całkowitej energii E znajduje się w obszarze x < 0 i porusza się w kierunku punktu, w

którym V(x) zmienia się skokowo. Według mechaniki klasycznej cząstka będzie się poruszała swobodnie tym obszarze do chwili,

gdy osiągnie punkt x = 0, w którym zadziała na nią siła

działająca w kierunku malejących x. Dalszy ruch

cząsteczki zaleŜy, klasycznie biorąc, od związku między E i V

, co jest równieŜ słuszne w mechanice kwantowej.

W celu

kwantowego określenia ruchu naszej cząstki musimy znaleźć funkcję falową, która będzie rozwiązaniem równania Schrödingera
dla potencjału schodkowego przy energii całkowitej E<V

. PoniewaŜ mamy do czynienia z równaniem Schrödingera niezaleŜnym

od czasu, problem nasz sprowadza się do rozwiązania go i znalezienia funkcji własnych. Dla takiego potencjału oś x rozpada się

na dwa obszary. Równanie Schrödingera w kaŜdym z tych obszarów moŜemy zapisać:

, x<0

, x>0

Te dwa równania rozwiązuje się oddzielnie. Wówczas funkcję własną waŜną dla całego obszaru x konstruuje się przez połączenie

razem w punkcie x = 0 tych dwóch rozwiązań w sposób spełniający warunki, które wymagają, aby

były

wszędzie skończone i ciągłe.

Rozwiązanie pierwszego to:

;

Rozwiązanie drugiego:

;

ale funkcja musi być ograniczona w

, więc C = 0.

Wiemy, Ŝe

gdzie A - określa amplitudę fali padającej; B - amplituda fali odbitej

od bariery; D - wiązka przepuszczona przez barierę

Rozwiązując ten układ równań otrzymujemy :

MoŜna obliczyć tzw. współczynnik odbicia

Oznacza to, Ŝe fala zostanie odbita całkowicie, ale nie od krawędzi progu, tylko wniknie nieco w głąb.

Oblicza się takŜe tzw. współczynnik wnikania
gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząsteczki w obszarze zabronionym maleje wykładniczo z

> V

Całe rozumowanie przeprowadzamy podobnie jak poprzednio.

Rozwiązanie:

Z warunków brzegowych przyjmujemy D=0 , gdy

iŜ klasycznie cząsteczka w całości przechodzi do obszaru II.

JeŜeli E >>V

oraz

klasycznymi.

JeŜeli jednak V

<0 i E

<<|V

| (skok potencjału silnie ujemny) to

wiązki padającej (w przeciwieństwie do mechaniki klasycznej, która przewiduje całkowite przej
efekt kwantowy obserwuje się w fizyce jądrowej, np. wtedy, gdy padaj
silny potencjał przyciągający przy zbliŜaniu si

Bariera potencjału

Rozwiązaniem równania Schrödingera (E<V

NaleŜy zapisać warunki ciągłości na funkcje falow
współczynniki B, C, D, F wyraŜone od amplitudy fali padaj

W przypadku bariery mamy do czynienia z ciekawym zjawiskiem
niezerowe prawdopodobieństwo znalezienia cz
zjawisko tunelowania obserwowane jest w dobrze wszystkim znanym zjawisku: dwa skr
na ich powierzchni często znajdują się tlenki i zabrudzenia, k
prąd moŜe płynąć. Zjawisko tunelowania wykorzystano w tzw. diodach tunelowych. Zjawisko tunelowania obserwujemy równie

w czasie rozpadów promieniotwórczych.

współczynnik wnikania

którego niezerowa wartość oznacza, Ŝe czą

stwa znalezienia cząsteczki w obszarze zabronionym maleje wykładniczo z

Całe rozumowanie przeprowadzamy podobnie jak poprzednio.

=0 , gdyŜ w obszarze II fala nie ma od czego się odbić i porusza si

PoniewaŜ

kwantowo istnieje nieznikaj

ci przechodzi do obszaru II.

, co oznacza, Ŝe cząsteczka zachowuje się zgodnie z przewidywaniami

(skok potencjału silnie ujemny) to k

<< k

oraz

; nast

mechaniki klasycznej, która przewiduje całkowite przejście wi

ądrowej, np. wtedy, gdy padający neutron o niewielkiej energii ulega odbiciu napotykaj

iu się do powierzchni jądra.

(cząsteczki nadlatują

) są w kaŜdym z obszarów odpowiednie funkcje:

;

ci na funkcje falową i jej pochodną w punktach x = 0 i x = a. Otrzymujemy cztery równania na

one od amplitudy fali padającej A.

W przypadku bariery mamy do czynienia z ciekawym zjawiskiem - tunelowaniem. Polega ono na tym,

stwo znalezienia cząstki po drugiej stronie bariery potencjału, mimo Ŝe

zjawisko tunelowania obserwowane jest w dobrze wszystkim znanym zjawisku: dwa skręcone druty przewodz

tlenki i zabrudzenia, które są dobrymi izolatorami. Elektrony tuneluj

. Zjawisko tunelowania wykorzystano w tzw. diodach tunelowych. Zjawisko tunelowania obserwujemy równie

Schematyczne zobrazowanie efektu tunelowego.

Ŝe cząsteczka wnika do bariery, a

steczki w obszarze zabronionym maleje wykładniczo z x.

Całe rozumowanie przeprowadzamy podobnie jak poprzednio.

ć i porusza się tylko w prawo

wo istnieje nieznikająca wiązka odbita, mimo,

zgodnie z przewidywaniami

; następuje całkowite odbicie
ście wiązki do obszaru II). Ten

cy neutron o niewielkiej energii ulega odbiciu napotykając

steczki nadlatują z lewej strony)

;

. Otrzymujemy cztery równania na

Polega ono na tym, Ŝe istnieje pewne

Ŝe E<V

. W rzeczywistości

cone druty przewodzą prąd pomimo, Ŝe

dobrymi izolatorami. Elektrony tunelują przez tę barierę i

. Zjawisko tunelowania wykorzystano w tzw. diodach tunelowych. Zjawisko tunelowania obserwujemy równieŜ

Schematyczne zobrazowanie efektu tunelowego.