PRZESTRZEŃ AFINICZNA
Definicja 1.
X
JJG
+
×
X zbiór
−
X
≠ ∅
: X X
X
→
JJG
- przestrzeń wektorowa nad ciałem K
nazywamy
przestrzenią wektorową jeżeli zachodzą:
(
)
1.
G
, ,
X X
+
JJG
G
0
x X
x
x
∈
∀ + =
,
!
x y X v X
x v
y
∈
∈
∀ ∃ + =
G JJG
2.
( )
( )
,
,
x X u v X
x v
u x
v u
∈
∈
∀ ∀
+ + = + +
G G JJG
G
G
G G
3.
Definicja 1.
-
przestrzeń afiniczna
(
)
, ,
X X
+
JJG
- zbiór punktów tej przestrzeni afinicznej
X
- przestrzeń tą nazywamy przestrzenią wektorów swobodnych w
X
JJG
przestrzeni afinicznej
dim
dim
X
X
=
JJG
to
nazywamy wektorem zaczepionym o początku w punkcie
v
a
końcu w y i oznaczamy:
x v
y
+ =
G
G
v
y x xy
= − =
G JJJJJG JJG
PRZYKŁAD 1.
2
X
= \
(zbiór punków na płaszczyźnie)
2
X
=
JJG
JJG
\
v
G
x
y
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 5
Część 14 - Przestrzenie afiniczne
Wniosek:
(
)
przestrzeń afiniczna to”
, ,
X X
+
JJG
1.
x y
2.
x
3.
x
4.
xy
x
y
+ − =
JJJJJG
1
2
1
v
x v
v
v
+ = + => =
JG
JJG
JG JG
2
J
2
1
2
1
v x
v
x
x
+ =
+ => =
G
G
yz xz
+
=
JJG JJG JJG
5.
xy
Definicja 2.
(
B
e
yx
= −
JJG
JJG
)
(
)
1
2
, ,...,
n
e
e
=
- baza
X
JJG
przestrzeń afiniczna
, ,
X X
+
JJG
dim
X
n
=
0
0
X
∈
To zespół:
- nazywamy układem współrzędnych z przestrzeni
afinicznej. Ustalony punkt to początek układu
(
)
0
1
2
0 , , ,...,
n
e e
e
współrzędnych.
UWAGA
(
)
- przestrzeń afiniczna
, ,
X X
+
JJG
(
)
0
1
2
0 , , ,...,
n
e e
e
v X
G J
x
0
0
0
! : 0
v x
∈
∃
+ =
JG
G
0
1 1
2 2
0
.
n n
v
x x e
x e
x
=
=
+
+ +
G JJJG JJJG JJJJG
JJ G
.
e
JJ
.
(1)
Definicja 3.
(
)
1
2
:
, ,...,
n
x x
x
=
- punkt
x
liczby (1) nazywamy współrzędnymi punktu X
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 5
Część 14 - Przestrzenie afiniczne
Umowa:
(
[
)
1
2
, ,...,
n
x x
x
= x
]
- punkt
1
2
, ,...,
n
x x
x
= v
- współrzędne wektora
Wniosek:
(
)
, ,
X X
+
JJG
(
)
0
1
2
0 , , ,...,
n
e e
e
(
)
1
2
, ,...,
n
x
x x
x
=
(
)
1
2
, ,...,
n
y
y y
y
=
JJJG JJJG
[
]
0
0
0
0
1
1
2
2
0
0
0
0
,
,...,
,
n
n
xy x
y
y
x
y
x y
x
y
x
=
+
=
−
=
−
−
−
JJG JJJG JJJG
1.
(
)
1
2
, ,...,
n
x
x x
x
=
[
]
1
2
, ,...,
n
v
v v
v
=
G
(
)
1
1
2
2
,
,...,
n
n
x v
x
v x
v
x
v
+ =
+
+
+
G
2.
Definicja 4
(
Jeżeli istnieje podprzestrzeń przestrzeni taka, że:
Y
X
)
∅
JJG
JG
,
Y
X Y
⊂
≠
przestrzeń afiniczna
, ,
X X
+
JJG
1.
,
x y Y
xy Y
∈
∀
∈
JJG JG
:
x Y u Y
x v Y
∈
∈
∀ ∀
+ ∈
G JG
G
2.
to
nazywamy podprzestrzenią afiniczną
(
)
, ,
Y Y
+
JG
Definicja 5
Równanie parametryczne (pod)przestrzeni afinicznej.
(
(2)
x X
∈
x x X
)
0
0
1 1
2 2
...
n n
x x
t e
t e
t e
∈ <=> =
+
+
+ +
JJJG JJG
(
)
0
1
2
, , ,...,
n
x e e
e
przestrzeń afiniczna
, ,
X X
+
JJG
załóżmy, że
t
1, 2,3,...,
i
n
=
i
∈ \
to:
- punkt początkowy
x
0
- wektory kierunkowe danej przestrzeni.
e e
1
2
, ,...,
n
e
(2) nazywamy równaniem parametrycznym
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 5
Część 14 - Przestrzenie afiniczne
Definicja 5
I) Dana jest przestrzeń wektorowa i
X
dim
JJG
X
n
=
JJG
1) Każdą jej podprzestrzeń n-1 wymiarową nazywamy
hiperpodprzestrzenią.
2) Każdą podprzestrzeń dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną
wektorową.
3) Każdą podprzestrzeń 1 wymiarową nazywamy prostą.
II) Dana jest przestrzeń:
i
(
)
dim X
n
=
JJG
, ,
X X
+
JJG
1) Każdą jej podprzestrzeń n-1 wymiarową nazywamy
hiperpodprzestrzenią afiniczną.
2) Każdą podprzestrzeń dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną afiniczną.
3) Każdą podprzestrzeń 1 wymiarową nazywamy prostą afiniczną.
Wniosek:
(
)
,
,
n
n
R R
+
JJG
Dane:
1
2
, ,...,
o
o
o
o
n
x
x x
x
=
1
2
, , ,...,
o
n
x e e
e
1)
równanie płaszczyzny afinicznej
x
= +
τ
∈ \
1
2
o
x te
e
τ
+
,
t
2)
równanie prostej afinicznej
= +
,
o
x v
o
x x tv
PRZYKŁAD 2
(
)
5
5
,
,
R R
+
JJG
1) Równanie płaszczyzny
o
(
)
1, 1,0, 2,1
x
=
−
[
]
[
]
2,3,1, 4,1
1, 1,1, 2,3
u
v
=
−
= − −
−
(
)
1
2
3
4
5
, , , ,
x
x x x x x
=
(
)
lub zapis:
[
] [
]
1
2
3
4
5
, , , ,
(1, 1,0, 2,1)
2,3,1, 4,1
1, 1,1, 2,3
x x x x x
t
τ
=
−
+
−
+ − −
−
JJJJJJJJJJG
2,3,1, 4,1
u
=
−
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 5
Część 14 - Przestrzenie afiniczne
2) równanie podprzestrzeni 1 wymiarowej (prosta afiniczna)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 5
Część 14 - Przestrzenie afiniczne
(
)
(równanie parametryczne prostej
)
t
∈
(
)
2,3,1, 1,5
o
x
=
−
(
)
1,1, 1,1, 2
v
= −
−
JJJJJJJJJJJJG
J
(
)
1
2
3
4
5
, , , ,
2,3,1, 1,5
( 1,1, 1,1, 2)
x x x x x
t
=
−
+ −
−
JJJJJJJJJJJG
\
1
2
3
4
5
2
3
1
1
5 2
x
t
x
t
x
t
x
t
x
t
= −
= +
= −
= − +
= +