0.1. ARKUSZ NR 2. MACIERZE
1
0.1
Arkusz nr 2. Macierze
Zadanie 0.1 Dane są macierze:
A =
"
1 2 12
3 2
9
#
, B =
"
2 4 6
2 5 7
#
, C =
"
1 3 6
7 2 1
#
, D =
3 2
1 6
9 1
.
Oblicz:
a) (2A − 3B + C) · D,
b)
A · B
T
T
− 2 · C · D,
c)
B
T
+ 3D
T
· 2C
T
.
Zadanie 0.2 Oblicz macierze A
2
oraz A
3
, gdy:
a)
"
1 1
2 1
#
b)
1 0 1
2 1 1
0 1 2
c)
0 1 2
1 0 1
1 2 1
Zadanie 0.3 Obliczyć wyznaczniki:
a)
−1
2
8 1
0
1
3 1
2
3 −5 5
1 −1
4 0
b)
1 2
0 5
0 1 −3 2
1 0
6 1
2 3
6 1
c)
1
2 −1 4
3
5
2 3
−1
2
1 4
5 −1
2 3
d)
1 −2 3
5
4 −9 6
12
−2
5 1
−7
3 −4 2 −17
e)
2 − i
i
3
−2i 1 − i 2 + 3i
3 − 2i
4 6 + 5i
f )
i
2 − i 4 − 3i
3 − 2i
0 2 + 2i
1 − i 4 − 2i
1
g)
1
2
3
4
−3
2 −5 13
1 −2
10
4
−2
9 −8 25
2
h)
1 −1
1
−2
1
3 −1
3
−1 −1
4
3
−3
0 −8 −13
i)
1 5
3 5 −4
3 1
2 9
8
−1 7 −3 8 −9
3 4
2 4
7
1 8
3 3
5
j)
7 3
1 3 −4
5 2
3 2
3
1 1
0 1 −1
2 2
0 0
1
0 2 −2 1
1
k)
1
0
1 1
2 −1
2 1
3
2 −1 0
0
1
0 3
l)
1 −2 3
5
4 −9 6
12
−2
5 1
−7
3 −4 2 −17
.
m)
1 1 1
2 0
3 0 1 −1 0
2 1 1 −2 3
3 0 2
0 1
1 2 3
1 1
n)
4 2 0 0 0
5 3 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 7 1 0
0 0 8 9 6
o)
1 4 2 0 0
3 5 1 0 0
3 3 2 0 0
0 0 0 2 3
0 0 0 1 4
Zadanie 0.4 Wyznacz macierz odwrotną do danej:
a) A =
"
1 0
0 1
#
b) B =
"
1 2
0 1
#
c) C =
"
−3
2
4 −5
#
d) D =
1 −3
0
1 −8
2
−1
6 −1
e) E =
1 3 5
2 4 6
8 9 7
f ) F =
2
5
7
6
3
4
5 −2 −3
Zadanie 0.5 Zbadaj dla jakich wartości parametru α dane macierze są nieosobliwe:
a) A =
"
3 2
α 6
#
b) B =
"
α
4
5 10
#
0.1. ARKUSZ NR 2. MACIERZE
3
c) C =
1 α − 1 3
2
1
5
1
2
6
d) D =
1 α 1
α
1 1
1
0 1
e) E =
α
0
1
0 α
0
1
0 α
Zadanie 0.6 Stosując wyłącznie rachunek macierzowy rozwiązać równania:
a) X ·
1 −1 1
2
1 3
1
1 2
=
"
3 −1 4
5
1
7
#
b)
2 −1 −1
2 −1 −2
−1
1
1
· X =
−2 1 1
−3 0 1
2 0 0
c)
−3 4 1
0 2 3
−6 4 3
+ X
−1
·
3
2 1
0 −1 0
1
1 2
=
7 7 1
2 2 2
1 7 7
d) X ·
1
0 1
0
1 2
1 −1 0
=
1 −1 2
1
2 1
3
1 0
e)
1 −1 1
2
1 3
1
1 1
· X + 2 ·
2
−1
−3
=
6
3
−3
f )
1 −1 1
2
1 3
1
1 2
· X +
1 −1
2
3
1
1
=
4 −1
4
6
5
3
g)
−1
3 −4
−1
1 −1
1 −2
3
· X + 2 ·
2
−1
4
=
7
−6
10
Zadanie 0.7 Stosując wyłącznie rachunek macierzowy rozwiązać równanie
A · X + B = C, gdy:
a) A =
"
2 1
0 3
#
,
B =
"
3
−8
5 −12
#
,
C =
"
3 5
−1 3
#
,
4
b) A =
2 −1
0
3
0
2
1
1 −1
,
B =
3 1 2
−3 0 5
2 2 1
,
C =
6 −1 −2
0 −7
4
2 −1
1
.
Zadanie 0.8 Rozwiązać równania
a)
2
0
3
1
x
0
−2
0
11 1 + x
1
x
1
0
2 + x 0
b)
z
3
1 + 5i z + 5 − 4i
Zadanie 0.9 Wyznacz rząd macierzy:
a) A =
2 −2 −1 3 4
4
2 −2 5 7
2
8 −1 1 2
b) B =
7
1
5
2
7
3
1 −1
9
5 −1 −3
1 −1
7
4
c) C =
5
3
7
1
−3 −1 −5 −3
2
3
1 −5
3
2
4
0
4
5
1 −7
d) D =
1 1 2 2
2 3 3 5
4 3 8 6
3 2 9 7
e) E =
1
2
3
4 5
1 −3 −2 −3 1
3 −4 −1 −2 8
2 −1
1
1 6
Zadanie 0.10 Wyznaczyć rozwiązanie układu równań
(
A · X − Y = 1
X + A
−1
· Y = 1
w zależności od macierzy A, a następnie obliczyć X i Y , gdy A =
1 1 0
1 3 1
1 2 1
Zadanie 0.11 Stosując wyłącznie rachunek macierzowy rozwiązać układy
równań
a)
"
5 2
3 1
#
· X +
"
4
2
#
· Y = 1
h
2 1
i
· X + 1 · Y = 0
0.1. ARKUSZ NR 2. MACIERZE
5
b)
"
2
3
1 −1
#
· X − 2 · Y =
"
5
4
#
X +
"
1 −2
3 −3
#
· Y =
"
2
9
#
c)
"
2 −1
3
1
#
· X −
"
1 −1
2
1
#
· Y =
"
3
5
−4 −3
#
"
3 −2
4
1
#
· X −
"
2 −2
4
2
#
· Y =
"
5
9
−10 −9
#