F – w 5
1
Projektowanie stopy fundamentowej
S9
–
sprawdzanie warunków stanów granicznych
w poziomie posadowienia fundamentu
1.
Metoda analityczno – graficzną określić wymiary
podstawy stopy fundamentowej S9
2.
Obliczyć wysokość fundamentu
3.
Określić położenie wypadkowych obciążenia
względem osi słupa
4.
Wyznaczyć położenie osi słupa względem osi
stopy
5.
Wykonać wykresy naprężeń w poziomie
posadowienia
6.
Sprawdzić warunki I stanu granicznego w
poziomie posadowienia
7.
Sprawdzić warunki II stanu granicznego
F – w 5
2
Grunt posadowienia: P
π
, I
D
= 0,40
Wymiary słupa: d
B
= 0,4 m, d
L
= 0,6m, zbrojenie
prętami
φ
16 [mm], stal A-II
Obciążenia
P
[kN]
H
x
[kN]
H
y
[Nm]
M
x
[kNm]
M
y
[kNm]
Układ I
- SGN
5000 1200 1500
3600
4200
Układ II
- SGU
4000 1400 1600
3200
3900
Osiadania [cm]
s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
s
6
s
7
s
8
s
9
3,13 3,81 1,46 4,18 4,06 2,15 2,35 4,82
?
S9
– obliczyć (
lub przyjąć wartość wyliczoną w MG
)
Przemieszczenia dopuszczalne:
s
ś
r
Θ
f:l
∆
s:l
3,44
0,00265
0,00155
0,00355
głębokość
posadowienia
D
min
[m]
poziom
terenu
[m]
grubość
posadzki
[m]
L
1,5
,
L
5,4
[m]
L
4,8
,
L
8,3
[m]
S1÷S4
B x L
[mxm]
S5÷S8
B x L
[mxm]
0,6
2,5
0,3
8,0 10,0 2,6x3,2 2,6x2,6
F – w 5
3
S1
S2
S3
S4
S5
S7
S6
S8
S9
L
5,4
L
1,5
L
4
,8
L
8
,3
F – w 5
4
Algorytm wyznaczenie wymiarów
podstawy stopy fundamentowej
1.
Sporządzamy wykres obciążeń
jednostkowych
q = (P + G) / B
⋅⋅⋅⋅
L
gdzie:
P – obciążenie pionowe,
G – ciężar żelbetowej stopy fundamentowej
obliczony z nadmiarem wg wymiarów:
G = D
min
⋅⋅⋅⋅
B
⋅⋅⋅⋅
L
⋅⋅⋅⋅
γγγγ
ż
γγγγ
ż
– ciężar właściwy żelbetu = 25 kN/m
3
2.
Zakładamy:
d
B
/ d
L
= B / L
L = B
⋅⋅⋅⋅
d
L
/ d
B
q = (P + G) / (B
2
⋅⋅⋅⋅
(d
L
/ d
B
))
F – w 5
5
3.
Sporządzamy wykres
q = f (B)
dla B
∈
(0,5
÷
6,0) m
P = P
I
i P
II
q
q
P
I
q
P
II
B
4.
Sporządzamy wykres odporu jednostkowego
gruntu
q
f
= f (B)
(
PN-81-B-03020
)
Parametry geotechniczne występujące w równaniu
określamy: znając rodzaj gruntu i znaną wartość I
D
lub I
L
oraz przyjmując, że B / L = d
B
/ d
L
F – w 5
6
5.
Na poprzedni wykres nanosimy krzywą
q
f
(B)
q
q
f
q
P
II
q
P
I
poszukiwana
B
wartość
B
6.
Poszukiwane wymiary podstawy stopy
fundamentu
B , L = B
⋅⋅⋅⋅
(d
L
/ d
B
)
F – w 5
7
PRZYKŁAD ROZWIĄZANIA
Dane do zadania :
Grunt posadowienia:
Pr, I
D
= 0,44
Wymiary słupa:
d
B
= 0,25 m, d
L
= 0,35 m
Wymiary stopy –
S2
:
B = 3,00 m, L = 3,80 m
Na ćwiczeniach –
wymiary stopy
S
9
trzeba będzie
wyznaczyć
Głębokość posadowienia:
D = 4,20 m
Rodzaj
obciążenia
Układ
obciążeń
I
Układ
obciążeń
II
P
800 kN
700 kN
H
x
250 kN
150 kN
H
y
200 kN
150 kN
M
x
400
kNm
200
kNm
M
y
550
kNm
400
kNm
Parametry materiałowe:
Zbrojenie słupa – stal: 6 prętów
φ
= 16 mm,
f
yd
= 350 MPa –
(obliczeniowa granica
plastyczności stali zbrojeniowej)
Beton: klasa B20 o f
ctd
= 0,87 MPa –
(wytrzymałość
obliczeniowa betonu na rozciąganie)
F – w 5
8
S1
S2
S3
S4
S5
S7
S6
S8
S9
L
5,4
= 9,0 m
L
1,5
= 9,0 m
L
4
,8
=
1
2
,0
m
L
8
,3
=
1
2
,0
m
Rys. 1. Układ geometryczny zadania.
F – w 5
9
1.
Wyznaczenie wysokości stopy fundamentu.
W celu wyznaczenia wysokości stopy fundamentowej
należy
sprawdzić trzy warunki obliczeniowe
:
-
warunek na przebicie stopy;
-
warunek koniecznej długości zakotwienia prętów
zbrojeniowych;
-
warunek nie przekroczenia naprężeń ścinających po
obwodzie słupa;
-
warunek ekonomiczny.
1.1 Sprawdzenie warunku na nieprzekroczenie
naprężeń ścinających po obwodzie słupa
Stopa trapezowa o podstawie prostokątnej – dlatego
korzystamy z zależności:
h ≥ 0,25·(L – d
L
)
h ≥ 0,25·(3,8 – 0,35) [m]
h ≥ 0,86 m
F – w 5
10
1.2 Sprawdzenie warunku na konieczną długość
zakotwienia prętów zbrojeniowych.
Podstawowa długość zakotwienia pręta o średnicy
φ
określa się ze wzoru
[PN–B–03264 :1999 wzór 166]
:
bd
yd
b
f
f
4
l
φ
=
gdzie:
f
bd
–
graniczne obliczeniowe naprężenie
przyczepności
[PN–B–03264:1999 tablica 26]
f
bd
= 1,0 MPa;
m
4
,
1
1
350
4
16
l
b
=
=
Długość zakotwienia obliczamy ze wzoru
[PN–B–
03264:1999 wzór 168]
:
prov
s,
req
s,
b
a
net
b,
A
A
l
α
l
=
gdzie:
α
a
–
współczynnik efektywności zakotwienia
(dla prętów prostych
α
a
= 1);
l
b
–
podstawowa długość zakotwienia;
A
s,req
; A
s,prov
– wymagane; zastosowane pole przekroju
zbrojenia.
l
b,net
= 1,4 m
Uwzględniając otulinę 3 cm uzyskujemy: h ≥ 1,43 m
Ostatecznie przyjęto wysokość stopy:
h = 145 cm
F – w 5
11
1.3 Sprawdzenie warunku na przebicie stopy przez
słup.
Warunek obliczeniowy
[PN – B – 03264:1999 wzór 67]:
h
u
f
4
,
1
N
p
ctd
sd
≤
gdzie: N
sd
– siła podłużna wywołana obciążeniem
obliczeniowym (w naszym przypadku jest to
składowa pionowa obciążenia P
i
);
u
p
– średnia arytmetyczna obwodu słupa i podstawy
fundamentu.
m
4
,
7
2
8
,
14
2
)
35
,
0
25
,
0
(
2
)
8
,
3
3
(
2
2
)
d
2(d
L)
2(B
u
L
B
p
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
stąd wysokość fundamentu wyznaczamy ze wzoru:
p
ctd
sd
u
1,4f
N
h
≥
-
pierwszy układ obciążeń:
m
m
kPa
kN
h
089
,
0
]
[
4
,
7
]
[
870
4
,
1
]
[
800
=
⋅
⋅
≥
-
drugi układ obciążeń:
m
m
kPa
kN
h
078
,
0
]
[
4
,
7
]
[
870
4
,
1
]
[
700
=
⋅
⋅
≥
F – w 5
12
1.4 Obliczenie ciężaru stopy.
Ciężar zaprojektowanej stopy równy jest iloczynowi
jej objętości (v) i ciężaru objętościowego żelbetu (
γ
B
):
G = v ·
γ
B
1/3 h
2/3 h
B
v
1
v
2
db
Rys. 2. Schemat do obliczania ciężaru stopy.
3
1
51
,
5
8
,
3
3
145
3
1
hBL
3
1
v
m
=
⋅
⋅
⋅
=
=
v
2
=
(
)
2
L
B
L
B
)
d
d
(
d
BLd
BL
h
9
2
+
+
=
(
)
2
)
25
,
0
35
,
0
(
35
,
0
25
,
0
8
,
3
3
8
,
3
3
145
9
2
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
v
2
= 4,00 m
3
v = v
1
+ v
2
= 9,51 m
3
γ
B
= 25 kN/m
3
stąd
G = 237,66 kN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
F – w 5
13
2.
Wyznaczenie położenia wypadkowych względem
osi słupa
Położenie wyznacza się z zależności;
G
P
h
H
M
r
i
i
x
i
x
i
x
+
+
=
G
P
h
H
M
r
i
i
y
i
y
i
y
+
+
=
2.1 Pierwszy układ obciążeń:
m
735
,
0
66
,
237
800
145
250
400
G
P
h
H
M
r
I
I
x
I
x
I
x
=
+
⋅
+
=
+
+
=
m
81
,
0
66
,
237
800
145
200
550
G
P
h
H
M
r
I
I
y
I
y
I
y
=
+
⋅
+
=
+
+
=
2.2 Drugi układ obciążeń:
m
445
,
0
66
,
237
700
145
150
200
G
P
h
H
M
r
II
II
x
II
x
II
x
=
+
⋅
+
=
+
+
=
m
66
,
0
66
,
237
700
145
150
400
G
P
h
H
M
r
II
II
y
II
y
II
y
=
+
⋅
+
=
+
+
=
F – w 5
14
3. Wyznaczenie położenia osi słupa względem osi
stopy
Położenie słupa względem stopy należy przyjąć tak,
aby wypadkowa obciążenia nie wykraczała poza jej
rdzeń
.
Warunek obliczeniowy ma postać:
6
1
B
e
L
e
i
y
i
x
≤
+
Przyjęto: r
x
’ = 0,6 m
r
y
’ = 0,7 m
Stąd wartości mimośrodów wynoszą:
-
dla pierwszego układu obciążeń:
m
0,135
0,6
-
0,735
'
r
r
e
x
I
x
I
x
=
=
−
=
m
0,11
0,7
-
0,810
'
r
r
e
y
I
y
I
y
=
=
−
=
-
dla drugiego układu obciążeń:
m
0,155
-
'
r
r
e
x
II
x
II
x
=
−
=
m
0,04
-
0,7
-
0,66
'
r
r
e
y
II
y
II
y
=
=
−
=
F – w 5
15
x
y
r
x
'=0,6 m
r
y
'=0,7 m
e
y
I
e
y
II
e
x
II
e
x
I
1 )
2 )
3 )
4 )
Rys. 3. Położenie osi słupa względem osi stopy, wraz
z mimośrodami.
F – w 5
16
Sprawdzenie warunku obliczeniowego:
6
1
B
e
L
e
i
y
i
x
≤
+
-
I układ obciążeń; - II układ obciążeń
6
1
072
,
0
0
,
3
11
,
0
8
,
3
135
,
0
≤
=
+
,
6
1
054
,
0
0
,
3
04
,
0
8
,
3
155
,
0
≤
=
+
Warunek jest spełniony,
obciążenie działa na małym mimośrodzie
(w rdzeniu podstawy stopy).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
F – w 5
17
4. Sprawdzenie warunków I stanu granicznego
4.1 Obliczenie naprężeń
Ogólny wzór na naprężenia pod podstawą
fundamentu ma postać:
±
±
⋅
+
=
L
6e
B
6e
1
A
G
P
σ
i
x
i
y
i
i
(wartości obliczane w czterech narożach stopy zgodnie z rys. 3)
-
naprężenia dla I układu obciążeń:
σ
1
= 90,88 kPa
σ
2
=100,05 kPa
σ
3
= 91,16 kPa
σ
4
= 81,99 kPa
-
naprężenia dla II układu obciążeń:
σ
1
= 78,82 kPa
σ
2
= 75,48 kPa
σ
3
= 85,68 kPa
σ
4
= 89,02 kPa
F – w 5
18
Naprężenia krawędziowe dla P
I
100,5
100,5
91,16
91,16
81,99
81,99
90,88
90,88
1
2
3
4
F – w 5
19
4.2 Sprawdzenie I stanu granicznego
Rodzaje I stanu granicznego są następujące:
-
wypieranie podłoża przez pojedynczy fundament
lub przez całą budowlę;
-
usuwisko albo zsuw fundamentów lub podłoża wraz
z budowlą;
-
przesunięcie w poziomie posadowienia fundamentu
lub w głębszych warstwach podłoża;
Wzory na sprawdzenie I stanu granicznego, przy
obciążeniu działającym wzdłuż obu krawędzi
podstawy fundamentu, mają postać:
N
r
≤ m·
Θ
fNB ,
N
r
≤ m·
Θ
fNL
gdzie:
N
r
– pionowa składowa obciążenia;
m – współczynnik bezpieczeństwa
(
przyjęto
m = 0,7
);
Θ
fNB
,
Θ
fNL
– opór podłoża
F – w 5
20
Opór podłoża obliczamy ze wzorów:
Θ
fNB
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
B
i
B
g
(r)
B
B
N
L
B
0,25
1
D
i
min
D
g
(r)
D
D
N
L
B
1,5
1
C
i
(r)
u
c
C
N
L
B
0,3
1
L
B
ρ
ρ
oraz przy działającej sile wzdłuż drugiego boku
podstawy fundamentu (przesunięcie)
Θ
fNL
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
B
i
L
g
(r)
B
B
N
L
B
0,25
1
D
i
min
D
g
(r)
D
D
N
L
B
1,5
1
C
i
(r)
u
c
C
N
L
B
0,3
1
ρ
ρ
L
B
Do obliczeń przyjęto parametry geotechniczne
II warstwy
(na której posadowiony jest fundament)
.
Pozostałe parametry geotechniczne wyznaczono
opierając się na parametrze kierunkowym gruntu,
którym jest stopień zagęszczenia I
D.
Dla przyjętego gruntu – Pr : I
D
= 0,44
Na podstawie I
D
wyznaczono:
-
kąt tarcia wewnętrznego
)
( r
u
Φ
= 32,5
O
;
Do ustalenia wartości współczynników nośności i
współczynników wpływu nachylenia obciążenia
posłużono się normą.
F – w 5
21
Wartości współczynników zestawiono w tabeli.
Współczynnik Jednostka Wartość
e
y
I
, (e
y
II
)
m
0,11 (- 0,04)
e
x
I
, (e
x
II
)
m
0,135 (- 0,155)
B
I
, (
B
II
)
m
2,78 (2,92)
L
I
, (
L
II
)
m
3,53 (3,49)
N
C
35,49
N
D
23,18
N
B
10,39
i
C
I
, (i
C
II
)
0,75 (0,8)
i
D
I
, (i
D
II
)
0,65 (0,7)
i
B
I
, (i
B
II
)
siła
wzdłuż
krawędzi
B
0,35 (0,55)
i
C
I
, (i
C
II
)
0,55 (0,8)
i
D
I
, (i
D
II
)
0,55 (0,7)
i
B
I
, (i
B
II
)
siła
wzdłuż
krawędzi
L
0,35 (0,55)
(r)
D
ρ
kN/m
3
1
(r)
B
ρ
kN/m
3
2,01
(r)
U
c
0
F – w 5
22
Podstawiając współczynniki do warunku
obliczeniowego I stanu granicznego otrzymano:
-
dla I układu obciążeń:
Θ
fNB
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
0,35
78
,
2
9,81
01
,
2
39
,
10
53
,
3
78
,
2
0,25
1
65
,
0
2
,
4
9,81
1
18
,
23
53
,
3
78
,
2
1,5
1
75
,
0
0
35,49
53
,
3
78
,
2
0,3
1
53
,
3
78
,
2
Θ
fNB
= 1515 kN
Θ
fNL
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
0,35
53
,
3
9,81
01
,
2
39
,
10
53
,
3
78
,
2
0,25
1
65
,
0
2
,
4
9,81
1
18
,
23
53
,
3
78
,
2
1,5
1
75
,
0
0
35,49
53
,
3
78
,
2
0,3
1
53
,
3
78
,
2
Θ
fNL
= 1306 kN
N
r
= P
I
+ G ≤ m·
Θ
fNB
(
Θ
fNL
)
1038 kN ≤ 1364 kN (1175 kN)
Warunek jest spełniony
F – w 5
23
-
dla II układu obciążeń:
Θ
fNB
(
)
(
)
(
)
[
]
0,55
92
,
2
9,81
01
,
2
39
,
10
84
,
0
0,25
1
7
,
0
2
,
4
9,81
1
18
,
23
0.84
1,5
1
8
,
0
0
35,49
84
,
0
0,3
1
49
,
3
92
,
2
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
Θ
fNB
= 1836 kN
Θ
fNL
(
)
(
)
(
)
[
]
0,55
49
,
3
9,81
01
,
2
39
,
10
84
,
0
0,25
1
7
,
0
2
,
4
9,81
1
18
,
23
0.84
1,5
1
8
,
0
0
35,49
84
,
0
0,3
1
49
,
3
92
,
2
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
Θ
fNL
= 1710 kN
N
r
= P
I
+ G ≤ m·
Θ
fNB
(
Θ
fNL
)
938 kN ≤ 1652 kN (1539 kN)
Warunek jest spełniony
Θ
fNL
oraz
Θ
fNB
nie są przekroczone,
zatem
nie wystąpi wypieranie podłoża przez fundament.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
F – w 5
24
4.3 Sprawdzenie I stanu granicznego dla warstwy
słabej
W analizowanym podłożu gruntowym występuje
„
słabsza
” warstwa geotechniczna na głębokości
mniejszej niż 2B.
Dla słabej warstwy obliczenia przeprowadzamy
wprowadzając
fundament zastępczy
na poziomie stropu tej warstwy.
B
W
B'=B+b
b
2
b
2
h
m
in
D
m
in
e'
B
e
B
P + G
N'
r
B
W
V warstwa
geotechniczna
B
W
B'=B+b
b
2
b
2
h
D
'
m
in
m
in
e'
B
e
B
P + G
N'
r
B
W
V warstwa
geotechniczna
F – w 5
25
Składowa pionowa obciążenia ulega zwiększeniu o
ciężar bryły gruntu pod fundamentem, a nad stropem
warstwy „słabej”.
N
r
’= P + G + B’ · L’ · h ·
ρ
h
(r)
· g
gdzie:
B’, L’ - wymiary fundamentu zastępczego,
B’ = B + b
L’ = L + b
Wartość „b” przyjmujemy dla gruntów spoistych:
h > B b = (h/3) = 1,07 m
B’ = 4,07 m
L’ = 4,87 m
h - grubość warstwy „mocnej” (
od spodu fundamentu
do warstwy słabej, czyli 5 geotechnicznej
h = 3,2 m),
ρ
h
(r)
- średnia gęstość objętościowa gruntu pomiędzy
podstawami fundamentów zastępczego i
właściwego (
4 warstwa geotechniczna
ρ
h
(r)
= 2,08)
Dodatkowa wartość obciążenia wynosi:
N
r
’’ = B’ · L’ · h ·
ρ
h
(r)
· g
N
r
’’= 4,07m·4,87m·3,2m·2,08g/cm
3
·9,81m/s
2
N
r
’’=1177 kN
F – w 5
26
Wielkości geometryczne wymiarów podstawy
fundamentu zastępczego;
B
= B’ – 2 · e
B
L
= L’ – 2 · e
L
w = h + D
min
= 4,65 m
tg
δ
B
(r)
=
'
N
T
r
rB
tg
δ
L
(r)
=
'
N
T
r
rL
I układ obciążeń
tg
δ
B
(r)
= 0,113
tg
δ
L
(r)
= 0,090
II układ obciążeń
tg
δ
B
(r)
= 0,071
tg
δ
L
(r)
= 0,068
Parametry geotechniczne przyjęto
dla 5 warstwy geotechnicznej.
Wartość „b” przyjmujemy:
- dla gruntów spoistych:
h > B b = h/3 = 1,07 m
F – w 5
27
Nowe wartości mimośrodów obciążenia obliczamy:
'
'
r
rB
B
r
B
N
w
T
e
N
e
⋅
±
⋅
=
'
'
r
rL
L
r
L
N
w
T
e
N
e
⋅
±
⋅
=
Rodzaj
obciążenia
Układ
obciążeń I
Układ
obciążeń II
P
800 kN
700 kN
G
237,75 kN
N
r
’’
1177 kN
N
r
’
2214,75 kN 2114,75 kN
e
L
0,004 m
-0,052 m
e
B
-0,054 m
0,143 m
B
4,06 m
3,97 m
L
4,76 m
4,58 m
F – w 5
28
Wartości współczynników obliczeniowych dla V
warstwy słabej zestawiono w tabeli.
Współczynnik Jednostka
Wartość
e
L
I
, (e
L
II
)
m
0,004 (-0,052)
e
B
I
, (e
B
II
)
m
-0,054 (0,143)
B
I
, (
B
II
)
m
4,06 (3,97)
L
I
, (
L
II
)
m
4,76 (4,58)
N
C
6,81
N
D
1,72
N
B
0,06
i
C
I
, (i
C
II
)
i
D
I
, (i
D
II
)
i
B
I
, (i
B
II
)
siła wzdłuż
krawędzi B
i
C
I
, (i
C
II
)
i
D
I
, (i
D
II
)
i
B
I
, (i
B
II
)
siła wzdłuż
krawędzi L
0,98 (0,98)
(r)
D
ρ
kN/m
3
2,00
(r)
B
ρ
kN/m
3
1,70
(r)
U
c
kPa
34
F – w 5
29
Do ustalenia wartości współczynników nośności i
współczynników wpływu nachylenia obciążenia
posłużono się normą.
Ponieważ współczynniki i
B
, i
C
, i
D
dla sił wzdłuż
krawędzi B i L są takie same,
wartości
Θ
fNB
oraz
Θ
fNL
są również identyczne.
Podstawiając współczynniki
do warunku obliczeniowego I stanu granicznego
otrzymano:
-
dla I układu obciążeń:
Θ
fNB
=
Θ
fNL
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
0,35
78
,
2
9,81
01
,
2
39
,
10
53
,
3
78
,
2
0,25
1
65
,
0
2
,
4
9,81
1
18
,
23
53
,
3
78
,
2
1,5
1
75
,
0
0
35,49
53
,
3
78
,
2
0,3
1
53
,
3
78
,
2
Θ
fNB
=
Θ
fNL
= 6205 kN
N
r
= P
I
+ G + N
r
’’ ≤ m
Θ
fNB
(
Θ
fNL
)
2214,75 kN ≤ 4343,5 kN
Warunek jest spełniony
F – w 5
30
-
dla II układu obciążeń:
Θ
fNB
=
Θ
fNL
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
−
+
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
+
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
0,35
78
,
2
9,81
01
,
2
39
,
10
53
,
3
78
,
2
0,25
1
65
,
0
2
,
4
9,81
1
18
,
23
53
,
3
78
,
2
1,5
1
75
,
0
0
35,49
53
,
3
78
,
2
0,3
1
53
,
3
78
,
2
Θ
fNB
=
Θ
fNL
= 5861 kN
N
r
= P
I
+ G + N
r
’’≤ m
Θ
fNB
(
Θ
fNL
)
2114,75 kN ≤ 4102,7 kN
Warunek jest spełniony
Θ
fNL
oraz
Θ
fNB
nie są przekroczone
zatem
nie nastąpi wypychania gruntu przez fundament.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
F – w 5
31
5. Sprawdzenie warunków II stanu granicznego
Sprawdzenie II stanu granicznego obejmuje:
- średnie osiadanie fundamentu;
- przechylenie budowli jako całości;
- odkształcenie konstrukcji,
wygięcie
(ugięcie)
budowli.
5.1 Średnie osiadanie fundamentów.
Wartość obliczeniowa średniego osiadania
fundamentów jest obliczana za pomocą wyrażenia:
∑
∑
=
i
i
i
ś
r
F
F
S
S
gdzie:
S
i
–
osiadanie poszczególnych fundamentów
(1÷8) dane, 9 - wyznaczone;
F
i
–
pola powierzchni poszczególnych fundamentów.
Pola powierzchni wszystkich stóp:
(S1÷S8) – dane, S9 - wyznaczone:
F
1
= 390 · 470
=183300 cm
2
F
2
= 300 · 380 = 114000 cm
2
F
3
= F
4
= 390 · 470 = 183300 · 2 = 366600 cm
2
F
5
= F
6
= 380 · 470 = 178600 · 2 = 357200 cm
2
F
7
= F
8
= 350 · 420 = 147000 · 2 = 294000 cm
2
F
9
= 430 · 430
= 184900 cm
2
Σ
F
j
= 1500000 cm
2
F – w 5
32
Iloczyny osiadań i pola powierzchni stóp:
S
1
·
F
1
= 3,61 · 183300 = 661713
S
2
·
F
2
= 1,51 · 114000 = 12540
S
3
·
F
3
= 1,98 · 183300 = 362934
S
4
·
F
4
= 3,92 · 183300 = 718536
S
5
·
F
5
= 2,10 · 178600 = 375060
S
6
· F
6
=
4,75 · 178600 = 848350
S
7
·
F
7
= 3,31 · 147000 = 486570
S
8
· F
8
= 4,14 · 147000 = 608580
S
9
·
F
9
= 2,15 · 184900 = 397535
4471818
=
⋅
∑
i
i
F
S
cm
F
F
S
S
i
i
i
sr
98
,
2
1500000
4471818
=
=
⋅
=
∑
∑
S
ś
r
dopuszczalne - 3,75 cm
3,75 cm > 2,98 cm
Wartość dopuszczalna jest większa od obliczeniowej,
czyli warunek jest spełniony.
F – w 5
33
5.2 Przechylenie budowli
Warunek obliczeniowy ma postać:
Θ
Θ
Θ
Θ
=
2
2
b
a
+
≤
Θ
Θ
Θ
Θ
dop
= 0,00255
gdzie: a, b – współczynniki obliczone z układu równań:
a·
Σ
x
i
2
+ b·
Σ
x
i
y
i
+ c·
Σ
x
i
=
Σ
x
i
S
i
a·
Σ
x
i
y
i
+ b·
Σ
y
i
2
+ c·
Σ
y
i
=
Σ
y
i
S
i
a·
Σ
x
i
+ b·
Σ
y
i
+ n·c =
Σ
S
i
n – liczba fundamentów.
x
i
, y
i
– współrzędne fundamentów.
nr
fundamen
tu
y
i
y
i
2
x
i
x
i
2
x
i
y
i
S
i
x
i
S
i
y
i
S
i
cm
cm
2
cm
cm
2
cm
2
cm
cm
2
cm
2
1
70
4900
60
3600
4200
3,61
216,6
252,7
2
2330
5428900
60
3600
139800
1,51
90,6
3518,3
3
2330
5428900
1720
2958400
4007600
1,98
3405,6
4613,4
4
70
4900
1720
2958400
120400
3,92
6742,4
274,4
5
70
4900
900
810000
63000
2,1
1890
147
6
2330
5428900
900
810000
2097000
4,75
4275
11067,5
7
1200
1440000
60
3600
72000
3,31
198,6
3972
8
1200
1440000
1720
2958400
2064000
4,14
7120,8
4968
9
1200
1440000
900
810000
1080000
2,15
1935
2580
ΣΣΣΣ
10800
20621400
8040
11316000 9648000
27,47
25874,6
31393,3
F – w 5
34
Układ równań przyjmuje postać:
11316000a + 9648000b + 8040c = 26021,50
9648000a + 20621400b + 10800c = 28075,50
8040a + 10800b + 9c = 26,07
W wyniku rozwiązania układu równań otrzymano:
a = 0,002252
b = - 0,000400
Stąd przechylenie budowli wynosi:
θ
=
)
2
0,000400
2
0,002252
(
+
θ
= 0,002216 ≈ 0,00222
θ
θ
θ
θ
≤
θθθθ
dop
0,00222 < 0,00255
Warunek jest spełniony
F – w 5
35
5.3 Odkształcenie budowli
Układ osiadania fundamentów:
S
2
= 1,51 cm S
6
= 4,75 cm S
3
= 1,98 cm
S
7
= 3,31 cm
S
9
= 2,15 cm
S
8
= 4,14 cm
S
1
= 3,61 cm S
5
= 2,10 cm S
4
= 3,92 cm
Jako najbardziej niekorzystny przyjęto układ: S
2
S
6
S
3
Zgodnie z normą:
F – w 5
36
Warunek na wygięcie względne budowli ma postać:
f
0
/
l ≤ (f
0
/
l)
dop
f
0
= (l·S
0
– l
1
·S
2
– l
2
·S
1
)
f
0
= 1800·4,75 – 900·1,98 – 900·1,51= 3,01 cm
f
0
/
l = 0,0017
(f
0
/
l)
dop
= 0,00155
Warunek nie jest spełniony
Dopuszczalna bezwzględna różnica osiadań
pomiędzy sąsiednimi fundamentami wynosi:
0036
,
0
)
(
0018
,
0
1800
S
S
l
∆
S
6
2
=
∆
≤
=
−
=
dop
l
S
Odkształcenie konstrukcji
( różnica osiadań)
jest
mniejsze od dopuszczalnego
F – w 5
37
Stateczność skarp w gruntach spoistych
Metoda Felleniusa
Zakłada się, że
obsunięcie
skarpy w gruntach
spoistych
następuje
wzdłuż
powierzchni
krzywoliniowej
, zaś w gruntach niejednorodnych
wzdłuż powierzchni łamanej.
Skarpy, dla których wzdłuż powierzchni poślizgu
istnieje stan graniczny, co oznacza, że naprężenia
ś
cinające są równe wytrzymałości gruntu na
ś
cinanie, nazywane są skarpami granicznymi.
Istnieje wiele metod do określania warunków
stateczności skarp, znacznie różniących się od
siebie założeniami.
Metoda Felleniusa (szwedzka) jest jedną z metod
zalecaną przez PN–83/B–03010.
F – w 5
38
Metoda Felleniusa opiera się na przyjęciu
cylindrycznej powierzchni osuwiskowej.
Bryłę osuwającego się gruntu w chwili rozpoczęcia
się zsuwu uważa się za sztywną, jej podziału na „n”
bloków dokonuje się w celach obliczeniowych.
Wymiar bloków w kierunku prostopadłym do
powierzchni
przekroju
poprzecznego
skarpy
przyjmuje się = 1.
O
O
1
β
1
Bryła osuwiskowa skarpy w gruncie spoistym
F – w 5
39
N
1
B
1
T
1
G
1
B
2
T
2
T
3
N
2
N
3
G
2
G
3
B
3
B
i
T
i
G
i
N
i
α
1
α
2
α
3
α
i
O
Schemat sił działających na skarpę
Ciężar G
i
każdej z brył rozkłada się na dwie
składowe:
N
i
– normalną do powierzchni zsuwu,
B
i
– styczną do powierzchni zsuwu.
F – w 5
40
Przesuwowi bloków skarpy przeciwstawiają się siły
tarcia T
i
(pochodzące od tarcia na granicy bryły
poślizgu oraz od spójności gruntu), działające
stycznie do powierzchni poślizgu.
i
u
u
i
i
A
C
tgΦ
N
T
⋅
+
⋅
=
i
u
u
i
i
i
A
C
tgΦ
α
G
T
⋅
+
⋅
⋅
=
cos
gdzie:
α
i
– kąt nachylenia siły T
i
do poziomu;
l
i
– długość podstawy bloku
(łuku powierzchni
poślizgu)
;
A
i
– powierzchnia podstawy bloku;
A
i
= l
i
• 1 m
Równowaga całej bryły zostanie zachowana, jeżeli
suma momentów sił zsuwających (obracających)
M
0
będzie równa bądź mniejsza od sumy
momentów sił utrzymujących M
u
.
M
o
≤ m ·M
u
F – w 5
41
Stosunek
tych
momentów
nazywa
się
współczynnikiem stateczności skarpy
.
u
o
M
M
m
≥
,
o
u
M
M
m
F
≤
=
1
gdzie:
M
o
-
moment obracający, względem punktu obrotu O,
M
u
-
moment utrzymujący, względem punktu obrotu O.
W celu uzyskania najniekorzystniejszej wartości
tego
współczynnika
należy
ustalić
najniebezpieczniejszy punkt obrotu
.
Dla ułatwienia obliczeń wyznacza się linię
najbardziej niebezpiecznych punktów obrotu O.
Linia ta przebiega przez punkty O’ i O’’.
o
Pierwszy z nich znajduje się na głębokości równej
wysokości skarpy i w odległości 4,5- krotnej tej
wysokości liczonej od dolnej krawędzi skarpy.
o
Drugi z nich leży na przecięciu linii biegnących
pod kątami odpowiednio
δ
1
i
δ
2
od dolnej i górnej
krawędzi skarpy.
F – w 5
42
Wielkości kątów
δ
1
i
δ
2
w zależności od nachylenia
skarpy
β
1 : m
δ
1
δ
2
45
o
1 : 1
28
o
37
o
33
o
41’
1 : 1,5
26
o
35
o
26
o
34’
1 : 2
25
o
35
o
18
o
21’
1 : 3
25
o
35
o
11
o
19’
1 : 5
25
o
37
o
Po wyznaczeniu linii O’ – O’’ oblicza się n wartości
współczynnika m
n
dla punktów obrotu O
n
, tak aby
uzyskać sytuację gdy z trzech kolejnych środkowy ma
wartość najmniejszą.
Punkty te znajdujemy w ten sposób, że współrzędną
(x) są kolejne kroki na linii najniebezpieczniejszych
punktów obrotu, a (y) wartość współczynnika
stateczności skarpy m.
o
Stosując funkcję wielomianu drugiego stopnia,
podstawiając wartości tych trzech punktów,
wyznaczamy współczynniki kierunkowe funkcji, a
następnie jej ekstremum.
o
W miejscu ekstremum obliczamy minimalną
wartość współczynnika m.
F – w 5
43
4,5 H
H
H
O'
O''
δ
1
δ
2
β
O
1
O
2
O
n
x
y
F
1
F
2
F
n
F
m
in
Wyznaczenie linii najbardziej niebezpiecznych punktów obrotu
F – w 5
44
Jeżeli w zboczu, wskutek różnicy poziomów wody
gruntowej,
występuje
przepływ
wody,
przy
sprawdzaniu warunku stateczności do wartości
momentu obracającego M
o
należy dodać dodatkowy
moment
∆
M
o
.
P
s
R
s
R
O
ψ
l
∆
h
Stateczność skarpy przy działaniu ciśnienia spływowego
Wartość tego przyrostu obliczamy ze wzoru:
s
s
o
R
P
∆
M
⋅
=
gdzie:
R
s
- promień działania siły P
s
w stosunku do środka
obrotu O,
P
s
- ciśnienie spływowe,
w
s
ρ
i
P
⋅
=
i - spadek hydrauliczny;
i =
∆
h
/
l = sin
ψ
F – w 5
45
Zadanie
Okre
ś
li
ć
współczynnik stateczno
ś
ci skarpy dla
nast
ę
puj
ą
cych danych:
rodzaj gruntu
I
L,
I
D
h [m]
a [m]
b [m]
q [kN/m
2
]
nachylenie
skarpy
h
a
b
q
F – w 5
46
F – w 5
47
α
b
l
α
W
T
S
N
h
ś
r
h
L
h
P
F – w 5
48
W
i
= Q
i
+ G
i
Q
i
– ci
ęż
ar bloku „i”
G
i
– ci
ęż
ar obiektu (podany jako obci
ąż
enie ci
ą
głe) na bloku „i”
gdzie:
b
i
- szeroko
ść
bloku (paska),
h
ś
r,i
-
ś
rednia wysoko
ść
bloku (paska),
l
i
- długo
ść
podstawy bloku (łuku powierzchni po
ś
lizgu),
A
i
- pole powierzchni podstawy bloku = l
i
·1m,
V
i
- obj
ę
to
ść
bloku.
Przykład obliczenia współczynnika m
1
dla punktu obrotu O
1
tg
Ф
u
R
1
[m]
h [m]
q [kN/m
2
]
c
u
[kPa]
Ф
u
[º]
ϱ
[kg·10
3
/m
3
]
g [m/s
2
]
0,0787017
6,8
3,9
42
29
4,5
1,8
9,81
numer bloku
b
i
[m]
h
ś
r,i
[m]
α
i
[º]
sin
α
i
cos
α
i
l
i
[m]
A
i
[m
2
]
V
i
[m
3
]
1
1
0,80
59,00
0,8572
0,5150
1,94
1,94
1,55
2
1
2,10
45,00
0,7071
0,7071
1,41
1,41
2,97
3
0,5
2,80
37,00
0,6018
0,7986
0,63
0,63
1,75
4
1
2,95
29,00
0,4848
0,8746
1,14
1,14
3,37
5
1
2,75
20,00
0,3420
0,9397
1,06
1,06
2,93
6
1
2,35
11,00
0,1908
0,9816
1,02
1,02
2,39
7
1
1,80
3,00
0,0523
0,9986
1,00
1,00
1,80
8
1
1,10
6,00
0,1045
0,9945
1,01
1,01
1,11
9
0,8
0,35
13,00
0,2250
0,9744
0,82
0,82
0,29
Suma:
8,3
F – w 5
49
W
i
[kN]
S
i
[kN]
N
i
[kN]
T
i
[kN]
Mu
i
[kNm]
Mo
i
[kNm]
m
1
69,43
59,51
35,76
59,12
402,02
404,68
52,44
37,08
37,08
43,93
298,73
252,16
30,95
18,63
24,72
20,10
136,69
126,68
59,56
28,87
52,09
37,26
253,35
196,35
51,68
17,67
48,56
34,68
235,84
120,18
42,27
8,07
41,50
32,81
223,10
54,85
31,83
1,67
31,78
31,54
214,48
11,33
19,53
-2,04
19,42
30,69
208,68
-13,88
5,07
-1,14
4,94
24,20
164,56
-7,76
0,54
Suma
Suma
2137,45
1144,57
Przykład obliczenia współczynnika m
2
dla punktu obrotu O
2
tg
Ф
u
R
2
[m]
h [m]
q [kN/m
2
]
c
u
[kPa]
Ф
u
[º]
ϱ
[kg·10
3
/m
3
]
g [m/s
2
]
0,0787017
6,7
3,9
42
29
4,5
1,8
9,81
numer bloku
b
i
[m]
h
ś
r,i
[m]
α
i
[º]
sin
α
i
cos
α
i
l
i
[m]
A
i
[m
2
]
V
i
[m
3
]
1
1
0,85
60,00
0,8660
0,5000
2,00
2,00
1,70
2
0,5
2,00
49,00
0,7547
0,6561
0,76
0,76
1,52
3
0,5
2,55
43,00
0,6820
0,7314
0,68
0,68
1,74
4
1
3,15
34,00
0,5592
0,8290
1,21
1,21
3,80
5
1
3,40
24,00
0,4067
0,9135
1,09
1,09
3,72
6
1
3,10
15,00
0,2588
0,9659
1,04
1,04
3,21
7
1
2,60
6,50
0,1132
0,9936
1,01
1,01
2,62
8
1
1,95
2,00
0,0349
0,9994
1,00
1,00
1,95
9
1
1,20
11,00
0,1908
0,9816
1,02
1,02
1,22
10
0,8
0,40
18,50
0,3173
0,9483
0,84
0,84
0,34
Suma:
8,8
W
i
[kN]
S
i
[kN]
N
i
[kN]
T
i
[kN]
Mu
i
[kNm]
Mo
i
[kNm]
m
2
72,02
62,37
36,01
60,83
407,59
417,88
47,92
36,16
31,44
24,58
164,66
242,29
30,78
20,99
22,51
21,60
144,71
140,66
67,09
37,52
55,62
39,36
263,70
251,37
65,72
26,73
60,04
36,47
244,35
179,09
56,67
14,67
54,74
34,33
230,02
98,27
46,21
5,23
45,91
32,80
219,77
35,05
34,45
-1,20
34,43
31,73
212,58
-8,06
21,59
-4,12
21,19
31,21
209,11
-27,60
5,96
-1,89
5,65
24,91
166,89
-12,67
0,58
Suma
Suma
2263,36
1316,29
F – w 5
50
Przykład obliczenia współczynnika m
3
dla punktu obrotu O
3
tg
Ф
u
R3 [m]
h [m]
q [kN/m2]
c
u
[kPa]
Ф
u
[º]
ϱ
[kg·10
3
/m
3
]
g [m/s
2
]
0,0787017
7
3,9
42
29
4,5
1,8
9,81
numer bloku
b
i
[m]
h
ś
r,i
[m]
α
i
[º]
sin
α
i
cos
α
i
l
i
[m]
A
i
[m
2
]
V
i
[m
3
]
1
0,7
0,60
60,90
0,8738
0,4863
1,44
1,44
0,86
2
0,5
1,50
51,56
0,7833
0,6217
0,80
0,80
1,21
3
1
2,25
44,00
0,6947
0,7193
1,39
1,39
3,13
4
1
2,70
37,46
0,6082
0,7938
1,26
1,26
3,40
5
1
2,55
31,26
0,5189
0,8548
1,17
1,17
2,98
6
1
2,15
25,26
0,4267
0,9044
1,11
1,11
2,38
7
1
1,65
19,54
0,3345
0,9424
1,06
1,06
1,75
8
1
1,05
14,02
0,2423
0,9702
1,03
1,03
1,08
9
0,8
0,35
8,63
0,1501
0,9887
0,81
0,81
0,28
Suma:
8
W
i
[kN]
S
i
[kN]
N
i
[kN]
T
i
[kN]
Mu
i
[kNm]
Mo
i
[kNm]
m
3
44,65
39,01
21,71
43,45
304,15
273,09
21,30
16,69
13,24
24,37
170,56
116,80
55,23
38,37
39,73
43,44
304,09
268,57
60,06
36,53
47,68
40,29
282,00
255,71
52,68
27,33
45,03
37,47
262,28
191,34
41,98
17,91
37,96
35,05
245,38
125,39
30,92
10,34
29,14
33,07
231,46
72,38
19,11
-4,63
18,54
31,35
219,45
-32,41
5,00
-0,75
4,94
23,85
166,98
-5,25
0,58
Suma
Suma
2186,35
1265,63
F – w 5
51
Algorytm postępowania
1.
wyznaczyć linię najniebezpieczniejszych punktów obrotu,
2.
przyjąć pierwszy punkt obrotu (
pierwszy promień poślizgu
),
3.
określić płaszczyznę obojętną,
4.
dokonać podziału skarpy na bloki (
co 1m, ale i tak aby
linie podziału wypadały pod punktami charakterystycznymi
),
5.
wyznaczyć parametry geometryczne bloków,
6.
obliczyć siły,
7.
obliczyć momenty,
8.
obliczyć wartość współczynnika stateczności skarpy,
9.
powtarzać cykl obliczeń dla kolejnych punktów obrotu, aż
uzyska się mniejszą wartość współczynnika
bezpieczeństwa w otoczeniu 2 o większej wartości, lub
wyznaczyć ekstremum funkcji F (R) określając wartość
promienia poślizgu, przy którym F osiąga wartość
minimalną.