W
W
Y
Y
M
M
I
I
A
A
N
N
A
A
(
(
T
T
R
R
A
A
N
N
S
S
P
P
O
O
R
R
T
T
)
)
C
C
I
I
E
E
P
P
Ł
Ł
A
A
Trzy podstawowe mechanizmy transportu ciepła
(wymiany ciepła):
1.
P
P
P
R
R
R
Z
Z
Z
E
E
E
W
W
W
O
O
O
D
D
D
Z
Z
Z
E
E
E
N
N
N
I
I
I
E
E
E
- przekazywanie energii od jednej cząstki do
drugiej, za pośrednictwem ruchu drgającego tych cząstek. Proces ten
trwa dopóty, dopóki temperatura ciała nie zostanie wyrównana w
całej rozpatrywanej objętości. Dotyczy to bezpośredniego kontaktu
ciała z ciałem, części ciała z ciałem.
2.
P
P
P
R
R
R
O
O
O
M
M
M
I
I
I
E
E
E
N
N
N
I
I
I
O
O
O
W
W
W
A
A
A
N
N
N
I
I
I
E
E
E
- przekazywanie ciepła w postaci energii
promieniowania, którego natura jest taka sama jak energii świetlnej.
Energia cieplna przekształca się w energię promieniowania, przebywa
określoną przestrzeń z prędkością światła, aby w innym miejscu
przekształcić się całkowicie lub częściowo w energię cieplną.
3.
K
K
K
O
O
O
N
N
N
W
W
W
E
E
E
K
K
K
C
C
C
J
J
J
A
A
A
(
(
(
W
W
W
N
N
N
I
I
I
K
K
K
A
A
A
N
N
N
I
I
I
E
E
E
)
)
)
- wiąże się z ruchem konwekcyjnym
gazów lub cieczy, wywołanym bądź różnicą gęstości (różnicą
temperatur), bądź przez wymuszenie czynnikami zewnętrznymi.
P
P
R
R
Z
Z
E
E
W
W
O
O
D
D
Z
Z
E
E
N
N
I
I
E
E
Stan cieplny ciała określa temperatura. Miejsca geometryczne o
jednakowej temperaturze tworzą powierzchnie izotermiczne, linie o
jednakowej temperaturze tworzą izotermy.
Temperatura ciała zmienia się najszybciej w kierunku
prostopadłym do izoterm.
Przewodzenie dotyczy głównie ciał stałych, gdyż to ciała stałe
najlepiej przewodzą ciepło.
PODSTAWOWE
DEFINICJE
PODSTAWOWE DEFINICJE
NATĘŻENIE PRZEPŁYWU CIEPŁA
(STRUMIEŃ CIEPLNY) Q
*
ilość ciepła jaka przepływa przez dane ciało w jednostce czasu
[ ]
*
J
W
s
dQ
Q
dt
⎡ ⎤
=
=
⎢ ⎥
⎣ ⎦
gdzie:
Q-ciepło,
t-czas,
GĘSTOŚĆ STRUMIENIA CIEPLNEGO q (OBCIĄŻENIE CIEPLNE)
natężenie przepływu ciepła odniesione do jednostki powierzchni (straty
ciepła przypadające na jednostkę powierzchni)
2
W
m
Q
q
A
∗
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
gdzie:
A-powierzchnia,
Natężenie przepływu ciepła
[W]
*
A
q
Q
⋅
=
Przewodzenie ciepła jest USTALONE gdy
dQ/dt=const lub
Q
*1
= Q
*2
= Q
*3
Przewodzenie ciepła jest NIEUSTALONE gdy
dQ/dt≠const lub
Q
*1
≠ Q
*2
≠ Q
*3
Ścianka płaska jednowarstwowa:
gęstość strumienia cieplnego
]
m
W
[
)
(
2
2
1
T
T
q
−
⋅
=
σ
λ
temperatura T
1
>temperatury T
2
gdzie:
σ-grubość warstwy (ścianki),
natężenie przepływu ciepła
[W]
)
(
*
2
1
T
T
A
Q
−
⋅
⋅
=
σ
λ
Całkowita ilość przewodzonego ciepła przez ciało:
[J]
t
A
q
Q
⋅
⋅
=
Ścianka płaska wielowarstwowa:
natężenie przepływu ciepła
1
2
*
1
(
)
[W]
i n
i
i
i
A T T
Q
σ
λ
=
=
⋅
−
=
∑
gęstość strumienia cieplnego
1
2
2
1
(
)
W
m
i n
i
i
i
T T
q
σ
λ
=
=
−
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
Ś
Ś
C
C
I
I
A
A
N
N
K
K
A
A
P
P
Ł
Ł
A
A
S
S
K
K
A
A
T
T
1
5
σ
Q
*
σ
1
σ
2
σ
3
σ
4
T
1
T
2
T
3
T
4
T
5
Q
*
T
Q
*
x
P
P
R
R
Z
Z
E
E
W
W
O
O
D
D
Z
Z
E
E
N
N
I
I
E
E
C
C
I
I
E
E
P
P
Ł
Ł
A
A
–
–
Ś
Ś
C
C
I
I
A
A
N
N
K
K
A
A
P
P
Ł
Ł
A
A
S
S
K
K
A
A
O
O
p
p
ó
ó
r
r
t
t
e
e
r
r
m
m
i
i
c
c
z
z
n
n
y
y
O
O
p
p
ó
ó
r
r
t
t
e
e
r
r
m
m
i
i
c
c
z
z
n
n
y
y
d
d
e
e
f
f
i
i
n
n
i
i
u
u
j
j
e
e
m
m
y
y
j
j
a
a
k
k
o
o
s
s
t
t
o
o
s
s
u
u
n
n
e
e
k
k
r
r
ó
ó
ż
ż
n
n
i
i
c
c
y
y
t
t
e
e
m
m
p
p
e
e
r
r
a
a
t
t
u
u
r
r
(
(
n
n
a
a
p
p
o
o
w
w
i
i
e
e
r
r
z
z
c
c
h
h
n
n
i
i
o
o
g
g
r
r
a
a
n
n
i
i
c
c
z
z
a
a
j
j
ą
ą
c
c
y
y
c
c
h
h
w
w
a
a
r
r
s
s
t
t
w
w
ę
ę
m
m
a
a
t
t
e
e
r
r
i
i
a
a
ł
ł
u
u
,
,
w
w
a
a
r
r
s
s
t
t
w
w
ę
ę
p
p
o
o
w
w
i
i
e
e
t
t
r
r
z
z
a
a
l
l
u
u
b
b
p
p
r
r
z
z
e
e
g
g
r
r
o
o
d
d
ę
ę
)
)
d
d
o
o
g
g
ę
ę
s
s
t
t
o
o
ś
ś
c
c
i
i
s
s
t
t
r
r
u
u
m
m
i
i
e
e
n
n
i
i
a
a
c
c
i
i
e
e
p
p
l
l
n
n
e
e
g
g
o
o
q
q
.
.
W
W
i
i
e
e
l
l
k
k
o
o
ś
ś
ć
ć
t
t
a
a
o
o
k
k
r
r
e
e
ś
ś
l
l
a
a
„
„
o
o
p
p
ó
ó
r
r
”
”
j
j
a
a
k
k
i
i
s
s
t
t
a
a
w
w
i
i
a
a
d
d
a
a
n
n
y
y
m
m
a
a
t
t
e
e
r
r
i
i
a
a
ł
ł
p
p
r
r
z
z
e
e
m
m
i
i
e
e
s
s
z
z
c
c
z
z
a
a
j
j
ą
ą
c
c
e
e
m
m
u
u
s
s
i
i
ę
ę
c
c
i
i
e
e
p
p
ł
ł
u
u
.
.
Ś
Ś
c
c
i
i
a
a
n
n
k
k
a
a
j
j
e
e
d
d
n
n
o
o
w
w
a
a
r
r
s
s
t
t
w
w
o
o
w
w
a
a
W
W
p
p
r
r
z
z
y
y
p
p
a
a
d
d
k
k
u
u
ś
ś
c
c
i
i
a
a
n
n
e
e
k
k
j
j
e
e
d
d
n
n
o
o
w
w
a
a
r
r
s
s
t
t
w
w
o
o
w
w
y
y
c
c
h
h
(
(
j
j
e
e
d
d
n
n
o
o
f
f
a
a
z
z
o
o
w
w
y
y
c
c
h
h
)
)
w
w
a
a
r
r
t
t
o
o
ś
ś
ć
ć
o
o
p
p
o
o
r
r
u
u
t
t
e
e
r
r
m
m
i
i
c
c
z
z
n
n
e
e
g
g
o
o
j
j
e
e
s
s
t
t
t
t
y
y
m
m
w
w
i
i
ę
ę
k
k
s
s
z
z
a
a
i
i
m
m
ś
ś
c
c
i
i
a
a
n
n
k
k
a
a
j
j
e
e
s
s
t
t
g
g
r
r
u
u
b
b
s
s
z
z
a
a
i
i
i
i
m
m
g
g
o
o
r
r
z
z
e
e
j
j
p
p
r
r
z
z
e
e
w
w
o
o
d
d
z
z
i
i
c
c
i
i
e
e
p
p
ł
ł
o
o
.
.
Ś
Ś
c
c
i
i
a
a
n
n
k
k
a
a
w
w
i
i
e
e
l
l
o
o
w
w
a
a
r
r
s
s
t
t
w
w
o
o
w
w
a
a
W
W
p
p
r
r
z
z
y
y
p
p
a
a
d
d
k
k
u
u
ś
ś
c
c
i
i
a
a
n
n
e
e
k
k
w
w
i
i
e
e
l
l
o
o
w
w
a
a
r
r
s
s
t
t
w
w
o
o
w
w
y
y
c
c
h
h
n
n
a
a
o
o
p
p
ó
ó
r
r
t
t
e
e
r
r
m
m
i
i
c
c
z
z
n
n
y
y
s
s
k
k
ł
ł
a
a
d
d
a
a
j
j
ą
ą
s
s
i
i
ę
ę
g
g
r
r
u
u
b
b
o
o
ś
ś
c
c
i
i
i
i
p
p
r
r
z
z
e
e
w
w
o
o
d
d
n
n
i
i
c
c
t
t
w
w
a
a
c
c
i
i
e
e
p
p
l
l
n
n
e
e
p
p
o
o
s
s
z
z
c
c
z
z
e
e
g
g
ó
ó
l
l
n
n
y
y
c
c
h
h
w
w
a
a
r
r
s
s
t
t
w
w
w
w
ś
ś
c
c
i
i
a
a
n
n
c
c
e
e
.
.
2
T
m deg
=
q
R
W
σ
λ
⎡
⎤
Δ
⋅
=
⎢
⎥
⎣
⎦
2
1
T
m deg
=
q
i n
i
i
i
R
W
σ
λ
=
=
⎡
⎤
Δ
⋅
=
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
Ś
Ś
C
Przewodzenie ciepła przez ściankę cylindryczną:
natężenie wymiany ciepła (strumień cieplny)
1
2
*
1
1
(
)
[W]
1
ln
2
i n
i
i
i
i
L T T
Q
r
r
π
λ
=
+
=
⋅ ⋅
−
=
⋅
∑
gęstość strumienia cieplnego
2
W
m
Q
q
A
∗
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦
C
I
I
A
A
N
N
K
K
A
A
C
C
Y
Y
L
L
I
I
N
N
D
D
R
R
Y
Y
C
C
Z
Z
N
N
A
A
Q
*
Q
*
T
1
T
1
T
2
T
3
T
3
L
r
3
r
2
r
1
r
1
r
2
r
3
PRZEWODZENIE opiera się na prawie FOURIERA
mówiącym o ilości ciepła przewodzonego przez
powierzchnię A prostopadłą do kierunku ruchu
ciepła:
T
1
Q
T
2
x( )
σ
)
(
τ
λ
d
gradT
A
dQ
⋅
⋅
⋅
−
=
gdzie:
T-temperatura,
λ-współczynnik przewodzenia ciepła,
τ-czas,
podstawiając za:
dx
dT
gradT
=
otrzymujemy:
)
(
)
(
τ
λ
d
dx
dT
A
dQ
⋅
⋅
⋅
−
=
gdzie:
x (
σ)-grubość warstwy,
dalej:
*
Q
d
dQ
=
τ
zakładamy
const
d
dQ
=
τ
– ustalone przewodzenie ciepła
otrzymujemy:
[W]
)
(
*
dx
dT
A
Q
⋅
⋅
−
=
λ
rozważając dalej:
A
q
Q
⋅
=
*
stąd:
]
m
W
[
)
(
2
dx
dT
q
⋅
−
=
λ
Z powyższych równań wynika, że:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
=
⋅
⋅
−
=
deg
m
W
)
m
deg
(m
W
)
(
2
dx
dT
A
d
dQ
τ
λ
zatem
współczynnik przewodzenia ciepła (λ) jest to ilość
ciepła przewodzona przez ciało o powierzchni 1m
2
, grubości
ścianki 1m, gdy różnica temperatur pomiędzy przeciwległymi
ściankami wynosi 1deg, w ciągu 1s.
W
W
S
S
P
P
Ó
Ó
Ł
Ł
C
C
Z
Z
Y
Y
N
N
N
N
I
I
K
K
P
P
R
R
Z
Z
E
E
W
W
O
O
D
D
Z
Z
E
E
N
N
I
I
A
A
C
C
I
I
E
E
P
P
Ł
Ł
A
A
M
M
A
A
T
T
E
E
R
R
I
I
A
A
Ł
Ł
Ó
Ó
W
W
W
W
I
I
E
E
L
L
O
O
F
F
A
A
Z
Z
O
O
W
W
Y
Y
C
C
H
H
(
(
K
K
O
O
M
M
P
P
O
O
Z
Z
Y
Y
T
T
Ó
Ó
W
W
)
)
Przewodzenie w kierunku prostopadłym do warstw
(model szeregowy):
1
2
2
1
2
1
V
V
⋅
⋅
⋅
+
=
λ
λ
λ
λ
λ
Przewodzenie w kierunku równoległym do warstw
(model równoległy):
2
2
1
1
V
V
⋅
+
⋅
=
λ
λ
λ
gdzie:
V
1
, V
2
– udziały objętościowe składników kompozytu,
Z
Z
A
A
D
D
A
A
N
N
I
I
A
A
ZADANIE 1
Dane:
σ=0,2 m T
1
=300
°C
λ=0,252 [W/m·deg] T
2
=275
°C
A=3,5 m
2
Obliczyć natężenie przepływu ciepła,
gęstość strumienia cieplnego, opór termiczny
oraz wyznaczyć izotermę, dla której
temperatura ścianki będzie równa 280
°C.
Ponadto:
1) tak dobrać współczynnik przewodzenia
ciepła żeby
ΔT=45°C;
2) obliczyć całkowite ciepło przewodzone
przez tą ściankę w ciągu 1s ?
ZADANIE 2
Dane:
σ
1
=0,5 m
σ
2
=0,2 m
λ
1
= 2 [W/m·deg]
λ
2
= 0,07 [W/m·deg]
T
1
= 2500
°C T
2
= 200
°C
Obliczyć natężenie przepływu ciepła
wiedząc, że A=2m
2
. Obliczyć gęstość
strumienia cieplnego dla tej ścianki, opór
termiczny oraz wyznaczyć temperaturę T
x
.
Następnie dobrać grubość warstwy drugiej
tak, żeby T
2
wynosiła 80
°C oraz wyznaczyć
izotermę gdzie temperatura ścianki wynosi
2000
°C?
ZADANIE 3
Określić minimalną grubość ściany
paleniska, jeśli wiadomo, że ściana
składa się z dwóch warstw:
wewnętrznej z cegły szamotowej i
zewnętrznej z cegły czerwonej, straty
cieplne 1m
2
ściany wynoszą 1,2 kW.
Współczynniki przewodzenia ciepła
obu materiałów są następujące: cegła
szamotowa
λ
1
=1,3 W/m·deg, cegła
czerwona
λ
2
=0,5 W/m·deg.
Temperaturowy przekrój przez ścianę
przedstawiono na rysunku.
ZADANIE 4
Dany jest rurociąg, którego podstawowe parametry są następujące:
r
1
= 0,1 m r
3
= 0,5 m
σ
1
=0,05 m
λ
1
= 3,8 [W/m·deg]
λ
2
= 0,05 [W/m·deg]
L= 2 m
Temperatura wewnętrznej ścianki wynosi 500
°C, zaś zewnętrznej 50°C.
Wyznaczyć natężenie przepływu ciepła na drodze przewodzenia
i temperaturę na połączeniu warstw. Następnie dobrać grubość warstwy
izolacji tak, żeby temperatura powierzchni zewnętrznej rury wynosiła
20ºC.
ZADANIE 5
Z dużym przybliżeniem cegła dziurawka jest przykładem kompozytu
warstwowego złożonego z warstw cegły (ciała stałego) i warstw porów.
Wyznaczyć współczynniki przewodzenia ciepła w kierunku równoległym
i prostopadłym do warstw, wiedząc, że:
V
ciała stałego
=78%
λ
ciała stałego
=0,2 W/m·deg
V
porów
=22%
λ
porów
=0,001 W/m·deg
ZADANIE 6
Obliczyć natężenie przepływu ciepła na drodze przewodzenia przez
ściankę szamotową o powierzchni 10m
2
i grubości 200mm, jeżeli
temperatury wewnętrznej i zewnętrznej powierzchni ściany wynoszą
odpowiednio 800
°C i 40°C. Współczynnik przewodzenia ciepła szamotu
wynosi 0,7 W/m·deg.
ZADANIE 7
Jaka jest temperatura wewnętrznej powierzchni ściany o grubości
210mm , wykonanej z kształtek bazaltowych, jeżeli straty cieplne ściany
od powierzchni zewnętrznej do otoczenia wynoszą 840 W/m
2
, a
temperatura zewnętrznej powierzchni ściany równa jest 40
°C.
Współczynnik przewodzenia ciepła bazaltu wynosi 2,8 W/m·deg.
T
z
L
T
w
r
3
r
1
r
2
σ
1
ZADANIE 8
Ściana igloo zbudowana jest z desek o grubości
σ
1
= 0,02 m, warstwy
ziemi
σ
2
= 0,15 m i warstwy śniegu. Współczynniki przewodzenia ciepła
wynoszą odpowiednio: λ
1
=
0,2 W/(m K), λ
2
=0,5 W/(m deg), λ
3
=
0,4
W/(m deg). Obliczyć gęstość strumienia cieplnego, dopuszczalną grubość
σ
3
warstwy śniegu, jeżeli temperatura powierzchni desek wewnątrz igloo
wynosi T
1
=10
o
C, temperatura wewnętrznej powierzchni śniegu jest
równa temperaturze topnienia lodu a temperatura zewnętrznej
powierzchni śniegu wynosi T
4
=-40
o
C. Wyznaczyć również temperaturę
na połączeniu warstwy desek i ziemi oraz opór termiczny poszczególnych
warstw w ściance.
ZADANIE 9
Dane:
T
1
=1000
°C
T
2
=70
°C
σ
1
=0,5 m
σ
2
=0,6 m
λ
1
=1 [W/m·deg]
λ
2
=0,45 [W/m·deg]
Przewodzenie ciepła ustalone Q
*1
=Q
*2
.
Obliczyć strumień cieplny, gęstość
strumienia cieplnego i opór termiczny dla tej ścianki. Następnie
wyznaczyć temperaturę T
x
? Powierzchnia tej ścianki wynosi 1 m
2
.
ZADANIE 10
Rura stalowa o średnicy 102/112 mm jest zaizolowana warstwą waty
azbestowej o grubości
σ=70mm. Różnica temperatur pomiędzy
powierzchnią wewnętrzną a zewnętrzną wynosi 200
°C. Obliczyć
natężenie przepływu ciepła, jeżeli długość rury wynosi 15m.
Współczynniki przewodzenia ciepła wynoszą: 50 W/m·deg dla stali, zaś
dla waty azbestowej
λ=0,05 W/m·deg.
ZADANIE 11
Ściana pieca składa się z trzech warstw. Wewnętrzną warstwę stanowi
cegła ognioodporna o grubości
σ
1
=0,1 m i współczynniku przewodzenia
ciepła
λ
1
=0,95 W/m·deg. Środkową warstwą jest cegła zwykła o
σ
2
=0,2m i
λ
2
=0,65 W/m·deg, zewnętrzną natomiast izolacja o σ
3
=0,06m
i
λ
3
=0,1 W/m·deg. Pomiary temperatury wykazały, że temperatura
wewnętrzna ściany wynosi 750
°C, a ściany zewnętrznej 80°C. Obliczyć
straty cieplne pieca z 1m
2
powierzchni ściany oraz zakres temperatur, w
jakim znajduje się warstwa cegły zwykłej.
ZADANIE 12
Stalowy rurociąg o średnicach dw/dz =100/110mm i współczynniku
przewodzenia ciepła λ
1
= 40 W/(m·K) pokryto dwoma warstwami izolacji
o grubości
σ
2
=
σ
3
=30mm. Temperatura wewnętrznej powierzchni
rurociągu T1=623K i zewnętrznej powierzchni izolacji T
4
=323K. Określić
natężenie przepływu ciepła Q
*
, oraz temperaturę T
3
na styku izolacji,
jeżeli warstwy przylegają do siebie. Ile będzie wynosić natężenie
przepływu ciepła Q
*
oraz temperatura T
3
, jeżeli warstwy izolacji zostaną
zamienione w kolejności. Współczynniki przewodzenia ciepła izolacji
wynoszą λ
2
= 0,046 W/(m·K), λ
3
= 0,11 W/(m·K).
ZADANIE 13
Dana jest ścianka wielowarstwowa (A=1x2 m). Przewodzenie ciepła
ustalone.
Wiedząc, że: T
1
=800
°C σ
1
=0,2 m
λ
1
=25 W/m·deg
T
2
=799,4
°C σ
2
=0,1 m
λ
2
=1,0 W/m·deg
T
3
=791,9
°C σ
3
=0,2 m
λ
3
=0,02 W/m·deg
T
4
=40
°C
Obliczyć:
Natężenie przepływu ciepła Q
*
; gęstość strumienia cieplnego q, opór
termiczny poszczególnych warstw w ściance jak również opór termiczny
dla całej ścianki oraz znaleźć izotermę 100
°C.
ZADANIE 14
Dany jest kompozyt warstwowy. Współczynnik przewodzenia ciepła
λ
II
dla tego kompozytu wynosi 0,872 W/m·deg. Udział objętościowy jednej z
faz wynosi 18% zaś jej
λ=4,3 W/m·deg. Wyznaczyć współczynnik
przewodzenia ciepła dla drugiej z faz i zakwalifikować tą fazę do
odpowiedniego rodzaju materiału? Wyznaczyć także
λ dla przewodzenia
ciepła w kierunku prostopadłym do warstw?
ZADANIE 15
Dana jest cylindryczna ścianka o długości 0,7 m. Obliczyć natężenie
przepływu ciepła dla tej ścianki przyjmując jej grubość = 0,12 m. Dobrać
tak materiał (wyznaczyć współczynnik przewodzenia ciepła), żeby
ΔT=20°C? Przewodzenie ciepła ustalone.
Dane do zadania:
λ=0,04 W/m·deg
ΔT=50°C r
1
=0,12 m
Document Outline