Zastosowania matematyki w ekonomii 

 

 

str. 5

 

 

3.

 

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej 

Zadanie 3.1.

 

Wyznaczyć funkcje pochodne do poniższych funkcji: 

a) 

=

+ 3 

 

b) 

= 2 + 3 −

+ 8 − 4  c) 

= 4 − √ −

√

+  

d) 

= 2 + √2 −

,

 

e) 

=

√

√

 

 

f) 

= 4   g) 

=  

h) 

= log   

 

i) 

= ln         j) 

=

∙ 2   k) 

=

+ 2 − 2

 

l) 

= 3 ln −   

ł) 

= 5

ln    

 

m) 

=

!"

#

+

$

 

 

n) 

=

%
%

   

o) 

=

!"

!"

 

p) 

=

√
√

  

q) 

=

+ 1    

r) 

= √ − 4 

s) 

=

#

 

t) 

= '

− 1   u) 

=

!"

 

 

w) 

= log 10  

x) 

= ln

 

y) 

= ln

− 1   z) 

= ln) + √ + 5* 

 

aa) 

= 3  

ab) 

= 4   

ac) 

=

 

ad) 

=

 

 

ae) 

= 2√

 

af) 

= 2 + 1 2

 

 

 

ag) 

=

ln    

ah) 

= + ,  

ai) 

=

ln  

Zadanie 3.2.

 

Koszt  całkowity  wytworzenia  x  jednostek  pewnego  dobra  określony  jest  wzorem: 

-.

= 10000 +

100 − 0,1 . Obliczyć przybliżony koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki przy produkcji x=50 oraz x=200. 

 

Zadanie 3.3.

 

Utarg ze sprzedaży pewnego dobra zależy od wielkości sprzedaży (x) oraz od ceny dobra (p). Cena jest 

funkcją  wielkości  sprzedaży: 

/

= 50 − 0,1 ,  zatem  utarg  określony  jest  wzorem  0

= ∙ /

= 50 −

0,1 . Obliczyć o ile zmieni się utarg przy wzroście sprzedaży o jednostkę z poziomu x=10 oraz x=50.  

 

Zadanie 3.4.

 

Producent  opon  określił  zależność  funkcyjną  między  długością  drogi  hamowania  (y)  a  prędkością 

samochodu  (x)  na  suchej  nawierzchni: 

1 =

= 0,02

,2

.  O  ile  procent  zwiększy  się  droga  hamowania,  jeżeli 

prędkość zwiększy się o 1%.  

Zadanie 3.5.

 

Popyt na określone dobro w zależności od ceny x wyraża się wzorem: 

3

=

%

. Wyznaczyć funkcję 

elastyczności popytu. Obliczyć o ile % (w przybliżeniu) zmieni się popyt, jeśli cena wzrośnie o 1% od poziomu x=10. 

 

Zadanie 3.6.

 

Wyznaczyć  funkcje  pochodne  do  3  rzędu  włącznie  z  funkcji  z  zadania  3.1.  a,  f,  i,  j,  q,  ab  oraz  znaleźć 

wszystkie pochodne funkcji z podpunktu b. 

 

Zadanie 3.7.

 

Korzystając z reguły de l’Hospitala obliczyć granice: 

a) 

lim

→

!"

   

b) 

lim

→

√

,

   

c) 

lim

→ √

 

d) 

lim

→

#

 

e) 

lim

→7

!" 8

%

 

f) 

lim

→7

 

 

g) 

lim

→

9

ln  

h) 

lim

→

9

1 +

!"

 

 

 

 

Zastosowania matematyki w ekonomii 

 

 

str. 6

 

 

 

Zadanie 3.8.

 

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: 

a) 

= − − 2 + 1  b) 

=

+ 3 + 6  

c) 

= − + 2 − 2  

d) 

=

 

e) 

= 2   

f) 

=

   

g) 

= 4 −  

h) 

=

8

%

  

i) 

= ln 1 −

 

Zadanie 3.9.

 

Znaleźć ekstrema lokalne funkcji: 

a) 

= 3 − 5   b) 

=

#

− 2   c) 

= 3

− 5   d) 

= +   

e) 

=

!"

 

f) 

=

,

 

g) 

=

%

 

h) 

= √    

Zadanie 3.10.

 

Zbadać, czy poniższe funkcje mają ekstrema lokalne w punkcie x=0: 

a) 

= 2

;

   

b) 

= 4

2

   

c) 

=

+

 

Zadanie 3.11.

 

Znaleźć ekstrema globalne funkcji w podanych przedziałach: 

a) 

=

− 5 + 5 + 1 dla xϵ<-1, 2> 

b) 

= 5 + 2 −  

dla xϵ<-2, 2> 

c) 

= − 2 ln    

dla xϵ<1, e> 

d) 

= ln − ln   

dla xϵ<1, e> 

Zadanie 3.12.

 

W pewnym przedsiębiorstwie koszt produkcji x jednostek dobra opisany jest funkcją: 

-.

=

#

+ 10 + 5 ∙ 10 .  Znaleźć  taką  wielkość  produkcji,  dla  której  jednostkowy  koszt  produkcji  jest 

najmniejszy. 

 

Zadanie 3.13.

 

Wyznaczyć punkty przegięcia oraz przedziały wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji: 

a) 

=

− 4 − 2 + 1   

b) 

=

−

 

 

c) 

=

 

 

d) 

= 2 + 3 + 12 + 15  

e) 

= 4 − − 0,5  

f) 

=  

Zadanie 3.14.

 

Popyt  na  produkt  nowo  wprowadzony  na  rynek  opisuje  funkcja  postaci: 

=

,;∙8

<=,$>

  ,  gdzie  t 

jest liczbą miesięcy od wprowadzenia produktu na rynek. Określić w jakim okresie od debiutu na rynku popyt rośnie 

coraz szybciej, a w jakim coraz wolniej.  

 

Zadanie 3.15.

 

Znaleźć asymptoty wykresów funkcji: 

a) 

=

   

b) 

=

  

c) 

=

!"

 

Zadanie 3.16.

 

Zbadać przebieg zmienności funkcji: 

a) 

= 2 − 9 + 12   b) 

= 4 − 3 −  

c) 

=

   

d) 

= ln