Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki 

Projekt nr 3

Charakterystyki aerodynamiczne samolotu

3.1 Uwagi wstępne

Wyznaczenie charakterystyk aerodynamicznych całego samolotu wymaga uwzględnienie sił 
i momentów   aerodynamicznych   pochodzących   od   pozostałych   (poza   płatem)   elementów 
samolotu.   Na   wstępnym   etapie   analizy   aerodynamiki   samolotu   wystarcza   zwykle 
uwzględnienie   podzespołów   największych   pod   względem   wymiarów   oraz   tych,   których 
usytuowanie lub kształt generuje siły o znaczących wartościach. Do podzespołów tych należą:

 kadłub samolotu, 
 usterzenie poziome i pionowe, 
 gondole silnikowe i chłodnice zespołu napędowego, 
 owiewki kabiny załogi, 
 podwozie, 
 zastrzały skrzydeł i stateczników, 
 anteny, 
 uzbrojenie zewnętrzne. 

Badania na modelach samolotów pokazują, że z wystarczającą dokładnością siłę nośną, siłę 
oporu  i moment aerodynamiczny całego samolotu wyznaczyć można jako skalarne sumy sił 
i momentu pochodzące od poszczególnych podzespołów: 

Dzieląc obie strony powyższych sum odpowiednio przez

otrzymujemy wyrażenia na bezwymiarowe współczynniki aerodynamiczny sił i momentu:

Współczynniki C

xj

  , C

zj

  oraz C

mAj

   są współczynnikami aerodynamicznymi poszczególnych 

podzespołów   samolotu,   zaś   S

j

  jest   polem   powierzchni   odniesienia   a   l

j

  długością 

charakterystyczną używanymi przy wyznaczaniu danego współczynnika. Opory podzespołów 
samolotu innych niż płat nośny noszą nazwę oporów szkodliwych samolotu. 

Dla celów niniejszych ćwiczeń projektowych współczynniki oporu podzespołów samolotu 
(oprócz usterzenia poziomego) należy wyznaczyć dla kąta natarcia odpowiadającego zerowej 
sile nośnej. Należy również pominąć wyznaczanie współczynników momentów podłużnych 
podzespołów samolotu, zaś we współczynniku siły nośnej należy uwzględnić tylko składnik 
od usterzenia poziomego. 

Wyznaczane   dalej   współczynniki   oporu   i   pola   odniesienia   poszczególnych   podzespołów 
samolotu – za   wyjątkiem   usterzenia   poziomego - wpisujemy   do   tabeli obliczeniowej 
(Tabela 3.1).

Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu ,  wydanie 5.2

III-1 

,

1







n

j

xj

x

P

P







n

j

zj

z

P

P

1

,







n

j

Ayj

Ay

M

M

1

;

,

*

*

*

2

1

2



V

S



a

c

V

S

*

*

*

*

2

1

2





,

*

1

S

S

C

C

n

j

j

xj

x







,

*

1

S

S

C

C

j

n

j

zj

z







.

*

*

*

1

a

j

j

n

j

mAj

mA

c

S

l

S

C

C







Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki 

3.2. Współczynniki oporu aerodynamicznego podzespołów samolotu

A. Kadłub
A.1 Kadłub opływowy 
Badania szeregu kadłubów pokazały, że dla kadłubów opływowych, dobrze dopracowanych 
aerodynamiczne (współczesne szybowce, samoloty sportowe z zakrytą kabiną i z silnikami 
rzędowymi lub płaskimi, odrzutowce wojskowe, samoloty pasażerskie) współczynnik oporu 
kadłuba dla kątów natarcia bliskich zeru można wyznaczyć z następującej zależności [7]:

gdzie (oznaczenia wielkości geometrycznych według rys. 3.1):

Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu ,  wydanie 5.2

III-2 

(3.1)

,

*

*

*

k

ck

Ma

k

f

xk

S

S

c

C







,

*

*

85

.

2

k

k

ck

S

l

S



ck

S

-pole  powierzchni  zewnętrznej  kadłuba  omywanej  przez  powietrze;  ze  względu  na 
trudności obliczeniowe, jakie wystąpiłyby przy próbie obliczenia wartości tego pola 
(brak  dokładnych  rysunków  geometrii  kadłuba),  pole  to  wyznaczyć  można 
z przybliżonej zależności:

Ma



-współczynnik uwzględniający  wpływ  ściśliwości  powietrza na opór kadłuba, dany 
na rys. Z.69 jako funkcja liczby Macha Ma oraz wydłużenia nosowej części kadłuba 


nk

, 

k



-współczynnik  uwzględniający  wpływ  kształtu  kadłuba  na  opór,  dany  na  rysunku 
Z.68 [2] jako funkcja wydłużenia kadłuba 



k

, 

f

c

-współczynnik oporów tarcia wynikającego z omywania powierzchni kadłuba przez 
powietrze;  wyznaczyć  go  należy  z  rysunku  Z.67  [2]  dla  liczby  Reynoldsa  kadłuba 
Re

k

, 

-pole  maksymalnego  przekroju  czołowego  kadłuba  mierzone  w  płaszczyźnie 
prostopadłej  do  osi  geometrycznej  kadłuba  (osi  symetrii  bryły  obrotowej  najlepiej 
przybliżającej kształt kadłuba),

k

S



k

k

k

S

l

*

4





-wydłużenie kadłuba,

Rys. 3.1.

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki 

- wydłużenie nosowej części kadłuba.

l

nk 

- długość nosowej części kadłuba, równa odległości maksymalnego 

przekroju czołowego kadłuba od nosa kadłuba. 

Występujące   w   powyższych   zależnościach   liczby   podobieństwa   hydrodynamicznego 
Reynoldsa Re

k

 oraz Macha Ma są odpowiednio równe:

Uwaga: Wynik obliczeń współczynnika oporu kadłuba według zależności (3.1) zaleca się porównać z oporami 
kadłubów podanych w [2].

A.2 Kadłub nieopływowy 
Dla   kadłubów   nieopływowych,   o   pękatym   kształcie   lub   z   nieosłoniętym   silnikiem 
gwiaździstym,   odkrytą   kabiną   należy   oszacować   współczynnik   oporu   C

xk

  posługując   się 

rysunkami   Z.35   i   Z.36   [2]   lub   innymi   źródłami   wskazanymi   przez   prowadzącego 
projektowanie,   wybierając   dane   dla   kadłuba   najbardziej   zbliżonego   kształtem   do   kadłuba 
samolotu analizowanego w projekcie. 

A.3 Zakres wartości współczynnika Cx

k

 

Otrzymana wartość współczynnika Cx

k

 nie powinny być mniejsze niż 0.06.  Dla opływowych 

kadłubów wypadać winna w przedziale od 0.08 do 0.15.  Współczynniki oporów kadłubów 
starych samolotów, z okresu 1910-1930, miały wartości od 0.1 do 0.3. 

Uwaga:   Pamiętać   należy,   jaka   jest   powierzchnia   odniesienia   dla   współczynnika   oporu   kadłuba   (jest   ona  
zdefiniowana w źródle danych o współczynniku oporu kadłuba). Zwykle jest to maksymalny przekrój czołowy  
bryły kadłuba, łącznie z konturem silnika i owiewką kabiny. 

B. Usterzenie  poziome.

Opór   aerodynamiczny   usterzenia   poziomego   zależy   od   warunków   równowagi   podłużnej 
samolotu ze względu na występowanie w nim składnika zależnego od kwadratu siły nośnej na 
usterzeniu. Załóżmy, że samolot leci symetrycznym lotem poziomym ustalonym z prędkością 

Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu ,  wydanie 5.2

III-3 

Rys. 3.2.

.

d

a

V

Ma





,

*

Re



k

k

l

V







k

nk

nk

S

l

*

4





Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki 

V

∞

.   Równania   równowagi   podłużnej   (równania   sił   względem   osi   x   i   z   oraz   równanie 

momentów względem osi y) mają przybliżoną postać (rys.3.2, układ x

1  

y

1  

z

1

   z początkiem 

w środku masy C; przy rzutowaniu sil na osie Cx

 1 

y

1 

z

1 

przyjęto, że kąt natarcia α  jest mały 

i sinα = 0 oraz  cos α =1): 

Pz  - m * g 

=  0

}

Px  -  Ps 

=  0

]>

(3.2) 

M

S.A.

 + P

z

 * ( x

 S.C. - 

x

 S.A.

) - P

z H 

. 

* l 

H 

= 0

}

Ostatnie   z   równań   równowagi   (3.2)   pozwoli   wyznaczyć   współczynnik   siły   nośnej   na 
usterzeniu wysokości Cz

H

, zapewniający równowagę. Biorąc pod uwagę, iż:

oraz dzieląc obustronnie trzecie z równań  (3.2)  przez  

½**S*V



2 

*c

a

  otrzymujemy:

gdzie:

- współczynnik   momentu   podłużnego   płata   samolotu   względem 

środka aerodynamicznego płata,

- względne położenie środka aerodynamicznego płata,

- względne położenie środka masy samolotu,

- cecha objętościowa usterzenia poziomego,

- pole powierzchni i ramię usterzenia poziomego (por. rys. 3.2); 

ramię  usterzenia   wysokości   jest   mierzone   od   środka   masy 
samolotu do środka aerodynamicznego usterzenia równolegle do 
kierunku cięciwy płata;

- kwadrat   stosunku   średniej   wartości   prędkości   opływu   wokół 

usterzenia

 wysokości   do   wartości   prędkości   opływu 

niezaburzonego   (równy   stosunkowi   średniego   ciśnienia 
dynamicznego opływu na usterzeniu do ciśnienia dynamicznego 
opływu niezaburzonego); przyjąć wartości: 

•

0.98 dla usterzeń typu T (usterzenie poziome na 
stateczniku  pionowym), 

•

0.90 dla usterzeń usytuowanych pod kadłubem, 

•

0.85 dla usterzeń usytuowanych w osi kadłuba. 

Ze   związku   (3.3)   można   już   wyznaczyć   wartość   współczynnika   Cz

H

  zapewniającą 

równowagę momentów podłużnych względem osi Cy

1

:  

Wielkości   geometryczne   występujące   w   powyższych  zależnościach   można   odczytać 
z rysunków   sylwetki   samolotu.   Położenie   środka   masy   winno   być   podane   w   danych 
technicznych samolotu. Jeżeli danych takich jest brak, to wielkość x

S.C.

/c

a

  można założyć, 

Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu ,  wydanie 5.2

III-4 

H

H

l

S ,

.

*

'

.

.

.

.

'

.

.

Cz

x

x

Cm

Cz

H

A

S

C

S

H

A

S

H











(3.4)

M

S . A .

=

1
2

∗

ρ∗S∗V

∞

2

∗

C

mS . A .

∗

c

a

,

P

x

=

1

2

∗

ρ∗S∗V

∞

2

∗

C

x .

,

P

z

=

1
2

∗

ρ∗S∗V

∞

2

∗

C

z .

,

x

S.C.

=

x

S.C.

c

a

.

.A

S

Cm

x

S.A.

=

x

S.A.

c

a

2

'

*

*

*



















V

V

c

S

l

S

H

a

H

H

H



2

















V

V

H

H

H

A

S

C

S

A

S

Cz

x

x

Cz

Cm

*

)

(

*

.

.

.

.

.

.

 







)

3

.

3

(

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki 

przyjmując np. wartość 0.28. Jako wartości współczynnika momentu podłużnego Cm

S.A. 

oraz 

położenie środka aerodynamicznego   x

S.A.  

można przyjąć takie, jak dla płata pomijając tym 

samym wpływy pozostałych podzespołów samolotu. Pamiętać jednak przy tym należy, że jest 
to   postępowanie   przybliżone   i   że   w   dalszych   projektach   poświęconych   zagadnieniom 
podłużnej   równowagi,   stateczności   i   sterowności     wyznaczanie   momentów   podłużnych 
samolotu wykonane zostanie znacznie dokładniej. 
Współczynnik oporu usterzenia poziomego, analogicznie jak dla płata nośnego, wyznaczamy 
ze związku:

gdzie :

C. Usterzenie pionowe
W locie symetrycznym usterzenie pionowe opływane jest symetrycznie, zaś ster kierunku nie 
jest   wychylony,   zatem   współczynnik   oporu   usterzenia   pionowego   nie   zawiera   oporu 
indukowanego i wynosi (oznaczenia analogiczne jak dla usterzenia poziomego): 

Uwaga.  W  przypadku  braku  danych o typie  profili  usterzeń  poziomego i  pionowego analizowanego  
samolotu   można   przyjąć,   że   dla   samolotów   o   prędkości     maksymalnej     lotu     poziomego   nie  
przekraczającej   360   km/godz.   jest   to   profil   NACA 0012,   zaś   dla   samolotów   szybszych   –   profil  
NACA  0009. 
Polem   powierzchni   odniesienia   S

V

  jest   –   analogicznie   do   płata   nośnego   –   pole   rzutu   obrysu   usterzenia  

pionowego na płaszczyznę symetrii samolotu. 

D. Inne elementy samolotu
Wartości   współczynników   oporu   pozostałych   elementów   samolotu   należy   wyznaczyć   na 
podstawie badań tunelowych modeli zamieszczonych np. w [2] rysunki Z.37 do Z.55. 

Tabela 3.1

L.p.

Podzespół

Cx

j

S

j

 Cx

j

*S

j

Źródło danych

1

Kadłub

2

Owiewka kabiny

3

Usterzenie pionowe

4

Podwozie

5

Owiewka silnika

6

Zewnętrzne zbiorniki paliwa

.....

.........

n

 

Cx

j

*S

j

Uwaga:  w  niektórych   źródłach   danych  zamiast   wartości  współczynników  oporu  części  samolotu  oraz  pola  
powierzchni   odniesienia   związanej   z   tym   współczynnikiem   podane   są   wartości   siły   oporu   P

x j

  zmierzonej 

w tunelu   aerodynamicznym   oraz   informacje   dotyczące   pomiaru:   prędkość   lub   ciśnienie   dynamiczne  

Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu ,  wydanie 5.2

III-5 





min



H

Cx

-minimalna wartość współczynnika oporu profilu usterzenia, 

szcz

Cx



-przyrost współczynnika oporu profilowego wynikający z istnienia szczelin 
między  statecznikiem  a  sterem  oraz  między  sterem  a  klapką  wyważającą; 
przyjąć wartość od 0.0040 do 0.0060; 

H

H

H

eH

e

S

b

*

2





-wydłużenie  usterzenia  poziomego  skorygowane  o  wpływ  obrysu 
usterzenia  i  szczelin  między  statecznikiem  a  sterem;  wartość  e

H

 

przyjąć równą od 0.7 (stateczniki o małym wydłużeniu) do 0.9. 





,

*

2

min

eH

H

szcz

H

H

Cz

Cx

Cx

Cx















(3.5)





,

min

Vszcz

V

V

Cx

Cx

Cx









 

6

.

3

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki 

w przestrzeni pomiarowej tunelu oraz gęstość powietrza; w tym przypadku należy wyznaczyć tylko wartość C

x j

S

j 

posługując się oczywistą zależnością

C

x j

⋅

S

j

=

P

x j

1
2

⋅⋅

V

2

.

3.3. Opory szkodliwe samolotu
Na podstawie danych zgromadzonych  w Tabeli  3.1 wyznaczamy  sumę  

Cx

j

*S

j 

, a na jej 

podstawie minimalną wartość współczynnika oporów szkodliwych:

 

Wpływ   kąta   natarcia   na   opór   szkodliwy   samolotu   uwzględnić   można   przyjmując 
liniową zależność od współczynnika siły nośnej w postaci: 

gdzie: 

ζ - współczynnik   proporcjonalności   zamian   oporów   szkodliwych;   do   obliczeń 

przyjąć   wartości   w   zakresie   od   6.0   dla   samolotów   o   dobrze   opracowanej 
sylwetce   (wojskowe   samoloty   odrzutowe,   odrzutowe   samoloty   pasażerskie, 
współczesne   samoloty   sportowe)   do   3.0   (samoloty   rolnicze,   samoloty 
wielozadaniowe z zastrzałami, podwieszeniami).

3.4 Współczynnik oporu kompletnego samolotu
Badania tunelowe modeli samolotu oraz badania samolotów w locie pokazują, że opór całego 
samolotu   zwykle   bywa   większy,   niż   suma   oporów   poszczególnych   jego   podzespołów. 
Ów dodatkowy opór, będący wynikiem niekorzystnego oddziaływania podzespołów na siebie 
nosi nazwę oporu interferencyjnego. Zjawisko to uwzględnić należy przyjmując zależność na 
współczynnik oporu kompletnego samolotu w postaci: 

gdzie: 

Cx

’

p

  - współczynnik oporu płata,

Cx

’

szk

  - współczynnik oporów szkodliwych wg (3.8),

K

interf

  - współczynnik wzrostu oporów na skutek interferencji aerodynamicznej;

   przyjąć odpowiednio wartość: 

•

0.02 dla odrzutowców 

•

0.04 dla samolotów śmigłowych o dobrze dopracowanej sylwetce 

•

0.06 do 0.15 dla pozostałych samolotów. 

Obliczenia   współczynnika   oporu   samolotu   wykonać   należy   wykorzystując   Tabelę   2.2 
Projekt nr 2. 

3.4 Współczynnik siły nośnej samolotu

Zgodnie z założeniami uwzględnić należy wpływ siły nośnej na usterzeniu wysokości na siłę 
nośną całego samolotu. Współczynnik siły nośnej samolotu wyniesie zatem: 

Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu ,  wydanie 5.2

III-6 

(3.8)

C

x szk

'

=



C

x szk



min

⋅



1

∣

C

z

∣





,





S

S

Cx

Cx

n

j

j

j

szk







1

min

*

 

7

.

3





erf

H

H

szk

p

K

Cx

S

S

Cx

Cx

Cx

int

'

'

1

*

*





















 

9

.

3

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki 

Obliczenia   współczynnika   siły   nośnej   na   usterzeniu   wysokości   i   dla   całego   samolotu 
wykonać należy wykorzystując Tabelę 2.2 (Projekt nr 2). 

3.5 Charakterystyki aerodynamiczne samolotu
Oprócz wartości współczynnika  oporu i współczynnika  siły nośnej obliczamy  dodatkowo 
dwie inne charakterystyki aerodynamiczne (wykorzystując również Tabelę 2.2):

Wyniki obliczeń przedstawiamy na wykresach (rys. 3.3). 

3.6 Aproksymacja charakterystyk aerodynamicznych. Biegunowa analityczna 
W wielu   przypadkach,   szczególnie   wtedy   gdy   należy   szybko   wykonać   choćby   mocno 
przybliżone oszacowanie parametrów lotu samolotu, wykorzystuje się przybliżone zależności 
na Cz(α), Cx(Cz) czy C

mB.H.

(Cz) w postaci możliwie prostych funkcji elementarnych. 

Zależność współczynnika oporu aerodynamicznego samolotu od współczynnika siły nośnej 
Cx(Cz) przyjmuje się w postaci niepełnego wielomianu drugiego stopnia (paraboli): 

Zależność ta nosi nazwę  biegunowej analitycznej. Wartości współczynników aproksymacji 
Cx

0

  oraz     1/(



e

)   należy   uzyskać   drogą   aproksymacji   wyznaczonej   w   projektach   2   i   3 

biegunowej „rzeczywistej” Cx(Cz). 

Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu ,  wydanie 5.2

III-7 

-doskonałość aerodynamiczną 

,

'

Cx

Cz

K



.

2

3

'

Cx

Cz

E



-aerodynamiczną funkcję energetyczną 

Rys 3.3.

Cx=Cx

0



Cz

2

πΛ

e

,

*

'

H

H

Cz

S

S

Cz

Cz









10

.

3

(3.11)

Λ

e

=

1

π⋅

(

1

π⋅Λ

e

)

lub (dla metody wykreślno-rachunkowej)

Λ

e

=

1

π∗

(

ΔCx

ΔCz

2

)

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki 

Wyznaczanie   zależności   współczynnika   momentu   podłużnego   samolotu   C

mB.H.

  od   kąta 

natarcia lub współczynnika siły nośnej wykracza poza zagadnienia osiągów samolotu i będzie 
omawiana w drugiej części kursu Mechaniki Lotu. 
Aproksymację   dyskretnej   funkcji   Cx(Cz)   można   wykonać   dowolną   metodą   korzystając 
z  kalkulatora   programowanego   i   jego   wbudowanych   funkcji   aproksymacji   lub   też 
z mikrokomputera i odpowiedniego oprogramowania (patrz opis projektu nr 2, wyznaczanie 
współczynnika a=dC

z

/dα dla profilu i dla płata nośnego). Można również skorzystać z nieco 

mniej   dokładnej   metody   wykreślno-rachunkowej,   wykonując   wykresy   zależności   Cx(Cz

2

) 

(rys. 3.4) i odczytując z nich wartości   Cx

0

 i                   . 

Uwaga: Otrzymane  wartości współczynników aproksymacji należy sprawdzić. 

Dla   biegunowej   analitycznej   (3.10)   współczynnik   stojący   przy   C

z

2

  należy   sprawdzić   obliczając   wartość  

wydłużenia efektywnego ze  wzoru 

i porównując ją z wydłużeniem geometrycznym 

. Stosunek               (nazywany współczynnikiem Oswalda)  

winien znajdować się w zakresie od 0.7 do 0.98.

Współczynnik Cx

0

  winien być niemal dokładnie równy wartości minimalnego współczynnika oporu samolotu  

(Cx)

min

  (por. Tab. 2.2 w Projekcie 2). 

Dwa   przykłady   [10]   ilustrujące   wyniki   wyznaczania   biegunowej   analitycznej   oraz   błędy 
aproksymacji rzeczywistych zależności Cx(Cz) pokazano na rysunku 3.5. 
Po wyznaczeniu  współczynników zależności  (3.11) należy sporządzić  wykres biegunowej 
analitycznej nanosząc ją na wykres wyznaczonej uprzednio dyskretnej biegunowej samolotu. 
Istotne   różnice   między   aproksymacją   a   funkcja   dyskretną   przy   prawidłowo   wykonanych 
obliczeniach  mogą występować  jedynie  w zakresie  dużych  kątów natarcia  lub  w pobliżu 
Cz=0  (por. rys. 3.5). 

Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu ,  wydanie 5.2

III-8 

Rys 3.4

1

π⋅Λ

e

=

ΔCx

Δ Cz

2

e =

Λ

e

Λ

Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechniki Warszawskiej - Zakład Mechaniki 

[***]

Zbigniew Paturski - Przewodnik po projektach z Mechaniki Lotu ,  wydanie 5.2

III-9 

Rys. 3.5