3.
Równowaga 1
ZADANIA
1. Popyt rynkowy na pewne dobro X dany jest równaniem:
X
X
P
Q
1
=
, natomiast podaż rynkową tego
dobra można opisać funkcją liniową postaci:
X
X
P
Q
=
. Krzywa popytu zmieniła położenie i teraz
opisuje ją równanie:
X
X
P
Q
4
=
. Wykonaj następujące polecania:
a) Wyznacz
dziedzinę funkcji tak, żeby miały sens matematyczny i ekonomiczny.
b) Przedstaw graficznie opisaną sytuację oraz wymień kilka przyczyn, które mogły spowodować
zmianę położenia krzywej popytu.
c) Oblicz
cenę i wielkość równowagi w pierwotnym i nowym punkcie równowagi rynkowej.
d) Oblicz
elastyczność cenową popytu i podaży w obydwu punktach równowagi.
2. Popyt rynkowy na pewne dobro X dany jest równaniem:
P
Q
100
400
−
=
, natomiast podaż rynkową
tego dobra można opisać funkcją postaci:
50
50
−
= P
Q
. Krzywa podaży zmieniła położenie; teraz
opisuje ją równanie:
100
50
+
= P
Q
.
a) Wyznacz
dziedzinę funkcji tak, żeby miały sens matematyczny i ekonomiczny.
b) Przedstaw graficznie opisaną sytuację oraz wymień kilka przyczyn, które mogły spowodować
zmianę położenia krzywej podaży.
c) Oblicz
cenę i wielkość równowagi w pierwotnym i nowym punkcie równowagi rynkowej.
d) Oblicz
elastyczność cenową popytu i podaży w obydwu punktach równowagi.
3. Krzywe popytu i podaży na rynku dobra X dane są równaniami:
1
−
= P
X
,
P
X
−
= 7
. Oceń, czy rynek
znajdzie się po pewnym czasie w równowadze, jeżeli wyjściową ceną jest P = 6 j.p. Przedstaw graficznie
zmiany ceny jako funkcję czasu.
4. Krzywe popytu i podaży na rynku dobra X to:
Q
P
−
=12
;
3
5
,
1
−
= Q
P
.
a) Oblicz
elastyczność cenową popytu i podaży w punkcie równowagi rynkowej.
b) Wiedząc, że w wyjściowej sytuacji na rynku sprzedawcy oferują swój towar po cenie 9 j.p.
przedstaw na drugim rysunku zmiany ceny jako funkcję (ścieżkę) czasu.
c) Czy rynek dojdzie po pewnym czasie do stanu równowagi?
5. Dany jest rynek owiec, na którym sprzedaje 200 hodowców i kupuje 100 nabywców. Załóż, że wszyscy
hodowcy mają tę samą funkcję podaży, opisaną równaniem:
5
,
1
005
,
0
+
=
P
Q
S
oraz że funkcja popytu
nabywców to:
P
Q
D
02
,
0
12
−
=
. Hodowcy ustalają swoje plany produkcji na każdy rok wg ceny
równowagi w roku poprzednim licząc, że cena bieżąca ustali się na poziomie ubiegłorocznym (przy
czym hodowcy nie mogą ani gromadzić owiec, ani zmieniać swojego planu produkcji).
a) Ustal popyt i podaż na rynku.
b) Wyznacz ceny, jakie zostaną ustalone w latach następnych, przyjmując, że w roku pierwszym cena
owiec wynosi 500 zł.
c) Przedstaw graficznie zmiany cen jako funkcji czasu.
6. Dany jest model rynku, na którym występują dwa dobra. Popyt i podaż opisane są poniższymi
równaniami. Wyznacz ceny i wielkości równowagi obydwu dóbr oraz określ, czy są to dobra
komplementarne, substytucyjne, czy neutralne.
a)
−
=
−
+
=
−
=
+
−
=
4
9
2
16
5
6
3
15
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
P
Q
P
P
Q
P
Q
P
P
Q
S
D
S
D
b)
−
=
−
−
=
−
=
−
−
=
4
5
2
16
10
2
2
2
20
2
2
2
1
2
1
1
2
1
1
P
Q
P
P
Q
P
Q
P
P
Q
S
D
S
D
c)
−
=
−
=
−
=
−
=
4
4
16
10
2
2
20
2
2
2
2
1
1
1
1
P
Q
P
Q
P
Q
P
Q
S
D
S
D
2 3.
Równowaga
7. Dany jest model rynku, na którym występują dwa dobra. Popyt i podaż opisane są poniższymi
równaniami. Zapisz w postaci funkcyjnej.
+
⋅
=
+
⋅
=
D
P
C
Q
B
P
A
Q
S
D
, gdzie:
=
2
1
D
D
D
q
q
Q
;
=
2
1
S
S
S
q
q
Q
;
−
−
=
1
2
1
3
A
;
=
16
15
B
;
=
9
0
0
6
C
;
−
−
=
4
5
D
;
=
2
1
p
p
P
.
8. Dane
są następujące modele rynku. Wyznacz ceny i wielkości równowagi dóbr.
a) Model z dwoma dobrami:
+
⋅
=
+
⋅
=
D
P
C
Q
B
P
A
Q
S
D
, gdzie:
=
2
1
D
D
D
q
q
Q
;
=
2
1
S
S
S
q
q
Q
;
−
−
=
5
,
0
1
2
3
A
;
=
5
,
10
18
B
;
=
2
0
0
1
C
;
=
8
12
D
;
=
2
1
p
p
P
;
b) Model z trzema dobrami:
+
⋅
=
+
⋅
=
D
P
C
Q
B
P
A
Q
S
D
, gdzie:
=
3
2
1
D
D
D
D
q
q
q
Q
;
=
3
2
1
S
S
S
S
q
q
q
Q
;
−
−
−
−
−
=
5
14
30
36
10
15
12
20
10
A
;
=
55
10
6
B
;
=
15
0
0
0
10
0
0
0
20
C
;
−
=
10
20
4
D
;
=
3
2
1
p
p
p
P
.
9. Zapisz w innej postaci (macierzowej lub funkcyjnej) oraz rozwiąż następujący model dochodu
narodowego, zakładając, że inwestycje wynoszą 100 j.p., natomiast wydatki rządowe 60 j.p.:
a)
+
=
+
+
=
Y
C
G
I
C
Y
5
,
0
2
0
0
;
b)
+
=
⋅
−
−
4
1
2
,
0
1
1
0
0
G
I
C
Y
;
c)
+
=
+
+
=
Y
C
G
I
C
Y
4
,
0
26
0
0
;
d)
+
=
⋅
−
−
20
1
5
,
0
1
1
0
0
G
I
C
Y
10. Na pewnym rynku występuje dwóch handlowców H
1
i H
2
, którzy dokonują wymiany barterowej
dotyczącej dwóch dóbr: x
1
i x
2
. Podaż pierwszego z handlowców można opisać wektorem
( )
5
,
8
1
=
a
,
drugiego natomiast
( )
7
,
4
2
=
a
. Preferencje obydwu handlowców przedstawia funkcja
(
)
2
1
2
1
,
x
x
x
x
U
T
=
.
a) Przedstaw graficznie zbiór dopuszczalnych alokacji (różnych kombinacji wymiany pomiędzy
handlowcami) w postaci prostokąta Edgewortha.
b) Nanieś na rysunek kilka krzywych obojętności obydwu handlowców oraz zaznacz krzywą
kontraktów.
3.
Równowaga 3
c) Omów, co będzie się działo na rynku, jeżeli wyjściową sytuację opisują wektory a
1
i a
2
. Które dobra
i w jakiej ilości będą sprzedawali i kupowali handlowcy, aby dojść do równowagi?
11. Rysunek przedstawia model rynku, na którym występuje dwóch handlowców sprzedających i
kupujących dobra x
1
i x
2
. Handlowcy znajdują się w punkcie opisanym jako A. Na podstawie rysunku
odpowiedz na pytania:
a) Ile
dobra
x
1
i x
2
ma każdy z handlowców?
b) Ile i którego dobra musi sprzedać każdy z handlowców, aby dojść do równowagi?
c) Znacz na wykresie te transakcje (kombinacje dóbr), które są niegorsze od tej w wyjściowym
punkcie A.
d) Zaznacz
krzywą kontraktową.
e) Znacz na wykresie ścieżkę dochodzenia do równowagi, zaczynając od wyjściowego punktu A.
I.
II.
H
1
H
2
x
2
x
1
x
2
x
1
A
H
1
H
2
x
2
x
1
x
2
x
1
A
4 3.
Równowaga
12. Rysunek przedstawia skrzynkę Edgewortha, dotyczącą dwóch handlowców H
1
i H
2
, którzy handlują
dwoma dobrami x
1
i x
2
(sytuację, w której znajdują się obecnie handlowcy opisuje punkt E). Odpowiedz
na poniższe pytania:
a) Które
dobro
–
x
1
czy x
2
– kupuje handlowiec H
1
, a które handlowiec H
2
?
b) Które
dobro
–
x
1
czy x
2
– sprzedaje handlowiec H
1
, a które handlowiec H
2
?
c) Czy na rynku jest niedobór czy nadwyżka dobra x
1
?
d) Czy na rynku jest niedobór czy nadwyżka dobra x
2
?
e) Jak
będzie się przedstawiał proces dostosowawczy i w jaki sposób będzie się zmieniać ograniczenie
budżetowe? Jak zmieni się wielkość sprzedaży obu dóbr u handlowców w równowadze doskonale
konkurencyjnej?
13. Na rynku jest dwóch handlowców, obydwaj mają do wymiany dwa towary: x
1
i x
2
. Podaż pierwszego
handlowcy to
( )
4
,
3
1
=
a
, drugiego natomiast:
( )
7
,
2
2
=
a
. Funkcję preferencji pierwszego handlowcy
można opisać następująco:
(
)
2
1
2
1
,
x
x
x
x
U
T
=
; funkcja preferencji drugiego handlowca to:
(
)
5
,
0
2
5
,
0
1
2
1
,
x
x
x
x
U
T
=
. Znajdź taką kombinację dóbr, która będzie maksymalizowała użyteczności
całkowite handlowców oraz wyznacz ceny (proporcje cen) gwarantujące równowagę na rynku (model
Arrowa-Hurwicza).
14. Na rynku jest dwóch handlowców, którzy mają do wymiany dwa dobra: x
1
i x
2
. Podaż pierwszego
handlowca można opisać wektorem
(
)
10
,
4
1
=
a
, drugiego natomiast –
( )
4
,
6
2
=
a
. Indywidualne
funkcje popytu handlowców na te dwa dobra to:
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
4
6
2
10
4
2
4
6
2
10
4
p
p
p
x
p
p
p
x
p
p
p
x
P
p
p
x
+
=
+
=
+
=
+
=
a) Ustal wektor popytu rynkowego i podaży rynkowej;
b) Zapisz
funkcję (wektorową) nadwyżkowego popytu;
c) Ustal parametry równowagi w modelu Arrowa-Hurwicza (wielkości popytu handlowców na dobra
x
1
i x
2
oraz proporcje cen tych dóbr).
d) Oblicz przychód ze sprzedaży każdego z handlowców (zakładając, że sprzedają wszystko co mają w
wyjściowej sytuacji), jeżeli p
1
= 1.
H
1
H
2
x
2
x
1
x
2
x
1
B
A
E
3.
Równowaga 5
15. Na rynku jest dwóch handlowców, którzy mają do wymiany dwa dobra: x
1
i x
2
. Indywidualne funkcje
popytu handlowców na te dwa dobra to (model Arrowa-Hurwicza):
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
4
10
2
12
5
2
4
10
2
12
5
p
p
p
x
p
p
p
x
p
p
p
x
p
p
p
x
+
=
+
=
+
=
+
=
Ich podaż przedstawia punkt A zaznaczony na wykresie (model Edgewortha).
a) Ustal wektor popytu rynkowego i podaży rynkowej;
b) Zapisz
funkcję (wektorową) nadwyżkowego popytu;
c) Ustal parametry równowagi w modelu Arrowa-Hurwicza (wielkości popytu handlowców na dobra
x
1
i x
2
oraz proporcje cen tych dóbr).
d) Oblicz przychód ze sprzedaży każdego z handlowców (zakładając, że sprzedają wszystko co mają w
wyjściowej sytuacji), jeżeli p
1
= 1.
H
1
H
2
x
2
x
1
x
2
x
1
A