Dowód twierdzenia o istnieniu i jednoznaczno±ci
Przypomnijmy:
Zakªadamy, »e f : R × R
k
⊃→ R
k
jest ci¡gªa i pochodne cz¡stkowe wszystkich
wspóªrz¦dnych
∂f
p
∂x
i
,
i, p ≤ k,
s¡ ci¡gªe. Niech (t
0
, x
0
) ∈ U.
Wówczas istnieje δ > 0 taka, »e zagadnienie pocz¡tkowe
x
0
= f (t, x),
x(t
0
) = x
0
,
posiada w przedziale I := [t
0
− δ, t
0
+ δ]
dokªadnie jedno rozwi¡zanie.
Zauwa»my najpierw, »e wystarczy pokaza¢ istnienie dokªadnie jednej funkcji ci¡gªej
ϕ : I → R
k
speªniaj¡cej równanie
ϕ(t) = x
0
+
Z
t
t
0
f (s, ϕ(s)) ds.
Wybierzmy δ
1
> 0
i R > 0 takie, by P := [t
0
− δ
1
, t
0
+ δ
1
] × K(x
0
, R) ⊂ U,
a nast¦pnie
M = sup{|f (t, x)| : (t, x) ∈ P } < ∞.
Z twierdzenia o przyrostach bior¡c |t − t
0
| ≤ δ
1
i x, y ∈ K(x
0
, R)
mamy
|f (t, x) − f (t, y)| ≤ sup
0≤ξ≤1
k
X
i,p=1
¯
¯
¯
¯
∂f
p
∂x
i
(t, (1 − ξ)x + ξy)
¯
¯
¯
¯ · |x − y|.
Poniewa» punkt (1 − ξ)x + ξy nale»y do tej samej kuli, a pochodne cz¡stkowe, jako
ci¡gªe s¡ na P ograniczone, istnieje wi¦c staªa L > 0 taka, »e
|f (t, x) − f (t, y)| ≤ L|x − y|.
We¹my δ ∈ (0, δ
1
]
takie, by Mδ ≤ R i q := Lδ < 1. Skonstruujemy rozwi¡zanie
równania caªkowego dane na przedziale I. Niech ϕ
0
(t) ≡ x
0
,
i
ϕ
n+1
(t) = x
0
+
Z
t
t
0
f (s, ϕ
n
(s)) ds,
n = 0, 1, 2, . . . .
Zauwa»my, »e je±li ϕ
n
(t) ∈ K(x
0
, R)
dla t ∈ I, to ϕ
n+1
(t) ∈ K(x
0
, R)
dla t ∈ I, bo
|ϕ
n+1
(t) − x
0
| ≤
Z
max(t
0
,t)
min(t
0
,t)
|f (s, ϕ
n
(s)) ds ≤ M δ ≤ R.
Zatem ci¡g ten jest dobrze okre±lony.
Oszacujmy
|ϕ
n+1
(t)−ϕ
n
(t)| ≤
Z
max(t
0
,t)
min(t
0
,t)
|f (s, ϕ
n
(s))−f (s, ϕ
n−1
(s))| ds ≤ Lδ·sup
s∈I
|ϕ
n
(s)−ϕ
n−1
(s)| ≤
≤ q
2
sup
s∈I
|ϕ
n−1
(s) − ϕ
n−2
(s)| ≤ . . . ≤ q
n
sup
s∈I
|ϕ
1
(s) − ϕ
0
(s)| = q
n
R.
Dla m > n mamy wi¦c
|ϕ
m
(t) − ϕ
n
(t)| ≤ |ϕ
m
(t) − ϕ
m−1
(t)| + |ϕ
m−1
(t) − ϕ
m−2
(t)| + . . .
1
