dr in˙z. Magdalena Topczewska
´
Cwiczenia nr 4
Charakterystyki i funkcje zmiennej losowej
Zakres teorii
• Charakterystyki liczbowe
– warto´
s´
c oczekiwana
– wariancja
– odchylenie standardowe
– mediana
– dominanta (moda)
– kwartyle
– wsp´
o lczynnik asymetrii i sp laszczenia
– momenty
• Funkcje zmiennej losowej dyskretnej i ci
,
ag lej
Wybrane charakterystyki zmiennych losowych
Warto´
s´
c oczekiwana (warto´
s´
c przeci
,
etna, warto´
s´
c ´
srednia)
Warto´
s´
c okre´
slaj
,
aca spodziewany wynik do´
swiadczenia losowego
• zmienna dyskretna:
E(X) =
n
P
i=1
x
i
p
i
• zmienna ci
,
ag la:
E(X) =
+∞
R
−∞
xf (x)dx
Wariancja
Miara rozproszenia danych wok´
o l warto´
sci przeci
,
etnej
• zmienna dyskretna:
V (X) =
n
P
i=1
(x
i
− E(X))
2
p
i
• zmienna ci
,
ag la:
V (X) =
+∞
R
−∞
(x − E(X))
2
f (x)dx
Prostszy wz´
or: V (X) = E(X
2
) − E
2
(X).
Odchylenie standardowe
D(X) =
pV (X).
Mediana
Warto´
s´
c ´
srodkowa zmiennej losowej
P (X 6 M e) > 0.5
i
P (X > M e) > 0.5
W przypadku zmiennej ci
,
ag lej: F (M e) = 0.5.
Kwartyl dolny (pierwszy)
P (X 6 Q
1
) > 0.25
i
P (X > Q
1
) > 0.75
W przypadku zmiennej ci
,
ag lej: F (Q
1
) = 0.25.
Kwartyl g´
orny (trzeci)
P (X 6 Q
3
) > 0.75
i
P (X > Q
3
) > 0.25
W przypadku zmiennej ci
,
ag lej: F (Q
3
) = 0.75.
Moda (dominanta)
Warto´
s´
c najcz
,
e´
sciej wyst
,
epuj
,
aca w zbiorze (r´
o ˙zna od warto´
sci minimalnej i maksymalnej).
• zmienna dyskretna: warto´
s´
c zmiennej losowej, dla kt´
orej prawdopodobie´
nstwo jest przyjmuje najwi
,
eksz
,
a warto´
s´
c,
• zmienna ci
,
ag la: warto´
s´
c zmiennej losowej, dla kt´
orej funkcja g
,
esto´
sci osi
,
aga maksimum globalne.
Funkcje zmiennych losowych
Funkcje zmiennych dyskretnych
Je ˙zeli X jest zmienn
,
a dyskretn
,
a o warto´
sciach x
1
, x
2
, . . . , x
n
, to Y = g(X) jest funkcj
,
a zmiennej losowej X o warto´
sciach y
j
= g(x
i
).
Funkcje zmiennych ci
,
ag lych
1
Je ˙zeli f
X
(x) jest funkcj
,
a zmiennej losowej X, oraz Y = g(X), gdzie g(x) jest funkcj
,
a monotoniczn
,
a i r´
o˙zniczkowaln
,
a (g
0
(x) 6= 0),
to
f
Y
(y) = f
X
g
−1
(y)
dg
−1
(y)
dy
jest funkcj
,
a g
,
esto´
sci zmiennej Y .
Je ˙zeli g(y) jest funkcj
,
a monotoniczn
,
a przedzia lami, w´
owczas rozpatrywane s
,
a kolejne przedzia ly i
f
Y
(y) =
X
i
f
Y (i)
(y)
Zadania
Zad 1.
Dana jest funkcja prawdopodobie´
nstwa
x
i
1
2
3
4
5
p
i
2
15
5
15
4
15
3
15
1
15
Obliczy´
c:
• warto´s´
c przeci
,
etn
,
a,
• wariancj
,
e,
• odchylenie standardowe,
• median
,
e i mod
,
e,
• kwartyl dolny i g´
orny.
Zad 2.
Obliczy´
c wariancj
,
e, odchylenie standardowe, kwartyl dolny i g´
orny, median
,
e i mod
,
e zmiennej losowej X o
g
,
esto´
sci
f (x) =
1
9
x
2
dla 0 6 x 6 3
0
w p.p.
Zad 3.
Znale´
z´
c warto´
s´
c oczekiwan
,
a zmiennej losowej X o g
,
esto´
sci
f (x) =
1
π
·
1
1 + x
2
(rozk lad Cauchy’ego).
Zad 4.
Naszkicowa´
c wykres g
,
esto´
sci prawdopodobie´
nstwa zmiennej losowej
f (x) =
1
2x
2
dla |x| > 1
0
w p.p.
Wyznaczy´
c median
,
e, warto´
s´
c przeci
,
etn
,
a, wariancj
,
e zmiennej losowej X.
Zad 5.
Niezale˙zne zmienne losowe X i Y maj
,
a jednakowe funkcje prawdopodobie´
nstwa.
x
i
0
1
2
p
i
1
3
1
3
1
3
Niech U
1
= X + Y , U
2
= 2X, U
3
= XY , U
4
= X
2
. Wyznaczy´
c ich funkcje prawdopodobie´
nstwa.
Zad 6.
Zmienna losowa X posiada g
,
esto´
s´
c f (x) = 2 cos 2x w przedziale < 0,
π
4
> i zero poza przedzia lem. Obliczy´
c
median
,
e i mod
,
e.
Zad 7.
Zmienna losowa X posiada g
,
esto´
s´
c
f (x) =
−
3
4
x
2
+ 6x −
45
4
dla x ∈ h3; 5i
0
w p.p.
Wyznaczy´
c odchylenie standardowe, median
,
e, kwartyl dolny i g´
orny oraz mod
,
e.
Zad 8.
Znale´
z´
c g
,
esto´
s´
c prawdopodobie´
nstwa
2
1. zmiennej losowej Y wyra˙zaj
,
acej pole kwadratu,
2. zmiennej losowej Z wyra˙zaj
,
acej obj
,
eto´
s´
c sze´
scianu,
je´
sli kraw
,
ed´
z X jest zmienn
,
a losow
,
a o g
,
esto´
sci prawdopodobie´
nstwa
f (x) =
0
dla x < 0
1
a
dla 0 6 x 6 a
0
dla x > a
Nast
,
epnie obliczy´
c prawdopodobie´
nstwo P (a < Z < 2a).
3