Projekty ko«cowe
Projekt 1. Równanie opisuj¡ce skok na bungee to:
mx
00
= mg + b(x) − r(x
0
),
gdzie m oznacza mas¦ skoczka, g przy±pieszenie ziemskie, funkcja b opisuje
siª¦ reakcji liny, a funkcja r opór powietrza. x mierzy wysoko±¢ na jakiej
znajduje si¦ skoczek w danej chwili, przy czym za poziom 0 przyjmujemy
poªo»enie z rozci¡gni¦t¡ lin¡. Ustalmy
b(x) =
½
0
dla
x ≤ 0,
−kx
dla
x > 0,
gdzie k > 0 jest wspóªczynnikiem spr¦»ysto±ci liny i r(x
0
) = ax
0
, a > 0.
Zbada¢ otrzymane równanie; zast¡pi¢ opór powietrza przez
r(x
0
) = a
1
x
0
+ a
2
|x
0
|x
0
.
Projekt 2. W reakcjach chemicznych prowadz¡cych od zwi¡zku A do
zwi¡zku B poprzez A + X → 2X, X + Y → 2Y, Y → B zaobserwowano
oscylacje. Je±li przez A, X , Y i B oznaczymy ilo±ci poszczególnych zwi¡zków,
to zmian¦ tych wielko±ci w czasie opisuje ukªad równa«:
dA
dt
= −k
1
AX ,
dX
dt
= k
1
AX − k
2
X Y,
dY
dt
= k
2
X Y − k
3
Y,
dB
dt
= k
3
Y.
Zbada¢ ten ukªad w zale»no±ci od zmiany dodatnich parametrów k
1
, k
2
, k
3
.
Projekt 3. Najprostszy model opisuj¡cy wzrost populacji bakterii na
pªytce Petree to równanie
x
0
= x(a − bx) −
qx
x + c
.
1
Pierwszy skªadnik po prawej stronie jest taki, jak w równaniu Verhulsta,
drugi jest zwi¡zany z od»ywk¡, na której rosn¡ te bakterie. Zbada¢ dynamik¦
tego ukªadu w zale»no±ci od dodatnich parametrów.
Projekt 4. Jaki byªby Wszech±wiat, gdyby siªa grawitacji speªniaªa
F = G
Mm
r
α
,
gdzie α 6= 2? Tutaj M i m s¡ masami przyci¡gaj¡cych si¦ ciaª, G jest staª¡,
a r oznacza odlegªo±¢ mi¦dzy ciaªami. Jak w teorii Newtona zakªadamy, »e
ciaªa s¡ punktowe.
Projekt 5. Model neuronu Hodkina-Huxleya prowadzi do równa«:
v
0
= I + 2w(−0.7 − v) + 0.5(−0.5 − v) + 1.1m
∞
(v)(1 − v),
w
0
= ελ(v) (w
∞
(v) − w) ,
gdzie v i w sa wielko±ciami elektrycznymi w neuronie zmiennymi w czasie, a
funkcje wyst¦puj¡ce w równaniach maj¡ posta¢:
m
∞
(v) =
1
2
³
1 + tanh
v−v
1
v
2
´
,
w
∞
(v) =
1
2
³
1 + tanh
v−v
3
v
4
´
,
λ(v) = cosh
v−v
5
2v
4
,
gdzie wyst¦puj¡ funkcje hiperboliczne tangens hiperboliczny tanh(z) =
e
z
−e
−z
e
z
+e
−z
,
cosinus hiperboliczny cosh(z) =
e
z
+e
−z
2
.
W równaniach pojawij¡ si¦ tez para-
metry przyjmijmy v
1
= −0.01, v
2
= 0.15, v
3
= −0.12, v
4
= 0.3, v
5
= 0.22,
I = 0.25.
Ostatni parametr ε zmieniajmy od 0.1 do 0. Przeanalizowa¢ dyna-
mik¦ ukªadu.
Projekt 6. El Niño jest pr¡dem morskim wywoªuj¡cym cykliczne ano-
malie klimatyczne, a spowodowanym przez ró»nice temperatur oceanu. Caªe
zjawisko opisuje ukªad równa«:
T
0
= −A(T − T
∗
),
u
0
=
B
∆x
(T
e
− T
w
) − C(u − u
∗
),
T
0
w
= −
uT
e
∆x
− A(T
w
− T
∗
),
T
0
e
=
uT
w
∆x
− A(T
e
− T
∗
),
2
gdzie T, T
w
, T
e
oznaczaj¡ temperatury oceanu, a u pr¦dko±¢ pr¡du morskiego.
Pozostaªe wielko±ci s¡ parametrami: A = 1, B = 663, C = 3, T
∗
= 12,
u
∗
= −14.2, ∆x = 14.
Wyja±nienia patrz http://www.sci.wsu.edu/idea/El-Nino/welcome.html.
Zbada¢ ten ukªad zmieniaj¡c B od 0 do 700 i u
∗
od 0 do -20.
Projekt 7. Modelem ukªadu drapie»ca-o ara z kryjówkami dla o ar jest
ukªad równa«:
N
0
= r
1
N − γ
1
(N − N
h
)P,
P
0
= −r
2
+ γ
2
(N − N
h
)P,
gdzie N jest liczb¡ o ar, P liczb¡ drapie»ników, a N
h
liczb¡ o ar, które
mog¡ sie ukry¢. Je±li N
h
jest proporcjonalne do N, to ukªad sprowadza sie
do modelu Lotki-Volterry. Ciekawsza jest sytuacja, gdy N
h
jest pewn¡ staª¡
dodatni¡ (wielko±¢ kryjówki). Zbada¢ ten ukªad w zale»no±ci od parametrów.
(Por. J.Uchma«ski Klasyczna ekologia matematyczna.)
Projekt 8. Mutualizm (wspóªprac¦) mi¦dzy gatunkami modeluje ukªad:
N
0
1
= r
1
N
1
− ε
1
N
2
1
+ δ
1
N
1
N
2
,
N
0
2
= r
2
N
2
− ε
2
N
2
2
+ δ
2
N
1
N
2
,
gdzie N
1
, N
2
oznaczaj¡ zmieniaj¡c¡ si¦ w czasie liczebno±¢ obu gatunków,
parametry r
i
, ε
i
i δ
i
s¡ dodatnie. Ostatnie skªadniki w obu równaniach
odpowiedzialne sa za mutualizm, gdyby ich nie byªo mieliby±my ukªad dwóch
niezale»nych równa« Verhulsta. Zbadac dynamik¦ tego ukªadu w zale»no±ci
od parametrów. (Por. J.Uchma«ski Klasyczna ekologia matematyczna.)
Projekt 9. Przeanalizowa¢ ukªad:
N
0
1
= N
1
³
−k
1
+
c
1
V
V +q
´
,
N
0
2
= N
2
(−k
2
+ c
2
V ) ,
V
0
= V
³
(a − bV ) −
c
3
N
1
V +q
− c
4
N
2
´
,
gdzie N
1
, N
2
oznacza liczebno±¢ dwóch konkuruj¡cych gatunków, a V wiel-
ko±¢ gatunku którym tamte si¦ »ywi¡. Parametry a, b, c
i
, k
i
s¡ dodatnie.
3
Wielko±¢ V podlega równaniu Verhulsta z zaburzeniem zwi¡zanym z od»y-
wianiem sie obu gatunków; od»ywianie gatunku N
1
jest nieliniowe, N
2
liniowe. Zauwa»my, »e konkurencja odbywa si¦ tylko na poziomie trzeciego
równania nie ma skªadników konkurencji w pierwszych dwóch. W modelu
tym nie obowi¡zuje zasada wykluczania: pojawiaj¡ si¦ stabilne rozwiazania
okresowe. (Por. J.Uchma«ski Klasyczna ekologia matematyczna.)
Projekt 10. Przeanalizowa¢ ukªad:
N
0
1
= r
1
N
1
− ε
1
N
2
1
− β
1
N
1
N
2
− γ
1
N
2
1
P
N
1
+N
2
,
N
0
2
= r
2
N
2
− ε
2
N
2
2
− β
2
N
1
N
2
− γ
2
N
2
2
P
N
1
+N
2
,
P
0
= −r
3
P + γ
3
N
2
1
+N
2
2
N
1
+N
2
,
gdzie N
1
, N
2
oznacza liczebno±¢ dwóch konkuruj¡cych gatunków, a P li-
czebno±¢ trzeciego gatunku drapie»nika »ywi¡cego si¦ poprzednimi dwoma.
Staªe r
i
, ε
i
, β
i
, γ
i
s¡ dodatnie.(Por. J.Uchma«ski Klasyczna ekologia mate-
matyczna.)
Projekt 11. Zbada¢ dynamik¦ ukªadu opisuj¡cego ekosystemy ª¡k, na
których odbywa si¦ hodowla bydªa:
g
0
= R
g
g
³
1 − g − 0.6w
E+g
0.3E+g
´
,
w
0
= R
w
w
³
1 − w − 1.07g
0.3E+g
E+g
´
.
Parametry E = 0.3, R
g
= 0.27, R
w
= 0.4.
Szczegóªy p. http://www.sci.wsu.edu/idea/Range/.
Projekt 12. Zbada¢ ukªad opisuj¡cy ruch uko±ny w jednorodnym polu
grawitacyjnym z udziaªem oporu powietrza. Jednorodno±¢ pola oznacza, »e
na punkt materialny o masie m dziaªa staªa siªa grawitacji mg skierowana
pionowo w dóª. Opór powietrza dziaªa równolegle do wektora pr¦dko±ci, jest
do niego przeciwnie skierowany i ma dªugo±¢ a
1
|−
→
v |.
4