EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania /
1
ZASADY ZACHOWANIA
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
ZASADA ZACHOWANIA
MOMENTU PĘDU
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU
ZASADY ZACHOWANIA
LICZBY LEPTONOWEJ I LICZBY BARIONOWEJ
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania /
1
ZASADY ZACHOWANIA
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
ZASADA ZACHOWANIA
MOMENTU PĘDU
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU
ZASADY ZACHOWANIA
LICZBY LEPTONOWEJ I LICZBY BARIONOWEJ
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania /
2
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
•
Pojedyncza cząstka
0
0
const.
d p
F
p
d t
=
⇒
=
⇒
=
Gdy na cząstkę nie działa Ŝadna siła lub suma działających sił
jest równa zeru to pęd cząstki pozostaje stały.
d p
F
d t
=
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania /
3
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
•
Układ
n
punktów materialnych.
Siła działająca na i-ty punkt układu:
( )
1
n
z
i
i
ji
i
j
j
i
d p
F
F
F
d t
=
≠
=
+
=
∑
Suma wszystkich sił w układzie:
( )
,
1
1
1
n
n
n
z
i
ji
i
i j
i
i
i
j
d p
F
F
dt
=
=
=
≠
+
=
∑
∑
∑
0
1
,
=
∑
=
n
j
i
ij
F
( )
1
1
1
n
n
n
z
i
i
i
i
i
i
dp
d
F
p
dt
dt
=
=
=
=
=
∑
∑
∑
JeŜeli na układ nie działają siły zewnętrzne, lub
0
ij
ji
F
F
+
=
( )
1
1
0 to
0
n
n
z
i
i
i
i
d
F
p
dt
=
=
=
=
∑
∑
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania /
4
ŚRODEK MASY
•
PołoŜenie środka masy
∑
∑
=
=
=
n
i
i
n
i
i
i
m
r
m
R
1
1
•
Prędkość środka masy
dt
R
d
V
=
•
Pęd środka masy
∑
=
=
=
n
i
i
p
V
M
P
1
:
dla dwóch mas
2
1
2
2
1
1
m
m
m
r
r
m
R
+
+
=
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania /
5
RUCH ŚRODKA MASY
∑
=
i
z
i
F
dt
P
d
)
(
Środek masy porusza się w taki sposób, jak gdyby w nim była
skupiona masa całego układu i do niego była przyłoŜona suma
wszystkich sił działających na układ.
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 6
ZASADA ZACHOWANIA PĘDU
0
)
(
=
∑
z
i
F
⇒
const.
P
=
JeŜeli suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa
zeru to pęd układu nie ulega zmianie.
Ś
rodek masy porusza się wówczas ruchem jednostajnym
prostoliniowym.
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 7
MOMENTY
Względem
punktu
O
Moment pędu
p
r
J
×
=
[ ]
J
kg m
s
=
⋅
2
Moment siły
F
r
M
×
=
2
2
s
m
kg
]
M
[
⋅
=
O
O
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 8
MOMENTY
Względem
punktu
O
Moment pędu
p
r
J
×
=
[ ]
J
kg m
s
=
⋅
2
Moment siły
F
r
M
×
=
2
2
s
m
kg
]
M
[
⋅
=
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 9
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU
∑
=
=
n
i
z
i
M
dt
J
d
1
)
(
JeŜeli całkowity moment sił zewnętrznych działających na układ
jest równy zeru to moment pędu układu nie ulega zmianie.
Dotyczy to układów, w których spełniona jest III zasada dynamiki
Newtona
Wszystkie momenty sił muszą być liczone względem tego samego punktu !
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 10
ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU
Ŝyroskopy
napędy Ŝyroskopowe
akumulatory energii mechanicznej
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 11
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII
Istnieje pewna wielkość, zwana energią, nie ulegająca zmianie
podczas róŜnorodnych przemian, które zachodzą w przyrodzie.
Energia moŜe występować w róŜnych postaciach. Mamy energie grawitacyjną,
kinetyczną, spręŜystą, cieplną, elektryczną, chemiczną, promienistą, jądrową
i energię masy.
Energia jest miarą zdolności układu do wykonania pracy i podobnie
jak praca mierzona jest w dŜulach
1J = 1Nm
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 12
POLE SIŁ
Polem nazywa się obszar przestrzeni, w którym kaŜdemu punktowi P jest
jednoznacznie przyporządkowana pewna wielkość A(P).
Pole sił - obszar przestrzeni, w którym kaŜdemu punktowi
przyporządkowany jest pewien wektor określający, jaka siła działałaby na
dane ciało gdyby umieszczono je w tym punkcie.
Stacjonarne pole sił nie zmienia się w czasie
Przykłady:
pole grawitacyjne (pole sił grawitacji)
pole elektrostatyczne
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 13
PRACA
W
F
r
∆ = ⋅ ∆
dla
tak malego, Ŝe
.
r
F
const
∆
=
Praca elementarna
dW
wykonana przez siłę
F
przy przesunięciu ciała
o element przyrostu drogi
dr
-
na tyle mały, Ŝe
F
= const.
( )
dW
F r
dr
=
⋅
[1J =1Nm]
F
cos
W
F
s
F s
α
= ⋅ ∆ = ∆
α
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 14
PRACA
Praca elementarna
( )
dW
F r
dr
=
⋅
Całkowita praca
i
n
i
i
i
n
r
AB
r
r
F
W
i
∆
⋅
=
∑
=
∞
→
→
∆
1
0
)
(
lim
∫
=
B
A
AB
r
d
r
F
W
)
(
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 15
PRACA W RUCHU JEDNOWYMIAROWYM
∆
W = F(x)
∆
x
0
1
lim
( )
i
n
AB
i
i
x
i
n
W
F x
x
∆ → =
→∞
=
∆
∑
dW = F(x) dx
∫
=
B
A
AB
dx
x
F
W
)
(
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 16
PRACA - przykłady
F=const.
W
F s
= ⋅
2
1
2
F
kx
W
kx
=
=
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 17
POLE ZACHOWAWCZE
W ogólnym przypadku praca wykonana przy przesunięciu z punktu A do
B zaleŜy od drogi
A
W
s1
≠
W
s2
≠
W
s3
Siły, albo pola sił mające tę własność, Ŝe praca zaleŜy tylko od połoŜenia
punktu początkowego i końcowego, a nie zaleŜy od drogi po jakiej
została wykonana nazywamy zachowawczymi.
W zachowawczym polu sił praca po drodze zamkniętej jest równa zeru.
Przykładem sił zachowawczych są siły grawitacyjne lub elektrostatyczne.
( )
0
F r ds
=
∫
B
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 18
SIŁY I POLA NIEZACHOWAWCZE
ś
eby wykazać, Ŝe pole sił jest niezachowawcze wystarczy
znaleźć jedną drogę zamkniętą dla której praca sił pola jest róŜna
od zera
( )
0
F r ds
≠
∫
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 19
ENERGIA POTENCJALNA
W kaŜdym punkcie pola zachowawczego moŜna określić energię potencjalną
jaką miałoby umieszczone tam ciało.
Energia potencjalna to energia zmagazynowana w ciele lub układzie ciał
wskutek jego połoŜenia, kształtu lub stanu. Jest ona miarą zdolności układu
do wykonania pracy.
W polu zachowawczym energia potencjalna jest równa pracy, jaka trzeba
wykonać, Ŝeby ciało umieścić w danym punkcie pola.
ś
eby energia potencjalna była określona jednoznacznie trzeba ustalić jej
wartość w którymś punkcie, np. V(
∞
) = 0.
Zdefiniowana w ten sposób
energia potencjalna
wynosi
( )
A
A
V
F r ds
∞
=
∫
( )
( )
r
V r
F r dr
∞
=
∫
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 20
SIŁA POTENCJALNA
Znając rozkład energii potencjalnej moŜna znaleźć siłę działającą na ciało
umieszczone w danym punkcie
( )
( )
F r
V r
= −∇
)
(r
V
energia potencjalna
( )
F r
siła potencjalna
- operator gradient
∇
ˆ
ˆ
ˆ
grad
x
y
z
x
y
z
∂
∂
∂
∇ ≡
=
+
+
∂
∂
∂
,
,
pochodne cząstkowe
V
V
V
x
y
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
.
.
const
z
const
y
dx
dV
x
V
=
=
≡
∂
∂
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 21
ENERGIA KINETYCZNA
Praca wykonana nad ciałem lub układem ciał przy przejściu od stanu A
do stanu B powoduje zmianę energii kinetycznej układu
W
AB
= T
B
- T
A
gdzie T
A
i T
B
całkowita
energia kinetyczna układu
w danym stanie:
( ),
( )
A
i
B
i
i
i
T
T A
T
T B
=
=
∑
∑
Energia kinetyczna
ciała
o masie m
i
:
2
1
2
i
i i
T
m v
=
gdzie v
i
prędkość i-tego ciała.
Energia kinetyczna jest energią ruchu
2
1
2
T
mv
=
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 22
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ
Dla dwóch dowolnych stanów układu w zachowawczym polu sił:
T
A
+ V
A
= T
B
+ V
B
= E
T
A
i T
B
energie kinetyczne układu odpowiednio w stanie A i w stanie B
2
2
1
1
( ),
( )
2
2
A
i i
B
i i
i
i
T
m v A
T
m v B
=
=
∑
∑
V
A
i V
B
energie potencjalne układu odpowiednio w stanie A i
w stanie B
( )
,
( )
A
B
A
B
V
F r ds
V
F r ds
∞
∞
=
=
∫
∫
JeŜeli siły działające na kaŜdy z punktów materialnych układu odizolowanego
są siłami zachowawczymi, to całkowita energia mechaniczna (suma energii
kinetycznej i potencjalnej) układu nie ulega zmianie.
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 23
PRZEMIANY ENERGII
ZASADA ZACHOWANIA ŁADUNKU
W układzie zamkniętym całkowity ładunek pozostaje stały niezaleŜnie
od przebiegających procesów
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 24
CZĄSTKA W STUDNI POTEMCJAŁU
T(x)
+ V(x)
= E
V(x)
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 25
ZASADA ZACHOWANIA
LICZBY LEPTONOWEJ I LICZBY BARIONOWEJ
W układzie zamkniętym
suma liczb leptonowych
i liczb barionowych
pozostaje stała
niezaleŜnie od
przebiegających
procesów
n
→
p
+
+ e
−
+ ν
e
µ
−
→
e
−
+
ν
µ
+ ν
e
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 26
ZASADY ZACHOWANIA A SYMETRIA W
PRZYRODZIE
•
Zasada zachowania pędu wynika z niezmienniczości względem
przesunięcia przestrzennego będącej konsekwencją
jednorodności przestrzeni
•
Zasada zachowania momentu pędu z niezmienniczości względem
obrotu przestrzennego – izotropowości przestrzeni
•
Zasada zachowania energii z niezmienniczości względem
przesunięcia w czasie – jednorodności czasu.
EWR 2009 FW 6 _Zasady zachowania / 27
Twierdzenie Noether
KaŜdemu rodzajowi symetrii w przyrodzie
odpowiada
określona zasada zachowania
Jest to jedno z najwaŜniejszych twierdzeń fizyki
współczesnej (Emma Noether 1918)
Najgłębszym poziomem poznania fizycznego są
ogólne zasady wyjawiające związki między
prawami fizyki.
Emma Noether
(23.03.1882 - 14.04.1935)