Mechanika techniczna            

i wytrzymało

ść

 materiałów I

dr in

Ŝ

. Krzysztof Dudek

Program kursu

Wykład 01 – Wprowadzenie. Modele ciał rzeczywistych, poj

ę

cie siły, 

zasady statyki

Wykład 02 – Statyka punktu i układu punktów materialnych

Wykład 03 – Teoria równowa

Ŝ

no

ś

ci układów sił

Wykład 04 – Siły wewn

ę

trzne w układach pr

ę

towych

Wykład 05 – Równowaga układów płaskich i przestrzennych z 

uwzgl

ę

dnieniem tarcia

Wykład 06 – Redukcja układu sił, wi

ę

zy geometryczne i zasada 

oswobadzania z wi

ę

zów. Podpory i reakcje, równania równowagi

Wykład 07 – Analiza statyczna belek i słupów

Wykład 08 – Analiza statyczna ram, łuków i kratownic

Program kursu

Wykład 09 – Napr

ęŜ

enia dopuszczalne, no

ś

no

ść

 graniczna                     

i zwi

ą

zki mi

ę

dzy stanem odkształcenia i napr

ęŜ

enia

Wykład 10 – Hipotezy wytrzymało

ś

ciowe, wyt

ęŜ

enie materiału

Wykład 11 – Układy liniowo-spr

ęŜ

yste

Wykład 12 – Charakterystyki geometryczne figur płaskich (moment 

statyczny, momenty bezwładno

ś

ci, moment dewiacji, twierdzenie 

Steinera, główne centralne momenty bezwładno

ś

ci, główne centralne 

osie bezwładno

ś

ci)

Wykład 13 – Analiza wytrzymało

ś

ciowa płyt i powłok cienko

ś

ciennych

Wykład 14 – Metody do

ś

wiadczalne mechaniki ciała stałego

Wykład 15 -

KOLOKWIUM

KOLOKWIUM

Literatura zalecana

Misiak J.: Mechanika techniczna. Tom 1. Statyka i wytrzymało

ść

 materiałów. 

Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2003

Jokiel M.: Statyka i wytrzymało

ść

 materiałów. Cz

ęść

 I. Statyka. Geometria 

mas. Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1991

mas. Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1991

Jokiel M.: Statyka i wytrzymało

ść

 materiałów. Cz

ęść

 II. Wytrzymało

ść

 

materiałów. Wydawnictwo Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1992

Gabryszewska B., Pszonka A.: Mechanika. Cz

ęść

 I. Statyka. Oficyna 

Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 1998

Dyl

ą

g Z.: Wytrzymało

ść

 materiałów. Tom 2. WNT, Warszawa 2000

Leyko J.: Mechanika ogólna. Tom I. Statyka i kinematyka. PWN, Warszawa 

1999

Zasady i kryteria zaliczenia

Studenci uzyskuj

ą

 zaliczenie z przedmiotu na 

podstawie jednego kolokwium. Podstaw

ą

 

zaliczenia przedmiotu jest zdobycie przez 

studenta 51% punktów z wszystkich mo

Ŝ

liwych.

studenta 51% punktów z wszystkich mo

Ŝ

liwych.

Wprowadzenie 

Modele ciał rzeczywistych, 

poj

ę

cie siły, 

zasady statyki

Definicje

Mechanika jest to 

dział fizyki

zajmuj

ą

cy si

ę

 ruchem 

ciał materialnych, wzajemnym oddziaływaniem tych 

ciał oraz zwi

ą

zkami mi

ę

dzy siłami i ruchem.

Mechanik

ę

 techniczn

ą

 dzielimy na 

mechanik

ę

płynów

i 

mechanik

ę

 ciał stałych

, a t

ę

 na 

mechanik

ę

ciał sztywnych

(nieodkształcalnych) i 

mechanik

ę

ciał 

odkształcalnych

(wytrzymało

ść

 materiałów).

Mechanika ciał sztywnych

Mechanika ciał sztywnych (nieodkształcalnych) 

obejmuje:

Statyk

ę

Statyk

ę

Kinematyk

ę

Dynamik

ę

Mechanika ciał sztywnych

Statyka

Statyka jest to nauka o równowadze ciał 

znajduj

ą

cych si

ę

 pod działaniem sił.

Kinematyka

Kinematyka (geometria ruchu) zajmuje si

ę

 

opisem ruchu ciał, bez uwzgl

ę

dniania sił, które 

ten ruch powoduj

ą

.

Dynamika

Dynamika zajmuje si

ę

 opisem ruchu ciał z 

uwzgl

ę

dnieniem sił, które ten ruch powoduj

ą

.

Definicje

Z powodu zastosowania metod matematycznych do 

opisu ciał rzeczywistych konieczne jest wprowadzenie 

takich poj

ęć

 jak 

punkt materialny

i 

ciało doskonale

sztywne

.

sztywne

.

Punkt materialny

Punkt materialny

jest to punkt geometryczny, któremu 

jest przypisana pewna masa. Uproszczenie to umo

Ŝ

liwia 

przedstawienie ka

Ŝ

dego ciała o dowolnych wymiarach 

jako zbioru punktów materialnych, uto

Ŝ

samianych z 

Definicje

jako zbioru punktów materialnych, uto

Ŝ

samianych z 

elementami przestrzennymi ciała, przy czym liczba tych 

elementów zwi

ę

ksza si

ę

 nieograniczenie, w wszystkie 

wymiary elementów  w granicznym przypadku d

ąŜą

 do 

zera.

Definicje

Ciało doskonale sztywne

Ciało doskonale sztywne

jest to takie ciało, w 

którym odległo

ść

 mi

ę

dzy dwoma dowolnymi punktami 

jest stała i nie ulega zmianie pod wpływem działania 

dowolnie du

Ŝ

ych sił. 

dowolnie du

Ŝ

ych sił. 

W rzeczywisto

ś

ci takich ciał nie ma, jednak istnieje 

wiele zagadnie

ń

, do rozwi

ą

zania których posługujemy 

si

ę

 tym wyidealizowanym, uproszczonym modelem.

Definicje

Siły działaj

ą

ce na ciało dzielimy na:

zewn

ę

trzne,

wewn

ę

trzne.

Siły zewn

ę

trzne z kolei dzielimy na:

czynne,

bierne.

Definicje

Siłami zewn

ę

trznymi czynnymi

Siłami zewn

ę

trznymi czynnymi

nazywamy te 

siły, które obci

ąŜ

aj

ą

dane ciało (układ) i wprawiaj

ą

 

go w ruch.

Siły zewn

ę

trzne bierne

Siły zewn

ę

trzne bierne

(tzw. 

reakcje

reakcje

) s

ą

 to siły, 

które przeciwdziałaj

ą

ruchowi. Reakcje pojawiaj

ą

 

si

ę

 wraz z działaniem sił czynnych i znikaj

ą

 

wówczas, gdy siły czynne przestaj

ą

 działa

ć

.

Definicje

Siłami zewn

ę

trznymi czynnymi i biernymi mog

ą

 by

ć

:

siły skupione

(najcz

ęś

ciej oznaczamy je przez 

F

, 

a w przypadku reakcji – przez 

R

),          

F

momenty skupione

(oznaczana przez 

M

lub 

K

),

obci

ąŜ

enia ci

ą

głe

(oznaczane przez 

q

).

M

q

Definicje

Siły wewn

ę

trzne

, które wyst

ę

puj

ą

 w danym przekroju 

konstrukcji, s

ą

 wynikiem działania sił zewn

ę

trznych 

czynnych.

W 

statyce

podstawowym zadaniem jest ustalenie 

W 

statyce

podstawowym zadaniem jest ustalenie 

warunków, jakie w ogólnym przypadku powinny 

spełnia

ć

 siły czynne i bierne, aby punkt materialny lub 

ciało doskonale sztywne, b

ę

d

ą

ce pod wpływem tych 

sił, znajdowały si

ę

 

w stanie spoczynku

wzgl

ę

dem 

przyj

ę

tego układu odniesienia.  

Definicje

Uzyskuje si

ę

 to przez 

redukcj

ę

układu sił do 

najprostszej postaci i ustalenie na tej podstawie 

warunków równowagi. 

Mo

Ŝ

emy to wykona

ć

 metodami: 

analitycznymi (najdokładniejszymi),

analitycznymi (najdokładniejszymi),

wykre

ś

lnymi (szczególnie przydatnymi do układów 

płaskich, ale niezbyt dokładnymi),

analityczno-wykre

ś

lnymi (ł

ą

cz

ą

cymi dodatnie cechy 

obu poprzednich metod),

numerycznymi.

Zasady statyki

Siła jest 

wektorem

charakteryzuj

ą

cym miar

ę

 

mechanicznego oddziaływania ciał.

Do jednoznacznego przedstawienia wektora siły nie 

wystarczy poda

ć

 

moduł

, 

kierunek

i 

zwrot

, ale trzeba 

równie

Ŝ

 okre

ś

li

ć

 jej 

lini

ę

 działania 

lub 

punkt zaczepienia

.

Siła jest wi

ę

c 

wektorem zwi

ą

zanym

.

Uznanie siły za 

wektor 

ś

lizgaj

ą

cy si

ę

lub za 

wektor

zaczepiony

zale

Ŝ

y od tego, czy obci

ąŜ

one przez ni

ą

 ciało 

jest brył

ą

 sztywn

ą

, czy te

Ŝ

 brył

ą

 odkształcaln

ą

. 

Zasady statyki

Siły działaj

ą

ce na brył

ę

 idealnie sztywn

ą

 s

ą

 

wektorami 

ś

lizgaj

ą

cymi si

ę

. 

Siły działaj

ą

ce na punkt materialny oraz ciało 

odkształcalne s

ą

 

wektorami zaczepionymi

.

Jednostk

ą

 siły jest 

niuton

(N).

Zasady statyki

Pod pojęciem 

równowaga ciała 

rozumiemy stan 

spoczynku tego ciała względem innych ciał 

przyjętych jako nieruchome.

W zagadnieniach statyki nie wprowadza się 

W zagadnieniach statyki nie wprowadza się 

pojęcia czasu bądź teŜ czas nie ma wpływu na 

rozwaŜane zjawisko. Mówimy wtedy, Ŝe mamy do 

czynienia ze 

stanem równowagi statycznej

.

Zasady statyki

Zasada równowagi dwóch sił

: Siły równe co do 

modułu, kierunku i zwrotu, le

Ŝą

ce na tej samej 

prostej lub zaczepione w tym samym punkcie, s

ą

 

sobie 

równowa

Ŝ

ne

(tzn. jedna z nich mo

Ŝ

e 

sobie 

równowa

Ŝ

ne

(tzn. jedna z nich mo

Ŝ

e 

zast

ą

pi

ć

 drug

ą

).

Zasady statyki

Zasada równoległoboku

: Zbiór sił (układ sił) 

zaczepionych w jednym punkcie mo

Ŝ

na zast

ą

pi

ć

 

jedn

ą

 sił

ą

 i odwrotnie, jedna siła mo

Ŝ

e by

ć

 zast

ą

piona 

pewn

ą

 liczb

ą

 sił zaczepionych w danym punkcie. 

Siła zast

ę

puj

ą

ca w działaniu układ sił nazywa si

ę

 

wypadkow

ą

 układu

. 

Moduł i kierunek wypadkowej dwóch sił działaj

ą

cych 

na punkt materialny okre

ś

la przek

ą

tna 

równoległoboku zbudowanego na siłach składowych. 

Zasada równoległoboku

Patrz

ą

c na równoległobok sił widzimy, 

Ŝ

e 

wypadkowa 

W

jest równa sumie 

geometrycznej sił składowych:

F

2

F

1

W

α

β

ϕ

1

2

= +

W

F

F

Zasada równoległoboku

Moduł siły wypadkowej jest równy:

F

2

F

1

W

α

β

ϕ

2

2

1

2

1

2

2

cos

W

F

F

F F

ϕ

=

+

+ ⋅ ⋅ ⋅

gdzie 

ϕ

oznacza kąt zawarty pomiędzy siłami 

składowymi. 

Zasada równoległoboku

Kierunek siły wypadkowej mo

Ŝ

emy okre

ś

li

ć

 za 

pomoc

ą

 k

ą

tów 

α

i 

β

, jakie tworzy ona z siłami 

F

2

F

1

W

α

β

ϕ

pomoc

ą

 k

ą

tów 

α

i 

β

, jakie tworzy ona z siłami 

składowymi. B

ę

dzie oczywi

ś

cie: 

2

1

sin

sin ,

sin

sin .

F

W

F

W

α

ϕ

β

ϕ

=

⋅

=

⋅

Zasada równoległoboku

Odwrotnie, je

Ŝ

eli chcemy zast

ą

pi

ć

 wypadkow

ą

 

W

dwiema składowymi F

1

i 

F

2

nachylonymi pod k

ą

tem 

α

i 

β

do wypadkowej, moduły tych składowych 

mo

Ŝ

emy okre

ś

li

ć

 z zale

Ŝ

no

ś

ci:

1

2

sin

,

sin(

)

sin

.

sin(

)

F

W

F

W

β

α β

α

α β

= ⋅

+

= ⋅

+

Zasady statyki

•

Wypadkowa dwóch sił działaj

ą

cych na punkt materialny, 

maj

ą

cych jednakowe kierunki i zwroty, ma warto

ść

 równ

ą

 sumie 

warto

ś

ci sił składowych i jest zwrócona w t

ę

 sam

ą

 stron

ę

 co siły 

składowe.

•

Wypadkowa dwóch sił maj

ą

cych takie same kierunki, a 

•

Wypadkowa dwóch sił maj

ą

cych takie same kierunki, a 

przeciwne zwroty, jest równa ró

Ŝ

nicy ich warto

ś

ci, a zwrot jej jest 

taki jak wi

ę

kszej siły składowej. W szczególno

ś

ci, je

ś

li obie siły 

maj

ą

 jednakowe warto

ś

ci i kierunki, a przeciwne zwroty, 

wypadkowa ich jest równa zeru. O takich dwóch siłach 

działaj

ą

cych na punkt materialny mówimy, 

Ŝ

e s

ą

 w równowadze.

Zasady statyki

•

Dowoln

ą

 liczb

ę

 sił działaj

ą

cych na punkt 

materialny mo

Ŝ

na zrównowa

Ŝ

y

ć

, zaczepiaj

ą

c w 

danym punkcie jedn

ą

 sił

ę

 równowa

Ŝą

c

ą

 

R

, równ

ą

 

co do modułu i kierunku wypadkowej, a zwrócon

ą

 

co do modułu i kierunku wypadkowej, a zwrócon

ą

 

przeciwnie.

•

Nie naruszaj

ą

c równowagi bryły sztywnej 

mo

Ŝ

emy punkt zaczepienia siły przenie

ść

 

dowolnie wzdłu

Ŝ

 linii działania tej siły.

Zasady statyki

•

Zasada akcji i reakcji: Je

Ŝ

eli ciało A działa na ciało B

sił

ą

 

F

, to ciało B oddziałuje na ciało A tak

ą

 sam

ą

 co 

do modułu i kierunku sił

ą

 –

F

, zwrócon

ą

 przeciwnie.

•

Zasada oswobodzenia z wi

ę

zów: Ka

Ŝ

de ciało 

•

Zasada oswobodzenia z wi

ę

zów: Ka

Ŝ

de ciało 

nieswobodne mo

Ŝ

emy uwa

Ŝ

a

ć

 za swobodne, je

Ŝ

eli 

zamiast wi

ę

zów przyło

Ŝ

ymy do niego reakcje 

wywołane przez wi

ę

zy.