2 

Wydano za zgodą Rektora 

 

Materiały pomocnicze do zajęć  

z przedmiotu „grafika inŜynierska”  

dla studentów kierunków: mechanika i budowa maszyn, 

 zarządzanie i inŜynieria produkcji, transport 

 

 

nierecenzowane 

 

W procesie wydawniczym pominięto  

etap opracowania językowego.  

Wersja elektroniczna materiałów  

została przygotowana przez Autorów. 

 
 

 
 

geometria wykreślna 

rysunek techniczny 

 
 
 
 
 

Wszelkie prawa zastrzeŜone.  

ś

aden fragment publikacji nie moŜe być powielany  

w jakiejkolwiek formie. 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

ISBN 978-83-7199-838-4 

Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej 

al. Powstańców Warszawy 12, 35-959 Rzeszów 

 

e-mail: oficyna1@prz.rzeszow.pl 

 

 
 
 

 

3 

 
 
 
SPIS TREŚCI 
 
1.  OBRAZY ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH .....................................................  

5 

1.1.  Układ odniesienia .............................................................................................  

5 

1.2.  Obraz punktu ....................................................................................................  

5 

1.3.  Obraz prostej .....................................................................................................  

7 

1.3.1. Prosta w połoŜeniach szczególnych  .......................................................  

8 

1.4.  Obraz płaszczyzny ............................................................................................  

11 

1.4.1. Płaszczyzna w połoŜeniach szczególnych ..............................................  

12 

 
2.  ELEMENTY PRZYNALEśNE ................................................................................  

15 

2.1  PrzynaleŜność punktu i prostej .........................................................................  

15 

2.2  PrzynaleŜność prostej i płaszczyzny .................................................................  

15 

2.3  PrzynaleŜność punktu i płaszczyzny ................................................................  

17 

 
3.  ELEMENTY WSPÓLNE ..........................................................................................  

19 

3.1.  Punkt wspólny dwóch prostych ........................................................................  

19 

3.2.  Krawędź dwóch płaszczyzn ..............................................................................  

19 

3.3.  Punkt przebicia płaszczyzny prostą ..................................................................  

22 

 
4.  KŁADY  ....................................................................................................................  

25 

4.1.  Kład i podniesienie z kładu płaszczyzny rzutującej  ........................................  

25 

4.2.   Kład i podniesienie z kładu płaszczyzny nierzutującej  ...................................  

26 

4.2.1. Kład punktu  ...........................................................................................  

26 

 
5.   RZUTY PROSTOKĄTNE NA TRZY WZAJEMNIE PROSTOPADŁE RZUTNIE  

34 

 
6 

WIELOŚCIANY ........................................................................................................  

37 

6.1  Rzuty wielościanów ..........................................................................................  

37 

6.2  Przekroje wielościanów ....................................................................................  

40 

6.2.1. Przekrój wielościanu płaszczyzną rzutującą ...........................................  

40 

6.2.2. Przekrój wielościanu płaszczyzną dowolną ............................................  

41 

6.3.  Punkt przebicia wielościanu prostą ..................................................................  

44 

6.4.  Przenikanie wielościanów ................................................................................  

46 

 
7.  PRZENIKANIE POWIERZCHNI ............................................................................  

48 

7.1  Przenikanie dwóch powierzchni obrotowych ...................................................  

48 

7.2  Przenikanie powierzchni  z wielościanami .......................................................  

51 

 
8.   RZUTY PROSTOKĄTNE NA SZEŚĆ RZUTNI  ....................................................  

54 

 
9.  AKSONOMETRIA  ..................................................................................................  

58 

9.1.  Aksonometria ukośna  ......................................................................................  

58 

9.2.  Aksonometria izometryczna  ............................................................................  

60 

9.3.  Aksonometria dimetryczna  ..............................................................................  

60 

 
 

4 

10.  DOKUMENTACJA TECHNICZNA WYROBU  ....................................................  

61 

10.1.  Arkusze rysunkowe  .........................................................................................  

61 

10.2.  Tabliczka rysunkowa  .......................................................................................  

63 

10.3.  Linie rysunkowe  ..............................................................................................  

65 

10.4.  Podziałka rysunkowa  .......................................................................................  

65 

10.5.  Pismo techniczne  .............................................................................................  

66 

 
11.  PRZEKROJE  ............................................................................................................  

67 

 
12.  WYMIAROWANIE  .................................................................................................  

74 

12.1. Sposób zapisu wymiarów  .................................................................................  

74 

12.2. Zasady wymiarowania  .....................................................................................  

78 

 
13.  POŁĄCZENIA ROZŁĄCZNE  ................................................................................  

81 

13.1. Gwinty - połączenia gwintowe  .........................................................................  

81 

13.2. Wielowypusty - połączenia wielowypustowe  ..................................................  

84 

 
Załączniki do rozdziałów 1-7 (geometria wykreślna)  ......................................................  

86 

Załączniki (krzywe płaskie)  .............................................................................................  

114 

Załączniki (przekroje proste)  ...........................................................................................  

128 

Załączniki (przekroje stopniowe)  .....................................................................................  

144 

Załączniki (przekroje łamane)  ..........................................................................................  

160 

 
 

5 

1

 

OBRAZY ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 

1.1

 

UKŁAD ODNIESIENIA 

W  celu  odwzorowania  elementów  w  geometrii  wykreślnej  stosuje  się  metodę  rzutów 

prostokątnych  na  płaszczyzny  wzajemnie  prostopadłe  zwaną  rzutami  Monge’a.  Płaszczyznę 
poziomą  przyjęto  oznaczać  symbolem  π

1

  i  nazwano  rzutnią  poziomą,  natomiast  płaszczyznę 

pionową  –  symbol  π

2

  –  nazwano  rzutnią  pionową.  Płaszczyzny  te  przecinają  się  wzdłuŜ 

prostej poziomej x=π

1

×π

2

 zwanej osią i tworzą układ odniesienia x(π

1

, π

2

). Oś rzutów x dzieli 

kaŜdą rzutnię na dwie części, zwane półrzutniami (rys.1.1). Układ odniesienia x(π

1

, π

2

) dzieli 

przestrzeń na cztery ćwiartki oznaczane cyframi rzymskimi I, II, III i IV (rys.1.1). 

Odwzorowanie elementów w takim układzie jest niewygodne, dlatego układ odniesienia 

sprowadza się do płaszczyzny rysunku przez obrót rzutni poziomej względem osi rzutów x o 
kąt  90º  tak,  Ŝe  półrzutnia  pozioma  dodatnia  +π

1

,  nakrywa  się  z  półrzutnią  pionową  ujemną 

−π

2

 (rys.1.1). 

+π

1

+π

1

−π

1

−π

1

+π

2

+π

2

−π

2

−π

2

I

II

III

IV

x

x

 

Rys. 1.1 

 

1.2

 

OBRAZ PUNKTU 

Niech  będzie  dany  układ  odniesienia  x(π

1

, π

2

)  oraz  dowolny  punkt  A  (rys.1.2a).  Przez 

punkt  A  poprowadzono  dwie  proste  rzutujące  k

1

⊥

π

1

  i  k

2

⊥

π

2

.  Prostą  k

1

  rzutującą  punkt  A  na 

rzutnię π

1

 nazywa się prostą poziomo rzutującą, a prostą k

2

 rzutującą punkt A na rzutnię π

2

 – 

prostą pionowo rzutującą. Punkt A', w którym prosta rzutująca k

1

 przebija rzutnię π

1

, nazywa 

się  rzutem  poziomym  punktu  A,  natomiast  punkt  A'',  w  którym  prosta  rzutująca  k

2

  przebija 

rzutnię π

2

 – rzutem pionowym punktu A. 

Dwa rzuty prostokątne A' i A'' określają w sposób jednoznaczny połoŜenie jednego i tylko 

jednego punktu A w przestrzeni. Po sprowadzeniu układu odniesienia x(π

1

, π

2

) do płaszczyzny 

rysunku, rzuty A' i A'' punktu A leŜą na prostej A'A'' prostopadłej do osi rzutów x, czyli na tzw. 
prostej odnoszącej punktu A (rys.1.2b). 

Odległość  punktu  A  od  rzutni  poziomej  π

1

  nazywa  się  wysokością  punktu  A.  Wysokość 

jest dodatnia, jeśli punkt leŜy powyŜej rzutni π

1

, w przeciwnym przypadku jest ujemna. 

Odległość punktu A od rzutni pionowej π

2

 nazywa się głębokością punktu A. Głębokość 

jest dodatnia, jeśli punkt leŜy przed rzutnią 

π

2

, w przeciwnym przypadku jest ujemna. 

 
 

6 

 

a)   

 

 

 

 

b)   

 

 

 

 

c) 

A"

A"

A"

A'

A'

A'

A'

+w

+g

A

k

1

+π

1

+π

1

−π

1

−π

1

+π

2

+π

2

k

2

−π

2

−π

2

x

x

x

 

Rys. 1.2 

Po  sprowadzeniu  układu  odniesienia  x(π

1

, π

2

)  do  płaszczyzny  rysunku:  wysokość  w 

(rys.1.2c) punktu równa jest odległości jego rzutu pionowego od osi rzutów x. 

Rzuty 

punktów 

B, 

C, 

D 

leŜących 

odpowiednio 

w 

ć

wiartkach 

II, 

III  

i IV przedstawiono na rysunkach 1.3÷1.5. 

B"

B'

B'

B

B"

B'

+π

1

−π

1

+π

2

−π

2

x

x

C'

C

C"

C"

C'

C'

+π

1

−π

1

+π

2

−π

2

x

x

 

Rys. 1.3                                                                             Rys. 1.4 

D

D"

D"

D'

D'

D'

+π

1

−π

1

+π

2

−π

2

x

x

 

Rys. 1.5 

Rzuty punktów leŜących na rzutniach π

1

 i π

2

 oraz na osi rzutów x przedstawia rys.1.6. 

H'

H'

G'

G'

K

F

F

E

E

G

G

x

x

K

H

H

F''

F''

E''

E''

1

2

1

2

+π

−π

−π

+π

 

Rys. 1.6 

7 

JeŜeli punkty są równo oddalone od obydwu rzutni (π

1

 i π

2

) to leŜą na tzw. płaszczyznach 

dwusiecznych δ

1

 lub δ

2

 (rys.1.7a). W przypadku płaszczyzny δ

1

 (przechodzi przez ćwiartki I i 

III) rzuty punktów mają symetrię prostokątną względem osi rzutów x, natomiast w przypadku 
płaszczyzny δ

2

 (ćwiartki II i IV) - rzuty punktów jednoczą się (rys.1.7). 

 

 

 

a)   

 

 

 

 

 

b) 

Q'

Q'=Q"

Q'=Q"

M'

M'

M'

P'

P'

P'

N'

N'=N''

N'=N"

Q

N

M

x

P

P"

P"

M''

M"

1

1

2

2

2

1

1

1

I

I

II

II

III

III

IV

IV

δ

+π

+π

+π

−π

δ

(+π )

(−π )

 

Rys. 1.7 

KaŜda  para  rzutów  A'  i  A'',  przyporządkowanych  sobie  względem  osi  x  na  płaszczyźnie 

rysunku  ρ=π

1

=π

2

  i  leŜących  na  prostej  odnoszącej  A'A''

⊥

x  lub  jednoczących  się  w  jednym 

punkcie A'=A'', stanowi obraz jednego i tylko jednego punktu A w przestrzeni. 

 

1.3

 

OBRAZ PROSTEJ 

Przez  dowolnie  połoŜoną  prostą  m  (rys.1.8a)  prowadzi  się  dwie  płaszczyzny:  poziomo 

rzutującą  φ

1

  i  pionowo  rzutującą  φ

2

  odpowiednio  prostopadłe  do  rzutni  π

1

  i  π

2

.  Krawędź 

przecięcia m'=φ

1

×π

1

 jest rzutem poziomym prostej m, a krawędź przecięcia m''=φ

2

×π

2

 jest jej 

rzutem pionowym. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku, rzuty prostokątne m' 
i m" prostej m mają połoŜenie przedstawione na rys.1.8b. 

 

 

a)   

 

 

 

 

 

 

 

b) 

m'

m'

x

m

x

m"

m"

π

2

ϕ

2

π

1

ϕ

1

 

Rys. 1.8 

Jeśli prosta m leŜy na płaszczyźnie podwójnie rzutującej φ

⊥

x (rys.1.9a), to m'

⊥

x i m"

⊥

x. 

Po  sprowadzeniu  obu  rzutni  do  płaszczyzny  rysunku  obydwa  rzuty  prostej  jednoczą  się  na 
prostej  prostopadłej  do  osi  rzutów  x  (rys.1.9b)  i  nie  moŜna  jednoznacznie  odtworzyć 
połoŜenia  prostej  m  w  przestrzeni.  W  przypadku  tym  konieczne  jest  podanie  rzutów  dwóch 
róŜnych  punktów  leŜących  na  prostej  m  określających  w  przestrzeni  dokładnie  jedną  prostą 
m=AB. (rys.1.9d). 

Punkt, w którym prosta m przebija rzutnię poziomą nosi nazwę śladu poziomego prostej 

m  i  oznacza  się  go  przez  H

m

.  Punkt,  w  którym  prosta  przebija  rzutnię  pionową  to  tzw.  ślad 

pionowy  prostej  m,  oznacza  się  go  przez  V

m

  (rys.1.10).  Zatem  ślady  są  miejscami 

geometrycznymi,  w  których  prosta  zmienia  ćwiartkę.  Wyznaczone  ślady  H

m

  i  V

m

  prostej 

8 

m(m',m") 

pozwalają 

określić 

przez 

jakie 

ć

wiartki 

ta 

prosta 

przechodzi.  

W tym celu na prostej m moŜna obrać trzy punkty: jeden pomiędzy śladami i dwa na zewnątrz 
ś

ladów.  Określając  połoŜenie  punktów  moŜna  wskazać  przez  jakie  ćwiartki  ta  prosta 

przechodzi. 

m'

m'

m

x

x

m"

m"

π

2

π

2

π

1

π

1

m'

m'

m

m=AB

x

x

m"

m"

A"

A

A'

A'

B"

B'

B'

B

A"

B"

2

1

= =

a)

b)

c)

d)

 

Rys. 1.9 

m'

m'

m

x

x

m"

m"

π

2

V

m

V

m

H

m

H

m

H"

m

H"

m

V'

m

V'

m

π

1

 

Rys. 1.10 

1.3.1

 

Prosta w połoŜeniach szczególnych 

 

1. JeŜeli prosta a leŜy na rzutni π

1

 (rys.1.11a), to jej rzut poziomy a' jednoczy się z prostą 

a, a jej rzut pionowy a" jednoczy się z osią rzutów x. Taka prosta ma tylko ślad pionowy V

a

, 

który  leŜy  na  osi  rzutów  x.  JeŜeli  prosta  b  leŜy  na  rzutni  π

2

  (rys.1.11b),  to  otrzymuje  się  na 

rysunku  obraz  odwrotny  do  poprzedniego,  tzn.  rzut  pionowy  b"  jednoczy  się  
z  prostą  b,  a  jej  rzut  poziomy  b'  jednoczy  się  z  osią  rzutów  x.  Taka  prosta  ma  tylko  ślad 
poziomy H

b

, który leŜy na osi rzutów x. 

 

2.  Jeśli  prosta  q  przecina  oś  rzutów  x,  ale  nie  leŜy  na  Ŝadnej  rzutni,  to  punkt  R  jej 

przecięcia z osią rzutów x jest równocześnie jej śladem poziomym i pionowym (rys.1.11c). W 
przypadku  tym  ślady  nie  wyznaczają  dokładnie  jednej  prostej  w  przestrzeni,  lecz  wiązkę 
prostych przechodzących przez jeden i ten sam punkt, leŜący na osi rzutów x. 
 
 

9 

 

     a)   

 

 

 

b)   

 

 

 

c) 

b'

q'

b''=b

x

x

x

a"

q"

a'=a

R

a

V

b

H

H =V

q

q

 

Rys. 1.11

 

 

3. Rys.1.12 przedstawia prostą poziomo rzutującą m nazywaną takŜe prostą pionową; jej 

rzut  pionowy  m"  jest  prostopadły  do  x,  a  rzut  poziomy  m'  jest  punktem,  w  którym  jednoczą 
się  rzuty  poziome  wszystkich  punktów  prostej  m,  a  więc  i  jej  punkt  szczególny  –  ślad 
poziomy H

m

. 

m'

m'

m

x

x

m"

m"

π

2

ϕ

2

π

1

H

m

H

m

H"

m

H"

m

 

Rys. 1.12 

4.  Rys.1.13  przedstawia  prostą  pionowo  rzutującą  n  nazywaną  takŜe  prostą  celową;  jej 

rzut poziomy n' jest prostopadły do x, a rzut pionowy n" jest punktem, w którym jednoczą się 
rzuty pionowe wszystkich punktów prostej n, a więc i jej punkt szczególny – ślad pionowy V

n

. 

n'

n'

n

x

x

n"

n"

π

2

ϕ

2

V

n

V

n

V'

n

V'

n

π

1

 

Rys. 1.13 

5.  Prostą  p  równoległą  do  rzutni  π

1

  (rys.1.14)  nazywa  się  prostą  poziomą.  Wszystkie 

punkty tej prostej mają jednakową wysokość, stąd jej rzut pionowy p" jest równoległy do x, a 
rzut  poziomy  p'  jest  nachylony  do  osi  rzutów  x  pod  kątem  α',  równym  kątowi  nachylenia  α 
prostej p do rzutni π

2

. Prosta pozioma p ma tylko ślad pionowy V

p

. 

10 

p'

p'

p

x

x

p"

p"

α

'

α

'

α

π

2

π

1

ϕ

2

V

p

V

p

V'

p

V'

p

ϕ

1

 

Rys. 1.14 

6.  Prostą  c  równoległą  do  rzutni  π

2

  (rys.1.15)  nazywa  się  prostą  czołową.  Wszystkie 

punkty prostej czołowej c mają jednakową głębokość, stąd jej rzut poziomy c' jest równoległy 
do x, a rzut pionowy c" jest nachylony do x pod kątem β'' równym kątowi nachylenia β prostej 
c do rzutni π

1

. Prosta czołowa c ma tylko ślad poziomy H

c

. 

 

c'

c'

c

x

x

c"

c"

β 

"

β 

"

β 

'

π

2

ϕ

2

H

c

H

c

H"

c

H"

c

π

1

ϕ

1

 

Rys. 1.15 

7.  Prosta  s  równoległa  do  osi  rzutów  x  (rys.1.16),  której  wszystkie  punkty  mają 

jednakową  wysokość  i  jednakową  głębokość,  ma  obydwa  rzuty  s'  i  s"  równoległe  do  osi 
rzutów x. Prosta s nie ma śladów. 

 

s'

s'

s

x

x

s"

s"

π

2

ϕ

2

π

1

ϕ

1

 

Rys. 1.16 

8. Prosta t leŜąca na płaszczyźnie dwusiecznej δ

1

, przechodząca przez ćwiartki I i III, ma 

wszystkie  punkty  równoodległe  od  obu  rzutni,  wobec  czego  jej  rzuty  t'  i  t"  mają  symetrię 
prostokątną  względem  osi  rzutów  x  (rys.1.17a).  Rzuty  rozwaŜanej  prostej  t  przecinają  się  w 
punkcie  M  leŜącym  na  osi  rzutów  x.  Punkt  M  jest  zatem  punktem,  w  którym  dana  prosta  t 
przecina  oś  rzutów  x.  Punkt  M  jest  równocześnie  punktem,  w  którym  prosta  t  przebija  obie 
rzutnie, a więc jest takŜe śladem poziomym H

t

 i śladem pionowym V

t

 prostej t. Punkt M dzieli 

daną prostą t na dwie półproste, z których jedna leŜy w I ćwiartce, a druga – w III ćwiartce. 

9.  Prosta  u  leŜąca  na  płaszczyźnie  dwusiecznej  δ

2

,  przechodząca  przez  ćwiartki  II  i  IV, 

ma wszystkie punkty równoodległe od obu rzutni, wobec czego jej rzuty u' i u" jednoczą się 
w jednej prostej u'=u" (rys.1.17b). Punkt M, w którym rozwaŜana prosta u przecina oś rzutów 
x, jest równocześnie śladem poziomym H

u

 i śladem pionowym V

u

 prostej u.  

Punkt M dzieli prostą u na dwie półproste, z których jedna leŜy w II ćwiartce, a druga – w 

IV ćwiartce. 

11 

 

 

 

 

 

a)   

 

 

 

 

b) 

A"

B"

B"=B'

A'

A'=A"

B'

M

M

I ćw.

x

x

t"

t'

u'=u"

III ćw.

IV ćw.

II ćw.

H =V

t

t

H =V

u

u

 

Rys. 1.17 

P

RZYKŁAD

 1.1. Dane są rzuty m' i m" dowolnej prostej m (rys.1.18). Wyznaczyć ślady prostej 

m i określić, przez które ćwiartki ta prosta przechodzi. 

m'

m'

m

x

m"

m"

A"

I

A'

B'

B"

C"

C'

π

2

V

m

V

m

H

m

H

m

H"

m

H"

m

V'

m

V'

m

π

1

IV

III

 

Rys. 1.18 

Ś

lad pionowy V

m

 jest punktem o zerowej głębokości, dlatego rzut poziomy V

m

' znajduje 

się  w  punkcie  przecięcia  rzutu  m'  z  osią  x  (V

m

'=m'×x).  Poszukiwany  ślad  pionowy  V

m

 

znajduje  się  na  przecięciu  odpowiedniej  odnoszącej  i  rzutu  m''  prostej  m.  Ślad  poziomy  H

m

 

jest  punktem  o  zerowej  wysokości,  dlatego  rzut  pionowy  H

m

''  znajduje  się  

w punkcie przecięcia rzutu m'' z osią x (H

m

"=m"×x). Poszukiwany ślad poziomy H

m

 znajduje 

się  na  przecięciu  odpowiedniej  odnoszącej  i  rzutu  m'.  Aby  określić  ćwiartki,  przez  które 
przechodzi prosta m, moŜna na niej obrać punkty A, B, C (jak na rys.1.18). PołoŜenie rzutów 
obranych  punktów  wskazuje  na  to,  Ŝe  punkt  A  znajduje  się  w  ćwiartce  I,  punkt  
B – w ćwiartce IV, a punkt C – w ćwiartce III. Zatem prosta m przechodzi przez ćwiartki I, IV 
i III. Szczegółowe rozwiązanie  zadania przedstawiono w załączniku 1.1. 

 

 

1.4

 

OBRAZ PŁASZCZYZNY 

Odwzorowanie  płaszczyzny  polega  na  odwzorowaniu  elementów,  które  tę  płaszczyznę 

określają, a zatem obraz płaszczyzny (rys.1.19) moŜna podać za pomocą obrazów: 
a) trzech punktów (rys.1.19a), 
b) prostej i punktu nie leŜącego na niej (rys.1.19b), 
c) dwóch prostych przecinających się (rys.1.19c), 
d) dwóch prostych równoległych (rys.1.19d). 
 
 

12 

 

 

 

a)   

 

 

 

b)   

 

 

c)   

 

 

d) 

m'

m'

m'

n'

n'

A"

A"

A"

B"

C"

A'

A'

A'

B'

C'

x

m"

m"

m"

n"

n"

x

x

x

 

Rys. 1.19 

Płaszczyzna  α  dowolnie  połoŜona  w  układzie  odniesienia  x(π

1

, π

2

)  (rys.1.20a)  przecina 

rzutnię  π

1

  wzdłuŜ  krawędzi  h

α

,  rzutnię  π

2

  wzdłuŜ  krawędzi  v

α

,  a  oś  rzutów  x  w  punkcie  X

α

, 

który  jest  równocześnie  punktem  przecięcia  obu  krawędzi  (X

α

=h

α

×v

α

).  Krawędź  h

α

  nazywa 

się śladem poziomym płaszczyzny α, krawędź v

α

 to ślad pionowy płaszczyzny α, a punkt X

α

 – 

węzeł  płaszczyzny  α.  Po  sprowadzeniu  obu  rzutni  do  płaszczyzny  rysunku  otrzymuje  się 
obraz jak na rys.1.20b. Płaszczyznę α, której połoŜenie jest określone śladami h

α

 i v

α

 zapisuje 

się symbolicznie jako α(h

α

, v

α

) lub α=h

α

v

α

. 

 

          

a)   

 

 

 

 

 

                b) 

x

x

π

2

v

α

v

α

h

α

h

α

X

α

X

α

π

1

 

Rys. 1.20 

1.4.1

 

Płaszczyzna w połoŜeniach szczególnych 

 

1. Płaszczyznę α||π

1

 (rys.1.21) nazywa się płaszczyzną poziomą. Płaszczyzna ta przecina 

rzutnię  π

2

  wzdłuŜ  śladu  pionowego  v

α

||x.  Rzut  pionowy  figury  płaskiej  leŜącej  na 

płaszczyźnie  α  znajdzie  się  na  śladzie  pionowym  v

α

  tej  płaszczyzny  (wyjaśnia  to  punkt  A 

obrany na płaszczyźnie α). 
 
 

x

x

α

A

A"

A"

A'

A'

π

2

v = "

α

α

v = "

α

α

π

1

 

Rys. 1.21 

 

 

 

13 

2. Płaszczyznę α||π

2

 (rys.1.22) nazywa się płaszczyzną czołową. Płaszczyzna ta przecina 

rzutnię  π

1

  wzdłuŜ  śladu  poziomego  h

α

||x.  Rzut  poziomy  figury  płaskiej  leŜącej  na 

płaszczyźnie α znajdzie się na śladzie poziomym h

α

 tej płaszczyzny. 

x

x

α

A

A"

A"

A'

A'

π

2

h = '

α

α

h = '

α

α

π

1

 

Rys. 1.22 

 

3.  Płaszczyznę  α

⊥

π

1

  (rys.1.23a)  nazywa  się  płaszczyzną  poziomo  rzutującą.  PoniewaŜ 

płaszczyzna α jest prostopadła do rzutni π

1

, to krawędź v

α

 jest takŜe prostopadła do rzutni π

1

; 

zatem v

α

⊥

x. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku (rys.1.23b) ślad pionowy v

α

 

jest  prostopadły  do  osi  rzutów  x,  a  ślad  poziomy  h

α

  tworzy  z  osią  x  kąt  φ  równy  kątowi 

nachylenia płaszczyzny α do rzutni π

2

. Płaszczyzna α

⊥

π

1

 rzutuje figury płaskie na niej leŜące 

na  swój  ślad  poziomy  h

α

.  Ślad  poziomy  h

α

  płaszczyzny  α

⊥

π

1

  jest  zatem  zbiorem  rzutów 

poziomych wszystkich punktów leŜących na tej płaszczyźnie (wyjaśnia to punkt A obrany na 
płaszczyźnie α). 

 

 

a)   

 

 

 

 

 

b) 

x

x

α

ϕ

A

A"

A"

A'

A'

π

2

v

α

v

α

h

α

h

α

X

α

X

α

π

1

 

Rys. 1.23 

4.  Płaszczyznę  α

⊥

π

2

  (rys.1.24a)  nazywa  się  płaszczyzną  pionowo  rzutującą.  Po 

sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku (rys.1.24b) ślad poziomy h

α

 jest prostopadły 

do  osi  rzutów  x,  a  ślad  pionowy  v

α

  tworzy  z  tą  osią  kąt  φ  równy  kątowi  nachylenia 

płaszczyzny  α  do  rzutni  π

1

.  Ślad  pionowy  v

α

  płaszczyzny  α

⊥

π

2

  jest  zatem  zbiorem  rzutów 

pionowych wszystkich punktów leŜących na tej płaszczyźnie. 

 

 

a)   

 

 

 

 

 

 

 

 

b) 

x

x

α

ϕ

A

A"

A"

A'

A'

π

2

v

α

v

α

h

α

h

α

X

α

X

α

π

1

 

Rys. 1.24 

14 

5. Płaszczyznę α prostopadłą do obu rzutni (rys.1.25a) nazywa się płaszczyzną podwójnie 

rzutującą. Po sprowadzeniu obu rzutni do płaszczyzny rysunku (rys.1.25b) obydwa jej ślady 
jednoczą  się  na  prostej  prostopadłej  do  osi  rzutów  x.  Ślady  h

α

  i  v

α

  są  odpowiednio  zbiorami 

rzutów  poziomych  i  pionowych  wszystkich  punktów  płaszczyzny  α  (wyjaśnia  to  punkt  A 
obrany na płaszczyźnie α). 

 

a)   

 

 

 

 

 

 

 

b) 

x

x

A

A"

A"

A'

A'

π

2

v

α

v

α

h

α

h

α

X

α

X

α

α

π

1

 

Rys. 1.25 

6. Płaszczyzna α||x, ale  nieprostopadła do Ŝadnej rzutni (rys.1.26), przecina obie rzutnie 

odpowiednio wzdłuŜ śladów h

α

 i v

α

 równoległych do osi rzutów x. 

 

x

x

v

v

h

h

π

π

2

1

α

α

α

α

α

 

Rys. 1.26 

7. Płaszczyzna α przechodząca przez oś rzutów x (rys.1.27) ma obydwa ślady jednoczące 

się  z  tą  osią.  Przez  obydwa  ślady  przechodzi  zatem  nie  jedna  płaszczyzna,  lecz  pęk 
płaszczyzn.  Aby  jednoznacznie  określić  jedną  z  nich,  naleŜy  dodatkowo  odwzorować  na 
rzutniach  jeszcze  jeden  punkt  płaszczyzny  α  (np.  punkt  A).  W  ten  sposób  płaszczyznę  α, 
przechodzącą przez oś rzutów x, określa się za pomocą osi rzutów x i punktu A leŜącego na α. 

 

x

x

α

A

A"

A"

A'

A'

π

2

h =v

α

α

h =v

α

α

π

1

 

Rys. 1.27 

 
 

15 

2

 

ELEMENTY PRZYNALEśNE 

2.1

 

PRZYNALEśNOŚĆ PUNKTU I PROSTEJ 

JeŜeli  punkt  i  prosta  przynaleŜą  do  siebie  w  przestrzeni,  to  ich  jednoimienne 

(odpowiednie) rzuty takŜe przynaleŜą do siebie. 

P

RZYKŁAD

 2.1.

 

Dany jest odcinek AB rzutami A'B' i A''B'' (rys.2.1). Znaleźć jego środek. 

x

B'

A'

A''

B''

M''

M'

1

2

 

Rys. 2.1 

Wykorzystując  konstrukcję  podziału  odcinka  w  zadanych  proporcjach,  dokonuje  się 

podziału  jednego  z  rzutów  np.  A'B'  na  dwie  równe  części.  Otrzymuje  się  w  ten  sposób  rzut 
poziomy  M'  punktu  M.  PoniewaŜ  punkt  M  tworzy  z  odcinkiem  AB  parę  elementów 
przynaleŜnych,  stąd  pionowy  rzut  M''  punktu  M  znajduje  się  na  rzucie  pionowym  odcinka 
A''B''. Punkt M(M', M'') jest rozwiązaniem zadania. 
 

2.2

 

PRZYNALEśNOŚĆ PROSTEJ  I  PŁASZCZYZNY 

W  przypadku  dowolnej  płaszczyzny 

α

  określonej  śladami  α(h

α

, v

α

)  prosta  leŜąca  na 

płaszczyźnie  posiada  ślady  znajdujące  się  na  odpowiednich  (jednoimiennych)  śladach  tej 
płaszczyzny. 
 
P

RZYKŁAD

 2.2.

 

Wyznaczyć  rzuty  dowolnej  prostej  leŜącej  na  płaszczyźnie 

α

  określonej 

ś

ladami (rys.2.2). 

h

α

v

α

X

α

x

H

r

H"

r

'

V

r

V

r

r"

r'

 

Rys. 2.2 

16 

Płaszczyzna  α(h

α

, v

α

)  jest  w  połoŜeniu  dowolnym,  gdyŜ  Ŝaden  ze  śladów  nie  jest 

prostopadły do osi rzutów. Aby wyznaczyć prostą r przynaleŜną do α naleŜy jeden rzut prostej 
r  przyjąć  dowolnie,  a  drugi  odpowiednio  wyznaczyć.  Zgodnie  z  tym,  niech  rzut  poziomy  r' 
prostej  r  znajduje  się  w  połoŜeniu  jak  na  rys.2.2.  Punkt  H

r

=r'×h

α

  jest  śladem  poziomym 

prostej r. Po zrzutowaniu H

r

 na oś x otrzymuje się rzut pionowy śladu poziomego H

r

''. Punkt 

przecięcia  rzutu  r'  z  osią  x  wyznacza  rzut  poziomy  śladu  pionowego  V

r

',  zaś  jego  prosta 

odnosząca  przecina  się  ze  śladem  v

α

  płaszczyzny  w  punkcie  V

r

  zwanym  śladem  pionowym 

prostej  r.  Rzut  pionowy  prostej  r  określony  jest  przez  punkty  V

r

  oraz  H

r

''.  Szczegółowe 

rozwiązanie  zadania przedstawiono w załączniku 2.1. 

 

W  przypadku  dowolnej  płaszczyzny 

α

  określonej  przy  pomocy  prostych  lub  punktów 

dowolna  prosta  leŜąca  na  tej  płaszczyźnie  posiada  punkty  przynaleŜne  (przecięcia)  z  tą 
płaszczyzną. 

P

RZYKŁAD

 2.3. 

Dana 

jest 

płaszczyzna 

określona 

prostymi 

s(s', s'') 

i  r(r', r'') przecinającymi się w punkcie P(P', P'') oraz rzut poziomy prostej t naleŜącej do tej 
płaszczyzny (rys.2.3). Wykreślić rzut pionowy prostej t. 

x

s'

t'

r'

P'

2'

1'

t"

P"

r"

s"

1"

2"

 

Rys. 2.3 

Prosta leŜy na płaszczyźnie, jeśli jej dwa róŜne punkty naleŜą do tej płaszczyzny lub jeśli 

przechodzi  przez  punkt  leŜący  na  płaszczyźnie  i  jest  równoległa  do  prostej  przynaleŜnej  do 
płaszczyzny.  Do  konstrukcji  brakującego  rzutu  prostej  t  moŜna  wykorzystać  pierwszy 
warunek przynaleŜności prostej i płaszczyzny. 

Prosta t ma dwa punkty wspólne z prostymi tworzącymi płaszczyznę, z prostą r' punkt 1' 

oraz z prostą s' punkt 2'. PoniewaŜ prosta t naleŜy do tej płaszczyzny, to rzuty pionowe 1'' i 2'' 
punktów 1 i 2 moŜna odnieść na rzutach pionowych odpowiednich prostych r'' i s''. Następnie 
przez  wykreślone  rzuty  moŜna  poprowadzić  szukany  rzut  t''  prostej  t.  Szczegółowe 
rozwiązanie  zadania przedstawiono w załączniku 2.2. 
 

Ze względu na pewne własności moŜna wyróŜnić charakterystyczne proste płaszczyzny: 

proste 

poziome 

– 

są 

to 

proste 

równoległe 

do 

rzutni 

poziomej; 

wynika  

z  tego,  Ŝe  prosta  p  (rys.2.4)  jest  równoległa  do  śladu  poziomego  h

α

  płaszczyzny,  a  więc  jej 

rzut poziomy p' jest równieŜ równoległy do śladu poziomego tej płaszczyzny. 
proste 

czołowe 

– 

są 

to 

proste 

równoległe 

do 

rzutni 

pionowej; 

wynika  

z tego, Ŝe prosta c (rys.2.5) jest równoległa do śladu pionowego v

α

 płaszczyzny, a więc jej rzut 

pionowy c'' jest równieŜ równoległy do śladu pionowego tej płaszczyzny. 

17 

V

p

V

p

V'

p

V'

p

p'

p'

p"

p'

x

x

p

2

1

h

h

v

v

X

X

π

π

α

α

α

α

α

α

α

 

Rys. 2.4 

H

c

H

c

c'

c'

H"

c

H

c

c"

c

c"

x

x

h

h

v

v

X

X

π

π

2

1

α

α

α

α

α

α

α

 

Rys. 2.5 

2.3

 

PRZYNALEśNOŚĆ PUNKTU I PŁASZCZYZNY 

Konstrukcja  punktu  A,  który  leŜy  na  danej  płaszczyźnie  α  wymaga  wprowadzenia 

pomocniczej prostej naleŜącej do płaszczyzny α i zawierającej punkt A. 

P

RZYKŁAD

 2.4.

 

Wyznaczyć punkt naleŜący do dowolnej płaszczyzny β(v

β

 h

β

) (rys.2.6). 

H

c

V

p

V'

p

c'

p'

H"

c

p"

c"

A"

A'

X

v

h

x

β

β

β

 

Rys. 2.6 

Zgodnie  z  rys.2.6  płaszczyzna  β  jest  wyznaczona  przez  swe  ślady  h

β

  

i  v

β

  przecinające  się  na  osi  rzutów  x.  NaleŜy  przyjąć  w  sposób  dowolny  rzut  pionowy  A'' 

punktu A leŜącego w płaszczyźnie β. Przez A'' prowadzi się równolegle do osi x rzut pionowy 
p''  prostej  poziomej  płaszczyzny  β.  Ślad  prostej  poziomej  V

p

  leŜy  na  przecięciu  śladu 

pionowego v

β

 płaszczyzny β z rzutem pionowym p''. Odnosząc punkt V

p

 na oś x otrzymuje się 

rzut poziomy V

p

', przez który prowadzi się równolegle do śladu poziomego h

β

 płaszczyzny β 

rzut poziomy p' prostej p. Odnosząc A'' na prostą p' uzyskuje się rzut poziomy A' punktu A. 

Zadanie moŜna równieŜ rozwiązać wprowadzając prostą czołową c (rys.2.6). Konstrukcja 

w  tym  przypadku  jest  analogiczna  jak  dla  prostej  poziomej  p.  RóŜnica  polega  na  tym,  Ŝe 

18 

najpierw obiera się rzut poziomy A' punktu A, przez który następnie prowadzi się równolegle 
do osi x rzut poziomy c' prostej c. Na przecięciu c' i h

β

 znajduje się ślad poziomy H

c

 prostej c. 

Po  zrzutowaniu  punktu  H

c

  na  oś  x  otrzymuje  się  jego  rzut  pionowy  H

c

''.  Prosta  c'' 

poprowadzona z punktu H

c

'' równolegle do v

β

 jest rzutem pionowym prostej czołowej c. Rzut 

pionowy  A''  punktu  A  znajduje  się  na  przecięciu  proste  c''  z  odnoszącą  poprowadzoną  z 
punktu A'. Szczegółowe rozwiązanie  zadania przedstawiono w załączniku 2.3. 
 
P

RZYKŁAD

 2.5.  Znaleźć  rzut  poziomy  trójkąta  ABC  leŜącego  na  płaszczyźnie  określonej 

prostą k(k', k'') i punktem M(M', M'') (rys.2.7). 

A'

A"

M'

1'

2'

n'

k'

3'

C'

4'

B'

4"

n"

M"

B"

k"

3"

1"

2"

C"

x

 

Rys. 2.7 

Przez punkt M prowadzi się prostą n(n', n''), której odpowiednie rzuty są  równoległe do 

rzutów  prostej  k(k', k'').  Rzuty  k''  oraz  n''  przecinają  dany  rzut  pionowy  trójkąta  A''B''C''  w 
punktach  1'',  2'',  3''  i  4''.  Po  zrzutowaniu  tych  punktów  na  rzuty  poziome  prostych  k'  i  n' 
otrzymuje  się  punkty  1',  2',  3',  4'.  Następnie  przez  punkty  1'  i  3'  prowadzi  się  prostą 
zawierającą krawędź A'B'. Przez rzuty poziome np. A' oraz 4' prowadzi się drugą prostą, która 
zawiera  krawędź  A'C'.  Następnie  po  zrzutowaniu  punktów  A'',  B''  i  C''  otrzymuje  się  na 
odpowiednich  prostych  rzuty  poziome  A',  B'  oraz  C'  wierzchołków  trójkąta,  które  po 
połączeniu  wyznaczają  szukany  rzut  poziomy  trójkąta  ABC.  Szczegółowe  rozwiązanie  
zadania przedstawiono w załączniku 2.4. 
 

 

19 

3

 

ELEMENTY  WSPÓLNE 

3.1

 

PUNKT  WSPÓLNY DWÓCH  PROSTYCH 

Dwie  proste  a(a', a'')  i  b(b', b'')  mają  punkt  wspólny  P(P', P''),  jeŜeli  naleŜy  on 

równocześnie  do  obydwu  prostych.  Sytuacja  ta  ma  miejsce  w  przypadku  prostych 
przecinających się (rys.3.1a). JeŜeli proste nie spełniają warunku prostych przecinających się 
to wówczas są względem siebie równoległe (rys3.1b) lub skośne (rys.3.1c). 

 

 

 

a)   

 

 

   

 

b)   

 

 

 

c) 

x

x

x

a''

a

a''

b''

b''

b'

P''

a''

a'

a'

b'

b''

P'

 

Rys. 3.1 

3.2

 

KRAWĘDŹ  DWÓCH  PŁASZCZYZN 

Dane są dwie płaszczyzny α i β. JeŜeli płaszczyzny te nie są względem siebie równoległe, 

to  przecinają  się,  tworząc  prostą  zwaną  krawędzią  wspólną.  Do  wyznaczenia  krawędzi 
przecięcia wystarczy znaleźć: 

a)

 

dwa róŜne punkty leŜące równocześnie na obydwu płaszczyznach, 
lub 

b)

 

jeden punkt wspólny dla tych płaszczyzn i prostą do nich równoległą. 

 

W  przypadku  dowolnych  płaszczyzn  α  i  β  określonych  śladami  przyjmuje  się,  Ŝe  ich 

krawędź wspólna k jest prostą przynaleŜną równocześnie do obydwu płaszczyzn a co za tym 
idzie ślady krawędzi k (V

k

 H

k

) leŜą na odpowiednich śladach płaszczyzn α i β a dokładnie na 

przecięciu się jednoimiennych śladów tych płaszczyzn. 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

20 

 
P

RZYKŁAD

 3.1.

 

Za  pomocą  śladów  h

α

  i  v

α

  oraz  h

β

  i  v

β

  przedstawiono  płaszczyzny  α  i  β 

(rys.3.2). Znaleźć krawędź wspólną tych płaszczyzn. 

H

k

V

k

X

β

v

β

h

β

h

α

v

α

X

α

V

k

'

k'

H

k

"

k "

x

 

Rys. 3.2 

Krawędź  wspólna  k  płaszczyzn  α  i  β,  jako  prosta  leŜąca  na  kaŜdej  

z  nich,  ma  ślad  poziomy  umiejscowiony  na  przecięciu  śladów  poziomych  tych  płaszczyzn 
H

k

=h

α

×h

β

,  a  ślad  pionowy  na  przecięciu  ich  śladów  pionowych  V

k

=v

α

×v

β

.  Rzuty  prostej  k 

prowadzi się w sposób następujący: rzut poziomy k' – przez ślad poziomy H

k

 oraz przez rzut 

poziomy  śladu  pionowego  V

k

',  rzut  pionowy  k''  –  przez  ślad  pionowy  V

k

  oraz  przez  rzut 

pionowy  śladu  poziomego  H

k

''.  Szczegółowe  rozwiązanie    zadania  przedstawiono  w 

załączniku 3.1. 

Podobnie  wyznaczamy  krawędź  k  dla  płaszczyzn  α  i  β  pokazanych  na  poniŜszych 

rysunkach (rys.3.3a, b, c, d, e). 
 

H

k

H

k

H

k

H

k

H

k

V

k

V

k

V

k

X

X

X

X

X

v

v

v

v

v

h

h

h

h

h

h

h  =   '

h

h

v

v

v

X

X

X

V'

k

V'

k

V'

k

k'

k'

k'

k'

k'

H''

k

H''

k

H''

k

H''

k

H''

k

k''

k''

k''

k''

k''

x

x

x

x

x

a)

b)

c)

d)

e)

h

v

=

α

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

β

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

 

Rys. 3.3 

21 

JeŜeli  płaszczyzny  są  określone  w  inny  sposób  niŜ  przez  ślady,  albo  ślady  krawędzi  są 

punktami  niedostępnymi  (leŜą  poza  obszarem  naszego  rysunku),  wówczas  najczęściej 
wprowadza się sieczne płaszczyzny pomocnicze (poziomą, czołową i inne rzutujące). 
 

P

RZYKŁAD

 3.2. Wyznaczyć część wspólną płaszczyzn α i β określonych odpowiednio trzema 

niewspółliniowymi  punktami  A, B, C  (płaszczyzna α)  oraz  prostymi  równoległymi  d  i  e 
(płaszczyzna β) (rys.3.4). 

2

k"

1

k"

4

k"

3

k"

e"

C"

d"

S"

R"

B"

A"

1"

2"

3"

4"

5"

6"

7"

8"

x

A'

C'

R'

B'

e'

S'

d'

1'

2'

3'

4'

5'

6'

7'

8'

k"

k'

h

1

k'

2

k'

=

=

h

3

k'

4

k'

=

=

 

Rys. 3.4 

Obie płaszczyzny moŜna przeciąć pomocniczą płaszczyzną  czołową γ. Następnie naleŜy 

wyznaczyć  krawędź  k

1

  wspólną  dla  płaszczyzny  pomocniczej  γ  oraz  płaszczyzny  α  oraz 

krawędź  k

2

,  wspólną  dla  płaszczyzn  γ  i  β.  Punkty  1  i  2  wyznaczają  krawędź  k

1

,  której  rzut 

pionowy  k

1

''  przechodzi  przez  rzuty  1''  i  2'',  a  rzut  poziomy  k

1

'  pokrywa  się  ze  śladem 

płaszczyzny  pomocniczej.  Punkty  3  i  4  wyznaczają  krawędź  k

2

,  której  rzut  pionowy  k

2

'' 

przechodzi  przez  rzuty  3''  i  4'',  a  rzut  poziomy  k

2

',  podobnie  jak  k

1

',  pokrywa  się  ze  śladem 

płaszczyzny  pomocniczej.  Trzy  płaszczyzny  α,  β  i  γ  mają  jeden  punkt  wspólny  R=k

1

×k

2

  na 

przecięciu wykreślonych prostych. Tak więc punkt R(R', R'') stanowi pierwszy punkt wspólny 
dla α i β. Aby skonstruować drugi punkt naleŜy wprowadzić kolejną płaszczyznę pomocniczą, 
np.  czołową  δ.  Punkty  5  i  6  wyznaczają  krawędź  k

3

  wspólną  dla  α  i  δ,  zaś  7  i  8  krawędź  k

4

 

wspólną  dla  β  i  δ.  Proste  k

3

  i  k

4

  przecinają  się  w  punkcie  S=k

3

×k

4

,  stanowiącym  element 

wspólny  dla  δ  i  danych  dwóch  płaszczyzn,  a  tym  samym  drugi  szukany  punkt.  Punkty 
S(S', S'') oraz R(R', R'') wyznaczają poszukiwaną krawędź k(k', k''), wspólną dla płaszczyzn α 
i β. Szczegółowe rozwiązanie  zadania przedstawiono w załączniku 3.2. 

 
 
 

 

22 

3.3

 

PUNKT PRZEBICIA PŁASZCZYZNY PROSTĄ 

Dana  jest  dowolna  płaszczyzna  α  oraz  dowolna  prosta  b.  JeŜeli  prosta  b  nie  jest 

równoległa  do  płaszczyzny  α  to  posiada  punkt  wspólny  R  z  tą  płaszczyzną,  zwany  inaczej 
punktem przebicia płaszczyzny α prostą b. W przypadku gdy prosta b leŜy na płaszczyźnie α 
to Ŝaden punkt wspólny prostej i płaszczyzny nie jest punktem przebicia. 

P

RZYKŁAD

 3.3. Dany jest ślad płaszczyzny poziomo rzutującej γ oraz rzuty dowolnej prostej l 

(rys.3.5a). Wyznaczyć punkt przebicia danej płaszczyzny prostą l. 

   a)  

 

 

 

 

 

 

b)   

 

 

 

c) 

x

P"

P"

P"

P'

P'

P'

h

h

v

v

X

X

l'

l'

l'

x

x

l"

l"

l"

v = ''

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

γ

 

Rys. 3.5 

Rzut  poziomy  l'  prostej  l  przecina  się  w  punkcie  P'  ze  śladem  poziomym  płaszczyzny 

rzutującej  γ.  Jest  to  rzut  punktu,  w  którym  prosta  l  przebija  płaszczyznę  γ.  NaleŜy  on 
jednocześnie do danej prostej płaszczyzny. Odnosząc punkt P'', na rzucie pionowym l'' prostej 
l, otrzymuje się rzut pionowy punktu przebicia P. 

Wyznaczenie  punktu  przebicia  dla  wszystkich  charakterystycznych  płaszczyzn  przez 

dowolną  prostą  następuje  w  podobny  sposób.  Na  rysunkach  3.5b  i  3.5c  wykreślono  punkty 
przebicia na płaszczyźnie podwójnie rzutującej oraz płaszczyźnie poziomej. 
 
Konstrukcja  wyznaczenia  punktu  przebicia  dowolnej  prostej  b  z  dowolną  płaszczyzną  α 
składa się z następujących etapów (rys.3.6): 
1.

 

Poprowadzenie przez prostą b płaszczyzny pomocniczej γ, najlepiej rzutującej; 

2.

 

Wyznaczenie krawędzi k wspólnej dla płaszczyzny danej i pomocniczej, k= α

x

γ; 

3.

 

Znalezienie  punktu  P  przecięcia  prostej  b  z  krawędzią  wspólną  k,  który  jest  szukanym 
punktem przebicia płaszczyzny α prostą b. 

 

23 

 

 

Rys. 3.6 

 

P

RZYKŁAD

 3.4. Dane są ślady dowolnej płaszczyzny α oraz rzuty dowolnej prostej b (rys.3.7). 

NaleŜy wyznaczyć punkt przebicia tej płaszczyzny prostą b. 

H

k

V

k

h

α

γ

v

v

α

X

α

γ

X V

k

'

=

h

γ

=

=

k'

b

'

H

k

"

k"

b"

P"

P'

x

 

Rys. 3.7 

Zgodnie  z  powyŜszym,  przez  odpowiedni  rzut  prostej  b  prowadzi  się  płaszczyznę 

poziomo rzutującą γ i wyznacza krawędź k wspólną dla α i γ. Rzut pionowy  k'' wyznaczony 
jest  przez  rzut  H

k

''  i  ślad  V

k

,  natomiast  rzut  poziomy  k'  –  przez  rzut  V

k

'  i  ślad  H

k

.  Szukany 

punkt  P,  punkt  przecięcia  krawędzi  k  z  prostą  b,  jest  rozwiązaniem  zadania.  Szczegółowe 
rozwiązanie  zadania przedstawiono w załączniku 3.3. 

 

 

24 

 

P

RZYKŁAD

 3.6.  Wyznaczyć  punkt  przebicia  nieprzeźroczystego  trójkąta  ABC  przez  dowolną 

prostą m oraz określić widoczność tej prostej (rys.3.8). 

 

Rys. 3.8 

W  celu  rozwiązania  zadania  wprowadza  się  płaszczyznę  pionowo  rzutującą  γ  tak  aby 

zawierała prostą m (ślad v

γ

 pokrywa się z rzutem m''). Następnym krokiem jest wyznaczenie 

krawędzi  k  wspólnej  dla  płaszczyzny  γ  i  płaszczyzny  trójkąta  ABC.  Rzut  pionowy  k''  
krawędzi  k  pokrywa  się  zarówno  ze  śladem  pionowym  płaszczyzny  jak  i  rzutem  pionowym 
prostej  m  (k''= v

γ

 = m'').  Rzut  pionowy  k''  krawędzi  przynaleŜnej  do  trójkąta  ABC  przecina 

jego  boki  w  punktach  1''  i  2''.    Po  wyznaczeniu  rzutów  poziomych  punktów  1'  i  2'  moŜna 
wyznaczyć rzut poziomy k' krawędzi przecięcia. Rzut poziomy k' przecina się z rzutem m' w 
punkcie  P',  który  jest  rzutem  poziomym  szukanego  punktu  przebicia.  Rzut  pionowy  P'' 
znajduje się na przecięciu odnoszącej poprowadzonej z  punktu P z rzutem k'' prostej k. 

Widoczność  prostej  m  wyznacza  się  poprzez  określenie  widoczności  rzutu  pionowego  i 

poziomego  tej  prostej.  Wyznaczając  widoczność  prostej  m  w  rzucie  pionowym  naleŜy 
wyznaczyć dwa punkty 1'' i  3''  jednoczące się w rzucie pionowym przy czym niech punkt 1 
leŜy na boku trójkąta AB a punkt 3 na prostej m. W kolejnym kroku naleŜy wyznaczyć rzuty 
poziome  tych  punktów  1'  i  3'  i  sprawdzić,  który  z  tych  punktów  ma  większą  głębokość. 
Patrząc wzdłuŜ wskazanego kierunku moŜna stwierdzić, Ŝe punkt 1 ma większą głębokość i w 
pierwszej  kolejności  jest  widoczny  zasłaniając  punkt  3  a  co  za  tym  idzie  bok  trójkąta  AB 
zasłania    w  rzycie  pionowym  prostą  m  co  skutkuje  brakiem  widoczności  tej  prostej  na 
odcinku P''1''. 

Podobnie  wyznaczamy  widoczność  w  rzucie  poziomym  wybierając  pokrywające  się 

punkty  4' i 5' przy  czym punkt 4 leŜy na prostej m a punkt 5 na boku AC. Po wyznaczeniu 
rzutów pionowych 4'' i  5''  sprawdzamy który z tych punktów ma większą wysokość. Patrząc 
wzdłuŜ  wskazanego  kierunku  moŜna  stwierdzić,  Ŝe  punkt  4  ma  większą  wysokość  i  w 
pierwszej  kolejności  jest  widoczny  zasłaniając  punkt  5  a  co  za  tym  idzie  prosta  m  w  rzucie 
poziomym  zasłania  bok  trójkąta  AC  co  skutkuje  widocznością  prostej  m  na  odcinku  4’P’ 
i brakiem  widoczności  prostej  m  na  odcinku  P' 2'.    Szczegółowe  rozwiązanie    zadania 
przedstawiono w załączniku 3.4. 

 

25 

4

 

KŁADY 

Kładem  płaszczyzny  α  na  płaszczyznę  β  nazywa  się  jej  obrót  dookoła  prostej  wspólnej 

obydwu płaszczyzn l=α×β o kąt dwuścienny zawarty między tymi płaszczyznami (rys.4.1). 
Praktyczne  znaczenie  ma  kład  wykonywany  na  jedną  z  rzutni  (π

1

, π

2

)  lub  na  płaszczyznę 

równoległą  do  rzutni.  Konstrukcja  kładu  umoŜliwia  m.in.  określenie  wielkości  kładzionych 
figur. 
Podniesienie  z  kładu  płaszczyzny  α    jest  konstrukcją  odwrotną  do  kładu  i  ma  na  celu 
określenie rzutów danej figury na płaszczyźnie α . 

A

B

C

p

m

n

l

C

o

o

A

o

p

o

m

o

n

o

B

o

α

α

β

ω

 

Rys. 4.1 

Oznaczenia: JeŜeli płaszczyzna α jest prostopadła do rzutni (rzutująca) to jej kład, jak równieŜ 
kłady  wszystkich  elementów  leŜących  na  α,  oznacza  się  indeksem  „

x

”  w  przeciwnym 

przypadku – indeksem „

o

”. 

 

4.1

 

KŁAD I PODNIESIENIE Z KŁADU PŁASZCZYZNY RZUTUJĄCEJ 

Kład płaszczyzny poziomo-rzutującej na rzutnię π

1

 przedstawiony został na rys.4.2. Osią 

obrotu  w  tym  przypadku  jest  ślad  poziomy  h

α

  płaszczyzny  α.  Rzut  poziomy  A'  nie  zmienia 

swego połoŜenia natomiast kład punktu A

x

 znajduje się na kładzie prostej rzutującej czyli na 

prostej prostopadłej do śladu poziomego h

α

 w odległości równej wysokości punktu A. 

JeŜeli  kład  wykonywany  jest  na  rzutnię  pionową,  to  osią  obrotu  jest  ślad  pionowy  v

α

  tej 

płaszczyzny. 
 

 

 

Rys. 4.2 

26 

P

RZYKŁAD

 4.1.  Dane  są  rzuty  trójkąta  ABC  leŜącego  na  płaszczyźnie  poziomo  rzutującej  α 

(rys.4.3). Wyznaczyć wielkość trójkąta ABC. 

 

Rys. 4.3 

Osią  obrotu  jest  ślad  h

α

.  Przez  punkty  A',  B',  C'  naleŜy  wykreślić  proste  prostopadłe  do 

ś

ladu  h

α

  i  odmierzyć  na  nich  odpowiednie  wysokości  punktów  A,  B  i  C.  Wyznaczony  kład 

A

x

B

x

C

x

 trójkąta ABC na rzutnię π

1

 przedstawia wielkość tego trójkąta.  

 

4.2

 

KŁAD

 

I

 

PODNIESIENIE

 

Z

 

KŁADU

 

PŁASZCZYZNY

 

NIERZUTUJĄCEJ 

 
4.2.1 KŁAD PUNKTU 
 

Kładem punktu A na rzutnię π nazywamy obrót punktu A dookoła osi obrotu l leŜącej na 

rzutni π o taki skierowany kąt obrotu 

ω

 aby po obrocie punkt A w nowym połoŜeniu A

o

 znalazł 

się na rzutni π. 

W celu dokonania kładu punktu A na rzutnię π

 

 naleŜy obrócić ten punkt dookoła zadanej 

osi obrotu l leŜącej na rzutni (rys.4.4). Osią obrotu jest najczęściej ślad płaszczyzny 

α

 (v

α

 

lub 

h

α

)  przechodzącej  prze  ten  punkt  A.  Obrót  punktu  A  wykonuje  się  w  przestrzeni  na 

płaszczyźnie 

ε

 (

ε

⊥

l,  

ε

⊥

π) obracając go dookoła osi l (np śladu płaszczyzny) tak aby znalazł 

się  na  rzutni  π  (punkt  A

o

).  W  praktyce  konstrukcję  kładu  naleŜy  przeprowadzić  w 

płaszczyźnie  rysunku.  W  związku  z  tym  kładziemy  punkt  A  na  rzutnię  wykorzystując 
konstrukcję  kładu  punktu  w  płaszczyźnie  rzutującej.  Kład  punktu  A

x

  obracamy  następnie 

dookoła środka obrotu S aŜ zajmie nowe połoŜenie A

o

 na śladzie płaszczyzny 

ε

. 

 

1

2

x

v

h

X

v

x

A"

A'

A

r

l=h

r

x

A

x

x

A

S

A

o

α

α

ε

ε

ε

ε

ε

ε

π

π

 

Rys. 4.4 

27 

Konstrukcja  przestrzenna  sprowadzona  do  płaszczyzny  rysunku  przedstawiona  została  na 
rys.4.5 (rys.4.5a – kład punktu A na rzutnię π

1

, rys.4.5b – kład punktu A na rzutnię π

2

). 

 

 

Rys. 4.5 

Aby  wykonać  kład  na  rzutnię  π  danej  figury  leŜącej  w  płaszczyźnie  nierzutującej 

α

 

wystarczy  wyznaczyć  kład    A

o

  tylko  jednego  dowolnego  punktu  A  tej  figury  na  rzutnię  π 

wykorzystując powyŜszą konstrukcję. Kłady pozostałych punktów moŜna wyznaczyć  w inny 
sposób  stosując  zasadę  powinowactwa  osiowego  czyli  podobieństwa  konstrukcji  miedzy 
kładami elementów a jego rzutami umieszczonymi po przeciwległej stronie osi obrotu (śladu 
płaszczyzny). Podobne podobieństwo występuje  pomiędzy rzutami pionowymi a poziomymi 
elementów gdzie osia obrotu jest oś rzutów x. 

 

P

RZYKŁAD

 4.2. Dane są rzuty trójkąta ABC leŜącego w płaszczyźnie nierzutującej 

α

 (rys.4.6). 

Wykorzystując konstrukcję kładu wyznaczyć jego rzeczywista wielkość. 
 

 

Rys. 4.6 

a) 

b) 

28 

W  pierwszej  kolejności  naleŜy  wyznaczyć  oś  l  względem  której  będziemy  kłaść  trójkąt 

ABC. Jeśli będziemy wykonywać kład na rzutnie π

1 

wówczas osią obrotu będzie ślad poziomy 

h

α

  płaszczyzny 

α

.  Ślad  ten  znajdujemy  wprowadzając  proste  a  i  b  przynaleŜne  do  trójkąta 

ABC  a następnie wyznaczamy ślady poziome tych prostych H

a

 i H

b

 przez które prowadzimy 

ś

lad  h

α

.  Dokonujemy  następnie  kładu  (obrotu  dookoła  śladu  h

α

)  punktu  A  na  rzutnię  π 

stosując konstrukcję kładu punkty (rys 4.4 i 4.5).  

Pozostałe  punkty  B  i  C  moŜna  wyznaczyć  podobnie  jednak  bardziej  czytelne  będzie 

wykorzystanie zasady powinowactwa osiowego:  
-skoro punkt B leŜy na prostej b to kład punktu B

o

 będzie znajdował się na kładzie prostej b

o

 

- ślad H

b

 prostej b leŜy na śladzie poziomym h

α

 

płaszczyzny 

α

 będącym osią powinowactwa a     

punkty leŜące na osi powinowactwa nie zmieniają swego połoŜenia. 
- kład  punktu  B

o

  leŜy  dodatkowo  na  prostej  prostopadłej  do  osi  powinowactwa  (śladu  h

α

) 

odchodzącej od rzutu poziomego B'. Prosta ta to nic innego jak ślad poziomy płaszczyzny 

ε

 

po której obracamy dany punkt. Prosta B'B

o

 nazywamy promieniem powinowactwa. 

Szczegółowe rozwiązanie  zadania przedstawiono w załączniku 4.1. 
 

W przypadku kładu płaszczyzny rzutującej kąt pomiędzy kładzionym śladem (v

α

x

 lub h

α

x

) 

a  osią  obrotu  (h

α

  lub  v

α

)    jest  równy  90

o

  i  wyznaczyć  go  moŜna  bezpośrednio  prowadząc  z 

węzła płaszczyzny X

α

 . 

W  przypadku  kładu  dowolnej  płaszczyzny  α  kąt  pomiędzy  kładem  śladu  (v

α

o

  lub  h

α

o

)  a 

osią  obrotu  (h

α

  lub  v

α

)    jest  róŜny  od  90

o

  i  wyznaczyć  go  moŜna  przy  pomocy  specjalnej 

konstrukcji.  Konstrukcję  dokładną  kładu  dowolnej  płaszczyzny  α  na  rzutnię  π

1

  przedstawia 

rys. 4.7a oraz uproszczoną rys. 4.7b.  

V

V'

x

V

V'

x

h

h

v

v

X

X

v

o

v

o

V

o

V

o

V

x

h

h

S

a)

b)

α

α

α

α

α

α

α

α

ε

ε

 

Rys. 4.7 

Osią  obrotu  jest  ślad  h

α

.  Po  wykonaniu  kładu  połoŜenie  zmieni  ślad  v

α

. Wprowadza  się 

najpierw  punkt  V  (V', V"=V)  leŜący  na  v

α

.  Przez  punkt  V'  prowadzi  się  następnie  prostą 

prostopadłą  do  h

α

  i  przecinającą  ją  w  punkcie  S.  Prosta  ta  jest  śladem  poziomym  h

ε

 

płaszczyzny  poziomo  rzutującej  ε  będącej  płaszczyzna  obrotu.  Następnie  naleŜy  wykonać 
kład płaszczyzny ε, tj. prowadzi się przez punkt V' prostą prostopadłą do h

ε

 i odmierza na niej 

wysokość  punktu  V.  W  rezultacie  otrzymuje  się  kład  V

x

  punktu  V.  Teraz  zataczając  łuk  o 

ś

rodku w punkcie S i promieniu SV

x

 wyznacza się punkt przecięcia z prostą h

ε

. Jest to kład V

o

 

punktu  V. Węzeł  X

α

  nie  zmieni  połoŜenia  poniewaŜ  leŜy  na  osi  obrotu,  więc  punkty  X

α

  i  V

o

 

wyznaczają kład v

α

o

 śladu v

α

 na rzutnię π

1

. 

W  konstrukcji  uproszczonej  przez  punkt  V'  prowadzi  się  prostą  prostopadłą  do  h

α

. 

Następnie zatacza się łuk o środku w punkcie X

α

 i promieniu X

α

V, który przecina się z prostą 

w szukanym punkcie V

o

. Punkty X

α

 i V

o

 wyznaczają kład v

α

o

. 

29 

Podobnie wyznaczamy kłady płaszczyzny α na rzutnię π

2

 przy czym osią obrotu jest ślad 

v

α 

(rys. 4.8) 

H

H

H"

H"

x

x

v

v

v

v

X

X

h

h

S

H

x

H

o

H

o

h

o

h

o

a)

b)

α

α

α

α

α

α

α

α

ε

ε

 

Rys. 4.8 

P

RZYKŁAD

 4.2. Dane są ślady dowolnej płaszczyzny α (rys.4.9, 4.10). Wykreślić rzuty prostej 

poziomej,  czołowej  i  dowolnej  naleŜących  do  płaszczyzny  α  a  następnie  wykonać  kłady 
płaszczyzny wraz z prostymi na rzutnie π

1

 i π

2

. 

p" A"

A"

A"

A'

A'

A'

p'

h

h

h

X

X

X

v

v

v

V

p

V'

p

V

p

o

A

o

A

o

A

o

p

o

v

o

v

o

v

o

x

x

x

a)

b)

c)

c"

c'

a"

a'

a

V

a

V'

a

H

a

H"

a

o

a

V

o

V

V'

H"

c

H

c

V

o

c

o

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

 

Rys. 4.9 

A'

A'

A'

A"

A"

A"

x

x

x

p"

p'

H"

H

v

v

v

X

X

X

h

h

h

V'

p

V'

a

V

p

V

a

A

o

A

o

A

o

p

o

h

o

h

o

h

o

H

o

c"

c'

c

H

a

H

c

H"

a

H"

c

H

o

a

H

o

c

o

a"

a'

a

o

a)

b)

c)

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

 

Rys. 4.10 

 

30 

Na rys.4.9a i 4.10a wprowadzona została prosta pozioma p, na rys.4.9b i 4.10b – prosta 

czołowa  c,  natomiast  na  pozostałych  –  prosta  dowolna  a.  Kład  płaszczyzny  α  wraz  z 
wprowadzonymi prostymi na rzutnię π

1

 przedstawiono na rys.4.9, natomiast na rzutnię π

2

 – na 

rys.4.10.  Konstrukcja  kładu  płaszczyzny  α  na  rzutnię  π

1

  i  π

2

  wyjaśniona  została  na  rysunku 

4.7 i 4.8.  

Potrafiąc  przeprowadzić  konstrukcję  kładu  kaŜdej  prostej  moŜna  wykonać  kład 

dowolnego punktu A przynaleŜnego do prostych a tym samym do płaszczyzny α.  

Dokonanie  kładu  dowolnej  figury  przynaleŜnej  do  płaszczyzny  α  sprowadza  się  do 

przeprowadzeniu 

kładu 

jej 

poszczególnych 

punktów 

wykorzystując 

konstrukcje 

przedstawione na rys. 4.9 lub 4.10. 

 

P

RZYKŁAD

 4.3. Dana jest płaszczyzna α(h

α

, v

α

) (rys.4.11). Wykreślić na płaszczyźnie α trójkąt 

równoramienny prostokątny. 

 

Rys. 4.11 

Na  początku  naleŜy  wykonać  kład  płaszczyzny  α  na  jedną  z  rzutni,  np.  na  rzutnię 

poziomą  (konstrukcja  jak  na  rys.4.7)  na  którym  wyznaczyć  naleŜy  kład  trójkąta  A

o

B

o

C

o

  i 

dokonać jego podniesienia uzyskując jego rzuty poziome i pionowe. MoŜna załoŜyć, Ŝe punkt 
A leŜy na śladzie pionowym v

α

 przez co dokonując kładu śladu płaszczyzny uzyskujemy kład 

punktu A

o

 oraz jego rzut poziomy A'. Dobieramy następnie przykładowo kład punkt B

o

 na osi 

obrotu.  Zgodnie  z  zasada  powinowactwa  osiowego  kład  punktu  B

o

  będzie  jednocześnie 

punktem  B  (B=B').  W  rezultacie  rzuty  punktów  A  i  B  otrzymuje  się  bez  dodatkowych 
konstrukcji.  Z  punktu  A

o

  rysujemy  kład  prostej  poziomej  a

o

,  na  której  zaznaczamy  kład 

trzeciego punktu C

o

. Podniesienie z kładu prostej a

o

 pozwala wyznaczyć rzuty punktu C. Po 

połączeniu  odpowiednich  rzutów  punktów  A,  B  i  C  otrzymuje  się  rzuty  szukanego  trójkąta. 
Szczegółowe rozwiązanie  zadania przedstawiono w załączniku 4.2. 

 
 

31 

P

RZYKŁAD

 4.4.  Dany  jest  rzut  pionowy  trójkąta  ABC  leŜącego  w  płaszczyźnie  α(h

α

, v

α

). 

Dokonać kładu trójkąta na rzutnię π

1

 (rys. 4.12). 

 

 

Rys. 4.12 

 

Do  wykonania  zadania  konieczne  jest  przeprowadzenie  dla  kaŜdego  punktu  trójkąta 

konstrukcji kładu punktu przedstawionej na rysunku 4.9a. Szczegółowe rozwiązanie  zadania 
przedstawiono w załączniku 4.3. 

 

Bardzo często stosowane są kłady nie na  rzutnię π

1

 i π

2

 lecz na płaszczyznę równoległą 

do tych rzutni. Mamy wówczas do czynienie z kładem róŜnicowym. 

Kładem  róŜnicowym  punku  A  na  płaszczyznę 

γ

  równoległą  do  rzutni  π  nazywamy  obrót 

punktu A dookoła osi obrotu l leŜącej na płaszczyźnie 

γ

 o taki skierowany kąt obrotu 

ω

 aby po 

obrocie punkt A znalazł się w nowym połoŜeniu A

o

 na płaszczyźnie 

γ

 

 
 
 
 
 
 

32 

P

RZYKŁAD

 4.5.  Dane  są  rzuty  trójkąta  ABC  (rys.  4.13).  Wyznaczyć  wielkość  trójkąta  ABC 

wykorzystując kład róŜnicowy. 

 

x

A"

B"

C"

C'

S

A'

1"

=

v

"

=k"

k'

A

o

B'=B

o

C

o

1'=1

o

C

x

γ

γ

 

Rys. 4.13 

W  pierwszej  kolejności  naleŜy  wprowadzić  płaszczyznę  kładu,  np.  jako  płaszczyznę 

poziomą  γ  oraz  wyznaczyć  krawędź  k  płaszczyzny  γ  i  trójkąta  ABC.  Krawędź  k  jest  osią 
obrotu.  Stosując  zasady  powinowactwa  osiowego  moŜna  wyznaczyć  kłady  wszystkich 
punktów ABC. Kład punktu B pokrywa się z jego rzutem poziomym B' leŜącym na osi obrotu. 
Kład  C

o

  punktu  C  wyznacza  się  stosując  konstrukcje  kładu  zgodnie  z  rys.  4.4,  4.5.  Kład  A

o

 

wyznacza się wykorzystując punkt 1'=1

o

. Punkt A jest współliniowy z punktami C i 1 przez 

co jego kład A

o

 równieŜ musi być współliniowy z C

o

 i 1

o

. Prowadząc dodatkowo z punktu A' 

prostą  prostopadłą  do  osi  obrotu  k  wyznaczamy  punkt  przecięcia  z  prostą  poprowadzoną 
przez C

o

 i 1

o

 uzyskując szukany kład A

o

. Trójkąt utworzony po połączeniu punktów A

o

, B

o

 i 

C

o

  reprezentuje  rzeczywistą  wielkość  trójkąta  ABC.  Szczegółowe  rozwiązanie    zadania 

przedstawiono w załączniku 4.4. 

 

 

 

 

 

 

 

 

33 

 

P

RZYKŁAD

 4.6. Wyznaczyć odległość punktu A od prostej m (rys.4.14). 

 

x

B"

1"

m"

A"

B'

m'

k'

= "=k"

v

B

x

B

o

m

o

1'=1

o

A'=A

o

e

α

α

 

Rys. 4.14 

 

Aby  wyznaczyć  odległość  punktu  A  od  prostej  m  naleŜy  płaszczyznę,  którą  A  i  m 

wyznaczają,  połoŜyć  na  rzutnię  lub  na  płaszczyznę  równoległą  do  rzutni.  Płaszczyznę  kładu 
moŜna obrać jako płaszczyznę poziomą α prowadząc v

α

=α'' przez punkt A''. Następnie naleŜy 

wyznaczyć  krawędź  k.  Kłady  punktów  A  i  1  pokrywają  się  z  ich  rzutami  poziomymi. Aby 
otrzymać 

kład 

prostej 

m 

naleŜy 

przyjąć 

na 

niej 

dowolny 

punkt 

B  

i wykonać jego kład. Punkty B

o

 i 1

o

 wyznaczają prostą m

o

. Odległość punktu A od prostej m to 

odcinek  prostopadły  e  wytyczony  pomiędzy  A

o

  i  m

o

.  Szczegółowe  rozwiązanie    zadania 

przedstawiono w załączniku 4.5. 
 
 
 

34 

5

 

RZUTY PROSTOKĄTNE NA TRZY WZAJEMNIE 

PROSTOPADŁE RZUTNIE 

JeŜeli  do  układu  zawierającego  rzutnię  poziomą  π

1

  i  pionową  π

2

  wprowadzi  się  trzecią 

rzutnię π

3

 prostopadłą do π

1

 i π

2

 to otrzymuje się układ trzech wzajemnie prostopadłych rzutni 

(rys.5.1). Rzutnia π

3

 nosi nazwę rzutni bocznej. 

Dla  opisu  połoŜenia  punktu  w  przestrzeni  otrzymuje  się  dodatkową  współrzędną  – 

szerokość s. W tej sytuacji dany punkt A(A

x

, A

y

, A

z

) moŜna zapisać jako A(s, g, w),  gdzie s – 

szerokość, g – głębokość, w – wysokość. 

A"

A"

A'''

A'''

A

A'

A'

A'

A'''

O

O

z

z

x

x

y

A

z

A

z

A

y

A

y

A

y

A

x

A

x

3

1

2

2

3

3

3

3

1

1

1

1

y

y

(

(

)

)

y

y

(

(

)

)

a)

b)

g

w

s

w

g

s

g

π

π

π

π

π

π

π

π

π

π

 

Rys. 5.1 

Uwaga:  Przy  tworzeniu  trzeciego  rzutu  łuk  (na  rys.5.1  łuk  A

y

-A

y

)  zatacza  się  zawsze  w 

kierunku przeciwnym do wskazówek zegara. 
 

W tak zdefiniowanym układzie rzutni prosta dowolna m (rys.5.2) ma trzy ślady: poziomy 

H

m

=m

×π

1

,  pionowy  V

m

=m

×π

2

  i  boczny  K

m

=m

×π

3

.  Ślad  boczny  K

m

  prostej  m  jest  takim  jej 

punktem,  którego  szerokość  s  równa  się  zero,  zatem  jego  rzut  poziomy  K

m

'  jest  punktem 

przecięcia prostej m' i osi y(

π

1

), natomiast rzut pionowy K

m

'' jest punktem przecięcia prostej 

m'' i osi z. 

Ś

lad  boczny  K

m

  wyznacza  się  bezpośrednio  z  rzutów  K

m

'  i  K

m

''  (rys.5.2)  natomiast  rzut 

boczny  m'''  moŜna  skonstruować  określając  rzuty  boczne  co  najmniej  dwóch  punktów 
naleŜących do prostej. MoŜna do tego celu wykorzystać np. punkty H

m

 i V

m

. NaleŜy zwrócić 

uwagę na fakt, Ŝe K

m

=K

m

''' musi leŜeć na prostej m''' wyznaczonej punktami H

m

''' i V

m

'''. 

35 

m'

m'

m

O

m"

m"

z

z

x

x

y

H"

m

H"

m

K"

m

K"

m

H

m

H

m

V

m

V

m

V'

m

V'

m

K

m

K

m

K'

m

K'

m

H'''

m

H'''

m

V'''

m

V'''

m

m'''

m'''

2

1

1

3

3

3

y( )

y (

)

y(

)

O

a)

b)

π

π

π

π

π

π

 

Rys. 5.2 

W układzie rzutni 

π

1

, 

π

2

, 

π

3

 płaszczyzna dowolna 

α

 (rys.5.3) przecina rzutnię poziomą w 

ś

ladzie poziomym h

α

, rzutnię pionową – w śladzie pionowym v

α

 i rzutnię boczną – w śladzie 

bocznym k

α

; osie rzutów zaś odpowiednio w węzłach X

α

, Y

α

, Z

α

. 

x

x

z

z

X

X

Z

Z

Y

Y

Y

v

v

h

h

k

k

O

O

2

1

1

3

3

y

y(

)

y(

)

a)

b)

π

π

π

π

π

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

α

 

Rys. 5.3 

P

RZYKŁAD

 5.1.  Wykreślić  rzuty  punktu  A(s, g, w)  gdzie  s=j  (j  –  jednostka  długości),  g=2s, 

w=-s oraz jego symetrycznego odbicia (punkt B) względem rzutni 

π

1

 (rys.5.4). 

B'=A'

A"

A'''

B'''

B"

x

z

y(

)

1

y(

)

3

s

w

=

-s

g

=

2

s

π

π

 

Rys. 5.4 

Na  początku,  zgodnie  z  danymi,  konstruuje  się  rzuty  punktu  A.  JeŜeli  punkt  B  ma  być 

symetryczny  do  A  względem 

π

1

,  to  musi  mieć  tą  samą  głębokość  i  szerokość,  natomiast 

wysokość o przeciwnym znaku (rys.5.4). 

36 

P

RZYKŁAD

 5.2. Prosta n

⊥

x (rys.5.5) określona jest punktami A(A', A'') i B(B', B''). Wyznaczyć 

ś

lady prostej n. 

A"

B"

n"

n'

A'

B'

n'''

A'''

B'''

V

n

V'''

n

H'''

n

H

n

x

z

y( )

1

y( )

3

π

π

 

Rys. 5.5 

W  pierwszej  kolejności  naleŜy  skonstruować  rzut  boczny  odcinka.  Na  rzucie  tym 

wyznacza  się  następnie  rzuty  boczne  śladów:  poziomego  H

n

'''  i  pionowego  V

n

''',  które 

następnie przenosi się na rzuty: poziomy i pionowy prostej n. 

P

RZYKŁAD

 5.3. Wyznaczyć odległości punktów A i B od prostej m (rys.5.6). 

A"

A'''

A'

B'

B"

B'''

m"

m'

m'''

e

2

e

1

x

z

y( )

1

y( )

3

π

π

 

Rys. 5.6 

Prosta  m  jest  bocznie  rzutująca  (rzut  boczny  m'''  jest  punktem)  więc  aby  rozwiązać  zadanie 
wystarczy wyznaczyć rzuty boczne prostej oraz punktów A i B. Odcinki e

1

 i e

2

 są szukanymi 

odległościami punktów A i B od prostej m.  Szczegółowe rozwiązanie  zadania przedstawiono 
w załączniku 5.1. 

 

37 

6

 

WIELOŚCIANY 

6.1

 

  RZUTY WIELOŚCIANÓW 

W  celu  wykreślenia  rzutu  prostokątnego  wielościanu  na  odpowiednią  rzutnię 

π

,  naleŜy 

wykonać  rzuty  prostokątne  wszystkich  jego  wierzchołków,  wyznaczając  tym  samym  rzuty 
wszystkich jego krawędzi. Krawędzie wielościanu tworzą jego ściany, które naleŜy traktować 
jako  powierzchnie  nieprzeźroczyste.  Po  zrzutowaniu  pewne  ściany  mogą  zasłaniać  niektóre 
krawędzie,  dlatego  waŜną  rzeczą  jest  określenie  widoczności  wszystkich  krawędzi 
wielościanu. 

P

RZYKŁAD

 6.1. Wykreślić  rzuty  ostrosłupa  czterościennego,  którego  podstawa  leŜy  na  rzutni 

π

1

 (rys.6.1). Określić widoczność jego krawędzi. 

x

y

z

W'''

A''

B''

C''

D''

W'

A'''

B'''

C'''

D'''

W''

(

π

3

)

y(

π

1

)

k

k

1

2

A

B

C

D

k

3

 

Rys. 6.1 

Na  rzutni 

π

1

  jako  podstawę  ostrosłupa  konstruuje  się  czworokąt  płaski  ABCD  (A'=A, 

B'=B,  C'=C,  D’=D)  oraz  przyjmuje  się  dowolny  punkt  W'  będący  rzutem  poziomym 
wierzchołka  ostrosłupa.  Następnie  wyznacza  się  rzut  pionowy  podstawy  A''B''C''D''  oraz 
wierzchołka  W''.  PoniewaŜ  podstawa  ostrosłupa  leŜy  na  rzutni 

π

1

  to  rzuty  pionowe  punktów 

podstawy  znajdują  się  na  osi  rzutów  x.  Mając  dane  rzuty  pionowe  i  poziome  wszystkich 
punktów  ostrosłupa  wyznacza  się  rzuty  boczne  tych  punktów  A''',  B''',  D''',  C''',  W'''.  Aby 
określić  widoczność  krawędzi  w  rzucie  poziomym,  naleŜy  patrzeć  na  rzut  pionowy  w 
kierunku  k

1

.  Jedyną  niewidoczną  krawędzią  jest  krawędź  podstawy  AD,  dlatego  jej  rzut 

poziomy  rysuje  się  linią  przerywaną. Aby  określić  widoczność  w  rzucie  pionowym,  naleŜy 
patrzeć  na  rzut  poziomy  ostrosłupa  w  kierunku  k

3

.  Widać,  Ŝe  krawędź  BW  jest  zasłonięta 

przez  ścianę  ADW,  dlatego  rzut  pionowy  B''W''  rysuje  się  linią  przerywaną.  W  przypadku 
rzutu  bocznego  naleŜy  patrzeć  w  kierunku  k

2

.  Widać,  Ŝe  krawędź  CW  jest  zasłonięta  ścianą 

ADW, w wyniku czego rzut boczny C'''W''' jest niewidoczny. 

38 

P

RZYKŁAD

 6.2. Dany jest kład podstawy prostopadłościanu leŜącej na płaszczyźnie pionowo 

rzutującej 

α

  (rys.6.2). Wykreślić  rzuty  prostopadłościanu,  przy  czym  jego  wysokość  wynosi 

30mm. 

B

A

C

D

A''

B''

C''

D''

1''

2''

3''

4''

1'

2'

4'

3'

A'

B'

C'

D'

X

x

h

v

h

α

α

α

α

x

x

x

x

x

k

2

k

1

30

 m

m

 

Rys. 6.2 

Na  początku  naleŜy  podnieść  z  kładu  płaszczyznę 

α

,  a  tym  samym  prostokąt  A

x

B

x

C

x

D

x

 

będący  podstawą  prostopadłościanu. W  wyniku  tego  otrzymuje  się  rzut  pionowy  A''B''C''D'' 
oraz  poziomy  A'B'C'D'.  Następnie  przez  rzuty  punktów  A'',  B'',  C'',  D''  prowadzi  się  proste 
prostopadłe  do  płaszczyzny 

α

.  Na  tych  prostych,  w  odległości  30mm  od  rzutu  pionowego 

podstawy,  wyznacza  się  rzut  pionowy  1''2''3''4'',  tworząc  tym  samym  drugą  podstawę 
prostopadłościanu. Prowadząc proste odnoszące prostopadłe do osi rzutów x znajdujemy rzut 
poziomy 1'2'3'4'. Patrząc z przodu (w kierunku k

1

) widać, Ŝe ściany 12BA oraz 24CB w rzucie 

pionowym  zasłaniają  krawędź  3D.  Patrząc  z  góry  (w  kierunku  k

2

)  widać,  Ŝe  ostatnią 

krawędzią  jest  4C,  dlatego  w  rzucie  poziomym  jest  ona  niewidoczna,  podobnie  jak 
odchodzące z punktu 4 krawędzie 34 i 24. 

 

 

 

 

 

 

 

 

39 

P

RZYKŁAD

 6.3.  Wykreślić  rzuty  ostrosłupa  trójściennego  prawidłowego,  którego  jeden  bok 

leŜy na rzutni 

π

2

 a podstawa na płaszczyźnie dowolnej 

α

=h

α

v

α

 (rys.8.4). 

A

C

B

S

S'' A''

W

A'

W'

k'

k''

S'

C'

B'

c

c''

c'

v

h

H

H

h

α

α

X

x

α

α

o

o

o

o

o

 

Rys. 6.3 

PoniewaŜ podstawa ostrosłupa leŜy na płaszczyźnie 

α

, więc najpierw naleŜy wyznaczyć kład 

α

o

  tej  płaszczyzny  na  rzutnię 

π

2

.  Następnie  moŜna  skonstruować  kład  podstawy  ostrosłupa 

trójściennego  tzn.  trójkąta  równobocznego  BCA

o

,  tak  aby  jeden  bok  leŜał  na  śladzie 

pionowym  v

α

.  Po  podniesieniu  z  kładu  podstawy  (przy  pomocy  prostych  czołowych), 

otrzymuje się rzut pionowy BCA'' (B'=B, C'=C), poziomy B'C'A' oraz rzuty środka podstawy 
S. Przez środek S prowadzi się następnie prostą k prostopadłą do podstawy, a tym samym do 
płaszczyzny 

α

: k'

⊥

h

α

 i k''

⊥

v

α

. PoniewaŜ jest to ostrosłup prawidłowy wierzchołek W leŜy na 

prostej k. Ponadto z uwagi na to, Ŝe jedna ze ścian bocznych leŜy na rzutni π

2

 rzut poziomy W' 

wierzchołka  W znajduje się na przecięciu rzutu k' prostej k  z osią rzutów x. Wierzchołek  W 
jest  jednocześnie  śladem  pionowym  prostej  k.  Odcinek  WS  jest  wysokością  szukanego 
ostrosłupa.  Podstawa  ABC  i  wszystkie  krawędzie  ścian  bocznych  są  widoczne  w  obydwóch 
rzutach. Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 6.1. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

40 

 

6.2

 

 PRZEKROJE WIELOŚCIANÓW 

Przekrój  wielościanu  płaszczyzną  jest  zbiorem  wszystkich  punktów  wspólnych 

powierzchni  wielościanu  i  płaszczyzny.  Jest  to  więc  wielokąt,  którego  boki  są  krawędziami 
przecięcia ścian wielościanu (i ewentualnie podstaw) z płaszczyzną przekroju, a wierzchołki 
punktami przecięcia krawędzi wielościanu tą płaszczyzną. 
 

6.2.1

 

Przekrój wielościanu płaszczyzną rzutującą 

P

RZYKŁAD

 6.4.  Dany  jest  graniastosłup  czworokątny  pochyły,  którego  podstawa  leŜy  na 

rzutni  poziomej 

π

1

  (rys.6.4).  Wykreślić  rzuty  przekroju  tego  graniastosłupa  płaszczyzną 

pionowo rzutującą 

ϕ

(h

α

, v

α

). 

A''

B''

C''

D''

1''

2''

3''

4''

A''

B''

C''

D''

X

ϕ

x

B

C

A

D

2'

1'

3'

4'

B'

A'

C'

D'

1

1

1

1

1

1

1

1

h

v

ϕ

ϕ

 

Rys. 6.4 

Płaszczyzna pionowo rzutująca 

ϕ

 przecina krawędzie boczne graniastosłupa w punktach 

1, 2, 3, 4. Punkty te tworzą wielobok (przekrój) graniastosłupa i nazywa się je wierzchołkami 
przekroju. Rzut pionowy przekroju leŜy na śladzie pionowym v

ϕ

 płaszczyzny 

ϕ

 i opisany jest 

punktami  1'',  2'',  3'',  4''.  Rzuty  poziome  1',  2',  3',  4'  wierzchołków  przekroju  znajdują  się 
bezpośrednio na rzutach poziomych odpowiednich krawędzi bocznych graniastosłupa. 

 
 

41 

6.2.2

 

Przekrój wielościanu płaszczyzną dowolną 

P

RZYKŁAD

 6.5.  Dany  jest  rzut  pionowy  i  poziomy  graniastosłupa  trójściennego  prostego, 

którego  podstawa  leŜy  na  rzutni  poziomej 

π

1

  (rys.6.5).  Wykreślić  rzuty  przekroju  tego 

graniastosłupa płaszczyzną dowolną 

ϕ

(h

ϕ

, v

ϕ

). 

v

1''

2''

3''

2'

X

1'

3'

c'

c''

h

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

=

x

A''

B''

C''

B

C

A

 

Rys. 6.5 

Punkty  1,  2,  3  są  wierzchołkami  przekroju  graniastosłupa  trójściennego  płaszczyzną 

ϕ

. 

PoniewaŜ  jest  to  graniastosłup  prosty  rzuty  poziome  wierzchołków  1',  2',  3'  jednoczą  się  z 
rzutami poziomymi wierzchołków obydwu podstaw. Rzuty pionowe 1'', 2'', 3'' wierzchołków 
przekroju moŜna wyznaczyć wprowadzając proste czołowe przynaleŜne do płaszczyzny 

ϕ

. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

42 

P

RZYKŁAD

 6.6. Dany jest rzut poziomy i pionowy ostrosłupa trójściennego, którego podstawa 

leŜy  na  rzutni 

π

1

  (rys.6.6).  Wykreślić  rzuty  przekroju  tego  ostrosłupa  płaszczyzną 

ϕ

(h

ϕ

, v

ϕ

) 

równoległą do osi rzutów x. 

z

Z

v

ϕ

k

W''

W'''

y(

π

)

3

C''' A'''

B'''

1'''

2'''

3'''

2''

1''

3''

A''

B''

C''

A

B

C

2'

1'

3'

W'

h

ϕ

ϕ

ϕ

y(

π

1

)

x

 

Rys. 6.6 

Zadanie  to  moŜna  rozwiązać  wykorzystując  trzecią  rzutnię 

π

3

,  poniewaŜ  płaszczyzna 

ϕ

 

jest  do  tej  rzutni  prostopadła.  Przekrój  ostrosłupa  w  trzecim  rzucie  jednoczy  się  ze  śladem 
bocznym  k

ϕ

  płaszczyzny 

ϕ

.  Rzuty  pionowe  1'',  2'',  3''  i  poziome  1',  2',  3'  wierzchołków 

przekroju  moŜna  wyznaczyć  prowadząc  proste  odnoszące  od  rzutów  bocznych  1''',  2''',  3'''. 
Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 6.2. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

43 

 

P

RZYKŁAD

 6.7.  Dany  jest  graniastosłup  trójścienny  pochyły  oraz  dowolna  płaszczyzna 

ϕ

 

(rys.6.7). Wykreślić rzuty przekroju graniastosłupa płaszczyzną 

ϕ

. 

2''

3''

1''

C''

B''

A''

X

x

v

k''

k'

V

k

H

k

I

C

B

A

II

2'

3'

1'

III

h

C'

B'

A'

1

1

1

β

v

ϕ

ϕ

C''

B''

A''

β

X

β

1

1

1

h

ϕ

 

Rys. 6.7 

Przekrój  wielościanu  dowolną  płaszczyzną 

ϕ

  moŜna  wykreślić  traktując  wierzchołki 

przekroju jako punkty przebicia płaszczyzny 

ϕ

 krawędziami wielościanu. W przykładzie tym 

pierwszy  wierzchołek  przekroju  1  moŜna  potraktować  jako  punkt  przebicia  płaszczyzny 

ϕ

 

krawędzią  AA

1

.  Punkt  ten  moŜna  znaleźć  stosując  znaną  metodę,  wykorzystywaną  przy 

szukaniu punktu przebicia płaszczyzny dowolną prostą. Prowadzi się więc przez krawędź AA

1

 

płaszczyznę pionowo rzutującą 

β

, a następnie wyznacza krawędź k przecięcia się płaszczyzn 

β

  i 

ϕ

. Punkt 1 przecięcia się krawędzi k z krawędzią AA

1

 jest punktem przebicia płaszczyzny 

ϕ

  krawędzią  AA

1

,  a  tym  samym  pierwszym  wierzchołkiem  szukanego  przekroju.  Pozostałe 

punkty  2  i  3  moŜna  wyznaczyć  podobnie,  prowadząc  przez  odpowiednie  krawędzie 
płaszczyzny  rzutujące.  Szybszym  sposobem  jest  jednak  wykorzystanie  powinowactwa 
osiowego  wierzchołków  przekroju  z  odpowiadającymi  im  wierzchołkami  podstawy 
graniastosłupa.  MoŜna  zauwaŜyć,  Ŝe  rzutnia  pozioma 

π

1

,  płaszczyzna  tnąca 

ϕ

  i  płaszczyzna 

ś

ciany  bocznej 

α

=CC

1

'A

1

'A

  przecinają  się  w  trzech  krawędziach  przechodzących  przez 

wspólny punkt I. Punkt ten wyznaczają krawędzie płaszczyzny 

π

1

×

ϕ

=h

ϕ

  i 

π

1

×

α

=AC. Trzecia 

krawędź 

ϕ

×

α

=12  przejdzie  więc  przez  punkt  1  i  I.  Prosta  1I  leŜy  na  płaszczyźnie  ściany 

α

=CC

1

'A

1

'A

  i  przecina  krawędź  CC

1

  graniastosłupa  w  wierzchołku  2  trójkąta  przekroju. 

Podobnie  wyznaczany  jest  punkt  II,  w  którym  prosta  przechodząca  przez  krawędź  BC 
przecina  ślad  h

ϕ

.

  Następnie  wykreśla  się  prostą  II2',  która  przecina  rzut  poziomy  BB

1

'

 

krawędzi BB

1

 w punkcie 3'. Otrzymane punkty 1', 2', 3' są rzutami poziomymi wierzchołków 

przekroju  123.  Rzuty  pionowe  znajdują  się  na  odpowiednich  odnoszących.  Proste 
przechodzące  przez  boki  AB  i  1'3'  powinny  przecinać  się  w  jednym  punkcie  III  na  śladzie 
poziomym  h

ϕ

  płaszczyzny 

ϕ

.    Szczegółowe  rozwiązanie    zadania  przedstawiono  w 

załączniku 6.3. 

44 

6.3

 

 PUNKT PRZEBICIA WIELOŚCIANU PROSTĄ 

Punkt 

przebicia 

wielościanu 

prostą 

jest 

to 

punkt 

wspólny 

tej 

prostej  

i  ściany  wielościanu  (prosta  nie  moŜe  leŜeć  na  tej  ścianie). Aby  wyznaczyć  punkt  przebicia 
wielościanu prostą m (rys.6.8) naleŜy przez prostą m poprowadzić pomocniczą płaszczyznę 

ϕ

, 

która  przetnie  wielościan  w  wielokącie  123.  Następnie  wyznacza  się  punkty  przebicia  J,  K 
będące punktami przecięcia się prostej m z bokami przekroju 123. 

1

2

3

J

K

m

ϕ

 

Rys. 6.8 

Bezpośrednie  wyznaczenie  punktu  przebicia  moŜliwe  jest,  gdy  przebijająca  prosta  jest 

prostą  rzutującą  (rys.6.9a),  lub  gdy  przebite  ściany  wielościanu  są  rzutujące  (rys.8.9b). 
W pierwszym  przypadku  naleŜy  wprowadzić  pomocniczą  prostą  k  (k'  przechodzi  przez  rzut 
poziomy  W'  wierzchołka  W  oraz  przez  rzuty  punktów  przebicia  J',  K',  które  jednoczą  się  z 
rzutem poziomym m' prostej m). 

 
 

m''

J''

K''

k''

k'

J'

=

K'

m'

1''

1'

x

W''

W'

      

m''

x

J''

K''

m'

J'

K'

 

Rys. 6.9 

 

 
 
 
 
 
 
 

a) 

b) 

45 

P

RZYKŁAD

 6.8.  Dane  są  rzuty  ostrosłupa  trójściennego  oraz  rzuty  prostej  m  (rys.6.10). 

Wyznaczyć punkty przebicia ostrosłupa prostą m. 

A''

B''

C''

A'

C'

m'

J''

K''

1''

v

ϕ

x

X

h

B'

2''

3''

3'

2'

1'

J'

K'

W

W''

m''

ϕ

ϕ

 

Rys. 6.10 

Punkty  przebicia  J,  K  wielościanu  prostą  m  moŜna  wykreślić  prowadząc  przez  prostą 

płaszczyznę  rzutującą 

ϕ

.  Dzięki  temu  moŜna  bezpośrednio  znaleźć  wierzchołki  1,  2,  3 

przekroju  ostrosłupa  płaszczyzną 

ϕ

,  a  następnie  punkty  przebicia  J  i  K,  które  są  punktami 

przecięcia prostej m z bokami przekroju. 
 

P

RZYKŁAD

 6.9. Dany jest ostrosłup trójścienny, którego podstawa leŜy na rzutni 

π

1

 oraz prosta 

m

 (rys.6.11). Wyznaczyć punkty przebicia ostrosłupa prostą m. 

 

Rys. 6.11 

46 

Ostrosłup ten ma szczególne połoŜenie poniewaŜ rzuty krawędzi WB są prostopadłe do x 

(W''B''

⊥

x

 i W'B

⊥

x

). Znalezienie wierzchołka przekroju na tej krawędzi jest niemoŜliwe przy 

wykorzystaniu  konstrukcji  z  płaszczyzną  rzutującą.  W  tym  przypadku  naleŜy  wprowadzić 
pomocniczą  płaszczyznę 

ϕ

  przez  prostą  m  i  wierzchołek  W  ostrosłupa.  NaleŜy  więc  przez 

wierzchołek  W  poprowadzić  drugą  prostą  n  przecinającą  prostą  m  w  punkcie  R  (lub 
równoległą do prostej m). Proste n i m tworzą płaszczyznę 

ϕ

, która przecina rzutnię poziomą 

π

1

 wzdłuŜ śladu h

ϕ

. Ślad h

ϕ

 przecina podstawę ostrosłupa w punktach 1 i 2, które są dwoma 

wierzchołkami przekroju. PoniewaŜ płaszczyzna 

ϕ

 przechodzi równieŜ przez wierzchołek  W 

tak więc jest on trzecim wierzchołkiem przekroju. Łącząc punkty 1, 2 i W' otrzymuje się rzut 
poziomy przekroju ostrosłupa płaszczyzną 

ϕ

. Punkty przecięcia w rzucie poziomym prostej m 

z  bokami  przekroju  są  punktami  przebicia  J  i  K  ostrosłupa  prostą  m.  Rzuty  pionowe  tych 
punktów znajdują się na przecięciu prostych odnoszących z rzutem pionowym m'' prostej m. 
Szczegółowe rozwiązanie zadania przedstawiono w załączniku 6.4. 
 

6.4

 

  PRZENIKANIE WIELOŚCIANÓW 

Część  wspólną  dwu  powierzchni  (zbiór  wszystkich  punktów  wspólnych  obu 

powierzchni)  nazywa  się  linią  przenikania  powierzchni.  Gdy  weźmie  się  pod  uwagę 
wielościany, to do linii przenikania naleŜą punkty przebicia krawędzi jednego wielościanu ze 
ś

cianami  drugiego  (i  odwrotnie),  zwane  wierzchołkami  linii  przenikania  oraz  krawędzie,  

w których przecinają się ściany wielościanów tzw. boki linii przenikania. Wierzchołki i boki 
linii przenikania tworzą wielokąt przenikania. 

W  rozdziale  tym  opisane  zostały  elementarne  przykłady  przenikania  wielościanów.  Nie 

wymagają  one  wprowadzania  pomocniczej  siatki  ułatwiającej  wyznaczenie  wielokąta 
przenikania. 

P

RZYKŁAD

 6.10.  Dane  są  rzuty  poziome  oraz  pionowe  graniastosłupa  sześciościennego 

prawidłowego o podstawie leŜącej na rzutni 

π

1 

i graniastosłupa trójściennego prawidłowego o 

krawędziach  bocznych  równoległych  do  osi  rzutów  x  (rys.6.12).  Wyznaczyć  rzuty  linii 
przenikania tych graniastosłupów. 

3''

9''

5''

4''

11''

7''

8''

2'' 12''

10''

6''

1'

2'

11'

12'

4'

7' 8'

5'

6'

10'

3'

1'''

2'''

10'''

12'''

6'''

8'''

5'''

7'''

3'''4'''

9'''

11'''

1''

9'

z

x

y(

3

)

y (

)

1

π

π

 

Rys. 6.12