1. Bry la sztywna

Symulacja komputerowa ruchu bry ly sztywnej jest wa˙znym zagadnieniem podczas
modelowania i weryfikacji r´

o˙znych system´

ow fizycznych. M´

owi

ac bry la sztywna, ma-

my na my´sli bry l

e, kt´

ora nie ulega deformacji, co w szczeg´

olno´sci oznacza, ˙ze jej ob-

eto´s´

c pozostaje niezmienna. Zak ladamy, ˙ze podczas symulacji ruchu bry l sztywnych,

cia la nie przenikaj

a si

e, a kiedy nast

api kontakt, bry ly albo si

e od siebie odbijaj

albo sklejaj

a si

Podczas symulacji komputerowych stajemy przed wieloma problemami, a jednym z
nich jest fakt, ˙ze symulowany ´swiat rzeczywisty, z naszego punktu widzenia, sk lada
si

e z obiekt´

ow ci

ag lych, podczas gdy ´swiat odtwarzany przy pomocy komputera jest

dyskretny.

Dla uproszczenia procesu oblicze´

n poczynimy nast

epuj

ace za lo˙zenia:

•

obiekty s

a sztywne,

•

obiekty s

a jednorodne, czyli ich g

esto´s´

c jest wielko´sci

a sta l

1.1. Uk lad wsp´

o lrz

ednych

)

Rysunek 1. Globalny uk lad wsp´

o lrz

ednych (przestrze´

n ´swiata) zdefiniowany przez

osie x

, x

. Lokalny uk lad bry ly zdefiniowany przez osie x

, x

. Punkt p

jest

opisany w uk ladzie bry ly. Punkt p(t) to punkt p

w uk ladzie odniesienia ´swiata.

Po lo˙zenie punktu w przestrzenie w chwili czasowej t mo˙ze by´

c opisane jako wektor

x(t), reprezentuj

acy przemieszczenie punktu od ´srodka uk ladu wsp´

o lrz

ednych. Bry la

sztywna jest obiektem bardziej skomplikowanym, opr´

ocz mo˙zliwo´sci przemieszcza-

nia mo˙ze si

e r´

ownie˙z obraca´

c. Aby zlokalizowa´

c bry l

e sztywn

a w przestrzeni ´swiata

u˙zyjemy wektora r(t), opisuj

acego przemieszczenie cia la. Dodatkowo musimy opisa´

obr´

ot cia la, poprzez macierz obrotu ˆ

R(t) ∈ R

3×3

. wektor x(t) oraz macierz obrotu

R(t) b

edziemy nazywali zmiennymi przestrzennymi bry ly sztywnej.

W odr´

o˙znieniu od punktu, bry la sztywna posiada obj

eto´s´

c (wype lnia pewien obszar

w przestrzeni) oraz posiada okre´slony kszta lt. Zdefiniujemy uk lad wsp´

o lrz

ednych

zwi

azany z bry l

a sztywn

a z pocz

atkiem w ´srodku masy bry ly (0, 0, 0).

Przyjmijmy, ˙ze ˆ

R(t) opisuje obr´

ot bry ly wzgl

edem ´srodka masy, wtedy wektor r

zdefiniowany w przestrzeni bry ly mo˙zemy opisa´

c po obrocie w przestrzeni ´swiata

jako ˆ

R(t)r w chwili t. Podobnie je˙zeli p

jest ustalonym punktem w przestrzeni bry ly,

jego po lo˙zenie w przestrzeni ´swiata p(t) otrzymamy obracaj

ac go i przemieszczaj

o wektor x(t)

p(t) = ˆ

R(t)p

+ x(t)

Poniewa˙z ´srodek masy le˙zy w ´srodku uk ladu wsp´

o lrz

ednych zwi

azanego z bry la, po-

lo˙zenie ´srodka masy wzgl

edem przestrzeni ´swiata jest zawsze opisane poprzez wektor

x(t). Mo˙zemy powiedzie´

c, ˙ze x(t) jest po lo˙zeniem ´srodka masy w przestrzeni ´swiata

w chwili czasowej t. Rozwa˙zmy wektor w przestrzeni bry ly np. (1, 0, 0). W chwili
czasowej t. Kierunek tego wektora w przestrzeni ´swiata mo˙zemy opisa´

c jako:

R(t)





1
0
0





Wypisuj

ac sk ladowe macierzy ˆ

R(t) =









Orientacj

e osi uk ladu zwi

azanego z bry l

a (x

, x

) wzgl

edem przestrzeni ´swiata,

otrzymamy mno˙z

ac macierz obrotu ˆ

R(t) przez kolejne wersory uk ladu wsp´

o lrz

ed-

nych:

R(t)





1
0
0













Analogicznie post

epujemy dla:









oraz









Macierz ˆ

R jest macierz

a obrotu o rozmiarach 3 × 3, kt´

ora pomno˙zona przez wsp´

o l-

edne punktu, daje jego wsp´

o lrz

edne po obr´

oceniu go wok´

o l wyr´

o˙znionej osi, czyli:

= R · v

(1)

Macierze obrot´

ow wok´

o l osi, x

, x

o k

at θ = θ

, θ

wygl

adaj

a nast

epuj

aco:





0 cos(θ

) − sin(θ

)

0 sin(θ

)

cos(θ

)





(2)





cos(θ

)

0 sin(θ

)

− sin(θ

) 0 cos(θ

)





(3)





cos(θ

) − sin(θ

) 0

sin(θ

)

cos(θ

)





(4)

Tworz

ac z lo˙zenia powy˙zszych macierzy, mo˙zna otrzyma´

c macierz opisuj

a r´

o˙zne

skomplikowane obroty. Robi si

e to mno˙z

ac macierze (poniewa˙z mno˙zenie macierzy

nie jest przemienne wynika z tego, i˙z kolejno´s´

c obrot´

ow te˙z nie jest przemienna), a

ec np.

· ˆ

6= ˆ

· ˆ

(5)

Zadanie sprawdzi´

c wz´

or (

1.2. Pr

edko´

s´

Niech v(t) oznacza zmian

e po lo˙zenia dx punktu x(t) w czasie dt:

v(t) =

= ˙

(6)

Wielko´s´

c v nazywamy liniow

a pr

edko´sci

a cia la. Je´sli cia lo jest sztywne, to jest ona

jednakowa dla wszystkich punkt´

ow cia la, a wi

ec jest to r´

ownie˙z pr

edko´s´

c ´srodka

masy.

Podczas ruchu, bry la sztywna mo˙ze r´

ownie˙z obraca´

c si

e. Zak ladamy tu, ˙ze obr´

nast

epuje wzgl

edem osi przechodz

acej przez ´srodek masy. O´s mo˙zna reprezentowa´

jako wektor, gdzie d lugo´s´

c tego wektora okre´sla pr

edko´s´

c ruchu obrotowego. Kie-

runek wektora definiuje o´s wzgl

edem, kt´

orej bry la obraca si

e. Jest to tak zwana

edko´s´

c k

atowa ω

z
z

v(t)

(t)

Rysunek 2. v(t) – pr

edko´s´

c liniowa, ω(t) – pr

edko´s´

c k

atowa

Je´sli wektor r obraca si

e ze sta l

a pr

edko´sci

a k

atow

a, wtedy jego pochodna wzgl

edem

czasu przy za lo˙zeniu niezmienno´sci globalnych wsp´

o lrz

ednych jest nast

epuj

aca:

∂r

+ ω × r

gdy d lugo´s´

c r nie zmienia si

e, r´

o˙zniczka ulega uproszczeniu do:

= ω × r

Wykorzystuj

ac ten zwi

azek, zale˙zno´s´

c mi

edzy macierz

a obrotu ˆ

R i pr

edko´sci

a k

atow

ω cia la wyra˙za si

e wzorem:

d ˆ

= ˆ

Ω ˆ

(7)

gdzie Ω jest macierz

a sko´sn

a zbudowan

a ze sk ladowych wektora pr

edko´sci k

atowej:

Ω =





−ω





(8)

W symulacji znamy pocz

atkow

a posta´

c macierzy obrotu, wi

ec latwo mo˙zemy otrzy-

ma´

c jej bie˙z

a posta´

c, korzystaj

ac z tego, ˙ze w ka˙zdym kroku obliczamy pr

edko´s´

atow

1.3. Przyspieszenie

Teraz musimy odpowiedzie´

c na pytanie, jak zmieni

a si

e pr

edko´sci (liniowe oraz k

ato-

we) w czasie. Zmiany pr

edko´sci liniowej wywo luje dzia laj

aca si la, a zmiany pr

edko´sci

obrotowej wywo luje moment si ly. Moment si ly (moment obrotowy) dzia laj

acy na

cia lo jest dany nast

epuj

acym r´

ownaniem:

M = r × F

(9)

Wektor momentu si ly zaczepiony jest w punkcie O, a jego kierunek jest prostopad ly
do kierunku p laszczyzny wyznaczonej przez wektory F i r (rys.

) gdzie M – moment

si ly, F – si la, r – rami

e si ly.

Rysunek 3. Moment si ly

z
z

Rysunek 4. Si la i moment si ly

gdy dzia laj

aca si la jest przy lo˙zona do punktu r

(gdzie r

– wsp´

o lrz

edne dowolnego

punktu nale˙z

acego do bry ly), moment si ly dzia laj

acy na cia lo dany jest wzorem:

= (r

− x) × F

(10)

Gdy si la jest przy lo˙zona do ´srodka masy, moment si ly zanika (gdy˙z wtedy rami

e si ly

r = 0). Ca lkowita si la dzia laj

aca na cia lo to:

F =

(11)

W prostok

atnym globalnym uk ladzie wsp´

o lrz

ednych mo˙zemy wektor po lo˙zenia, si ly

i momentu si ly zapisa´

c nast

epuj

aco:

r = x

i + x

j + x

F = F

i + F

j + F

M = M

i + M

j + M

Wektor r o wsp´

o lrz

ednych (x

, x

) opisuj

a w uk ladzie wsp´

o lrz

ednych po lo˙zenie

punktu przy lo˙zenia si ly F wzgl

edem osi obrotu. Wsp´

o lrz

edne wektora momentu si ly

M wyliczamy, korzystaj

ac ze wzoru (

)

= x

− x

= x

− x

= x

− x

Za l´

o˙zmy, ˙ze o´s obrotu przechodzi przez ´srodek masy cia la. Moment p

edu cia la jest

sum

a liczonych wzgl

edem osi obrotu moment´

ow p

edu wszystkich cz

asteczek tego

cia la. Mo˙zna to wyrazi´

c wzorem:

L =

× m

(ω × r

)

(12)

gdzie i – numer cz

asteczki cia la, ω – pr

edko´s´

c k

atowa cia la wzgl

edem rozwa˙zanej

osi, r

× m

(ω × r

) – moment p

edu i-tej cz

asteczki, a jego warto´s´

c wynosi m

ωr

2
i

Wynika to z to˙zsamo´sci wektorowej A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B). Moment
p

edu i-tej cz

asteczki wynosi:

× m

(ω × r

) = m

[ω(r

· r

) − r

· ω)] = m

ωr

2
i

(13)

gdy˙z iloczyn skalarny r

ω = 0 z powodu prostopad lo´sci tych wektor´

ow.

L =

ωr

(14)

edko´s´

c k

atowa wszystkich cz

asteczek cia la sztywnego jest taka sama otrzymujemy:

L = ω

(15)

gdzie V – obj

eto´s´

c zajmowana przez cia lo

Moment bezw ladno´sci to miara bezw ladno´sci cia la w ruchu obrotowym. Im wi

ekszy

moment bezw ladno´sci tym trudniej rozkr

eci´

c dane cia lo lub zmniejszy´

c jego pr

edko´s´

obrotow

I =

2
i

(16)

Dla cia la sztywnego, kt´

ore nie sk lada si

e z oddzielonych mas punktowych, lecz ma

ag ly (jednorodny) rozk lad masy, wyra˙zenie okre´slaj

ace moment bezw ladno´sci jest

bardziej z lo˙zone. Niech cia lo b

edzie podzielone na niesko´

nczenie ma le elementy o

r´

ownych masach dm , oraz niech r oznacza odleg lo´s´

c ka˙zdego takiego elementu od

osi obrotu. W takim przypadku moment bezw ladno´sci otrzyma´

c mo˙zna z wyra˙zenia:

I =

(17)

gdzie ca lkowanie jak zwykle odbywa si

e po ca lej obj

eto´sci cia la.

1.4. P

ed cia la jest zdefiniowany nast

epuj

aco:

P = M v,

M =

(18)

gdzie M – ca lkowita masa cia la.

ed punktu materialnego jest r´

owny iloczynowi masy m i jego pr

edko´sci v. P

ed jest

wielko´sci

a wektorow

a: kierunek i zwrot p

edu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem

wektora pr

edko´sci.

Si la jest zmian

a p

edu cia la w czasie, czyli:

= F

(19)

Jest to II prawo dynamiki Newtona.

w dalszym tek´

scie opuszczamy V przy ca lkach obj

eto´

sciowych

1.5. Tensor momentu bezw ladno´

sci

Tensor momentu bezw ladno´sci jest macierz

a o wymiarze 3 × 3. Wyst

epuje on w

r´

ownaniu wi

a˙z

acym moment p

edu z pr

edko´sci

a k

atow

a dla danego cia la:

L = ˆ

Iω

(20)

gdzie ˆ

I – tensor momentu bezw ladno´sci. Macierz ta obliczana jest w przestrzeni bry ly

i jest zdefiniowana:

I =





−I





(21)

Aby zrozumie´

c, sk

ad si

e bierze ta macierz, powr´

o´

cmy do r´

ownania ruchu obrotowego:

L =

(r × m(ω × r)) dm

(22)

gdzie ω – pr

edko´s´

c k

atowa obrotu cia la, r –wektor po lo˙zenia elementu masy dm

wzgl

edem ´srodka ci

e˙zko´sci, r×m(ω×r)dm – wektor momentu p

edu danego elementu

masy.

z
z

Rysunek 5. Obliczanie momentu bezw ladno´sci

r = x

i + x

j + x

ω = ω

i + ω

j + ω

Rozpisuj

ac podw´

ojny iloczyn wektorowy na wsp´

o lrz

edne wektor´

ow, otrzymujemy:

L =

= {

2
2

+ x

2
3

− x

i +

−x

+ x

2
3

+ x

2
1

− x

j +

−x

− x

+ x

2
1

+ x

2
2

k}dm

Wprowadzimy nast

epuj

ace oznaczenia:

2
2

+ x

2
3

(23)

2
3

+ x

2
1

+ x

2
2

= I

)dm

= I

)dm

= I

)dm

Wyra˙zenia te s

a ca lkami obj

eto´sciowymi. W przypadku gdy bry la ma prost

a geo-

metri

e jak sze´scian, sfera czy cylinder, wyra˙zenia te latwo wyliczy´

c. W przypadku

skomplikowanych geometrii, potrzebne jest zastosowanie metod numerycznych.

Po podstawieniu wyra˙ze´

n (

) do wzoru na moment p

edu otrzymujemy:

L = [I

− I

] i +

+ [−I

− I

] j +

+ [−I

− I

] k

2. Zmiana stanu uk ladu – implementacja komputerowa

Stan Y (t), w jakim znajduje si

e bry la sztywna w chwili t, mo˙zna przedstawi´

c w

nast

epuj

acy spos´

ob:

Y (t) =







x(t)
ˆ

R(t)

P (t)

L(t)







Znaj

ac stan Y (t), mo˙zemy obliczy´

c inne potrzebne wielko´sci:

−1

(t) = ˆ

R(t)ˆ

−1
bryly

R(t)

gdzie ˆ

−1

– odwrotno´s´

c momentu bezw ladno´sci.

v(t) =

P (t)

ω(t) = ˆ

−1

(t)L(t)

Y (t) =







x(t)
ˆ

R(t)

P (t)

L(t)













v(t)

ω(t)R(t)

F (t)

M (t)







(24)

R´

ownanie (

), jest r´

ownaniem r´

o˙zniczkowym, kt´

ore musimy rozwi

aza´

c w celu ob-

liczenia po lo˙zenia i orientacji bry ly sztywnej w r´

o˙znych chwilach czasowych. R´

ow-

nanie b

edziemy rozwi

azywali numerycznie stosuj

ac prost

a metod

e Eulera. Poniewa˙z

nie znamy dok ladnego rozwi

azania r´

ownania r´

o˙zniczkowego. Nowy stan otrzymamy

na podstawie stanu poprzedniego plus rozmiar kroku czasowego przemno˙zony przez
pochodn

a z kroku poprzedniego.

Y (t

i+1

) = Y (t

) + h ∗ Y

[Y (t

)]

gdzie h – wielko´s´

c kroku czasowego. Niestety metoda Eulera jest niewystarczaj

aca

dla stabilnej symulacji (wprowadza zbyt du˙zy b l

ad obliczeniowy). Jedn

a z mo˙zliwo´sci

poprawienia rozwi

azania jest zastosowanie lepszej metody numerycznej. Mo˙zemy

zastosowa´

c metod

e Heuna zwan

a niekiedy ulepszon

a metod

a Eulera.

Y (t

i+1

) = Y (t) +

∗

Y ((t

) + hY

[Y (t

)]

3. Zastosowanie kwaternion´

ow zamiast macierzy obrotu

Kwaternion jednostkowy mo˙ze zosta´

c zastosowany do reprezentacji obrotu wok´

o l

osi w przestrzeni tr´

oj-wymiarowej. Zalet

a zastosowania kwaternion´

ow jest to, ˙ze

zawieraj

a tak

a sam

a ilo´s´

c informacji co macierz obrotu, ale potrzeba tylko czterech

parametr´

ow do opisania tego obrotu. Macierz obrotu zawiera dziewi

e´

c element´

ow do

opisania trzech punkt´

ow swobody.

Kwaternion sk lada si

e z dw´

och element´

ow, gdzie jeden jest skalarem a drugi wekto-

rem trzy-elementowym:

q = [s, v] = [s, q

, q

]

(25)

gdzie v – wektor q

i + q

j + q

k, a s – skalar.

Kwaterniony s

a rozszerzeniem liczb zespolonych, Liczby zespolone zawieraj

a para-

metr i:

i ∗ i = −1

W kwaternionach rozszerzono koncepcj

e pierwiastka z −1 do trzech pierwiastk´

ow z

−1, okre´slanych jako i, j, k:

i ∗ i = −1

j ∗ j = −1

k ∗ k = −1

Mno˙zenie par tych element´

ow zachowuje si

e podobnie do liczenia iloczynu wektoro-

wego typowych trzech osi tr´

ojwymiarowej przestrzeni:

i ∗ j = −j ∗ i = k

j ∗ k = −k ∗ j = i

k ∗ i = −i ∗ k = j

Tylko kwaterniony jednostkowe definiuj

a obroty, musi on spe lnia´

c warunek:

+ q

= 1

Przy obrocie o k

at θ wok´

o l osi reprezentowanej przez jednostkowy wektor u (gdzie

u =

|v|

) kwaternion okre´slaj

acy ten obr´

ot mo˙ze zosta´

c zapisany w postaci:

q = [cos(θ/2), sin(θ/2)u]

Rysunek 6. Kwaternion reprezentuj

acy obr´

Na rysunku

zaprezentowano kwaternion obrotu dla dowolnego cia la sztywnego

obracaj

acego si

e wok´

o l osi wyznaczonej przez wektor u przechodz

acej przez ´srodek

masy.

Mno˙zenie dw´

och kwaternion´

ow jest zdefiniowane nast

epuj

aco:

, v

] ∗ [s

, v

] = [s

− v

· v

, s

+ s

+ v

× v

]

(26)

U˙zycie kwaternion´

ow w symulacji komputerowej do reprezentacji orientacji cia la

sztywnego przypomina, u˙zycie w tym celu macierzy obrotu. Najpierw tworzymy
kwaternion opisuj

acy orientacj

e pocz

atkow

a cia la w chwili t

. Potem w ka˙zdym kolej-

nym kroku czasowym uaktualniamy orientacj

e cia la, korzystaj

ac z wektora pr

edko´sci

atowej wyliczonego w danym kroku. R´

ownanie r´

o˙zniczkowe l

acz

ace reprezentuj

acy

orientacj

e kwaternion z wektorem pr

edko´sci k

atowej bardzo przypomina analogiczne

r´

ownanie dla macierzy obrotu (

) i ma posta´

ωq

(27)

Tutaj pr

edko´s´

c k

atowa, przedstawiona jako kwaternion, ma posta´

c [0, ω] i jest zapisa-

na w zewn

etrznym nieruchomym uk ladzie wsp´

o lrz

ednych. Je˙zeli ω zostanie zapisane

w lokalnym uk ladzie wsp´

o lrz

ednych zwi

azanym z obracaj

acym si

e cia lem (przestrzeni

bry ly sztywnej), nale˙zy u˙zy´

c r´

ownania:

qω

Z kwaternionu mo˙zemy skonstruowa´

c macierz obrotu:





1 − 2v

2
y

− 2v

2
z

− 2sv

+ 2sv

1 − 2v

2
x

− 2v

2
z

− 2sv

+ 2sv

1 − 2v

2
x

− 2v

2
y





Analogicznie do macierzy obrotu, kwaterniony mog

a by´

c stosowane do obracania

punkt´

ow lub wektor´

ow. Je˙zeli v jest wektorem przed obrotem, a v

– wektorem

obr´

oconym przez kwaternion q, zale˙zno´s´

c mi

edzy nimi wyra˙za si

e wzorem:

= qvq

∗

(28)

gdzie q

∗

jest kwaternionem sprz

e˙zonym z kwaternionem q:

∗

= s − q

i + q

j + q

(29)

Stan uk ladu Y (t), mo˙zemy zapisa´

c zast

epuj

ac macierz obrotu reprezentacj

a kwater-

nionow

Y (t) =







x(t)

P (t)

L(t)







czyli:

Y (t) =







v(t)

1
2

[0, ω]

F(t)

M(t)







4. Poduszkowiec

przypomnijmy, ˙ze druga zasada dynamiki Newtona opisuje ruch cia la, i wyra˙za si

wzorem:

F = ma

(30)

Je˙zeli mamy do czynienia z cia lem sztywnym musimy pami

eta´

c, ˙ze dzia laj

ace na nie

si ly b

a powodowa ly nie tylko jego ruch post

epowy, ale r´

ownie˙z obrotowy.

Ruch obrotowy to taki ruch, w kt´

orym wszystkie punkty bry ly sztywnej poruszaj

e po okr

egach o ´srodkach le˙z

acych na jednej prostej zwanej osi

a obrotu. Np. ruch

Ziemi wok´

o l w lasnej osi. Jest to ruch z lo˙zony z ruchu post

epowego ´srodka masy

danego cia la oraz ruchu obrotowego wzgl

edem pewnej osi. ´

Srodek masy cia la mo˙zna

uwa˙za´

c za punkt materialny. Do opisania ruchu obrotowego u˙zywa si

e odmiennych

poj

e´

c od u˙zywanych do opisania ruchu post

epowego.

Druga zasada dynamiki jest podstawowym prawem ruchu obrotowego.

r × F = M =

(31)

gdzie M jest momentem si ly wzgl

edem obranego punktu odniesienia, a L – kr

etem

(momentem p

edu) wzgl

edem tego samego punktu odniesienia.

Je˙zeli obr´

ot odbywa si

e wzgl

edem osi sta lej lub sztywnej w´

owczas druga zasada

dynamiki dla ruchu obrotowego mo˙ze by´

c napisana w nast

epuj

acy spos´

ob:

M = I

dω

= Iε

(32)

gdzie ε – przyspieszenie k

atowe, ω – pr

edko´s´

c k

atowa, I – moment bezw ladno´sci.

Środek cięŜkości

siła ci

ągu

Siła ci

ągu lewego silnik

kierunkowego

Siła ci

ągu prawego silnik

kierunkowego

Rysunek 7. Schematyczny model poduszkowca

Podczas symulacji ruchu poduszkowca musimy w pierwszym kroku obliczy´

c wypad-

kowe si ly oraz momenty si l dzia laj

ace na cia lo, uwzgl

edniaj

ac r´

ownie˙z op´

or aerody-

namiczny.

Zacznijmy od policzenia si l i moment´

ow si l generowanych przez silniki nap

edowe.

oznaczmy F

jako wypadkow

a si l

e dzia laj

a na poduszkowiec, oraz M

jako wy-

padkowy moment si ly dzia laj

acy na poduszkowiec. Dodatkowo F

– si la generowana

przez silnik tylny znajduj

acy si

e na osi x

, F

– si la generowana przez lewy silnik

znajduj

acy si

e z przodu z lewej strony poduszkowca, F

– si la generowana przez

prawy silnik.

Znamy si l

e ci

agu generowan

a przez poszczeg´

olne silniki, mo˙zemy wi

ec zapisa´

= F

+ F

(33)

Oznaczmy po lo˙zenie silnik´

ow w uk ladzie zwi

azanym z poduszkowcem jako: r

–

po lo˙zenie silnika tylnego, r

– po lo˙zenie lewego silnika, r

– po lo˙zenie prawego silnika.

Przypomnijmy, ˙ze gdyby si la przy lo˙zona by l

a do ´srodka masy, moment si ly wynosi l

by zero. Poniewa˙z w naszym przypadku silniki nie s

a umieszczone w ´srodku ci

e˙zko´sci,

moment si ly policzymy jako iloczyn wektorowy dzia laj

acej si ly i ramienia (czyli w

naszym przypadku wektora opisuj

acego po lo˙zenie danego silnika).

= r

× F

(34)

= r

× F

(35)

= r

× F

(36)

oraz wypadkowy moment si ly:

= M

+ M

(37)

Si la wypadkowa dzia laj

aca na cia lo zosta la policzona w lokalnym uk ladzie zwi

azanym

z cia lem, nale˙zy j

a przetransformowa´

c do uk ladu wsp´

o lrz

ednych ´swiata, dokonuj

obrotu wektora si ly wypadkowej.

Po wyznaczeniu si l oraz moment´

ow si l nale˙zy sca lkowa´

c r´

ownanie ruchu post

epowego

oraz obrotowego i wyznaczy´

c now

a pr

edko´s´

c liniow

a, k

atow

a oraz po lo˙zenie.

Rozpoczynamy od wyznaczenia przyspieszenia liniowego:

a =

nast

epnie korzystaj

ac z zale˙zno´sci

= a

wyznaczamy zmian

e pr

edko´sci dv = a ∗ dt i wyznaczamy pr

edko´s´

c w kroku n + 1

jako:

n+1

= v

+ dv

Wyznaczamy w kolejnym kroku nowe po lo˙zenie obiektu wyznaczaj

ac zmian

e pod lo-

˙zenia korzystaj

ac z zale˙zno´sci

= v

czyli zmiana po lo˙zenia = v ∗ dt i znaj

ac po lo˙zenie w chwili n wynosz

a s

wyzna-

czamy nowe po lo˙zenie

n+1

= s

+ ds

Kolejnym krokiem jest ca lkowanie r´

owna´

n ruchu obrotowego.

Wyznaczamy przyspieszenie k

atowe ε, obr´

ot odbywa si

e wzgl

edem sta lej osi wi

druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego sprowadza si

e do postaci:

M = Iε

gdzie M –moment wypadkowy, I – moment bezw ladno´sci, ε – przyspieszenie k

atowe.

Czyli ε = M I

−1

, zmiana pr

edko´sci k

atowej dω w czasie oznacza przyspieszenie k

towe

ε =

dω

czyli

dω = ε ∗ dt

Znaj

ac zmian

e pr

edko´sci k

atowej mo˙zemy obliczy´

c now

a pr

edko´s´

c k

atow

a w chwili

n + 1 jako

n+1

= ω

+ dω

znaj

ac now

a pr

edko´s´

c k

atow

a mo˙zemy wyznaczy´

c zmian

e k

ata korzystaj

ac z zale˙z-

no´sci, ˙ze zmiana k

ata w czasie oznacza pr

edko´s´

c k

atow

a czyli

dθ

= ω

czyli

dθ = ω ∗ dt

znaj

ac przyrost k

ata mo˙zemy wyznaczy´

c now

a orientacj

e cia la

n+1

= θ

+ dθ

5. Kolizje oraz si ly kontaktu

Wa˙znym elementem podczas symulacji bry ly sztywnej jest sytuacja kontaktu dw´

och

bry l oraz ich kolizja. Aby mo˙zna by lo wyznaczy´

c si ly jakie dzia laj

a na bry ly w

momencie kolizji, trzeba najpierw wykry´

c sytuacj

e wyst

apienia kolizji. Skupimy si

wy l

acznie na bry lach b

acymi wielo´scianami wypuk lymi. W pierwszym kroku przyj-

rzyjmy si

e wierzcho lkowi wielo´scianu (na rysunku (

) reprezentowanym przez punkt)

koliduj

acemu z p laszczyzn

∆

Rysunek 8. Kolizja punkt - p laszczyzna

Na rysunku

wida´

c, ˙ze w chwili t

kolizja jeszcze nie nast

api la. Kiedy wykonamy

jeden krok obliczeniowy (krok czasowy ∆t) punkt znajduje si

e poni˙zej p laszczy-

zny.Kolizja powinna wyst

api´

c w chwili t

, kt´

ora jest pomi

edzy t

a t

+ ∆t. Poniewa˙z

nie wiemy jak zachowa l si

e punkt w czasie pomi

edzy t

i t

+ ∆t nie jeste´smy w

stanie wyznaczy´

c analitycznie czasu t

Zazwyczaj w celu poradzenia sobie z tym problemem wykorzystujemy metod

e bi-

sekcji. Sprawdzimy zachowanie punktu w chwili czasowej t

1
2

∆t. Je´sli i w tym

przypadku punkt znajdzie si

e poni˙zej p laszczyzny sprawdzimy po lo˙zenie w chwili

czasowej t

1
4

∆t, je´sli jednak nie nast

api penetracja w chwili czasowej t

1
2

∆t

sprawdzimy po lo˙zenie punktu w chwili czasowej t

3
4

∆t. B

edziemy tak post

epowali

a˙z do momentu kiedy punkt nie znajdzie si

e w pewnym przedziale tolerancji od

p laszczyzny.

∆

Rysunek 9. Znalezione t

z tolerancj

Algorytm ten mo˙zna przyspieszy´

c wyznaczaj

ac prost

a przechodz

a przez po lo˙zenie

punktu w chwili t

oraz t

+ ∆t, nast

epnie wyznaczaj

ac punkt przeci

ecia tej prostej

z p laszczyzn

Warto zauwa˙zy´

c ˙ze w wi

ekszo´sci przypadk´

ow wielo´sciany b

a kolidowa ly z innymi

wielo´scianami a nie tylko z p laszczyznami.

5.1. Algorytm Lin-Canny

Niezmiernie szybki algorytm dzia laj

acy na zasadzie wyszukiwania najbli˙zszych ele-

ment´

ow (´scian, kraw

edzi, wierzcho lk´

ow) pomi

edzy par

a wielo´scian´

ow wypuk lych.

najlepiej pokaza´

c zasad

e dzia lania algorytmu w przestrzeni dwu wymiarowej. Alo-

grytm ten bazuje na regionach Voronoi. Rozwa˙zmy wielok

at przedstawiony na rysun-

, wielok

at ten ma osiem element´

ow: cztery wierzcho lki oraz cztery kraw

edzie.

V(v

)

V(v

)

Rysunek 10. Wielok

at i jego regiony Voronoi

Dla ka˙zdego elementu F , zbi´

or punkt´

ow bli˙zszych elementowi F ni˙z jakiemukolwiek

innemu elementowi jest nazywany regionem Voronoi i oznaczany V (F ). Konstrukcja
region´

o dla wielok

ata jest do´s´

c prosta. Z ka˙zdego wierzcho lka prowadzimy promienie

wychodz

ace na zewn

atrz prostopad le do kraw

edzi zawieraj

acej dany wierzcho lek.

Promienie te tworz

a brzegi region´

ow Voronoi. Region Voronoi jest to niesko´

nczo-

ny sto˙zek le˙z

acy pomi

edzy dwoma promieniami wyprowadzonymi z tego samego

wierzcho lka. Region Voronoi dla kraw

edzi jest to p´

o l niesko´

nczony prostok

at le˙z

acy

pomi

edzy dwoma r´

ownoleg lymi promieniami wychodz

acymi z wierzcho lk´

ow wcho-

acych w sk lad kraw

edzi. Regiony Vornoi dziel

a przestrze´

n na zewn

atrz wielok

ata.

Twierdzenie 1. Niech b

a dane dwa nieprzecinaj

ace si

e wielok

aty A i B, niech a

i b b

a najbli˙zszymi punktami pomi

edzy elementem F

wielok

ata A, natomiast F

wielok

ata B. Je˙zeli a i b s

a najbli˙zszymi punktami pomi

edzy A i B wtedy a ∈ V (F

)

i b ∈ V (F

) (dla uproszczenia pomijamy przypadki kiedy punkty le˙z

a na brzegach

region´

ow)

Dow´

od 1. Za l´

o˙zmy, ˙ze a /

∈ V (F

). Wtedy aznajduje si

e w jakim´

s innym regionie

Vornoi np. V (F

) i a jest bli˙zsze F

ni˙z jakiej kolwiek innego elementu B. Poniewa˙z

b ∈ F

, czyli b /

∈ F

, tak wi

ec a i b nie mog

a by´

c najbli˙zszymi punktami. identycznie

rozumujemy kiedy b /

∈ F

Twierdzenie 2. Dane s

a dwa wypuk l

e nie przecinaj

ace si

e wielok

aty A i B, niech

a i b b

a najbli˙zszymi punktami pomi

edzy elementem F

wielok

ata A, natomiast

wielok

ata B. Je˙zeli a ∈ V (F

) oraz b ∈ V (F

), wtedy a oraz b s

a najbli˙zszymi

punktami pomi

edzy A i B

Rysunek 11. Twierdzenie 2 m´

owi, ˙ze a i b s

a najbi˙zszymi punktami pomi

edzy A i B

Rysunek 12. a i b nie s

a najbli˙zszymi punktami

Na rysunku

punkt b znajduje si

e w regionie Voronoi F

, jednak a nie znajduje si

ju˙z w regionie Voronoi F

, a le˙zy po z lej stronie promienia wychodz

acego z b

Document Outline