Arkusz nr. 6
Funkcja uwikªana i caªki krzywoliniowe
Zad. 1
Obliczy¢ y
0
dla funkcji uwikªanej okre±lonej nast¦puj¡cymi równaniami:
(a) x
2
+ y
3
+ xy
5
+ 1 = 0
,
(b) x
2
+ ln y − 2x = 0
,
(c) ln
√
x
2
+ y
2
=
arctg
y
x
,
(d) x
2
+ 2xy − y
2
= e.
Zad. 2
Obliczy¢ caªki krzywoliniowe nieskierowane:
(a)
Z
L
y
√
3 + x dl
, gdzie L jest odcinkiem o ko«cach A(−2, 2), B(1, −1),
(b)
Z
L
y
2
x
2
dl
, gdzie L = {(x, y) ∈ R
2
: x
2
+ y
2
= 4}
,
(c)
Z
L
(x+y) dl
, gdzie L jest obwodem trójk¡ta o wierzchoªkach A(0, 0), B(1, 0), C(0, 1)
(d)
Z
L
x
2
y dl
, gdzie L jest cz¦±ci¡ okr¦gu o ±rodku w punkcie (0, 0) i dodatnim pro-
mieniu r, le»¡c¡ w pierwszej ¢wiartce ukªadu wspóªrz¦dnych.
Zad.3
Obliczy¢ mas¦ m ªuku K, którego g¦sto±¢ liniowa jest równa
ρ(x, y) =
√
x,
je±li K jest ªukiem paraboli o równaniu
y
2
= x,
dla y ∈ [−1, 1].
Zad. 4
Obliczy¢ caªki krzywoliniowe skierowane:
(a)
Z
L
(2x + 3y) dx + (y − 1) dy
, gdzie L = {(x, y) : x = t, y = t
2
, t ∈ [0, 2]}
jest
skierowana zgodnie ze wzrostem parametru t,
(b)
Z
L
y ln(x − y) dx − 3y
2
dy
, gdzie L jest odcinkiem o pocz¡tku (1, 0) i ko«cu
(−1, −2)
,
1
(c)
Z
L
y dx −
x
√
x
2
+ y
2
dy
, gdzie L jest dodatnio skierowanym okr¦giem o równaniu
x
2
+ y
2
= 1
,
(d)
Z
L
(3x
2
− y) dx + x dy
, gdzie L jest ªukiem elipsy
x
2
4
+ y
2
= 1
zawartym w
póªpªaszczy¹nie y 0, o pocz¡tku (−2, 0) i ko«cu (2, 0).
Zad. 5
Obliczy¢ caªki krzywoliniowe:
(a)
Z
L
(xy
2
+ e
−x
) dx + (x
2
y − e
−x
) dy
, gdzie L jest dodatnio skierowanym brzegiem
obszaru D = {(x, y) ∈ R
2
: x
2
− x ¬ y ¬ 5x − x
2
}
,
(b)
Z
L
(x
2
+ y) dx + 4xy dy
, gdzie L jest dodatnio skierowanym okr¦giem o równaniu
x
2
+ y
2
= 2
,
(c)
Z
L
(x
2
−
√
1 + x
2
) dx + (x
2
y +
q
1 + y
2
) dy
, gdzie L jest dodatnio skierowanym
okr¦giem o równaniu x
2
+ y
2
− y = 0.
Zad. 6
Obliczy¢ caªki krzywoliniowe:
(a)
Z
(3,−5)
(−1,3)
(2x + y) dx + (x + 2y) dy
,
(b)
Z
(2,3)
(0,1)
(x + y) dx + (x − y) dy
,
(c)
Z
(0,1)
(0,−1)
2xy
1 + x
2
dx + (2y + ln(1 + x
2
)) dy
,
(d)
Z
(1,2)
(1,0)
x
x
2
+ y
2
dx +
y
x
2
+ y
2
dy
, wzdªu» drogi nie przechodz¡cej przez pocz¡tek
ukªadu wspóªrz¦dnych.
Zad. 7
Obliczy¢ prac¦ siªy
−
→
F (x, y)
na ªuku L zorientowanym zgodnie ze wzrostem parametru
x
, je±li
−
→
F (x, y) = [xy, x],
L = {(x, y) : y = x
3
, x ∈ [−1, 1]}.
2