MECHANIKA  

UKŁADÓW WIELOCZŁONOWYCH 

 
 
 
 
Prowadzący: dr inŜ. Paweł Ostapkowicz 
WM-324 
 
 
 
 
 

Wykład 4 
Temat:

 Dynamika mechanizmów 

 
 
 
1.  Wstęp 
 
Analiza dynamiczna mechanizmów obejmuje: 

•

 

badanie  wpływu  sił  zewnętrznych,  cięŜaru,  sił  tarcia  oraz  sił  bezwładności  na  człony 
ruchome, pary kinematyczne i podstawę; 

•

 

badanie  ruchu  mechanizmu  pod  działaniem  zadanych  sił  i  ustalenie  parametrów, 
zapewniających zadane przebiegi mechanizmu. 

 
Najczęściej  w  obliczeniach  stosuje  się  ogólne  równania  równowagi  ciał  sztywnych,  
np. zasadę d'Alem-berta. 
Zgodnie  z  zasadą  d'Alem-berta  wpływ  ruchu  na  obciąŜenie  członów  i  reakcje  w  parach 
kinematycznych  moŜe  być  uwzględniony  przez  dołączenie  do  sił  zewnętrznych,  sił 
bezwładności. 
 
 

Zasada  d'Alem-berta:  Układ  sił  zewnętrznych  i  reakcji  zewnętrznych  działających  na 
układ  mechaniczny  z  dodaniem  sił  bezwładności  tego  układu  stanowi  układ  równowaŜny 
zeru. 
 
Zapis 
matematyczny: 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Poszczególne siły bezwładności 
wyraŜają się równaniem: 
 
 

Kinetostatyka - metoda polegająca na rozpatrywaniu równowagi wszystkich sił wraz z siłą 
bezwładności  (równania  wynikające  z  zasady  d'Alemberta  przypominają  równania 
statyki). 
 
Podział sił zewnętrznych działających na mechanizm moŜna w ogólności dokonać na: 

−

 

siły czynne (napędzające) - siły, których praca w danym okresie jest dodatnia, 

−

 

siły  bierne  (oporu)  -  siły,  których  praca  w  mechanizmie  jest  ujemna,  tzn.  siły  te 
działają przeciwnie do przesunięcia. 

 
Podczas  trwania  określonego  ruchu  mechanizmu  ta  sama  siła  moŜe  być  w  części  okresu 
siłą czynną, a w innej części okresu siłą bierną. 
 
Siły oporu moŜna podzielić na tzw.: 

−

 

opory  uŜyteczne  -  nazywane  oporami  technologicznymi,  np.  opór  skrawania  
w obrabiarkach, 

−

 

opory  szkodliwe  -  które  powinny  być  ograniczane  w  jak  największym  stopniu,  
np. opory tarcia w przegubach. 

 
 
 

Główne siły czynne pochodzą 
zwykle od silników 
napędzających lub innego rodzaju 
napędów. 
 
Przebieg zmienności tych sił 
określa się przez podanie 
charakterystyki mechanicznej 
maszyny. 
 
Charakterystyką mechaniczną 
maszyny nazywa się zaleŜność 
momentu (lub mocy) 
przyłoŜonego do wału 
wyjściowego silnika  
(lub wału wejściowego maszyny) 
od prędkości obrotowej  
(lub kątowej) tego wału. 
 
 

Rys. Przykłady charakterystyk wybranych napędów i maszyn

 

2.  Masy zastępcze 
 
W  wielu  wypadkach,  gdy  znane  są  przyspieszenia  pewnych  punktów  członu,  wygodniej 
jest  w  celu  wyznaczenia  sił  bezwładności  nie  redukować  układu  sił  do  środka  mas,  ale 
skupić masę członu w punktach, których przyspieszenia są znane. 
Taką metodę postępowania nazywa się metodą skupionych mas zastępczych. Aby moŜna 
było  człon  o  masie  rozłoŜonej  zastąpić  kilkoma  masami  skupionymi  w  określonych 
punktach, muszą być spełnione następujące warunki: 
 
1)

 

suma mas zastępczych musi być równa masie członu: 

 

 

 

2)

 

ś

rodek masy układu mas skupionych powinien pokrywać się ze środkiem masy członu 

mechanizmu. 

 

- warunek ten dla układu płaskiego wyraŜa się równaniami: 

 

 

 
- w przypadku układu przestrzennego dochodzi jeszcze równanie: 

 

3)

 

moment  bezwładności  układu  mas  zastępczych  względem  osi  przechodzącej  przez 
ś

rodek mas powinien być równy momentowi bezwładności członu względem tej samej 

osi. 

 

- w przypadku układu płaskiego wyraŜa się to równaniem: 
 
 
- w przypadku układu przestrzennego: 

 

 

 

   

 
Jeśli  chce  się  zastąpić  masę  członu  płaskiego  n  masami  skupionymi,  naleŜy  określić  
3n  parametrów  (kaŜda  masa  określona  jest  trzema  parametrami:  wielkość  i  dwie 
współrzędne). 
PoniewaŜ  w  układzie  płaskim  naleŜy  spełnić  4  równania,  moŜna  dowolnie  załoŜyć  
p parametrów, których ilość moŜna policzyć korzystając z zaleŜności:                      . 

 

 

 

3.  Statyczna wyznaczalność mechanizmu  
 
KaŜdy  mechanizm  to  pewna  struktura,  dzięki  której  człony  wykonują  odpowiedni  ruch. 
Struktura  mechanizmu  musi  uwzględniać  ograniczenia  ruchu,  które  nazywa  się  więzami. 
Reakcjami  więzów  w  mechanizmach  nazywa  się  siły  oddziaływania  jednego  członu  na 
drugi. 

 

Jak wyznaczyć te reakcje, jaki musi być spełniony warunek? 

 

Warunkiem  statycznej  wyznaczalności  mechanizmu  płaskiego  jest  spełnienie  równań 
rzutów i momentów, znanych w mechanice: 

 

 

 

gdzie punkt 0 jest dowolnie wybranym stałym biegunem. 

 

Zatem liczba równań statyki, które moŜna ułoŜyć dla mechanizmu o n członach wyniesie 
3n. Tyle niewiadomych reakcji moŜna wyznaczyć z równań mechaniki. 
 
 
 

Ile reakcji moŜna mieć w mechanizmie płaskim, w który wchodzą pary V i IV klasy? 
 

W parze obrotowej V klasy jest jedna wiadoma, tj. znany jest 
punkt  przyłoŜenia  reakcji,  poniewaŜ  musi  ona  przechodzić 
przez oś przegubu. Niewiadome są dwie, tj.: wartość reakcji i 
jej  kierunek.  Wartość  i  kierunek  reakcji  zaleŜą  od  sił 
działających na człony k i l. 
 
W  parze  postępowej  V  klasy  jest  takŜe  jedna  wiadoma,  
tj.  kierunek  reakcji,  poniewaŜ  wiadomo,  Ŝe  musi  być  ona 
prostopadła  do  kierunku  ruchu  (zakładany  jest  brak  tarcia). 
Niewiadomymi  są  wartość  i  punkt  przyłoŜenia  reakcji, 
zaleŜne od obciąŜenia członów. 
 
W  parze  wyŜszej  IV  klasy  4.6c)  są  dwie  wiadome  (dlatego 
para  ta  nazywa  się  wyŜszą),  tj.  kierunek  reakcji,  (równoległy 
do  prostej  n-n  przechodzącej  przez  środki  krzywizn)  i  punkt 
jej  przyłoŜenia  (w  punkcie  styku).  Niewiadomą  jest  wartość 
reakcji. 

 

W kaŜdej parze V klasy są dwie niewiadome, a w parze IV klasy tylko jedna. 

Jeśli mechanizm składa się z p

5

 par piątej klasy i p

4

 par czwartej klasy to sumaryczna ilość 

niewiadomych  wynosi  2p

5

  +  p

4

.  Aby  mechanizm  był  statycznie  wyznaczalny,  to  ilość 

niewiadomych musi być równa ilości równań statyki. Otrzymuje się więc warunek: 

 

3n = 2p

5

 + p

4

. 

 

Widać,  Ŝe warunek  statycznej  wyznaczalności  mechanizmu  jest  identyczny  z  warunkiem 
istnienia grupy. 
 
Identyczny  warunek  jest  dla  mechanizmów  przestrzennych,  w  których  jest  6  równań 
statyki dla kaŜdego członu. Warunek ten jest następujący: 

 

6n = 5p

5

 + 4p

4

 + 3p

3

+2p

2

+p

1

. 

 

Z  równań  tych  wynika,  Ŝe  grupy  są  łańcuchami  kinetostatycznie  wyznaczalnymi.  
Aby  więc  wyznaczyć  reakcje  w  mechanizmie,  naleŜy  najpierw  podzielić  go  na  grupy,  
a następnie rozwaŜać równowagę grupy. 
 
 
 
 
 

4.  Plan sił członu napędzającego 
 
Człon napędzający tworzy najczęściej z podstawą parę postępową lub obrotową, do której 
moŜe  być  przyłoŜony  moment  sił.  Człon  napędowy  ma  1  stopień  swobody  względem 
podstawy. 

 

 

 
Dla  członu  napędzającego  nie  jest  spełniony  warunek  statycznej  wyznaczalności 
mechanizmu. 
Jeśli  do  członu  napędzającego  byłyby  przyłoŜone  tylko  siły  bezwładności  tego  członu  
i reakcje w węzłach od pozostałych członów mechanizmu i podstawy, człon napędowy nie 
byłby w równowadze. 
Aby  go  zrównowaŜyć,  naleŜy  przyłoŜyć  siłę  zewnętrzną  (lub  moment)  pochodzącą  od 
napędu.  Siła  ta  (lub  moment)  jest  konieczna  do  utrzymania  mechanizmu  w  załoŜonym 
ruchu.  Siłę  tę  pochodzącą  od  napędu  a  konieczną  do  zachowania  równowagi  członu 
napędzającego nazywa się siłą równowaŜącą. Jeśli do członu napędowego przyłoŜony jest 
moment  pochodzący  od  napędu,  a  konieczny  do  zachowania  równowagi  nazywa  się  go 
momentem równowaŜącym. 

Człon napędzający wykonuje np. ruch obrotowy. 

o

 

dane:  reakcja  pochodząca  od  pozostałych  części  mechanizmu  R

21

  oraz  obciąŜenie 

zewnętrzne członu napędowego P

1

 i M

1

; 

o

 

znaleźć: moment równowaŜący M

R

 i reakcję podstawy R

0l

; 

o

 

załoŜenie:  P

1

  jest  wypadkową  sił  bezwładności,  sił  cięŜkości  i  sił  zewnętrznych 

przyłoŜonych do członu. 

Reakcja  w  punkcie  O  zaleŜy  od  sposobu 
przyłoŜenia  do  członu  siły  P

R

  lub 

momentu  M

R

.  Jeśli  człon  napędowy 

połączony jest z wałem silnika za pomocą 
sprzęgła,  to  przyłoŜony  jest  do  niego 
moment  M

R

.  Przy  innym  sposobie 

przyłączenia  członu  do  silnika  jest  do 
niego przyłoŜona siła równowaŜąca P

R

. 

 

Gdy  się  załoŜy,  Ŝe  do  członu  przyłoŜony  jest  moment  M

R

,  to  rozwiązanie  otrzyma  się  

w sposób następujący: 

−

 

reakcję 

podstawy 

R

01

 

wyznaczy 

się  

z wieloboku sił (na człon działają trzy siły), 

−

 

moment  równowaŜący  wyznaczy  się  z 
równowagi momentów względem punktu O 

5.  Analityczno-wykreślne wyznaczanie sił w mechanizmach płaskich bez tarcia 
 
Jeśli  na  rozpatrywany  łańcuch  kinematyczny  działa  układ  sił  składający  się  z  kilku 
znanych  sił  oraz  dwóch  sił  nie  znanych  co  do  wartości,  ale  o  znanych  kierunkach,  to 
moŜna zbudować wielobok sił ze znanych sił i wykreślić dwa zamykające boki wieloboku 
z sił nie znanych, rozwiązując zadanie wykreślnie. 
 
Jeśli  sił  nie  znanych  jest  więcej  niŜ  dwie,  to  wieloboku  nie  da  się  zamknąć.  W  tym 
przypadku  stosuje  się  metodę  analityczno-wykreślną.  Najpierw  układa  się  równania 
równowagi  obliczając  analitycznie  niektóre  z  niewiadomych,  a  dopiero  po  zmniejszeniu 
liczby  niewiadomych  do  dwóch  moŜna  wykreślić  plan  sił.  Jako  równanie  równowagi 
naleŜy  obrać  równanie  momentów.  Sprawdzenie  tych  równań  jest  konieczne,  gdyŜ 
zamykanie  się  wieloboku  sił  nie  zapewnia  zerowania  się  momentu  głównego  układu  sił. 
Układając  równania  momentów  naleŜy  starać  się  tak  dobrać  punkty,  względem  których 
obliczane  są  momenty,  aby  w  kaŜde  równanie  wchodziła  tylko  jedna  niewiadoma,  
np. reakcja poprzeczna do członu. 
 
 
 
 

Kolejność postępowania przy określaniu reakcji jest następująca: 

•

 

podanie  wszystkich  sił  wraz  z  siłami  bezwładności,  działających  na  człony 
mechanizmu; 

•

 

podzielenie  mechanizmu  na  grupy  i  człon  napędzający,  wraz  z  oddzielną  analizą 
równowagi kaŜdej grupy. 

 
Analizę rozpoczyna się od grupy najbardziej oddalonej od członu napędzającego, kolejno 
dochodząc na końcu do analizy członu napędzającego. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rozpatrywanie równowagi typowych grup  
 
a) grupa klasy drugiej z parą postępową 

Reakcja 

pary 

postępowej 

jest 

prostopadła  do  osi  prowadnicy,  przy 
czym  oprócz  jej  wartości  nie  znany 
jest takŜe punkt jej przyłoŜenia. 

 

Reakcje  poprzeczne  wyznacza  się  
z równania momentów: 

 

 

 

stąd: 
 
Po  wyznaczeniu  tej  reakcji  moŜna 
wykreślić  wielobok  sił.  Z  wieloboku 

znajduje  się  R

01

  i  R

02w

  oraz  reakcje w punkcie  B.  Aby  wyznaczyć  połoŜenie  reakcji  R

01

, 

układa się równanie momentów sił działających na człon 1 względem punktu B: 

 

 

b) grupa klasy trzeciej z parami obrotowymi 
 
Do  członów  przyłoŜono  siły  zewnętrzne  i  siły 
bezwładności 

(reprezentują 

te 

siły: 

siły 

P

i

  

i  momenty  M

i

).  Człony  4,  5,  6  tworzą  sztywny 

trójkąt,  który  traktuje  się  jak  jeden  człon.  Siłę 
działającą na ten człon oznaczono P

T

, a moment M

T

. 

Do  planu  sił  całej  grupy  wchodzi  sześć  nieznanych 
reakcji. Cztery z nich trzeba wyznaczyć analitycznie. 
Trzy  reakcje  R

01p

,  R

02p

,  R

03p

  moŜna  wyznaczyć  

z  równań  momentów  kolejno  członu  1  względem 
punktu  B,  członu  2  względem  punktu  C  i  członu  3 
względem  punktu  D.  Czwarta  moŜe  być  np.  reakcja 
R

03w

. W celu jej wyznaczenia naleŜy ułoŜyć równanie 

momentów  sił  działających  na  całą  grupę  względem 
punktu  S,  w  którym  przecinają  się  kierunki  członów  
1 i 2: 
 
 
 

Ramiona  sił  (nie  przedstawione  na  rysunku)  są  
odmierzane prostopadle do odpowiednich sił. 
Po wyznaczeniu R

03w

  moŜna narysować wielobok sił 

dla  całej  grupy.  Z  wieloboku  moŜna  wyznaczyć  siły 
R

B

,  R

C

  i  R

D

  będące  reakcjami  punktów  B,  C  i  D  na 

odpowiednie  człony.  Reakcje  te  łącznie  z  siłą  P

T

 

tworzą  zamknięty  wielobok  przedstawiający  siły 
działające  na  trójkąt  T.  Aby  uzyskać  ten  wielobok, 
trzeba układając plan sił kreślić je kolejno w obranym 
kierunku.  Na  rysunku  przyjęto  kierunek  w  prawo, 
przechodząc  od  sił  członu  1  (R

0lp

  ,  P

1

)  do  sił  członu  

T (P

T

), dalej do członu 3 (P

3

, R

03w

, R

03p

) i do członu  

2  (P

2

,  R

02p

).  Pozostałe  do  zamknięcia  wieloboku 

niewiadome takŜe spełniają tę kolejność (R

02w

, R

01w

). 

 
 
 
 
 
 

6.  WyrównowaŜanie mechanizmów płaskich 
 
W  trakcie  złoŜonego  ruchu  mechanizmów  płaskich  (np.  dźwigniowych)  na  ich  ogniwa 
działają zmienne siły i momenty sił bezwładności. 
 
WyrównowaŜenie  statyczne  ogranicza  się  do  unieruchomienia  środka  cięŜkości 
mechanizmu jako całości, co uzyskuje się poprzez odpowiednią korekcję mas ruchomych 
ogniw  mechanizmu.  W  efekcie  eliminuje  się  jedynie  siły,  lecz  nie  momenty  sił 
bezwładności. 
 
Poprzez zwiększenie mas ogniw ruchomych zwiększa ich masowe momenty bezwładności 
i  w  rezultacie  zwiększa  się  przenoszenie  dynamicznego  momentu  na  fundament. 
Całkowite  dynamiczne  wyrównowaŜenie  mechanizmu  jest  moŜliwe  poprzez  zmianę 
struktury  mechanizmu  np.  zastosowanie  zamiast  struktury  rzędowej  układu  cylindrów 
silników  tłokowych  układu  przeciwbieŜnego  typu  „bokser”.  Nie  zawsze  jednak  zmiana 
struktury jest moŜliwa (np. silniki jednocylindrowe).