4. CAŁKA FUNKCJI ZESPOLONEJ  

 

1. Jaką krzywą przedstawiają następująca   

 funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej.  

  a)  

t

i

t

t

z

cos

)

(

1

, 

3

,

0

t

 

b)  

it

t

z

t

1

)

(

2

, 

3

,

2

1

t

 

c)  

t

i

i

t

z

)

1

(

1

)

(

3

, 

2

,

1

t

 

d)  

t

i

i

t

z

)

2

1

(

1

)

(

4

, 

4

,

1

t

 

e)  

)

4

1

(

)

(

2

5

t

i

t

t

z

, 

R

t

 

f)   

)

4

1

(

2

)

(

2

6

t

i

t

t

z

, 

1

,

0

t

 

g)  

)

4

1

(

)

(

2

2

7

t

i

t

t

z

, 

1

,

2

t

 

h)  

t

i

t

t

z

sin

)

(

3

1

8

, 

,

0

t

 

2.  Obliczyć całki : 

a) 

K

zdz

cos

, gdzie K jest skierowanym dodatnio 

łukiem okręgu 

1

z

, od 

i

z

0

 do 

i

z

1

.  

b) 

L

dz

z

z

2

, gdzie L jest skierowanym dodatnio 

łukiem okręgu 

1

z

, gdzie 

0

,imz

rez

  

c) 

L

dz

z

1

, 

gdzie L jest odcinkiem  od

1

1

z

 

do

 

i

z

2

 

d) 

K

dz

z

sin

, gdzie K  jest odcinkiem od 

1

z

 do 

2

z

, 

gdzie 

 

   

0

1

 

0

1

z

 oraz 

2

2

z

  

  

0

2

 

2

1

z

 oraz 

i

z

2

2

 

  

0

3

 

i

z

2

1

 oraz 

0

2

z

. 

e) 

K

dz

z

z

, gdzie K jest łamaną skierowaną 

dodatnio łączącą 

0

0

z

, 

1

1

z

 oraz 

i

z

2

. 

f) 

AB

dz

z

, gdzie AB jest 

   

0

1

 odcinkiem od 

i

A

2  do 

i

B

2   

   

0

2

 półokręgiem

2

z

 od 

i

A

2  do 

i

B

2  

  

dla 

0

 z

re

  

3. Obliczyć całki korzystając z funkcji pierwotnej 

a) 

2

1

)

1

3

2

(

2

z

z

dz

z

z

 

b) 

1

1

sin

z

z

zdz

 

c) 

AB

zdz

cos

, gdzie  A

,  B

 

4. Obliczyć całki korzystając ze wzoru 

Cauchy’ego: 

a) 

K

z

dz

i

z

e

, gdzie K : 

2

z

. 

b) 

K

dz

z

z

shz

)

1

)(

5

(

, gdzie K : 

2

z

. 

c) 

K

dz

z

z

e

z

1

2

2

, gdzie K : łamana zamknięta  

  łącząca punkty 

0

0

z

, 

i

z

2

1

1

 oraz  

  

i

z

2

1

2

, skierowana dodatnio. 

d) 

K

dz

z

z

 

cos

, gdzie K to elipsa 

1

4

2

2

y

x

  

  skierowana ujemnie. 

e) 

K

z

z

z

1

)

 

sin(

4

 gdzie K : łamana zamknięta  

  skierowana dodatnio, łącząca punkty  

0

1

 

0

0

z

, 

i

z

2

1

 oraz 

i

z

2

2

 

0

2

 

0

0

z

, 

i

z

2

1

1

 oraz 

i

z

2

1

2

 

0

3

 

0

0

z

, 

i

z

2

1

  oraz 

i

z

2

2

. 

 
 

Odpowiedzi. 

1. a) 

x

y

cos , 

3

,

0

x

  

 b) 

x

y

1

, 

2

,

3

1

x

  

 c) 

x

y

, 

3

,

0

x

 

 

 d) 

y

x

2

1, 

3

,

0

x

   

 e) 

2

4

1

x

y

, 

R

x

 

 

 f) 

2

1

x

y

, 

2

,

0

x

 

 g) 

x

y

4

1

, 

0

,

4

x

 

 h) 

x

y

3

sin

, 

3

,

0

x

  

2. a) 

1

2 sh

i

 

b)  i

2

 

 

 c) 

2

1

 

   d) 

0

1

    1   

0

2

  

2

ch

i

  

  

0

3

  

2

1 ch  

   e) 

i

3

2

3

1

   f) 

0

1

    i

4   

0

2

  i

8   

 

3. a)    

)

(

)

(

)

(

1

2

2

1

2

2

3

1

3

2

2

3

3

2

z

z

z

z

z

z

  

   b)     0 

c)    0 

 
4. a)  

)

1

sin

1

cos

(

2

i

 

    b)  

1

2

sh

i

 

   c)   

i    

d)   

i

2

 

  e)   

0

1

  0  

0

2

  

1

2

sh

 

0

3

  0