EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI 

 
 
 

Mówimy, że funkcja y=f(x) ma w punkcie x

0

 maksimum lokalne (minimum lokalne), 

jeżeli istnieje takie otoczenie punktu x

0

,  że dla wszystkich punktów tego otoczenia 

zachodzi nierówność 

f (x) < f (x

0

)  ( f (x) > f (x

0

) ) 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

     

x

0

-

δ

    

x

0

 

x

0

+

δ 

 

 

 

 

WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM 

 

Twierdzenie. Jeżeli funkcja różniczkowalna w przedziale osiąga w pewnym punkcie 

wewnętrznym  x=x

0

 tego przedziału ekstremum lokalne (minimum lub maksimum), to 

pochodna w tym punkcie f’(x

0

) równa się zeru. 

 
Punkt x

0 

, w którym f’(x

0

)=0 nazywamy punktem stacjonarnym. 

 
 

I

 WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM 

 

Jeżeli pierwsza pochodna f

‘

(x) dla x<x

0

 jest ujemna (dodatnia), dla x=x

0

 jest równa zeru, 

a dla x>x

0 

jest dodatnia (ujemna),czyli pochodna przy przejściu zmiennej x przez punkt x

0 

 

zmienia znak z ujemnego na dodatni (z dodatniego na ujemny),to funkcja y=f(x) osiąga 

ekstremum (minimum w pierwszym i maksimum w drugim przypadku). 

 

Arkadiusz Lisak 

1 

II

 WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA EKSTREMUM 

 

Jeżeli dla funkcji f w punkcie stacjonarnym istnieje pochodna drugiego rzędu, która jest 

różna od zera w tym punkcie, to funkcja przyjmuje w tym punkcie ekstremum. Jeśli 

, to f ma w x

0

)

(

0

"

>

x

f

0

 minimum lokalne, zaś jeśli 

, to f ma w x

0

)

(

0

"

<

x

f

0

 maksimum 

lokalne. 

 

 

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI 

 

Jeżeli pochodna jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w tym przedziale 

rosnąca. 

Jeżeli pochodna jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w tym przedziale 

malejąca.

 

 

Przykład: 

1

2

2

−

+

=

x

x

y

 

 

(

)

1

2

2

2

'

+

=

+

=

x

x

y

 

(

)

0

1

2

0

'

=

+

⇔

=

x

y

, 

x+1=0,   x=-1 

(

)

0

1

2

0

'

>

+

⇔

>

x

y

, 

x+1>0,   x>-1 - 

funkcja rośnie 

(

)

0

1

2

0

'

<

+

⇔

<

x

y

, 

x+1<0,   x<-1 - 

funkcja maleje 

Funkcja posiada minimum w punkcie x=-1,  

 

( ) ( )

( )

2

1

1

2

2

1

1

min

−

=

−

−

⋅

+

−

=

−

f

 

 

Arkadiusz Lisak 

2