Zadania na drug

,

a kartk´

owk

,

e

1. Wyznaczy´

c funkcj

,

e charakterystyczn

,

a rozk ladu o g

,

esto´

sci

g(x) = (1 − |x|)1

[−1,1]

(x).

2. Rozstrzygn

,

a´

c, dla jakich a funkcja

φ

a

(x) =

(

1 − a|x|

dla |x| ≤ 1,

1 − a

dla |x| > 1

jest funkcj

,

a charakterystyczn

,

a pewnego rozk ladu na prostej.

Wskaz´

owka: Odpowied´

z: dla a ∈ [0, 1]. By´

c mo˙ze warto skorzysta´

c z poprzed-

niego zadania.

3. Za l´

o˙zmy, ˙ze φ jest funkcj

,

a charakterystyczn

,

a pewnego rozk ladu na prostej.

Czy (Reφ)

2

− (Imφ)

2

jest funkcj

,

a charakterystyczn

,

a pewnego rozk ladu na prostej?

4.

Dane s

,

a ci

,

agi (X

n

), (Y

n

) oraz (Z

n

) zmiennych losowych, przy czym dla

ka˙zdego n ≥ 1 zmienne X

n

, Y

n

, Z

n

s

,

a niezale˙zne oraz

P(X

n

= 1 − 1/n) = 1/n = 1 − P(X

n

= n),

Y

n

ma rozk lad normalny o ´

sredniej 1/n

2

i wariancji n, a Z

n

ma rozk lad jednostajny

na przedziale [0, n

−1/2

]. Rozstrzygn

,

a´

c, czy ci

,

ag (X

n

+ Y

n

· Z

n

) jest zbie˙zny wed lug

rozk ladu. W przypadku odpowiedzi pozytywnej poda´

c rozk lad graniczny.

5. Rozstrzygn

,

a´

c, czy suma dw´

och niezale˙znych zmiennych posiadaj

,

acych ten

sam rozk lad mo˙ze mie´

c rozk lad jednostajny na przedziale [−1, 1].

6. Dany jest ci

,

ag (X

n

) zmiennych losowych oraz niezale˙zna od niego zmienna Z

o standardowym rozk ladzie normalnym. Udowodni´

c, ˙ze ci

,

ag (X

n

+ Z) jest zbie˙zny

wed lug rozk ladu wtedy i tylko wtedy, gdy (X

n

) jest zbie˙zny wed lug rozk ladu.

7. Poda´

c warunek konieczny i dostateczny jaki musi spe lnia´

c zbi´

or Λ ⊆ (0, ∞),

by rodzina rozk lad´

ow (Exp(λ))

λ∈Λ

by la ciasna.

8. dany jest ci

,

ag (X

n

) niezale˙znych zmiennych losowych o tym samym rozk ladzie

o ´

sredniej 0 i wariancji σ

2

> 0. Udowodni´

c, ˙ze ci

,

ag

X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

pX

2

1

+ X

2

2

+ . . . + X

2

n

+ 1

,

n = 1, 2, . . .

jest zbie˙zny wed lug rozk ladu i wyznaczy´

c rozk lad graniczny.

9. Dany jest ci

,

ag (X

n

) niezale˙znych zmiennych losowych takich, ˙ze dla n ≥ 1,

P(X

n

= n) =

1

n + 1

= 1 − P(X

n

= −1).

Czy ci

,

ag ten spe lnia warunek Lindeberga?

1

2

10. Dany jest ci

,

ag (X

n

) niezale˙znych zmiennych losowych, przy czym dla n ≥ 1

zmienna X

n

ma rozk lad jednostajny na przedziale [−n, n]. Rozstrzygn

,

a´

c, czy ci

,

ag

X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

n

3/2

,

n = 1, 2, . . .

jest zbie˙zny wed lug rozk ladu. W przypadku odpowiedzi pozytywnej wyznaczy´

c

rozk lad graniczny.

11. Dany jest ci

,

ag (X

n

) niezale˙znych zmiennych losowych, przy czym dla n ≥ 1

zmienna X

n

ma rozk lad wyk ladniczy z parametrem n. Rozstrzygn

,

a´

c, czy ci

,

ag sum

(X

1

+ X

2

+ . . . + X

n

) jest zbie˙zny wed lug rozk ladu. W przypadku odpowiedzi

pozytywnej poda´

c rozk lad graniczny.