WYBÓR ANALITYCZNEJ 

POSTACI MODELU 

EKONOMETRYCZNEGO 

 
 
 
 

WYBÓR ANALITYCZNEJ POSTACI  

MODELU EKONOMETRYCZNEGO

 



Na  podstawie  poza  statystycznych  informacji  o  typie 

związku,  który  łączy  zmienną  objaśnianą  ze  zmiennymi 

objaśniającymi,  a  zatem  na  podstawie  apriorycznej 
wiedzy  o  prawidłowościach  występujących  w  badanym 
fragmencie rzeczywistości gospodarczej.  

a priori  
a posteriori 


Metodą  heurystyczną  tj.  metodą  prób  polegającą  na 
zastosowaniu  różnych  postaci  analitycznych  do  opisu 
wybranego  fragmentu  rzeczywistości  gospodarczej  i 
wyborze  jednego  z  nich  na  podstawie  przyjętego 
kryterium 

„dobroci” 

dopasowania 

modelu 

do 

rzeczywistości.  
 

 

WYBÓR ANALITYCZNEJ POSTACI  

MODELU EKONOMETRYCZNEGO

 

 Metodą oceny wzrokowej wykresów rozrzutu 

(tylko dla modeli z jedną zmienną objaśniającą). 
Szczególnym przypadkiem oceny wzrokowej jest 
metoda aproksymacji segmentowej. 

 Metodą badania przyrostów (tylko dla modeli 

tendencji rozwojowej). Metoda ta zakłada, że 
model ma postać wielomianu, a wybór dotyczy 
tylko stopnia wielomianu.  

WYBÓR ANALITYCZNEJ POSTACI  

MODELU EKONOMETRYCZNEGO

 

  Żadna  z  wymienionych  metod  nie  jest  uniwersalna, 

ponieważ  nie  zapewnia  obiektywnych  narzędzi 
wyboru  klasy  modelu  lub  zakres  ich  zastosowań  jest 
ograniczony.  Podjęto  próby  konstrukcji  tzw.  modeli 
adaptacyjnych,  w  których  nie  zakłada  się  a  priori 
postaci  analitycznej  lecz  wynika  z  zastosowania 
pewnych 

algorytmów 

„wygładzających” 

obserwowany 

faktycznie 

związek    zmiennej 

objaśnianej 

ze 

zmiennymi 

objaśniającymi. 

Przykładem  modeli  adaptacyjnych  jest  metoda 
trendu pełzającego.  

WYBÓR ANALITYCZNEJ POSTACI  

MODELU EKONOMETRYCZNEGO

 

 

Funkcje najczęściej spotykane w badaniach 

empirycznych, a obrazujące typy związków 

pomiędzy zjawiskami ekonomicznymi.  

Funkcja liniowa 

 

 

Funkcja hiperboliczna 

 
    

  

 

 

t

t

t

X

Y













1

0

t

t

t

X

Y













1

1

0

WYBÓR ANALITYCZNEJ POSTACI  

MODELU EKONOMETRYCZNEGO

 

Funkcja wielomianowa 
 
 
Parabola jako szczególny zapis funkcji 

wielomianowej drugiego stopnia 

 
 

t

n

t

n

t

t

t

X

X

X

Y























...

2

2

1

0

t

t

t

t

X

X

Y

















2

2

1

0

WYBÓR ANALITYCZNEJ POSTACI  

MODELU EKONOMETRYCZNEGO

 

Funkcja potęgowa 
 
Funkcja wykładnicza 
 
Funkcja logarytmiczna 
 
 
 
 
 

t

t

t

X

Y







10

1

0





t

t

e

Y

x

t













1

0

t

t

t

X

Y













2

0

log

ESTYMACJA PARAMETRÓW 

STRUKTURALNYCH 

 

 

 
 
Algorytm estymacji parametrów strukturalnych w konwencji 

macierzowej. Przyjmując, że dokonano n obserwacji na zmiennych 
Y

t

, X

1t

,X

2t

,…,X

kt

  

 

Y = Xa + u  

Gdzie 
 
 

 

 

 

 

 

 

wektor zaobserwowanych zmiennych endogenicznych Yt 

 

t

k

i

it

i

t

X

Y

















1

0

;

2

1



























n

y

y

y



y

ESTYMACJA PARAMETRÓW 

STRUKTURALNYCH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

macierz realizacji zmiennych objaśniających 

 

 
W modelu występuje zmienna X

0i

=1 przy parametrze α

0

 dla t=1,2,..,n 

 

 

 

 

 

wektor estymatorów parametrów strukturalnych 

 

 



























kn

n

k

k

x

x

x

x

x

x













1

2

12

1

11

1

1

1

X

;

1























K









 

 

 

 

 

 

 

 

wektor reszt u

t 



























n

u

u

u

u



2

1

Zestaw założeń 1) – 5) nazywamy Klasycznym Modelem 

Regresji Liniowej (KMRL).

 

 

Model liniowy w notacji macierzowo-wektorowej wraz ze 

sformułowanymi werbalnie założeniami można zapisać: 

  

• 1)                           

(model którego parametry szacujemy jest  

 
modelem liniowym) 

 

• 2) Zmienne objaśniające są zmiennymi nielosowymi 

(ustalonymi w powtarzanych próbach dla każdego                   
na poziomie                ) , zatem macierz X jest macierzą 

nielosową i 

nie występuje współliniowość zmiennych 

objaśniających); liczba zmiennych objaśniających jest 
mniejsza od liczby obserwacji   (K<n). 

 

 

1

1











N

K

N

N

u



X

y

n

t

,...,

1



tK

t

x

x ,...,

1

• 3) Wartość oczekiwana składnika losowego jest równa zero, 

czyli                  (odchylenia losowe in plus i in minus redukują 
się).   

• 4) wariancja składnika losowego jest stała dla wszystkich 

obserwacji                   dla każdego t (własność ta 
nazywana jest także jednorodnością lub 
homoskedastycznością wariancji), 

• 5)  obserwacje są niezależne, składniki losowe 

poszczególnych obserwacji są nieskorelowane (nie 
występuje autokorelacja składników losowych). 

 

1

)

(





n

0



E

2

2







t

SCHEMAT ESTYMACJI FUNKCJI LINIOWEJ 

 
Zakładając, że zależność ma charakter liniowy, oszacujemy parametry modelu: 
 

 

 

 

 
 

y

X

X

X

a

T

T

1

)

(





t

t

t

t

X

X

Y

















2

2

1

1

0

. 

 

 

 

 

      

  





































































n

n

n

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

x

x

x

X







3

2

1

2

1

32

31

22

21

12

11

1

1

1

1

1







































































































































n

t

t

n

t

t

t

n

t

t

n

t

t

t

n

t

t

n

t

t

n

t

t

n

t

t

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

2

1

32

31

22

21

12

11

2

32

22

12

1

31

21

11

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1









X

X

T











































































































n

t

t

t

n

t

t

t

n

t

t

n

n

n

y

x

y

x

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

x

x

x

1

2

1

1

1

3

2

1

2

32

22

12

1

31

21

11

1

1

1

1

1







y

X

T

SCHEMAT ESTYMACJI FUNKCJI HIPERBOLICZNEJ 

 

 
Wtedy zmienna endogeniczna Y jest funkcją liniową zmiennej Z 

t

t

t

X

Y













1

1

0

t

t

z

Y













1

0

Po podstawieniu                   funkcja nieliniowa ze względu na X jest funkcją liniową ze względu na X i Z 

SCHEMAT ESTYMACJI FUNKCJI PARABOLICZNEJ 

 

t

t

t

t

X

X

Y

















2

1

1

0

SCHEMAT ESTYMACJI FUNKCJI WYKŁADNICZEJ 

t

t

e

Y

x

t













1

0

SCHEMAT ESTYMACJI FUNKCJI WYKŁADNICZEJ 

t

t

x

t

Y







10

1

0







SCHEMAT ESTYMACJI FUNKCJI POTĘGOWEJ 

t

t

t

X

Y







10

1

0





W praktyce mogą występować jeszcze inne postacie funkcji wykładniczej. 

Mając dane dotyczące 5 pracowników bezpośrednio produkcyjnych: 

  
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

gdzie:  
y

i

 -    ilość braków wytwarzanych przez pracownika (w szt. rocznie), 

x

1i

 –  staż pracy (w latach,) 

x

2i

 – liczba dni przepracowanych przez pracownika w warunkach szkodliwych dla zdrowia 

Nalęży:  
Oszacować parametry strukturalne funkcji liniowej  
y

i

 = a

0

+a

1 

x

1i 

+a

2

x

2i

+e

i

 

opisującej badaną zależność 
b. Zweryfikować statystyczną istotność otrzymanych estymatorów parametrów (t

a

 = 2,156), 

c. zinterpretować otrzymane wyniki, 
d. wyznaczyć prognozę y gdy x

1i

 = 5 i x

2i

 = 7;  

d. Dokonać oceny dokładności predykcji (wariancja predykcji, błąd średni predykcji, względny błąd średni 

predykcji)  

e. zbudować 95% przedział ufności.  

 

Y

i 

X

1i 

X

2i 

35 

5 

2 

50 

3 

3 

62 

2 

4 

72 

1 

5 

82 

0 

6 



 





 



)

(

1

ˆ

ˆ

1

1

1

2

y

X

a

y

y

Xa

y

Xa

y

y

y

y

y

T

T

T



























k

n

u

u

S

T

T

T

e

k

n

k

n

k

n

Xa

y



ˆ

y

y

ˆ





u

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
gdzie:  n  

—  liczba obserwacji 

k  

—  liczba szacowanych parametrów strukturalnych 

n-k  

—  liczba stopni swobody 

 

  

—  wektor reszt 

—  wektor wartości teoretycznych 

lub w zapisie skalarnym: 









N

t

t

e

u

k

n

S

1

2

2

1

2

e

e

S

S



Parametry struktury stochastycznej 

WARIANCJA RESZTOWA 

BŁĘDY ŚREDNIE SZACUNKU 

 

Błędy średnie szacunku parametrów strukturalnych określają rząd 

dokładności  szacunku tych parametrów. 

MACIERZ WARIANCJI I KOWARIANCJI

 

Elementy diagonalne znajdujące się na 

przekątnej głównej macierzy wariancji i 

kowariancji są wariancjami estymatorów 

parametrów strukturalnych. 

 
 

Pierwiastki kwadratowe z elementów 

znajdujących się na przekątnej głównej 

stanowią błędy średnie szacunku.  

 
 

Natomiast poza przekątną główną znajdują 

się kowariancje estymatorów parametrów 

strukturalnych określających stopień 

skorelowania dwóch estymatorów. 

 

 

 

 

 

                                 

 

 

 

 

WSPÓŁCZYNNIK DETERMINACJI

 

 
 

WSPÓŁCZYNNIK ZBIEŻNOŚCI

 

WSPÓŁCZYNNIK ZMIENNOŚCI LOSOWEJ

 

WERYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH 

Model  z  oszacowanymi  parametrami  strukturalnymi  i  parametrami 
struktury 

stochastycznej 

trzeba 

poddać  procedurze  weryfikacyjnej 

dotyczącej: 

 

1. Prawidłowego  doboru  zmiennych  objaśniających  do  modelu  i 

siły  oddziaływania  tych  zmiennych  na  zmienną  endogeniczną 

(objaśnianą). 
 

2. Stopnia    dopasowania  modelu  do  opisywanego  fragmentu 

rzeczywistości gospodarczej. 
 

3. Rozkładu  reszt  w  aspekcie  spełnienia  apriorycznych  założeń 

poczynionych  przy  wyborze  metody  estymacji  parametrów 
modelu. 

 

 

WERYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH

 

 

Pozytywny  rezultat  procedury  weryfikacyjnej  modelu  ekonometrycznego 

umożliwia  właściwą  realizację  celów,  dla  których  podjęto  badania 
ekonometryczne. 
Możemy  przyjąć,  że  model  ekonometryczny  będzie  spełniał  warunki 
praktycznego wykorzystania wtedy, gdy: 

 

•

Estymatory parametrów strukturalnych są statystycznie istotne.  
 

•

Wybrane parametry struktury stochastycznej przyjmują wartości 

arbitralnie uznane za dopuszczalne czyli spełniony będzie warunek 

 

φ

2

< φ

0

2

 , lub R

2

> R

0

2

 lub V<V

0

 gdzie φ

0

2

 , R

0

2

 , V

0 

 to tzw. wartości 

krytyczne. 

 

•

Reszty modelu charakteryzują się pożądanymi własnościami (losowością, 

symetrią, brakiem autokorelacji.  

 

 

BADANIE STATYSTYCZNEJ ISTOTNOŚCI 

ESTYMATORÓW PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH

 

 

Po  etapie  estymacji  parametrów  modelu  ekonometrycznego 
musimy  zweryfikować  statystyczną  istotność  estymatorów 
parametrów  strukturalnych  tzn.  zbadać  a  posteriori  czy 
poszczególne  zmienne  objaśniające  mają  istotny  wpływ  na 
kształtowanie się zmiennej endogenicznej (objaśnianej). 

Algorytm postępowania jest następujący: 

 Przyjmujemy, 

że 

spełnione 

są 

założenia 

metody 

najmniejszych kwadratów 

 Zakładamy,  że  składniki  losowe  ξ

t

  (dla  t=1,2,…,n)  mają 

wielowymiarowy rozkład normalny ξ-N(0,

 𝛔

2

 I

n

) 

BADANIE STATYSTYCZNEJ ISTOTNOŚCI 

ESTYMATORÓW PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH 

 Stawiamy hipotezę zerową 

H

0

: α

i

 = 0 

Wobec hipotezy alternatywnej 

H

1

: α

i

 ≠ 0 

 Hipoteza zerowa zakłada, że parametr α

i

 nieistotnie różni 

się od zera tzn. że zmienna x

i

 przy której ten parametr się 

znajduje wywiera nieistotny wpływ na zmienną objaśnianą 

 W przypadku odrzucenia hipotezy H

0

 przyjmujemy 

hipotezę alternatywną H

1

 , która mówi że wartość 

parametru istotnie różni się od zera czyli badana zmienna 
objaśniająca ma istotny wpływ na zmienną endogeniczną. 
 

BADANIE STATYSTYCZNEJ ISTOTNOŚCI 

ESTYMATORÓW PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH 

 Weryfikację hipotez dotyczących istotności parametrów 

strukturalnych prowadzi się korzystając z testu opartego na 

rozkładzie statystyki t-studenta określonej wzorem: 
 

 

 

 

Gdzie:         ma rozkład studenta o n-k stopniach swobody 

 

 

a

i

  

estymator i-tego parametru strukturalnego 

 

 

α

i

          prawdziwa wartość i-tego parametru (zgodnie z 

hipotezą zerową α

i

 = 0 

 

 

D(a

i

) 

błąd średni szacunku parametru. 

 

 

 

BADANIE STATYSTYCZNEJ ISTOTNOŚCI 

ESTYMATORÓW PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH 

 Dla każdego parametru strukturalnego wyznaczamy wartość statystyki t 

empirycznego (tzw. t

emp

). 

 Następnie z tablic rozkładu t-studenta dla przyjętego poziomu istotności 

α oraz dla n-k stopni swobody odczytujemy wartość krytyczną t

α

.  

 WNIOSKOWANIE: 
Jeżeli spełniona jest nierówność 

|t

emp

|>t

α 

to  hipotezę  H

0

  należy  odrzucić  na  korzyść  hipotezy  alternatywnej  H

1

. 

Oznacza  to,  że  badany  parametr  jest  statystycznie  istotny  i  zmienna 
objaśniająca  przy  której  ten  parametr  się  znajduje  ma  istotny  wpływ  na 
kształtowanie się zmiennej endogenicznej.  
W przypadku gdy  

|t

emp

|≤t

α 

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Zmienna objaśniająca przy 
której ten parametr się znajduje wywiera istotny wpływ na zmienną Y. 

 

 

BADANIE STATYSTYCZNEJ ISTOTNOŚCI 

ESTYMATORÓW PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH 

 Weryfikację  modelu    można  uznać  za  pozytywną  w 

przypadku  istotności  wszystkich  parametrów  strukturalnych 
modelu  ekonometrycznego  i  można  przejść  do  analizy 
dopuszczalności  modelu  ze  względu  na  wartość  wybranych 
parametrów  struktury  stochastycznej,  a  zatem  wybranych 
własności rozkładu reszt. 

 W  przypadku,  gdy  przynajmniej  jeden  z  parametrów 

strukturalnych 

jest 

statystycznie 

nieistotny 

model 

ekonometryczny  należy  odrzucić  w  całości  i  rozpocząć 
procedurę  badań  ekonometrycznych  od  nowa  w  kolejnych 
etapach badań.  

BADANIE WYBRANYCH WŁASNOŚCI SKŁADNIKA 

RESZTOWEGO MODELU.

 

Poprawność  konstrukcji  modelu  i  jego  przydatność 
praktyczną  determinują  także  pewne  własności,  którymi 
powinny  się  charakteryzować  rozkłady  reszt  modelu  jako 
realizacje składnika losowego. 

 

 W procesie weryfikacji niezbędne jest zbadanie  

 Losowości reszt 

 Symetrii reszt 

 Autokorelacji reszt 

BADANIE LOSOWOŚCI RESZT MODELU

.

 

1. Dla ciągu n obserwacji wyznaczamy reszty u

t 

= y

t 

-     , które 

są różnicą pomiędzy rzeczywiście zaobserwowaną wartością 
zmiennej objaśnianej, a jej wartością wyznaczoną z modelu. 

2. Następnie resztom dodatnim u

t

 > 0 przypisuje się symbole A 

zaś resztom ujemnym u

t

 < 0 przypisuje się symbole B 

wartości u

t

 = 0  nie bierze się pod uwagę 

3. Tworzymy w ten sposób ciąg złożony z symboli A i B. W 

utworzonym ciągu elementy jednego rodzaju (podciągi) A lub 
B następujące bezpośrednio po sobie noszą nazwę serii. 

4. Na podstawie ciągu empirycznego określamy liczbę serii tzw. 

k

emp

 empiryczne.

 

BADANIE LOSOWOŚCI RESZT MODELU.

 

5. Testem wykorzystywanym do weryfikacji hipotezy o 

losowości reszt jest 

tzw. test liczby serii. 

Dla n

1

 (liczba 

symboli A) i dla n

2

 (liczba symboli B) oraz przyjętego 

poziomu istotności α odczytujemy z Tablic liczby serii taką 

wartość krytyczną kα, że P{k ≤ kα} = α 

6. WNIOSKOWANIE 
Jeżeli  
k

emp

 > k

α 

 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości 

reszt, a więc reszty mają charakter losowy 

k

emp

 ≤k

α

 to hipotezę o losowości reszt należy odrzucić co 

powinno skutkować  modyfikacją postaci analitycznej 

modelu, powtórnym szacowaniem parametrów i kolejną 

weryfikacją. 

 

BADANIE LOSOWOŚCI RESZT MODELU.

 

• Przykład. 
Ciąg reszt ma postać 

BBAABAAAB 

K

emp

 = 5 

Z Tablic liczby serii dla n

1

 = 5 i n

2

 = 4 

K

α=0,05 

= 2 

K

emp

 = 5 > k

α

 = 2 

Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o losowości reszt 

(reszty modelu mają charakter losowy). 

BADANIE SYMETRII SKŁADNIKA RESZTOWEGO.

 

 

Symetria  rozkładu  reszt  jest  rozumiana  jako  równość  częstości 
występowania  obserwacji  odchylających  się  in  plus  bądź  in 
minus od wartości modelowych. 
• Weryfikując  symetrię  składnika  resztowego  formułujemy 

hipotezę  zerową,  która  mówi,  że  składnik  resztowy  ma 
rozkład symetryczny 

 

gdzie  :  m  jest  liczbą  reszt  dodatnich  (odchylających  się  in 

plus) 

wobec hipotezy alternatywnej, mówiącej że rozkład składnika 
resztowego jest niesymetryczny 

 

BADANIE SYMETRII SKŁADNIKA RESZTOWEGO.

 

• Statystyka weryfikująca hipotezę H

0

 jest następująca 

 

 

 

 

 

dla  małej  próby  liczba  obserwacji  n  ≤  30  statystyka  t  ma 
rozkład t-studenta o n-1 stopniach swobody 
 

dla n > 30 (duża próba) ma rozkład normalny 

 

BADANIE SYMETRII SKŁADNIKA RESZTOWEGO.

 

Jeżeli 

t

emp

 ≤ t

α 

 

Dla przyjętego poziomu istotności α oraz n-1 stopni swobody 
Nie  ma  podstaw  do  odrzucenia  hipotezy  H

0

,  a  zatem  można 

wyprowadzić wniosek o symetrii składnika resztowego 
Jeżeli  

t

emp

 > t

α 

  

Hipotezę  H

0

 

należy  odrzucić  na  korzyść  hipotezy 

alternatywnej  co  oznacza  powrót  do  etapu  konstrukcji 
modelu w tym w szczególności jego postaci analitycznej. 
 

BADANIE SYMETRII SKŁADNIKA RESZTOWEGO

 

 Przykład 
m=5 liczba reszt dodatnich 

n=10 liczba wszystkich reszt 

 

 

 

 

t

emp

 =0 < t

α=0,05;9 

 =2,262 

nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H

0

 o symetrii 

składnika resztowego. 
 

 

 

BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.

 

Autokorelacja składnika resztowego to korelacja pomiędzy zmienną 

losową ξ

t

 oraz ξ

t-τ 

gdzie τ jest liczbą okresów oddalenia  

 

0 ≤ τ < n 

 
Podstawowe  przyczyny  występowania  autokorelacji  składników 
losowych to: 
 
1.

Działanie  czynników  przypadkowych  przez  okres  czasu  dłuższy 

niż okres przyjęty za jednostkę.  
 

2.

Błędy konstrukcyjne modelu polegające na: 

•

pominięcie 

zmiennej 

(zmiennych) 

objaśniającej 

istotnie 

oddziałującej na zmienną endogeniczną (objaśnianą), 

•

wprowadzenie  do  modelu  zmiennej  z  niewłaściwym  opóźnieniem 
czasowym, 

•

źle dobrana postać analityczna modelu. 

 

  

BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.

 

• Miernikami  autokorelacji  są  tzw.  współczynniki  autokorelacji 

ρ.  Współczynnik  autokorelacji  rzędu  pierwszego  mierzy 
zależność  pomiędzy  bezpośrednio  po  sobie  następującymi 
zmiennymi,  współczynnik  rzędu  drugiego  mierzy  zależność 
między  zmiennymi  odległymi  o  dwie  jednostki  wskaźnika  t 
itd.. 

• Współczynnik autokorelacji rzędu τ wyraża się wzorem 
  

 

• Współczynnik autokorelacji rzędu zerowego zawsze jest równy 

1, zaś wyższych rzędów w przedziale [-1,1] 

BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.

 

W  praktyce  nie  znamy  współczynnika  autokorelacji 
składnika  losowego  i  stąd  wyznaczamy  współczynniki 
autokorelacji 

składnika 

resztowego. 

Współczynnik 

autokorelacji  reszt  rzędu  pierwszego  tj.  pomiędzy  u

t

  i  u

t-1

 

wynosi: 

 

 

 
Wartości  ϱ1  bliskie  zeru  mówią  o  braku  autokorelacji 
składnika resztowego (losowego) rzędu pierwszego. 
 

BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.

 

Badamy istotność współczynnika autokorelacji, weryfikują  
hipotezę 

H

0

: ϱ

1

 = 0 

mówiącej o braku autokorelacji reszt modelu wobec hipotezy 
alternatywnej 

 H

1

: ϱ

1

 ≠ 0 

informującej o występowaniu autokorelacji reszt. 
Statystyka za pomocą której prowadzi się weryfikację ma postać: 

 

BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.

 

Statystyka d ma rozkład Durbina - Watsona, który jest funkcją 
dwóch parametrów: n – liczba obserwacji; k – liczba zmiennych 
objaśniających 
 

Dla przyjętego poziomu istotności α oraz n i k stopni swobody z 
tablic Durbina-Watsaona odczytujemy dwie wartości krytyczne 
d

L

 (wartość dolna) oraz d

U

 (wartość górna).  

 
Jeżeli d

emp

 < d

L

 odrzucamy hipotezę zerową,  

Jeżeli d

emp

> d

U

 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej.  

 

W  przypadku  jeżeli  d

L

  ≤  d

emp

  ≤  d

U 

nie  można  podjąć  żadnej 

decyzji i trzeba stosować inne testy istotności.  

 

 

BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.

 

Hipoteza alternatywna potwierdza występowanie  

 

autokorelacji dodatniej (H

1

: ϱ

1

 > 0) dla d

emp

<2 

autokorelacji ujemnej (H

1

: ϱ

1

 < 0) dla d

emp

>2  

 

a sprawdzianem jest statystyka d’ = 4 – d

emp 

 

Stwierdzenie 

autokorelacji 

skłania 

do 

zastosowania 

uogólnionej MNK przy estymacji modelu. 

 

 

BADANIE AUTOKORELACJI RESZT.

 

 
 

Dla n=10 
α = 0,05  k = 2 
d

L

 = 0,697 

d

U

 = 1,641 

d

emp

 = 1,916 > d

U

 = 1,641 

Nie  ma  podstaw  do  odrzucenia  hipotezy  H

0

  o  braku 

autokorelacji  czyli  autokorelacja  składnika  resztowego  nie 

występuje.