Estymacja 

i testowanie hipotez

Podstawowe pojęcia statystyczne

zbiorowość statystyczna, populacja generalna – zbiór 
jednostek statystycznych mających przynajmniej jedną cechę 
stałą oraz pewną liczbę cech zmiennych 

próba, populacja próbna – wyodrębniona za pomocą 
odpowiedniej metody statystycznej część populacji 
generalnej 

jednostka statystyczna – obiekt wyodrębniony na potrzeby 
badania statystycznego 

cecha statystyczna – właściwość jednostek statystycznych 
podlegająca badaniu

jakościowa

ilościowa

ciągła

skokowa

2

Podstawowe pojęcia

Badania pełne (wyczerpujące), 

obejmujące całą populacje 

generalną nie są często wykorzystywane z kilku 
powodów:

wysokie koszty badania, związane z liczebnością badanej 
zbiorowości, z koniecznością zaangażowania dużej liczby osób 
o odpowiednich kwalifikacjach;

trudności z dostępem do niektórych elementów populacji;

pracochłonność − długi czas potrzebny na opracowanie 
wyników;

niszczenie materiału badawczego w trakcie badania jakości 
wyprodukowanych przedmiotów. 

Podstawowe pojęcia

Badanie częściowe, wyrywkowe, obejmujące próbę 

reprezentacyjne polegające na losowaniu próby 

ze zwracaniem 

bez zwracania 

warstwowe 

etapowe 

systematyczne 

subiektywne, nielosowe

łatwości  dostępu

próba uznaniowa

kuli śniegowej

celowe

kwotowe

Wnioskowanie statystyczne

to zbiór reguł uogólniania wyników z próby 
losowej na populację generalną

obejmuje

estymację

punktową (parametryczną)

przedziałową (nieparametryczną)

testowanie hipotez

parametrycznych

nieparametrycznych

5

Estymacja a weryfikacja

estymacja

to metody szacowania (estymacji) 

nieznanego rozkładu lub nieznanych parametrów 
rozkładu badanej cechy X w populacji generalnej

weryfikacja hipotez 

to metody testowania 

(sprawdzania) dowolnego przypuszczenia 
dotyczącego nieznanego rozkładu lub nieznanych 
parametrów rozkładu badanej cechy X w 
populacji generalnej.

6

Estymacja punktowa

estymacja punktowa 

polega na wyborze „dobrego” estymatora 

(czyli przybliżenia) dla szacowanego parametru i obliczeniu 
jego wartości liczbowej będącej oszacowaniem tego parametru

estymacja punktowa 

oznacza, że dla każdego parametru 

populacji znajduje się jedną liczbę (na podstawie realizacji 
próby), tak aby była ona możliwie najlepszym przybliżeniem 
nieznanego parametru.

Estymatorem (statystyką) parametru nazywa się funkcję próby, 
której rozkład prawdopodobieństwa zależy od szacowanego 
parametru, np. estymatorem średniej z próby jest funkcja:

7

x

n

x

i

i

n

=

=

∑

1

1

Estymacja punktowa - przykłady

Analiza danych pozwala uzyskać informacje na temat 
pewnych ich charakterystyk czyli 

estymacji

pewnych 

parametrów rozkładu 

ś

redniej dziennej stopy zwrotu z indeksu WIG

ś

rednich dochodów konsumentów

ryzyka związanego z inwestycją w akcje pewnej spółki

procentu osób popierających działania rządu

korelacji między poziomem sprzedaży a wysokością cen

tempa dynamiki w zmianach cen mieszkań

8

Estymacja przedziałowa

polega na konstrukcji przedziału liczbowego o takiej własności, że 
z ustalonym z góry prawdopodobieństwem 1-α (

poziom ufności

) w 

przedziale tym zawiera się estymowany parametr 

im wyższy poziom ufności tym przedział szerszy 

im większa próba tym przedział węższy 

9

P(a < θ < b) = 1−α

gdzie a i b to dolna i górna granica przedziału ufności a 
prawdopodobieństwo 1−α (poziom ufności) jest dane z góry i 
przyjmuje najczęściej wartość: 0,90; 0,95; 0,99

Granice przedziału ufności są losowe, a więc dla konkretnych 
prób można uzyskać różne wartości.

Otrzymany konkretny przedział interpretuje się następująco: 

w 1-

α

procentach przypadków przedział (a, b) pokrywa 

nieznaną wartość parametru 

θ

.

Oznacza to jednocześnie, że średnio w 

α

procentach 

przypadków wyznaczony przedział 

nie pokrywa

szacowanego 

parametru. 

Prawdopodobieństwo 

α

, które jest ryzykiem takiego błędu, to 

poziom istotności

.

10

Estymacja przedziałowa

Przedział ufności dla średniej (wartości oczekiwanej)

11

A zatem

po wylosowaniu n-elementowej próby prostej z populacji o 
rozkładzie normalnym o znanej wariancji σ

2

buduje się przedział 

ufności dla wartości oczekiwanej korzystając ze wzoru 

czyli

Przedział ufności dla średniej (wartości oczekiwanej)

12

Dla dużej próby – gdy n > 30

i σ – parametry wyznaczone z próby

t

α

– wartość odczytana z tablic rozkładu normalnego T~N(m,σ) dla

Przedział ufności dla średniej (wartości oczekiwanej)

13

Dla małej próby – gdy n < 30

i σ – parametry wyznaczone z próby

t

α,n-1

– wartość odczytana z tablic rozkładu Studenta  dla α i n-1 stopni 

swobody

Tablice 
rozkładu 
Studenta –
fragment

14

Przedział ufności dla frakcji  (udziału, 

prawdopodobieństwa)

X – liczba zdarzeń sprzyjających 

n – liczebność próbki (liczb wszystkich zdarzeń) 

t

α

– wartość odczytana z tablic rozkładu normalnego         

T~N(m,σ) dla

15

Minimalna liczebność próby

Różnica między wartością oczekiwaną a średnią z próby to 

tolerancja 

(błąd oszacowania = połowie długości przedziału 

ufności)

16

n

σ

t

d

m

X

α

=

=

-

stąd po przekształceniu otrzymuje się wzór na 

minimalną 

liczebność próby

2

2

2

=

d

σ

t

n

α

Minimalna liczebność próby dla frakcji

17

ustalenie wielkości próby dla 

wskaźnika struktury

(frakcji, odsetka, procentu, prawdopodobieństwa 
sukcesu), gdzie p − jest frakcją elementów wyróżnionych 
w populacji

2

2

=

d

pq

t

n

α

Jeśli nie jest znany rząd wielkości szacowanego parametru p
wtedy zakłada się, że p = q = 1/2  a wzór przybiera postać: 

2

2

4

=

d

t

n

α

Dziękuję za uwagę

18