1
Obszar normalny na płaszczyźnie
Definicja
(Obszaru normalnego względem osi)
• Obszar domknięty
D ⊂ R
2
nazywamy obszarem normalnym
względem osi OX, jeżeli można go zapisać w postaci
D =
(x, y) ∈ R
2
: a
6 x 6 b, g(x) 6 y 6 h(x)
,
gdzie funkcje
g(x)
i
h(x)
są ciągłe dla
x ∈ [a, b]
oraz
g(x) < h(x)
dla
x ∈ (a, b)
.
2
• Obszar domknięty
D ⊂ R
2
nazywamy obszarem normalnym
względem osi OY, jeżeli można go zapisać w postaci
D =
(x, y) ∈ R
2
: c
6 y 6 d, g(y) 6 x 6 h(y)
,
gdzie funkcje
g(y)
i
h(y)
są ciągłe dla
y ∈ [c, d]
oraz
g(y) < h(y)
dla
y ∈ (c, d)
.
3
Przykłady obszarów, które nie są normalne:
Definicja
Obszar domknięty i ograniczony
D
nazywamy obszarem
regularnym, jeżeli jest on skończoną sumą obszarów normalnych
(względem osi OX lub OY).
4
Całka podwójna
Definicja
Niech funkcja
f = f (x, y)
będzie ciągła na obszarze
D
normalnym względem osi OX lub OY. Wówczas
• jeżeli
D
jest obszarem normalnym względem osi OX, to całkę
podwójną po obszarze
D
definiujemy wzorem:
Z
D
Z
f (x, y) dxdy
def
=
b
Z
a
h(x)
Z
g(x)
f (x, y) dy
dx =
=
b
Z
a
dx
h(x)
Z
g(x)
f (x, y) dy,
• jeżeli
D
jest obszarem normalnym względem osi OY, to całkę
podwójną po obszarze
D
definiujemy wzorem:
5
Z
D
Z
f (x, y) dxdy
def
=
d
Z
c
h(y)
Z
g(y)
f (x, y) dx
dy =
=
d
Z
c
dy
h(y)
Z
g(y)
f (x, y) dx.
Całki
b
Z
a
dx
h(x)
Z
g(x)
f (x, y) dy,
d
Z
c
dy
h(y)
Z
g(y)
f (x, y) dx
nazywamy całkami iterowanymi.
Przykład
Zamienić całkę podwójną z funkcji
f (x, y)
po obszarze
D
na całkę iterowaną, jeżeli
D
jest obszarem ograniczonym liniami:
a)
y = 0, y = ln x, x = e
b)
y = x, x
2
+ y
2
= 2x
dla
x ∈ [0, 1]
6
Całka podwójna po prostokącie
Uwaga
Jeżeli funkcja
f (x, y)
jest ciągła w prostokącie
P = [a, b] × [c, d]
, to
Z
P
Z
f (x, y) dxdy =
b
Z
a
dx
d
Z
c
f (x, y) dy =
d
Z
c
dy
b
Z
a
f (x, y) dx.
Uwaga
Jeżeli funkcja
f (x, y)
ciągła w prostokącie
P = [a, b] × [c, d]
ma postać
f (x, y) = f
1
(x) · f
2
(y)
, to
Z
P
Z
f (x, y) dxdy =
b
Z
a
f
1
(x) dx
·
d
Z
c
f
2
(y) dy
.
Przykład
Oblicz następujące całki podwójne po prostokącie:
7
a)
R
P
R
cos(3x + y) dxdy
gdzie
P =
"
0,
π
3
#
× [π, 2π]
b)
R
P
R
x
2
y cos(xy
2
) dxdy
gdzie
P =
"
0,
π
2
#
× [0, 2]
Przykład
Oblicz następujące całki podwójne:
a)
R
D
R
dxdy
gdzie
D =
(
(x, y) : y
> x, y 6 3x − x
2
)
b)
R
D
R
2 y dxdy
gdzie
D
jest obszarem ograniczonym liniami
y =
√
x, y = 0, x + y = 2
8
Podstawowe własności całki podwójnej
Zakładamy, że całki poniższe istnieją.
• Jeżeli
f (x, y) > 0
w obszarze
D
, to
Z
D
Z
f (x, y) dxdy > 0
• Jeżeli
f (x, y) 6 g(x, y)
w obszarze
D
, to
Z
D
Z
f (x, y) dxdy 6
Z
D
Z
g(x, y) dxdy
• Dla dowolnej stałej
c ∈ R
Z
D
Z
c · f (x, y) dxdy = c ·
Z
D
Z
f (x, y) dxdy
9
•
Z
D
Z
( f (x, y) + g(x, y) ) dxdy =
=
Z
D
Z
f (x, y) dxdy +
Z
D
Z
g(x, y) dxdy
• Jeżeli obszar regularny
D
jest sumą obszarów
D
1
, D
2
, . . . , D
n
o parami rozłącznych wnętrzach, to
Z
D
Z
f (x, y) dxdy =
=
Z
D
1
Z
f (x, y) dxdy +
Z
D
2
Z
f (x, y) dxdy +. . .+
Z
D
n
Z
f (x, y) dxdy
Przykład
Oblicz całkę podwójną
R
D
R
y dxdy
, jeżeli
D
jest
obszarem ograniczonym liniami
y = x+1, y = −1, y = 1, x = |y|
.
10
Uwagi o istnieniu całki podwójnej
Niech
D
będzie obszarem regularnym.
• Funkcja ciągła na
D
jest całkowalna na
D
.
• Jeżeli funkcja
f (x, y)
jest ciągła na
D
a funkcja
g(x, y)
pokrywa się z funkcją
f (x, y)
poza skończoną liczbą krzywych,
które są wykresami funkcji zmiennej
x
lub
y
, to funkcja
g(x, y)
jest całkowalna oraz
Z
D
Z
g(x, y) dxdy =
Z
D
Z
f (x, y) dxdy
11
Przekształcenia obszarów na płaszczyźnie
Niech
D
0
będzie zbiorem otwartym na płaszczyźnie zmiennych
(u, v)
. Załóżmy, że na zbiorze
D
0 określone są funkcje
x = x(u, v)
i
y = y(u, v)
, a przekształcenie
(u, v)
−→
( x(u, v) , y(u, v) )
jest różnowartościowe.
Niech zbiór otwarty
D
będzie obrazem zbioru
D
0
przy tym
przekształceniu.
Definicja
(Jakobianu przekształcenia)
Jakobianem przekształcenia
(u, v)
−→
( x(u, v) , y(u, v) )
12
nazywamy funkcję określoną wzorem:
J (u, v) =
∂x
∂u
(u, v)
∂x
∂v
(u, v)
∂y
∂u
(u, v)
∂y
∂v
(u, v)
Zakładamy przy tym, że pochodne cząstkowe
∂x
∂u
,
∂x
∂v
,
∂y
∂u
,
∂y
∂v
istnieją w całym obszarze
D
0 .
13
Współrzędne biegunowe
Współrzędne biegunowe
(r, ϕ)
:
x = r cos ϕ
r ∈ [0, +∞)
y = r sin ϕ
ϕ ∈ [0, 2π]
r
2
= x
2
+ y
2
14
Przekształcenie biegunowe
(r, ϕ)
−→
( x(r, ϕ) , y(r, ϕ) )
x(r, ϕ) = r cos ϕ
y(r, ϕ) = r sin ϕ
Uwaga
Jakobian przekształcenia biegunowego jest równy:
J (r, ϕ) = r
15
Całka podwójna we współrzędnych biegunowych
Twierdzenie
Niech obszar
D
0 dany we współrzędnych biegunowych
będzie regularny oraz niech funkcja
f (x, y)
będzie ciagła na obszarze
D
będącym obrazem
D
0 w przekształceniu biegunowym. Wówczas
Z
D
Z
f (x, y) dxdy =
Z
D
0
Z
f ( r cos ϕ , r sin ϕ ) · r drdϕ.
Przykład
Stosując współrzędne biegunowe oblicz całki podwójne:
a)
R
D
R
ln(x
2
+y
2
)
x
2
+y
2
dxdy
gdzie
D =
(
(x, y) : 1
6 x
2
+ y
2
6 e
2
)
b)
R
D
R
(x
2
+ y
2
) dxdy
gdzie
D
jest obszarem ograniczonym
krzywą
x
2
+ y
2
= 2x
16
Zastosowania geometryczne Całki podwójnej
• Pole obszaru płaskiego:
|D| =
Z
D
Z
dxdy
Przykład
Oblicz pole obszaru ograniczonego liniami:
a)
y
2
= 4 + x,
x + 3y = 0
b)
( x
2
+ y
2
)
2
= a
2
( x
2
− y
2
),
a > 0
• Objętość bryły:
V :
(x, y) ∈ D
h(x, y) 6 z 6 g(x, y)
17
|V| =
Z
D
Z
( g(x, y) − h(x, y) ) dxdy
18
Przykład
Oblicz objętość brył ograniczonych powierzchniami:
a)
z = 0,
y = 1,
y = x
2
,
z = x
2
+ y
2
b)
z = 6 − x
2
− y
2
,
z =
s
x
2
+ y
2
c)
z = 0,
z = 3 − x,
y
2
= 3x
• Pole płata
19
|Σ| =
Z
D
Z
v
u
u
u
u
u
u
u
t
1 +
∂f
∂x
2
+
∂f
∂y
2
dxdy
Przykład
Oblicz pole części powierzchni
z =
1
2
x
2
+ y
2
!
zawartej wewnątrz walca
x
2
+ y
2
= 8
.