Równania ruchu pkt materialnego. Tor pkt materialnego. 
Równania torowe. Prędkość i przyspieszenie pkt 
materialnego. 
Równania ruchu punktu materialnego:

 

współrzędne tego 

punktu podane, jako funkcje czasu- x=x(t). y= y(t). z=z(t) (czas 
jest parametrem).

 

Torem pkt nazywa się linię, po której porusza się pkt w 
przestrzenni. Tor pkt może być linią płaską lub przestrzenną. 
Szczególnym przypadkiem ruchu po torze płaskim jest ruch 
wzdłuż linii prostej. 
Równania torowe: musi być dany tor i musi być dany 
przebieg drogi w czasie przebytym, przez pkt po danym torze. 
S=S(t) 
Prędkość

:

 wielkość wektorowa, która wyznacza szybkość i 

kierunek. Jest ona równa ilorazowi długości przebytej drogi i 
czasu trwania tego ruchu. Podstawową jednostką prędkości jest 
1m/s. Prędkość jest wielkością wektorową, ponieważ dla jej 
określenia oprócz wartości jest niezbędna znajomość jej 
kierunku i zwrotu. 
Przyspieszenie

:

 W chwili t w ruchu pkt po linii prostej jest 

równe pochodnej prędkości względem czasu. Jednostką 
podstawową jest 1m/s

2

, Przyspieszenie jest wielkością 

wektorową. 
 
Ruch stały jednostajnie zmienny pkt materialnego 
prostoliniowy i krzywoliniowy. 
Ruchem jednostajnie zmiennym nazywamy ruch, w którym 
prędkość zmienia się o jednakowe wartości w ciągu 
jednakowych przedziałów czasu, czyli jest to ruch o stałym 
przyspieszeniu lub opóźnieniu. Jeżeli prędkość w chwili t=0 
wynosi V

0

, to prędkość w chwili t wyniesie: V=V

0

+at 

Drogę przebytą w ruchu jednostajnie zmiennym 
przyspieszeniem lub opóźnieniem w czasie t określa zależność 
S=V

0

t±(at

2

/2), znak dodatni oznacza przyspieszenie dodatnie, a 

znak ujemny przyspieszenie ujemne.  
Ruch prostoliniowy-jest szczególnym przypadkiem ruchu 
jednostajnie zmiennego (przy założeniu, że opory 
spowodowane tarciem można pominąć), przy czym stałe 
przyspieszenie jest równe ziemskiemu przyspieszeniu sił 
ciężkości (g=9,81).  
Drogę w ruchu prostoliniowym (ruch jednostajnie 
przyspieszony ciała spadającego lub wyrzucanego w górę). 
h=V

0

t±(gt

2

/2), gdzie + oznacza przysp g dodatnie (ciała 

spadające), - przysp ujemne (ciało wyrzucane górę)  
Ruch krzywoliniowy – po wyrzuceniu ciała z prędkością V

0

 

pod kątem α do poziomu (przy pominięciu oporu powietrza) 
ruch w jego układzie współrzędnych x,y będzie odbywać się 
zgodnie z równaniami: x=V

0

tcosα, y=V

0

tsinα-(gt

2

/2). Max 

wysokość przy α: y

max

=h=(V

0

2

sin2α/2g). Max odległość przy α: 

x

max

=l=(V

0

2

sin2α/g) 

 
Ruch pkt materialnego po okręgu. Prędkość i przysp 
liniowe i kątowe. 
W ruchu jednostajnym pkt po okręgu koła prędkość V, 
nazywana również prędkością obwodową, jest stała natomiast 
kierunek ulega stałej zmianie.  
Droga liniowa mierzona po łuku wynosi: S=Vt. 
Drodze liniowej S odpowiada droga kątowa φ, która zakreśla 
promień wodzący poruszającego się pkt: φ=S/r. 
Prędkością kątową pkt (ω) nazywamy drogę kątową (w rad), 
którą przebywa pkt w jednostce czasu. 
ω=φ/tφ=constV=rφ/t=rω. 
Przyspieszenie ma stałą wartość a

n

=V

2

/r=rω

2

=const i 

zwrócone jest stale ku środkowi koła.  
W ruchu zmiennym po okręgu koła zmienia się wektor 
prędkości V (prędk obwodowa) a przez to również prędk 
kątowa ω. Zależność miedzy prędkością liniową (obwodową) a 
prędkością kątową dotyczy również ruchu zmiennego.  
Przyspieszenie styczne: a

t

=dV/dt=d(rω)/dt=r(dω/dt)= rε 

Przysp kątowe: ε=dω/dt=d

2

φ/dt

2

. 

Przyspieszenie normalne: a

n

=rω

2

=V

2

/r 

Całkowite przyspieszenie pkt: a=√a

t

2

+a

n

2

=r√ε

2

+ω

4

.  

 
Ruch harmoniczny pkt materialnego. 
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu 
nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). 
Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można zawsze 
wyrazić przy pomocy funkcji sin lub cos, Ponieważ f-cje te są 
f-cjami harmonicznymi, przez to ruch periodyczny można 
określić jako ruch harmoniczny. Okresem ruchu 
harmonicznego T jest czas trwania jednego pełnego drgnięcia 
lub cyklu. Jednostką [1s]. Częścią ruchu harmonicznego jest 
liczba drgań (albo cykli) na jednostkę czasu. Częstość jest 
odwrotnością okresu: f=1/T; Jednostką Hz=1/s.  
Położeniem równowagi w ruchu drgającym nazywamy 
położenie, w którym na pkt materialny nie działa siła 
wypadkowa.  
Przemieszczenie (wychylenie liniowe lub kątowe) jest to 
odległość (liniowa lub kątowa) drgającego pkt mat od 
położenia równowagi.  
 
Ruch ciała sztywnego. Równanie ruchu. Liczba stopni 
swobody. Ruch translacyjny i postępowy ciała sztywnego.  
Ruch ciała sztywnego jest jednoznacznie określony przez 
równania ruchu trzech pkt nie leżących na jednej prostej. 
Kinematyczne równanie ruchu to pewna zależność (lub ukł 
zależności), określająca położenie ciała w przestrzeni w funkcji 
czasu: r=r(t).  
Liczba stopni swobody to niezbędna najmniejsza liczba 
parametrów do jednorazowego opisu ruchu obiekty. Pkt 
materialny w przestrzeni-3 st swobody (x,y,z); płaski ruch pkt-
2 st swobody; pkt na trajektorii=1 st swobody; bryła sztywna w 
przestrzeni-6 st swobody.  
Ruchem postępowym ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w 
czasie, którego dowolna linia prosta łącząca dwa pkt ciała 
porusza się do siebie równolegle. 
Wszystkie pkt ciała poruszające się ruchem postępowym 
mają jednakowe tory ruchu i w ciągu tego samego okresu 
przebywają takie same drogi. Prędkość wszystkich punktów 
mają w danej chwili tę samą wartość i ten sam kierunek. 
Ruch translacyjny – szczególny przypadek ruchu 
postępowego w czasie, którego wszystkie pkt ciała poruszają 
się po prostych równoległych. (Ruch 
prostoliniowytranslacja, przesunięcie). 
 
 
 
 
 
 
 

Ruch płaski ciała sztywnego. Chwilowy środek obrotu. 
Prędkość i przyspieszenie ciała sztywnego w ruchu płaskim. 
Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywa się taki ruch, 
podczas którego wszystkie pkt tego ciała poruszają się w 
płaszczyznach równoległych do pewnej stałej płaszczyzny. 
Wszystkie pkt ciała leżące na prostopadłej do tej płaszczyzny 
mają te same tory i prędkości. Każdy ruch płaski można 
uważać za ruch postępowy figury płaskiej z jednoczesnym jej 
obrotem wokół dowolnie wybranego pkt.  
Ruch płaski figury określony równaniem: x

01

=x

01

(t); 

y

01

=y

01

(t); φ=φ(t), gdzie x

01

, y

01

-współrzędne dowolnego pkt 

figury. Φ – kąt obrotu układu ruchomego w stosunku do ukł 
nieruchomego.  
Chwilowy środek obrotu-to punkt, występujący w każdym 
ruchu płaskim (z wyłączeniem ruchu postępowego), którego w 
danej chwili prędkość jest równa zeru. 
Prędkość dowolnego pkt figury w ruchu płaskim można 
znaleźć wykreślnie jako sumę geometryczną prędkości bieguna 
i prędkości w ruchu obrotowym wokół bieguna. Jeżeli jest dana 
prędkość punktu 0, wynosząca V

01

 i prędkość kątowa ω wokół 

tego pkt to prędkość V

m

 pkt M wyniesie: V

m

=V

01

+V

m01

, gdzie 

V

m01

=ω*01m. 

 
Ruch obrotowy ciała sztywnego dookoła osi stałej. 
Dodawanie prędkości obrotowej. 
Ciało sztywne wykonuje ruch obrotowy, jeżeli dwa pkt 
należące do tego ciała są nieruchome. Pkt te określają wówczas 
oś obrotu. Nieruchome są także wszystkie pkt na tej osi.  
Do określenia ruchu obrotowego wokół stałej osi wystarczy 
znać ruch dowolnego pkt ciała nie leżącego na osi obrotu. 
Prędkość ruchu obrotowego ciała określa się przez badanie 
prędkości kątowej ω przy czym w przypadku ogólnym 
prędkość: ω=lim

Δt0

(Δφ/Δt)=(dφ/dt), Δφ-kąt obrotu ciała w 

czasie Δt.  
Przy ruchu obrotowym jednostajnym ω=const. Jeżeli liczba 
obrotów ciała w ciągu minuty wynosi n, to prędkość kątowa: 
ω=φ/t=2Πn/60. 
 
Ruch złożony pkt materialnego. Prędkości i przysp. 
Przyspieszenie Coriolisa. 
Rozpatrując ruchomy ukł, w którym porusza się pkt. Układ 
ten porusza się względem innego układu, który uważamy za 
nieruchomy. Ruch pkt względem układu ruchomego to ruch 
względny, zaś względem układu nieruchomego-ruch 
bezwzględny.  
Ruch pkt związanego sztywno z układem ruchomym 
względem układu nieruchomego nazywa się ruchem unoszenia.  
Prędkość bezwzględna V

b

 jest sumą wektorową prędkości 

względnej V

w

 i prędkości unoszenia V

u

. V

b

=V

w

+V

u

. 

Wartość prędkości bezwzględnej odpowiada długości 
przekątnej równoległoboku zbudowanego na prędkości 
względnej i unoszenia. V

b

=V

w

2

+V

u

2

+2V

w

+V

u

cosα. Α-kąt 

między V

w

 i V

u

. 

Przyspieszenie bezwzględne pkt w ruchu złożonym a

b

 stanowi 

sumę geometryczną trzech przyspieszeń: względnego a

w

, 

unoszenia a

u

 oraz Coriolisa a

c

. a

b

=a

w

+a

u

+a

c

. 

Jeżeli tor względny oraz tor unoszenia są torami 
krzywoliniowymi, odpowiednie przyspieszenia są sumami 
geometrycznymi przysp normalnego i stycznego, a więc: 
a

b

=a

wn

+a

wt

+a

un

+a

nt

+a

c

. 

Przyspieszenie Coriolisa a

c

 występuje w tych przypadkach, 

gdy ruch unoszenia jest ruchem obrotowym. Wektorowo 
przyspieszenie to można wyrazić w postaci podwójnego 
iloczynu wektorowego prędkości względnej V

w

 i prędkości 

kątowej obrotowego ruchu unoszenia ω. a

c

=2ωxV

w

. 

Przyspieszenie Coriolisa jest równe zeru, gdy kierunek ruchu 
względnego jest równoległy do osi obrotu. Jeżeli pkt porusza 
się w płaszczyźnie prostopadłej do osi, przyspieszenie 
Coriolisa wynosi: a

c

=2ωV

w

.