Przedziały ufności
Przykład 1 – duża próba
Waga noworodka ma rozkład normalny o wariancji 0, 25 kg
2
. Zważono 100 noworodków i okazało się, że
średnia waga wyniosła 3,5 kg. Wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej wagi noworodka na
poziomie ufności 95%.
Czyli 1-α = 0,95, n = 100 oraz
kg
s
czyli
kg
s
i
kg
x
5
,
0
=
25
,
0
=
5
,
3
=
2
2
475
,
0
=
2
95
,
0
=
)
(
Φ
α
t
to t
α
odczytane z tablic rozkładu normalnego wynosi 1,95
wstawiamy wszystkie elementy do wzoru
100
5
,
0
95
,
1
+
5
,
3
<
<
100
5
,
0
95
,
1
-
5
,
3
m
po obliczeniach 3,4025 < m < 3,5975
Noworodki ważą średnio od 3,4 kg do 3,6 kg na poziomie ufności 0,95.
Przykład 2 – mała próba
Dwudziestu losowo wybranych pracowników pewnego dużego przedsiębiorstwa sprawdzono pod względem
liczby opuszczonych w ostatnim roku dni pracy. Okazało się, że średnia liczba dni nieobecności wynosi 10,6
dni natomiast odchylenie standardowe jest równe 5,04 dnia.
Wyznaczyć przedział ufności na poziomie ufności 0,95.
Budujemy przedział ufności dla wartości oczekiwanej, używając rozkładu Studenta, bo mała próba n = 20.
Dla α =0,05, z rozkładu Studenta dla n-1 = 19 stopni swobody odczytujemy wielkość 2,093.
dnia
s
i
dni
x
04
,
5
=
6
,
10
=
Podstawiamy do wzoru
19
04
,
5
,093
2
+
0,6
1
<
<
19
04
,
5
,093
2
-
0,6
1
m
po obliczeniach 8,18 < m < 13,02
Można oczekiwać, że liczba opuszczonych dni będzie zawierała się w przedziale od 8 do 13, na poziomie
ufności 0,95
Przykład 3 – duża próba (przedział dla procentu)
Wylosowano 148 ziaren pszenicy i zbadano procent ziaren kiełkujących, wynoszący 70%. Znaleźć 99%
przedział ufności dla procentu.
1-α = 0,99, n = 148 oraz
7
,
0
=
n
X
a także
495
,
0
=
2
99
,
0
=
)
(
Φ
α
t
czyli t
α
= 2,60
Podstawiamy do wzoru
148
0,7)
-
0,7(1
,60
2
+
,7
0
<
<
148
0,7)
-
0,7(1
,60
2
-
,7
0
p
po obliczeniach 0,60 < p < 0,80
Można spodziewać się, ze przeciętnie wykiełkuje od 60 do 80% ziaren z prawdopodobieństwem 0,99.
Minimalna liczebność próby
2
2
2
=
d
σ
t
n
α
(1)
Przykład 1
Należy oszacować średnią liczbę klientów w sklepach województwa dolnośląskiego.
Wyznaczyć jaka powinna być duża próba potrzebna do obliczenia przeciętnej liczby klientów x z błędem
szacunku równym 10 klientów, na poziomie istotności 0,05 (poziom ufności 0,95).
Ponieważ nie znane jest
σ
należy wyznaczyć s, z próby pilotażowej.
Wylosowana wstępna próbka liczy n
0
=10 sklepów.
Liczbę klientów w wylosowanych sklepach zawarto w tabeli poniżej
Tabela 1. Liczba klientów w badanych sklepach
Nr sklepu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
suma
liczba klientów w sklepie
300 200 300 400 100 500 600 400 300 200
3300
Źródło: dane umowne.
Średnia liczba klientów w sklepie wynosi 330. Wariancja jest równa 141,772 = 22333,33.
Z tablic Studenta dla n – 1 = 9 stopni swobody i
α
= 0,05 odczytujemy t = 2,262.
Stąd
7
,
1142
=
10
77
,
141
262
,
2
=
2
2
2
n
. Ponieważ n = 1143 > 10 = n
0
to oprócz 10 sklepów już wylosowanych
należy jeszcze wylosować 1133 sklepy.
Przykład 2
Należy oszacować średni ubytek masy warzyw (w gramach) w wyniku przetrzymywania ich na półkach
sklepowych. Wyznaczyć ile należy przeprowadzić doświadczeń, aby na poziomie istotności
α
= 0,05 oszacować średnią masę ubytku z błędem maksymalnym 0,01 grama, jeśli próba wstępna o
liczebności n
0
= 5 dała następujące wyniki (w g): 2.10; 2,12; 2,12, 2,16; 2,10.
Średnia masa ubytku wynosi x
=
=
10 6
5
2 12
,
,
[g], oraz s
2
0 0024
5 1
0 0006
=
−
=
,
,
[g
2
].
Dla 4 stopni swobody i dla
α
= 0,05 wartość
α
t
= 2,776 zatem
47
38
,
46
01
,
0
0006
,
0
776
,
2
2
2
≈
=
=
n
. Ponieważ n
= 47 > 5 = n
0
należy dolosować jeszcze 42 pomiary ubytku masy warzyw.
Przykład 3
Na poziomie istotności 0,05 (współczynnik ufności 0,95) oraz z błędem nie przekraczającym 10 gramów
należy oszacować średnią wagę sprzedawanych siatek z jabłkami, jeśli wiadomo z uprzednio dokonanych
badań, że odchylenie standardowe wagi siatki jabłek wynosi 45 gramów. Ile należy wylosować siatek?
Minimalna wielkość próby obliczona na podstawie wzoru (1) wynosi:
78
=
10
45
96
,
1
=
=
2
2
2
2
2
2
d
σ
t
n
α
. Zatem do próby należy wylosować nie mniej niż 78 siatek jabłek.
Przykład 4
Zbadać ilu należy wylosować do próby studentów pewnej uczelni, aby oszacować procent studentów tej
uczelni palących papierosy, z maksymalnym błędem 5% oraz na poziomie ufności1−
α
= 0,90. Przypuszcza
się, że szacowana frakcja palących studentów jest rzędu 70%.
Ten przykład dotyczy ustalania wielkości próby dla wskaźnika struktury (frakcji, odsetka, procentu,
prawdopodobieństwa sukcesu), gdzie
p − jest frakcją elementów wyróżnionych w populacji (tu palących
studentów).
W przykładzie tym znany jest spodziewany rząd wielkości szacowanej frakcji p (70%). Niezbędną
liczebność próby potrzebną do oszacowania parametru p (tak by przy współczynniku ufności 1−
α
maksymalny błąd szacunku wskaźnika struktury p nie przekroczył danej z góry liczby d) ustalamy według
wzoru:
2
2
=
d
pq
t
n
α
(2)
gdzie p − spodziewany rząd wielkości szacowanej frakcji, wyrażony jako ułamek właściwy.
W naszym przykładzie p = 0,7. Wielkość q = 1− p = 0,3. Natomiast dopuszczalny maksymalny błąd
szacunku frakcji p, wyrażony jako ułamek właściwy d = 5% = 0,05. Wartość
α
t
odczytana z tablic rozkładu
normalnego N(0; 1) dla współczynnika ufności 1−
α
jest równa 1,64.
Wyznaczona próba ma więc liczebność
226
0025
,
0
5648
,
0
05
,
0
3
,
0
7
,
0
64
,
1
2
2
≈
=
⋅
⋅
=
n
.
Należy zatem wylosować 226 studentów.
Jeśli nie jest znany rząd wielkości szacowanego parametru p wtedy zakłada się, że
p = q =
1
2
a wzór (2) przybiera następującą postać:
2
2
4
=
d
t
n
α
(3)
Przykład 5
Jaka powinna być minimalna liczebność próby niezbędna do oszacowania odsetka zakładów, które wydają
na reklamę kwartalnie nie więcej niż 10 tys. zł z maksymalnym błędem szacunku równym 2%, na poziomie
ufności 1−
α
= 0,99.
W zadaniu nie ma żadnych informacji o rzędzie wielkości szacowanego procentu.
Zatem
Φ
(
)
,
,
,
t
t
α
α
=
=
⇒
=
0 99
2
0 495
2 6 (z tablic rozkładu normalnego)
stąd:
4225
02
,
0
4
6
,
2
2
2
=
⋅
=
n
Należy wylosować 4225 zakładów.