METODY UŚREDNIANIA
W RACHUNKU DYSKONTA
Agnieszka Kaczmarek
Agnieszka Kaczmarek
METODY UŚREDNIANIA
W RACHUNKU DYSKONTA
Agnieszka Kaczmarek
Agnieszka Kaczmarek
Dyskontowanie proste
i sumy dyskontowe
Dyskontowanie proste i liczenie sum
dyskontowych wykorzystywane jest
w celu przeliczania rozłożonych w
2
w celu przeliczania rozłożonych w
czasie strumieni pieniężnych na jeden
moment czasowy. Efektem tych
operacji jest uzyskanie jednego
strumienia pieniężnego przypisanego
do wybranego momentu czasowego.
Efekt dyskontowania
3
Cel uśredniania
Uśrednianie w rachunku dyskonta
wykorzystuje się w celu rozłożenia
skupionego strumienia pieniężnego
na lata z wybranego okresu i uzyskanie
4
na lata z wybranego okresu i uzyskanie
strumieni pieniężnych obciążających
jednakowo wszystkie lata.
Cel uśredniania
• Warunkiem poprawności operacji
uśrednienia jest uzyskanie
równoważności strumieni w sensie
równoważności strumieni w sensie
rachunku dyskonta.
5
Warunek równoważności
Sumy dyskontowe strumieni pieniężnych:
uśrednianych i uśrednionych policzone na
wybrany (dowolny) moment czasowy muszą
być jednakowe!
6
być jednakowe!
pieniezne
strumienie
e)
(równowazn
usrednione
-
pieniezne
strumienie
usredniane
-
:
)
1
(
)
1
(
0
0
e
t
M
t
t
e
M
t
t
t
d
K
K
gdzie
p
K
p
K
K
∑
∑
=
−
=
−
+
=
+
=
Uśrednienie pojedynczego strumienia
Okres uśrednienia (T lat)
K
d
7
0
1
2
T
K
e
K
e
K
e
K
e
dyskontowanie
uśrednianie
Uśrednienie pojedynczego
strumienia - zależności
p
K
p
K
K
p
K
K
T
t
t
e
t
T
t
e
d
t
T
t
e
d
+
=
+
=
+
=
=
−
−
=
−
=
∑
∑
∑
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
8
r
K
p
p
p
K
p
p
p
K
p
p
p
p
p
K
p
p
p
K
p
K
K
d
T
T
d
T
T
d
T
T
d
T
d
T
t
t
d
e
t
t
=
+
−
+
=
−
+
+
−
+
=
+
−
+
+
−
+
+
=
=
+
−
+
−
+
=
+
=
−
−
−
=
−
=
=
∑
)
1
(
1
)
1
(
]
1
)
1
[(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
1
Uśrednienie pojedyńczego
strumienia – zależności (cd.)
)
1
(
1
)
1
(
=
+
−
+
=
d
T
T
d
e
r
K
p
p
p
K
K
9
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
−
+
+
=
=
−
+
+
=
+
−
+
=
+
T
T
d
e
T
T
T
T
p
p
p
r
r
K
K
p
p
p
p
p
p
r
p
p
Współczynnik uśredniający
Współczynnik uśredniający na lata kolejne
(okres przyszły):
)
1
(
p
p
r
T
+
=
10
cy
usredniaja
nik
wspólczyn
-
a
usredniani
okres
-
dyskonta
stopa
-
:
1
)
1
(
)
1
(
r
T
p
gdzie
p
p
p
r
T
−
+
+
=
Uśrednienie pojedyńczego
strumienia - zastosowania
• Liczenie rat kredytu przy jednakowych
spłatach („metoda anniuitetowa” lub
„metoda równych spłat”)
11
„metoda równych spłat”)
• Obliczanie średnich (równoważnych)
obciążeń rocznych kosztami
poniesionymi jednorazowo
Obliczanie średnich (równoważnych)
obciążeń rocznych kosztami poniesionymi
jednorazowo
Okres uśrednienia (T lat)
K
d
dyskontowanie
K
t
12
0
1
2
T
K
e
K
e
K
e
K
e
dyskontowanie
uśrednianie
K
t
Obliczanie średnich (równoważnych) obciążeń
rocznych kosztami poniesionymi jednorazowo
)
1
(
+
=
−t
t
d
p
K
K
Zależności:
13
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
−
+
+
=
+
=
=
+
=
−
T
T
t
t
d
e
t
d
p
p
p
r
p
rK
rK
K
p
K
K
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
Znalezienie średnich (równoważnych)
strumieni pieniężnych, jednakowo
obciążających lata od 1 do T, które
14
obciążających lata od 1 do T, które
będą równoważne (w sensie rachunku
dyskonta) rzeczywistym strumieniom
pieniężnym zmiennym w tym samym
okresie.
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
Okres uśrednienia (T lat)
15
0
1
2
T
K
e
uśrednianie
K
t
Uśrednianie zmiennych w czasie
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
przepływów pieniężnych w okresie T
Okres uśrednienia (T lat)
K
d
dyskontowanie na „rok 0”
16
0
1
2
T
K
e
K
t
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
Okres uśrednienia (T lat)
K
d
dyskontowanie
17
dyskontowanie
0
1
2
T
K
e
K
t
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
)
1
(
1
+
=
∑
=
−
T
t
t
t
d
p
K
K
Zależności:
18
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
−
+
+
=
+
=
=
∑
=
−
=
T
T
T
t
t
t
d
e
t
p
p
p
r
p
K
r
rK
K
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
(dyskonto na rok ostatni)
Okres uśrednienia (T lat)
K’
d
dyskontowanie na „rok T”
19
0
1
2
T
K
e
K
t
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
(dyskonto na rok ostatni)
Okres uśrednienia (T lat)
K’
d
dyskontowanie na „rok T”
20
0
1
2
T
K
e
K
t
dyskontowanie
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
(dyskonto na rok ostatni) - zależności
T
t
t
T
e
t
T
T
t
e
d
t
T
T
t
t
d
t
T
T
t
e
d
p
K
p
K
K
p
K
K
p
K
K
+
=
+
=
′
+
=
′
+
=
′
=
−
−
=
−
=
−
=
∑
∑
∑
∑
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
21
r
d
T
d
T
d
T
T
T
d
T
T
d
T
t
t
T
d
T
t
t
T
d
e
t
t
a
K
p
p
K
p
p
K
p
p
p
p
p
p
K
p
p
p
p
K
p
p
K
p
K
K
′
=
−
+
′
=
−
+
−
+
′
=
+
−
+
+
−
+
+
+
′
=
=
+
−
+
−
+
+
′
=
+
+
′
=
+
′
=
−
−
−
=
−
=
−
=
=
∑
∑
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
1
1
1
1
1
1
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
(dyskonto na rok ostatni) – zależności (cd.)
1
)
1
(
′
=
−
+
′
=
r
d
T
d
e
a
K
p
p
K
K
22
1
)
1
(
1
)
1
(
1
)
1
(
1
−
+
=
′
=
−
+
=
−
+
=
T
r
r
d
e
T
T
r
p
p
a
a
K
K
p
p
p
p
a
p
p
a
=
Współczynnik uśredniający przy
dyskoncie na rok ostatni
Współczynnik uśredniający na lata
poprzedzające (dyskonto na rok ostatni):
23
ostatni
rok
na
dyskoncie
przy
cy
usredniaja
nik
wspólczyn
-
a
usredniani
okres
-
dyskonta
stopa
-
:
1
)
1
(
r
r
a
T
p
gdzie
p
a
T
−
+
=
Uśrednianie zmiennych w czasie
przepływów pieniężnych w okresie T
- zastosowania
• Uśrednianie zmiennych w czasie kosztów
eksploatacyjnych
• Uśrednianie przychodów
• Uśrednianie zysków
24
• Uśrednianie zysków
• Uśrednianie efektów rocznych (wyrażanych w
jednostkach niepieniężnych)
• Obliczanie średnich kosztów jednostkowych
(po wcześniejszym uśrednieniu kosztów i
efektów)
• Wyznaczanie średniej ceny w okresie
wieloletnim
Tabela współczynników
uśredniających
5%
5%
10%
10%
r
ar
r
ar
1
1,05000
1,00000
1,10000
1,00000
2
0,53780
0,48780
0,57619
0,47619
25
2
0,53780
0,48780
0,57619
0,47619
3
0,36721
0,31721
0,40211
0,30211
4
0,28201
0,23201
0,31547
0,21547
5
0,23097
0,18097
0,26380
0,16380
10
0,12950
0,07950
0,16275
0,06275
15
0,09634
0,04634
0,13147
0,03147
20
0,08024
0,03024
0,11746
0,01746
30
0,06505
0,01505
0,10608
0,00608
Zależność między
współczynnikami uśredniającymi
r
p
a
r
+
=
26
T
r
r
p
a
r
p
a
r
)
1
(
+
=
+
=
Podsumowanie
Uśrednienie „na okres przyszły”
Okres uśrednienia (T lat)
K
d
27
0
1
2
T
K
e
K
e
K
e
K
e
Uśrednianie „współczynnik r”
1
)
1
(
)
1
(
−
+
+
=
=
T
T
d
e
p
p
p
r
rK
K
Podsumowanie
Uśrednienie „na okres wcześniejszy”
Okres uśrednienia (T lat)
K’
d
28
0
1
2
T
K
e
K
e
K
e
K
e
Uśrednianie „współczynnik a
r
”
1
)
1
(
−
+
=
′
=
T
r
d
r
e
p
p
a
K
a
K