2.2.

 

Funkcja ciągła w zbiorze – ujęcie poglądowe 

 
Otoczeniem liczby (punktu) x o promieniu r ( r > 0) nazywamy przedział (x – r, x + r). 

Piszemy U(x, r). Mówimy równieŜ, Ŝe liczby tego otoczenia są bliskie x z dokładnością do r.  

                                

 

   Przykłady 

        a) 

)

1

;

3

(

−

U

= ( 

−

 4, 

−

 2) ;              b)   

)

01

,

0

;

4

,

3

(

U

= (3,39 ; 3,41), (zob. rys.);  

                             

 

  

RozwaŜmy funkcję liczbową f o dziedzinie D

f

 i wartościach w zbiorze Z, czyli  

f: D

f

 

→

 Z;  niech otoczenie argumentu (punktu) a zawiera się w jej dziedzinie. 

Wykresy tego rodzaju funkcji przedstawiają rysunki; punkt o współrzędnych (a, f(a) ) 

zaznaczony na czerwono zaliczamy równieŜ do wykresu tej funkcji. 

a

f(a)

a

x

y

a

f(a)

a

x

y

a

f(a)

a

x

y

a

f(a)

x

y

Rys. a) 

Rys. c) 

Rys. d) 

Rys. b) 

 

        Tylko funkcja f, której wykres przedstawia rysunek c) ma własność, którą moŜna 

obrazowo wyrazić następująco:  

•

 

„mała” zmiana argumentu a niesie ze sobą „małą” zmianę wartości  f(a) lub teŜ:  

•

 

wartości funkcji dla argumentów „bliskich” a są równieŜ „bliskie” f(a) albo teŜ: 

3,4 

3,39 

3,41 

•

 

w małym otoczeniu argumentu a funkcja przybiera wartości bliskie f(a), 

•

 

w małym otoczeniu punktu (a, f(a)) wykres tej funkcji moŜna „narysować bez 

odrywania ołówka od papieru”. 

Mówimy wtedy, Ŝe funkcja liczbowa, której wykres przedstawia rys. c) jest ciągła w 

punkcie a.  

Inne punkty dziedziny kaŜdej z tych funkcji róŜne od a równieŜ mają tę własność. Są 

więc ciągłe w tych punktach. 

O funkcjach, których wykresy przedstawiają rysunki a), b), d) mówimy, Ŝe nie są ciągłe 

w punkcie a. Punkt a nazywamy punktem nieciągłości funkcji. 

 
RozwaŜamy funkcję f, której wykres przedstawia rysunek: 
 

 

 
Funkcja ta jest nieciągła w punkcie a. By to uzasadnić – poglądowo – rozumujemy tak: 
 
Jakkolwiek byśmy nie wybrali liczb 

bliskich argumentowi a (na rysunku 

zaznaczono je kolorem niebieskim), 

to ich obrazy poprzez funkcję f nie 

będą liczbami bliskimi wartości f(a) 

- na rysunku liczby te przedstawia 

przedział zaznaczony kolorem 

czerwonym.  

a

f(a)

x

y

 

 
 
 

 

 

Definicja 

   Funkcję ciągłą w kaŜdym punkcie podzbioru A dziedziny D

f

 funkcji liczbowej f  nazywamy 

funkcją ciągłą w zbiorze A.  W szczególnym przypadku zbiór A moŜe być przedziałem 

(otwartym, domkniętym). 

 

Przykład 

         Funkcje f  i g określamy następująco:  

        f(x) =  







=

≠

+

2

3

2

1

2

x

dla

x

dla

x

,   g(x) =  







=

≠

−

0

0

0

1

x

dla

x

dla

x

. Dziedziną kaŜdej z nich jest zbiór R. 

        Ich wykresy przedstawia rysunek. 

x

y

0

2

1

3

5

y = 2x+1

        

 

RóŜnice między tymi funkcjami są istotne.  

•

 

W przypadku funkcji f mamy do czynienia z tzw. nieciągłością usuwalną. Wystarczy w 

tym celu zdefiniować nową funkcję f* określoną wzorem f*(x) = 2x + 1. Obie funkcje f 

i f* mają równe wartości w kaŜdym punkcie poza punktem x = 2. Przy czym funkcja f* 

jest funkcją ciągłą.  

•

 

W przypadku funkcji g mamy do czynienia z nieciągłością nieusuwalną. Nie istnieje 

funkcja ciągła g*, która w kaŜdym punkcie miałaby wartości równe wartościom funkcji 

g. Mówiąc obrazowo Ŝadne  „poprawianie” w punkcie 0 nie uczyni z funkcji g funkcji 

ciągłej.