202
MATEMATYKA
ROZDZIAŁ VI
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
I. Wprowadzenie
Dotychczas rozpatrywaliśmy funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej tj. takie
funkcje, których dziedzina i zbiór wartości były podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych.
W praktyce funkcje jednej zmiennej nie zawsze wystarczają do opisu wielu zjawisk w
przyrodzie, ekonomii , fizyce itp. Zjawiska te dają się opisać tylko za pomocą większej
liczby zmiennych. Zdarza się często, że zmiennych niezależnych jest kilka i dla obliczenia
wartości funkcji musimy ustalić wartości przyjmowane przez wszystkie zmienne łącznie
W naszych rozważaniach ograniczymy się do funkcji dwóch zmiennych. Większość, bowiem
pojęć zdefiniowanych dla funkcji dwóch zmiennych przenosi się w sposób analogiczny dla
funkcji o większej liczbie zmiennych.
Przykład 1.
Dany jest prostokąt o długościach boków ,
,
0 ,
0.
x y
x
y
>
>
Wówczas jego pole
,
P
xy
=
a więc jest funkcją dwóch zmiennych
x
i y .
Przykład 2.
Funkcja produkcji Cobba – Douglasa jest to funkcja postaci:
(
)
,
,
, ,
0
Y
Y K L
AK L
A
α β
=
=
α β >
,
gdzie: Y
−
wielkość produkcji, K
−
wartość kapitału, L
−
zatrudnienie (kapitał ludzki),
A
−
stała dodatnia.
Jest więc funkcją dwóch zmiennych K oraz L .
Parametr
α
jest tzw. elastycznością produkcji względem kapitału, a parametr
β
elastycznością produkcji względem zatrudnienia.
Do tego przykładu powrócimy w dalszych częściach wykładu.
Przykład 3.
Napięcie i prądu w oporniku o oporności R jest według
prawa Ohma funkcją napięcia
u
,
przyłożonego do zacisków tego opornika, oraz oporności
R tj.
( )
,
u
i
f u R
R
=
=
.
203
II. Zbiory na płaszczyźnie
Definicja 1. (płaszczyzna)
Przestrzenią dwuwymiarową (płaszczyzną) nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowa-
nych
( )
,
x y
, gdzie ,
x y
R
∈
. Przestrzeń tę oznaczamy przez
2
R ;
( )
{
}
2
,
: ,
def
R
x y
x y
R
=
∈
.
Elementy
( )
,
x y
tego zbioru nazywamy punktami płaszczyzny i oznaczamy:
( )
,
P
x y
=
.
Liczby ,
x y
nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi.
Rys.1 Płaszczyzna
Definicja 2. (odległość punktów)
Odległość punktów
1
2
,
P
P
płaszczyzny nazywamy liczbę
1 2
P P
określoną wzorem:
2
2
1 2
2
1
2
1
(
)
(
)
def
P P
x
x
y
y
=
−
+
−
,
gdzie
(
)
1
1
1
,
P
x y
=
,
(
)
2
2
2
,
P
x y
=
.
Przykład 4.
Obliczyć odległość punktów płaszczyzny :
( )
1
1, 2
P
=
,
( )
2
4, 6
P
=
.
Rozwiązanie:
2
2
1 2
(4 1)
(6 2)
9 16
5
P P
=
−
+ −
=
+
=
.
Podstawowe pojęcia topologiczne płaszczyzny
Definicja 3. (otoczenie punktu)
Otoczeniem o promieniu
0
r
>
punktu
0
P na płaszczyźnie nazywamy zbiór:
(
)
{
}
2
0
0
,
:
def
O P r
P
R
P P
r
=
∈
<
.
Uwaga.
Otoczeniem punktu na płaszczyźnie jest koło otwarte o środku w tym punkcie i promieniu
długości r .
204
Rys.2 Otoczenie o promieniu r punktu
0
P na płaszczyźnie
Definicja 4. (sąsiedztwo punktu)
Sąsiedztwem o promieniu
0
r
>
punktu
0
P na płaszczyźnie nazywamy zbiór:
(
)
{
}
2
0
0
,
: 0
def
S P r
P
R
P P
r
=
∈
<
<
=
(
) { }
0
0
,
\
O P r
P
.
Uwaga.
Sąsiedztwem punktu na płaszczyźnie jest koło otwarte bez środka.
Jeżeli promień sąsiedztwa nie będzie istotny w rozważaniach, to zbiór
(
)
0
,
S P r
będziemy
oznaczali krótko
( )
0
S P
.
Rys.3 Sąsiedztwo o promieniu r punktu
0
P na płaszczyźnie
Definicja 5. (zbiór ograniczony i nieograniczony)
Zbiór A jest ograniczony, jeżeli jest zawarty w pewnym otoczeniu pewnego punktu, tzn.
istnieje taki punkt
0
P
oraz liczba dodatnia r , dla których zachodzi warunek:
(
)
0
,
A
O P r
⊂
.
W przeciwnym przypadku mówimy, że zbiór A jest nieograniczony.
Rys.4 Zbiór A jest ograniczony . Rys.5 Zbiór A jest nieograniczony.
Definicja 6. ( punkt wewnętrzny zbioru, wnętrze zbioru)
Punkt P jest punktem wewnętrznym zbioru A , jeżeli istnieje otoczenie tego punktu
zawarte w tym zbiorze, tzn. istnieje liczba
0
r
>
, dla której zachodzi warunek;
205
(
)
0
,
O P r
A
⊂
.
Wnętrzem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów wewnętrznych.
Rys.6 P jest punktem wewnętnym zbioru A . Rys.7 Zbiór punktów wewnętrznych zbioru A .
Definicja 7. (zbiór otwarty)
Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest jego punktem wewnętrznym.
Rys.8 Zbiór A jest otwarty na płaszczyźnie
Definicja 8. (punkt brzegowy zbioru, brzeg zbioru)
Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A , jeżeli w każdym otoczeniu tego punktu istnieją
punkty należące i punkty nie należące do tego zbioru, tzn. dla każdej liczby
0
r
>
zachodzi
warunek:
( )
,
O P r
A
∩ ≠ ∅
oraz
( )
,
O P r
A
′
∩ ≠ ∅
,
gdzie A
′
jest dopełnieniem zbioru A .
Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych.
Rys.9 Punkt brzegowy zbioru Rys.10 Brzeg zbioru
Definicja 9. (punkt skupienia zbioru)
206
P
jest punktem skupienia zbioru A , jeżeli w każdym sąsiedztwie tego punktu istnieją
punkty należące do zbioru A tzn. dla każdej liczby
0
r
>
zachodzi warunek:
( )
,
S P r
A
∩ ≠ ∅
.
Rys.11 P jest punktem skupienia zbioru A. Rys. 12 P nie jest punktem
skupienia zbioru A.
Uwaga.
Punkty wewnętrzne i brzegowe obszaru są jego punktami skupienia.
Jeżeli punkt P
A
∈
i nie jest punktem skupienia zbioru A to nazywamy go
punktem
izolowanym.
Definicja 10. (zbiór domknięty)
Zbiór jest
domknięty, jeżeli zawiera swój brzeg.
Uwaga.
1. Dopełnienie zbioru otwartego jest zbiorem domkniętym i na odwrót: dopełnienie zbioru
domkniętego jest zbiorem otwartym.
2. Suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym.
3. Iloczyn dowolnej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym lub pustym.
Każdy punkt
P płaszczyzny może mieć względem zbioru A trojakie położenie: jest
punktem
a)
wewnętrznym zbioru, gdy należy do A wraz z pewnym jego otoczeniem,
b)
zewnętrznym, gdy wraz z pewnym otoczeniem nie należy do A ,
c)
brzegowym, gdy nie jest ani punktem wewnętrznym, ani zewnętrznym.
Definicja 11. (obszar, obszar domknięty)
Niepusty podzbiór płaszczyzny jest
obszarem, jeżeli:
1. jest otwarty,
2. każde dwa punkty zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą.
Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.
207
Rys. 13 Zbiór A jest obszarem domkniętym Rys.14 Zbiór B nie jest obszarem
III. Funkcje dwóch zmiennych
Definicja 12. (funkcja dwóch zmiennych)
Funkcją f dwóch zmiennych określoną na zbiorze
2
A
R
⊂
o wartościach w R nazywamy
przyporządkowanie każdemu punktowi
( )
,
x y
ze zbioru A dokładnie jednej liczby
rzeczywistej z
R
∈
.
Funkcję taką oznaczamy następująco:
:
f A
R
→
lub
( )
,
z
f x y
=
, gdzie
( )
,
x y
A
∈
.
Wartość funkcji f w punkcie
( )
,
P
x y
=
oznaczamy przez
( )
,
f x y
.
Uwaga.
Funkcję dwóch zmiennych oznacza się również symbolem
( )
z
f P
=
, P
A
∈
.
Rys.15 Ilustracja do definicji funkcji dwóch zmiennych
Przykład 5.
a)
( )
2
2
,
3
4
5
f x y
x
xy
y
=
+
+
−
; b)
( )
2
2
2
4
,
x
y
g x y
x
y
+
=
−
; c)
( )
2
2
,
4
h x y
x
y
=
− −
.
Definicja 13. (dziedzina naturalna)
Niech funkcja f będzie określona wzorem
( )
( )
,
z
f x y
f P
=
=
.
Dziedziną naturalną
funkcji f nazywamy zbiór tych wszystkich punktów płaszczyzny, dla których napisany wzór
ma sens liczbowy i oznaczamy go symbolem
f
D .
Przykład 6.
Dla funkcji określonych w przykładzie 3 wyznaczyć ich dziedziny naturalne.
Rozwiązanie:
a) Funkcja
f jako wielomian dwóch zmiennych jest określona dla wszystkich punktów
płaszczyzny. Zatem
2
f
D
R
=
.
b) Funkcja
g jest funkcją wymierną i jest określona dla wszystkich punktów płaszczyzny,
dla których
2
2
0
x
y
−
≠
. Warunek ten jest równoważny warunkowi
x
y
≠
. Zatem
( )
{
}
2
,
:
g
D
x y
R
x
y
=
∈
≠
.
208
c) Wyrażenie
2
2
4
x
y
− −
ma sens liczbowy dla tych punktów, których współrzędne
spełniają warunek :
2
2
4
0
x
y
− −
≥
. Jest on równoważny nierówności
2
2
4
x
y
+
≤
, która
przedstawia koło domknięte o środku
( )
0, 0
i promieniu długości 2 . Tak więc
( )
{
}
2
2
2
,
:
4
h
D
x y
R
x
y
=
∈
+
≤
Rys.16 Dziedzina funkcji
( )
2
2
,
4
h x y
x
y
=
− −
Zadanie 1.
Dla podanych funkcji wyznaczyć ich dziedziny naturalne.
a)
( )
3
2
2
,
3
4
5
7
f x y
x
x y
xy
xy
= +
+
−
+
; b)
( )
2
2
2
4
,
9
x
y
g x y
x
y
+
=
−
; c)
( )
2
2
2
3
,
1
x
y
h x y
x
y
+
=
+
−
.
Odpowiedzi:
a)
2
f
D
R
=
. b)
( )
{
}
2
,
:3
g
D
x y
R
x
y
=
∈
≠
. c)
( )
{
}
2
2
2
,
:
1
h
D
x y
R
x
y
=
∈
+
>
,
jest to zewnętrze (dopełnienie) koła domkniętego o środku w punkcie
( )
0, 0
i promieniu
długości 1.
Definicja 14. (przestrzeń trójwymiarowa)
Przestrzenią trójwymiarową (przestrzenią) nazywamy zbiór wszystkich trójek
uporządkowanych
(
)
, ,
x y z
, gdzie , ,
x y z
R
∈
. Przestrzeń tą oznaczamy przez
3
R ;
(
)
{
}
3
, ,
: , ,
def
R
x y z
x y z
R
=
∈
.
Elementy
(
)
, ,
x y z
tego zbioru nazywamy punktami przestrzeni i oznaczamy:
(
)
, ,
Q
x y z
=
.
Liczby , ,
x y z
nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi tego punktu.
209
Rys.17 Przestrzeń
Definicja 15. (wykres i poziomica funkcji dwu zmiennych)
Wykresem funkcji f dwu zmiennych nazywamy zbiór:
(
)
( )
{
}
, ,
: ( , )
,
f
x y z
x y
D
z
f x y
∈
∧ =
.
Uwaga.
Wykresem funkcji f jest pewna powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej „rozpięta” nad
zbiorem
2
f
D
R
⊂
, składająca się z punktów
(
)
3
, ,
Q x y z
R
∈
, gdzie
( )
,
x y
należy do
dziedziny
f
D
, a z jest wartością tej funkcji w punkcie
( )
,
x y
tj.
( )
,
z
f x y
=
.
Rys.18 Wykres funkcji dwóch zmiennych Rys. 19 Poziomica wykresu funkcji f
określonych na zbiorze A. odpowiadająca poziomowi h.
Poziomicą (warstwicą) wykresu funkcji f odpowiadającą poziomowi h
R
∈
nazywamy
zbiór:
( )
{
}
( , )
:
,
f
x y
D
f x y
h
∈
=
.
Uwaga.
Poziomica jest więc rzutem prostokątnym krzywej będącej przecięciem płaszczyzny
równoległej do płaszczyzny X0Y
(
)
z
h
=
z powierzchnią będącą wykresem funkcji f .
Przykład 7.
Znaleźć poziomice wykresów podanych funkcji i narysować kilka z nich na płaszczyźnie:
a)
( )
2
2
,
2
f x y
x
y
= − −
; b)
( )
2
2
1
,
1
f x y
x
y
=
+ +
.
Rozwiązanie:
a) Poziomicami tej funkcji na poziomie
c
są zbiory
( )
(
)
{
}
2
2
2
,
: 2
x y
R
x
y
c
∈
−
+
=
, gdzie
2
c
≤
. Są to okręgi o środku w początku układu i promieniu długości
2
,
2
r
c
c
=
−
≤
.
210
Na rysunku widoczne są poziomice odpowiadające poziomom
2,
0 ,
2
c
c
c
=
=
= −
oraz wykres funkcji.
b) Poziomicami tej funkcji na poziomie
c
są zbiory
( )
2
2
2
1
,
:
1
x y
R
c
x
y
∈
=
+ +
, gdzie
0.
c
>
Po przekształceniu otrzymujemy równanie:
2
2
1
1
x
y
c
+
= −
. Są to okręgi o środku w
początku układu i promieniu długości
1
1
r
c
=
−
, gdzie 0
1
c
< ≤
.
Na rysunku widoczne są poziomice odpowiadające poziomom
1
1
1,
,
2
5
c
c
c
=
=
=
oraz
fragmenty wykresu tej funkcji dla
0,
0.
x
y
≥
≥
Zadanie 2.
Znaleźć poziomice wykresów podanych funkcji i narysować kilka z nich na płaszczyźnie:
a)
( )
2
2
,
1
f x y
x
y
=
+
−
; b)
( )
1
,
2
f x y
x
y
=
− +
.
Odpowiedzi.
a) Poziomicami tej funkcji na poziomie
c
są zbiory
( )
{
}
2
2
2
,
:
1
x y
R
x
y
c
∈
+
− =
.
Są to okręgi o środku w początku układu i promieniu długości
1
,
1
r
c
c
=
+
≥ −
.
Zaznaczyć na rysunku poziomice odpowiadające np. poziomom
1,
0 ,
3.
c
c
c
= −
=
=
b) Dziedziną jest zbiór
( )
{
}
2
,
: 2
0
f
D
x y
R
x
y
=
∈
− + ≠
.
Poziomicami tej funkcji na poziomie
c
są zbiory
( )
2
1
,
:
2
x y
R
c
x
y
∈
=
− +
, gdzie
211
0.
c
≠
Po przekształceniu otrzymujemy równanie:
1
2
y
x
c
= + −
. Są to proste na
płaszczyźnie. Narysować kilka z nich np. dla
1
1
1,
,
.
2
3
c
c
c
= −
=
=
Wykresy ważniejszych funkcji dwu zmiennych.
1. Wykresem funkcji z
Ax
By C
=
+
+
jest płaszczyzna, o wektorze
(
)
,
,1
n
A
B
= − −
prostopadłym do tej płaszczyzny, która przechodzi przez punkt
(
)
0, 0,C
.
2. Wykresem funkcji
(
)
2
2
z
a x
y
=
+
jest paraboloida obrotowa, tj. powierzchnia powstała z
obroty paraboli
2
z
ax
=
wokół osi
0z.
3. Wykresem funkcji
(
)
2
2
2
z
R
x
y
=
−
+
jest górna półsfera o środku w początku układu
współrzędnych i promieniu długości R .
4. Wykresem funkcji
2
2
z
k x
y
=
+
jest stożek, tj. powierzchnia powastała z obrotu
półprostej
,
0
z
kx y
=
=
dla
0
x
≥
wokół osi 0z.
212
IV. Granica funkcji
Definicja 16. (ciąg punktów na płaszczyźnie)
Ciągiem punktów na płaszczyźnie nazywamy jednoznaczne przyporządkowanie każdej
liczbie naturalnej punktu płaszczyzny
2
R .
n
−
ty wyraz tego ciągu oznaczamy przez
(
)
,
n
n
n
P
x
y
=
, a taki ciąg symbolem
( )
n
P
lub
(
)
(
,
)
n
n
x y
.
Przykład 8.
a)
(
)
2
1
1
,
n
n
n
n
P
+
=
; b)
(
)
2
1
1
,
n
n
n
n
P
+
=
; c)
(
)
1
(
) ,
n
n
n
n
n
P
n
+
=
; d)
(
)
2 , 3
n
n
n
P
=
.
Definicja 16. (granica właściwa ciągu punktów)
Ciąg
( ) (
)
(
,
)
n
n
n
P
x y
=
punktów płaszczyzny jest zbieżny do punktu
(
)
0
0
0
,
P
x y
=
, co
zapisujemy
0
lim
n
n
P
P
→∞
=
lub
(
) (
)
0
0
lim
,
,
n
n
n
x y
x y
→∞
=
, wtedy i tylko wtedy, gdy
0
lim
n
n
x
x
→∞
=
oraz
0
lim
n
n
y
y
→∞
=
.
Rys.20 Ilustracja do definicji granicy właściwej ciągu punktów na płaszczyźnie
Uwaga.
Inaczej mówiąc ciąg
( )
n
P
jest zbieżny do punktu
0
P , jeżeli w dowolnym otoczeniu tego
punktu znajdują się prawie wszystkie wyrazy ciągu.
Tak zdefiniowaną zbieżność nazywamy
zbieżnością według współrzędnych.
Przykład 9.
Zbadać, czy podane ciągi punktów z przykładu 8 są zbieżne. Dla ciągów zbieżnych obliczyć
ich granice .
Rozwiązanie
a)
(
)
2
1
1
,
n
n
n
n
P
+
=
. Mamy :
1
2
,
1
n
n
n
x
y
n
n
=
=
+
oraz
1
lim
lim
0
n
n
n
x
n
→∞
→∞
=
=
,
2
lim
lim
2
1
n
n
n
n
y
n
→∞
→∞
=
=
+
. Więc
( )
lim
0, 2
n
n
P
→∞
=
.
b)
(
)
2
1
1
,
n
n
n
n
P
+
=
. Tutaj
2
1
,
1
n
n
n
x
y
n
n
=
=
+
oraz lim
lim
1
1
n
n
n
n
x
n
→∞
→∞
=
=
+
,
2
1
lim
lim
0
n
n
n
y
n
→∞
→∞
=
=
. Zatem
( )
lim
1, 0
n
n
P
→∞
=
.
213
c)
(
)
1
(
) ,
n
n
n
n
n
P
n
+
=
. Mamy :
1
1
lim
lim
lim 1
n
n
n
n
n
n
n
x
e
n
n
→∞
→∞
→∞
+
=
=
+
=
, lim
lim
1
n
n
n
n
y
n
→∞
→∞
=
=
.
Zatem
( )
lim
,1
n
n
P
e
→∞
=
.
d)
(
)
2 , 3
n
n
n
P
=
. Ponieważ
lim
lim 2
n
n
n
n
x
→∞
→∞
=
= ∞
,
lim
lim 3
n
n
n
n
y
→∞
→∞
=
= ∞
, więc ciąg punktów jest
rozbieżny.
Zadanie 3.
Obliczyć granice podanych ciągów punktów:
a)
(
)
2
2
3
1
1
,
n
n
n
n
P
+
=
; b)
(
)
1
, 2
n
n
n
n
P
+
=
; c)
( )
(
)
2
1
2
(
) ,
n
n
n
n
n
P
+
=
; d)
( )
(
)
3
2
5 ,
n
n
n
P
=
.
Odpowiedzi.
a)
( )
lim
0,3
n
n
P
→∞
=
; b)
( )
lim
0,1
n
n
P
→∞
=
; c)
( )
2
lim
, 0
n
n
P
e
→∞
=
; d) ciąg rozbieżny.
Definicja 17. (granica właściwa funkcji w punkcie)
Niech
(
)
2
0
0
0
,
P
x y
R
=
∈
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej w sąsiedztwie
(
)
0
0
,
S x y
punktu
0
P
. Liczba g jest
granicą właściwą funkcji f w punkcie
(
)
0
0
0
,
P
x y
=
,
co zapisujemy
(
) (
)
( )
0
0
,
,
lim
,
n
n
x
y
x y
f x y
g
→
=
lub
( )
0
lim
n
n
P
P
f P
g
→
=
,
wtedy i tylko wtedy, gdy
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
,
,
lim
,
,
lim
,
n
n
n
n
n
n
n
n
x
y
S x y
x y
x y
f x y
g
→∞
→∞
∈
=
⇒
=
∀
,
lub
( )
( )
(
)
( )
(
)
0
0
lim
lim
n
n
n
n
n
P
S P
P
P
f P
g
→∞
→∞
∈
=
⇒
=
∀
.
Rys.21 Ilustracja do definicji Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie
Uwaga.
Granicę funkcji f w punkcie
(
)
0
0
,
x y
oznaczamy także przez
( )
0
0
lim
,
x
x
y
y
f x y
→
→
. Można również
pisać
( )
,
f x y
g
→
, gdy
( ) (
)
0
0
,
,
x y
x y
→
.
Podane definicja nazywana jest definicją Heinego, ( E.H. Heine (1821-1881) – matematyk
niemiecki) i nazywana jest
granicą podwójną.
214
Przykład 10.
1. Korzystając z definicji granicy uzasadnić podane równości:
a)
( ) ( )
2
2
,
1,2
2
lim
0
x y
x
y
x
y
→
− =
+
; b)
( ) (
)
2
2
,
3,4
lim
5
x y
x
y
→ −
+
=
.
Rozwiązanie:
a) Niech
(
)
,
n
n
x y
będzie takim ciągiem punktów, że lim
1
n
n
x
→∞
=
i lim
2
n
n
y
→∞
=
.
Wówczas
(
) ( )
2
2
2
2
,
1,2
2
2 1 2
lim
0.
1
2
n
n
n
n
x
y
n
n
x
y
x
y
→
−
⋅ −
=
=
+
+
Korzystaliśmy tutaj z twierdzeń o ciągach
zbieżnych. Oznacza to, że
( ) ( )
2
2
,
1,2
2
lim
0
x y
x
y
x
y
→
− =
+
, ( na podstawie definicji Heinego granicy
funkcji dwóch zmiennych).
b) Niech
(
)
,
n
n
x y
będzie takim ciągiem punktów, że lim
3
n
n
x
→∞
= −
i lim
4
n
n
y
→∞
=
.
Wówczas
(
) (
)
( )
2
2
2
2
,
3,4
lim
3
4
25
5,
n
n
n
n
x
y
x
y
→ −
+
= −
+
=
=
a to oznacza, że
( ) (
)
2
2
,
3,4
lim
5
x y
x
y
→ −
+
=
, ( na podstawie definicji Heinego granicy funkcji
dwóch zmiennych).
2. Zbadać, czy istnieją granice:
a)
( ) ( )
,
0,0
lim
x y
x
x
y
→
+
; b)
( ) ( )
2
2
,
0,0
2
lim
x y
xy
x
y
→
+
.
Rozwiązanie.
a) Niech
( )
,
x
f x y
x
y
=
+
. Dziedziną tej funkcji jest zbiór
( )
{
}
2
,
:
x y
R
y
x
∈
≠ −
.
Udowodnimy, że nie istnieje granica tej funkcji dla
( ) ( )
,
0, 0
x y
→
. W tym celu wskażemy
takie dwa ciągi punktów
(
)
,
n
n
x y
i
(
)
*
*
,
n
n
x y
, że
(
) ( )
,
0, 0
n
n
x y
→
oraz
(
)
( )
*
*
,
0, 0
n
n
x y
→
i dla
których
(
)
(
)
*
*
lim
,
lim
,
n
n
n
n
n
n
f x y
f x y
→∞
→∞
≠
. Takimi ciągami są np.
(
)
( )
( )
1
1
,
,
0, 0
n
n
n
n
x y
=
→
i
(
)
( )
( )
*
*
1
,
0,
0, 0
n
n
n
x y
=
→
. Dla nich
( )
1
1
1
1
1
1
lim
,
lim
2
n
n
n
n
n
n
n
f
→∞
→∞
=
=
+
,
( )
1
1
0
lim
0,
lim
0
0
n
n
n
n
f
→∞
→∞
=
=
+
.
b) Niech
( )
2
2
2
,
xy
g x y
x
y
=
+
. Dziedziną tej funkcji jest
( )
{
}
2
\
0, 0
R
.
Podobnie jak w punkcie a) pokażemy, ze nie istnieje granica tej funkcji dla
( ) ( )
,
0, 0
x y
→
.
Biorąc te same ciągi
(
)
( )
( )
1
1
,
,
0, 0
n
n
n
n
x y
=
→
i
(
)
( )
( )
*
*
1
,
0,
0, 0
n
n
n
x y
=
→
, stwierdzamy, że
( )
1
1
1
1
2
2
1
1
2
lim
,
lim
1
( )
( )
n
n
n
n
n
n
n
n
g
→∞
→∞
⋅ ⋅
=
=
+
, zaś
( )
1
1
2
2
1
2 0
lim
0,
lim
0
0
( )
n
n
n
n
n
g
→∞
→∞
⋅ ⋅
=
=
+
. Jest to sprzeczne z
definicją Heinego granicy funkcji dwóch zmiennych.
Zadanie 4.
1. Korzystając z definicji granicy uzasadnić podane równości:
a)
( ) ( )
2
2
,
1,1
3
4
lim
2
3
x y
x
y
x
y
→
+
=
+
; b)
( ) (
)
2
2
,
8, 6
lim
10
x y
x
y
→ −
+
=
.
215
2. Uzasadnić, że podane granice nie istnieją.
a)
( ) ( )
,
0,0
2
lim
3
x y
y
x
y
→
+
; b)
( ) ( )
2
2
,
0,0
lim
2
x y
xy
x
y
→
+
.
Definicja 18. (granica niewłaściwa funkcji w punkcie)
Niech
(
)
2
0
0
0
,
P
x y
R
=
∈
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej w sąsiedztwie
(
)
0
0
,
S x y
punktu
0
P
. Funkcja f ma granicę niewłaściwą
( )
,
∞ −∞
w punkcie
(
)
0
0
0
,
P
x y
=
, co zapisujemy
(
) (
)
( )
0
0
,
,
lim
,
n
n
x
y
x y
f x y
→
= ∞
lub
( )
0
lim
n
n
P
P
f P
→
= ∞
,
(
) (
)
( )
0
0
,
,
(
lim
,
n
n
x
y
x y
f x y
→
= −∞
lub
( )
0
lim
)
n
n
P
P
f P
→
= −∞
,
wtedy i tylko wtedy, gdy
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
,
,
lim
,
,
lim
,
n
n
n
n
n
n
n
n
x
y
S x y
x y
x y
f x y
→∞
→∞
∈
=
⇒
= ∞
∀
,
(
) (
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
,
,
(
lim
,
,
lim
,
)
n
n
n
n
n
n
n
n
x
y
S x y
x y
x y
f x y
→∞
→∞
∈
=
⇒
= −∞
∀
,
lub
( )
( )
(
)
( )
(
)
0
0
lim
lim
n
n
n
n
n
P
S P
P
P
f P
→∞
→∞
∈
=
⇒
= ∞
∀
,
( )
( )
(
)
( )
(
)
0
0
(
lim
lim
)
n
n
n
n
n
P
S P
P
P
f P
→∞
→∞
∈
=
⇒
= −∞
∀
.
Rys.22 Ilustracja do definicji Heinego granicy niewłaściwej funkcji w punkcie.
Przykład 11.
Uzasadnić, że
a)
( ) ( )
2
2
,
0,0
1
lim
x y
x
y
→
= +∞
+
; b)
( ) ( )
(
)
2
2
,
1,0
lim
ln (
1)
x y
x
y
→
−
+
= −∞
.
216
Rozwiązanie
a) Wprowadzamy pomocniczą zmienną
2
2
t
x
y
=
+
. Wówczas dla
( ) ( )
,
0, 0
x y
→
0
t
+
→
(dązy do zera poprzez wartości dodatnie) i
( ) ( )
2
2
,
0,0
0
1
1
lim
lim
x y
t
x
y
t
+
→
→
=
= +∞
+
b) Wprowadzamy pomocniczą zmienną
2
2
(
1)
t
x
y
= −
+
. Wówczas dla
( ) ( )
,
1, 0
x y
→
0
t
+
→
i
( ) ( )
(
)
2
2
,
1,0
0
lim
ln (
1)
lim ln
x y
t
x
y
t
+
→
→
−
+
=
= −∞
.
Twierdzenie 1. (o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji)
Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie
(
)
0
0
,
x y
, to
1.
( ) (
)
( ) ( )
( ) (
)
( )
( ) (
)
( )
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
lim
,
,
lim
,
lim
,
x y
x y
x y
x y
x y
x y
f x y
g x y
f x y
g x y
→
→
→
+
=
+
,
2.
( ) (
)
( ) ( )
( ) (
)
( )
( ) (
)
( )
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
lim
,
,
lim
,
lim
,
x y
x y
x y
x y
x y
x y
f x y
g x y
f x y
g x y
→
→
→
⋅
=
⋅
,
3.
( ) (
)
( )
( )
( ) (
)
( )
( ) (
)
( )
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
lim
,
,
lim
,
lim
,
x y
x y
x y
x y
x y
x y
f x y
f x y
g x y
g x y
→
→
→
=
, o ile
( ) (
)
( )
0
0
,
,
lim
,
0
x y
x y
g x y
→
≠
.
Twierdzenie 2. (o trzech funkcjach)
Jeżeli funkcje f , g , h są określone w pewnym sąsiedztwie
(
)
0
0
,
S x y
punktu
0
0
( ,
)
x y
oraz ( , )
( , )
( , )
f x y
g x y
h x y
≤
≤
dla
(
)
0
0
( , )
,
x y
S x y
∈
i
( ) (
)
( )
0
0
0
0
( , )
(
,
)
,
,
lim
( , )
lim
,
x y
x y
x y
x y
f x y
h x y
a
→
→
=
=
to również
0
0
( , )
(
,
)
lim
( , )
x y
x y
g x y
a
→
=
.
Uwaga.
Nie ma odpowiednika reguły de L`Hospitala do obliczania granic wyrażeń
nieoznaczonych funkcji dwóch zmiennych.
Przykład 12.
Obliczyć podane granice funkcji:
a)
( ) ( )
2
2
2
2
,
0,0
1
1
lim
x y
x
y
x
y
→
+ +
−
+
; b)
( ) ( )
3
3
,
1,1
lim
x y
x
y
x
y
→
−
−
; c)
( ) ( )
2
2
2
2
,
0,0
lim
x y
x y
x
y
→
+
;
d)
( ) ( )
(
)
2
2
1
2
2
,
0,0
lim
1
x
y
x y
x
y
+
→
+ +
.
217
Rozwiązanie.
a)
( ) ( )
( ) ( )
(
)(
)
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
0
2
2
2
2
2
2
0
2
2
,
0,0
,
0,0
2
2
2
2
2
2
2
2
,
0,0
,
0,0
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
lim
lim
(
)
1
1
1
1
1
1
lim
lim
.
2
(
)
1
1
1
1
x y
x y
x y
x y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
→
→
→
→
+ +
−
+ +
+
+ +
−
=
=
+
+
+ +
+
+ +
−
=
=
=
+
+ +
+
+ +
+
b)
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
0
2
2
3
3
0
2
2
,
1,1
,
1,1
,
1,1
lim
lim
lim
3.
x y
x y
x y
x
y
x
xy
y
x
y
x
xy
y
x
y
x
y
→
→
→
−
+
+
−
=
=
+
+
=
−
−
c) Do obliczenia granicy
( ) ( )
2
2
2
2
,
0,0
lim
x y
x y
x
y
→
+
zastosujemy twierdzenie o trzech funkcjach.
W tym celu wykorzystamy następującą nierówność:
dla dowolnych
2
2
1
0 ,
0
2
ab
a
b
a
b
>
>
≤
+
.
Prawdziwość tej nierówności sprawdzamy bezpośrednio:
(
)
2
2
2
2
2
1
0
2
0
2
ab
a
b
ab
a b
a
b
≤
⇔
≤
+ −
⇔
≤
−
+
.
Mamy:
2
2
2
2
2
2
1
0
2
x
y
x y
x
y
x
y
x
y
x
y
⋅
≤
=
⋅ ⋅ ≤
⋅
+
+
, ( tutaj
,
a
x
b
y
=
=
) .
Ponieważ
( ) ( )
,
0,0
1
lim
0
2
x y
x
y
→
⋅ =
, więc z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że
( ) ( )
2
2
2
2
,
0,0
lim
0
x y
x y
x
y
→
=
+
.
d) Przy obliczaniu granicy
( ) ( )
(
)
2
2
1
2
2
,
0,0
lim
1
x
y
x y
x
y
+
→
+ +
wprowadzimy pomocniczą zmienną
2
2
t
x
y
= +
. Wówczas dla
( ) ( )
2
2
,
0, 0
0
x y
t
x
y
→
= +
→
i
( ) ( )
(
)
( )
2
2
1
1
2
2
,
0,0
0
lim
1
lim 1
.
x
y
t
x y
t
x
y
t
e
+
→
→
+ +
=
+
=
Zadanie 5.
Obliczyć podane granice funkcji:
a)
( ) ( )
2
2
2
2
,
0,0
9
3
lim
x y
x
y
x
y
→
+ +
−
+
; b)
( ) (
)
3
3
,
1, 1
lim
x y
x
y
x
y
→ −
+
+
; c)
( ) ( )
3
2
2
,
0,0
2
lim
x y
x y
x
y
→
+
;
d)
( ) ( )
(
)
2 2
2
2
2
,
0,0
lim
1
x y
x y
x y
→
+
.
218
Odpowiedzi.
a)
1
6
; b)
1
3
; c) 0 ; d)
2
e
.
Granice iterowane
Niech funkcji
f będzie określona w pewnym sąsiedztwie
(
)
0
0
,
S x y
punktu
(
)
0
0
,
x y
.
Oznaczmy przez
a
K obszar kwadratowy określony nierównościami
0
0
0
0
,
x
a
x
x
a
y
a
y
y
a
− < < +
− < <
+
,
0
a
>
tak, by
(
)
0
0
,
a
K
S x y
⊂
tj.
( )
{
}
2
0
0
,
:
a
K
x y
R
x
x
a
y
y
a
=
∈
−
< ∧ −
<
(
)
0
0
,
S x y
⊂
.
Definicja 19.
Jeżeli dla każdego
(
)
0
0
;
x
x
a x
a
∈
−
+
istnieje granica właściwa
( )
( )
0
lim
,
y
y
f x y
g x
→
=
,
a ponadto istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa)
( )
0
lim
x
x
g x
A
→
=
,
to liczbę A nazywamy granica iterowaną funkcji f , gdy
0
y
y
→
, a następnie
0
x
x
→
.
Granicę iterowaną oznczamy symbolem
( )
0
0
lim lim
,
x
x
y
y
f x y
A
→
→
=
.
Definicja 20
Jeżeli dla każdego
(
)
0
0
;
y
y
a y
a
∈
−
+
istnieje granica właściwa
( )
( )
0
lim
,
x
x
f x y
p y
→
=
,
a ponadto istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa)
( )
0
lim
y
y
p y
B
→
=
,
to liczbę B nazywamy granica iterowaną funkcji f , gdy
0
x
x
→
, a następnie
0
y
y
→
.
Granicę iterowaną oznczamy symbolem
( )
0
0
lim lim
,
y
y
x
x
f x y
B
→
→
=
.
Uwaga
1. Jeżeli istnieją granice iterowane, to mogą one być różne.
2. Istnienie granicy podwójnej jest niezależne od istnienia granic iterowanych. Granica
podwójna może nie istnieć natomiast granice iterowane mogą istnieć i na odwrót.
Przykład 13.
Obliczyć granice iterowane funkcji
( )
2
2
2
,
x
y
x
y
f x y
x
y
− + +
=
+
w punkcie
(
) ( )
0
0
,
0, 0
x y
=
.
Mamy:
(
)
2
2
0
0
0
2
lim lim
lim 2
2,
x
y
x
x
y
x
y
x
x
y
→
→
→
− + +
=
+ =
+
219
(
)
2
2
0
0
0
2
lim lim
lim
1
1
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
→
→
→
− + +
=
− +
= −
+
Natomiast granica podwója
( ) ( )
2
2
,
0,0
2
lim
x y
x
y
x
y
x
y
→
− + +
+
nie istnieje, bo dla ciągu punktów
( )
( )
1
1
,
0, 0
n
n
n
→∞
→
( )
1
1
2
1
lim
,
lim
,
2
2
n
n
n
n
n
f
n
→∞
→∞
+
=
=
natomiast dla ciągu punktów
( )
( )
1
, 0
0, 0
n
n
→∞
→
( )
1
2
1
lim
, 0
lim
2
n
n
n
n
f
n
→∞
→∞
+
=
=
.
Związek między granicą podwójną a granicami iterowanymi ustala następujące twierdzenie.
Twierdzenie 2.
Jeżeli
1. Istnieje skończona lun nieskończona granica podwójna
( ) (
)
( )
0
0
,
,
lim
,
x y
x y
f x y
A
→
=
,
2. dla każdego
(
)
0
0
,
y
y
a y
a
∈
−
+
istnieje skończona granica zwykła względem
x
( )
( )
0
lim
,
x
x
f x y
p y
→
=
,
to istnieje taże granica iterowana
( )
( )
0
0
0
lim
lim lim
,
y
y
y
y
x
x
p y
f x y
→
→
→
=
i równa się granicy podwójnej.
V. Funkcje ciągłe
Definicja 21. (ciągłość funkcji dwóch zmiennych w punkcie)
Niech
(
)
2
0
0
0
,
P
x y
R
=
∈
oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej w otoczeniu
(
)
0
0
,
O x y
punktu
0
P
oraz niech ten punkt będzie punktem skupienia dziedziny
f
D
. Funkcja
f
jest
ciągła w punkcie
(
)
0
0
0
,
P
x y
=
wtedy i tylko wtedy, gdy
( ) (
)
( )
(
)
0
0
0
0
,
,
lim
,
,
x y
x y
f x y
f x y
→
=
lub
( )
( )
0
0
lim
n
n
P
P
f P
f P
→
=
.
Uwaga.
Jeżeli
0
P
jest punktem izolowanym dziedziny
f
D
, to funkcja f jest ciągła w tym punkcie.
Definicja 22. (ciągłość funkcji dwóch zmiennych na zbiorze otwartym)
Funkcja f jest
ciągła na zbiorze otwartym na płaszczyźnie, jeżeli jest ciągła w każdym
punkcie tego zboru.
220
Przykład 14.
Zbadać ciągłość funkcji:
a)
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
4
2
,
0, 0 ,
,
0
,
0, 0 .
x y
dla
x y
x
y
f x y
dla
x y
≠
+
=
=
b)
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
3
2
4
,
0, 0 ,
,
0
,
0, 0 .
x y
dla
x y
x
y
f x y
dla
x y
≠
+
=
=
Rozwiązanie
a) Funkcja f dla
( ) ( )
,
0, 0
x y
≠
jest ciągła (jako iloraz dwóch funkcji ciągłych). Wystarczy
zbadać ciągłość tej funkcji w punkcie
( )
0, 0
. Sprawdzamy, czy
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
4
2
,
0,0
,
0,0
lim
,
lim
0, 0
0
x y
x y
x y
f x y
f
x
y
→
→
=
=
=
+
.
Udowodnimy, że nie istnieje granica
( ) ( )
2
4
2
,
0,0
lim
x y
x y
x
y
→
+
. W tym celu wskażemy takie dwa
ciągi punktów
(
)
,
n
n
x y
i
(
)
*
*
,
n
n
x y
, że
(
) ( )
,
0, 0
n
n
x y
→
oraz
(
)
( )
*
*
,
0, 0
n
n
x y
→
dla których
(
)
(
)
*
*
lim
,
lim
,
n
n
n
n
n
n
f x y
f x y
→∞
→∞
≠
. Takimi ciągami są np.
(
)
( )
( )
2
1
1
,
,
0, 0
n
n
n
n
x y
=
→
i
(
)
( )
( )
*
*
1
,
0,
0, 0
n
n
n
x y
=
→
. Dla nich
( )
2
2
2
4
4
1
1
1
1
1
1
1
lim
,
lim
2
n
n
n
n
n
n
n
n
f
→∞
→∞
⋅
=
=
+
oraz
( )
2
2
1
1
4
1
0
lim
0,
lim
0
0
n
n
n
n
n
f
→∞
→∞
⋅
=
=
+
.
Jest to sprzeczne z definicją Heinego granicy funkcji dwóch zmiennych.
Zatem funkcja ta nie jest ciągła w punkcie
( )
0, 0
.
b) ) Funkcja
f dla
( ) ( )
,
0, 0
x y
≠
jest ciągła (jako iloraz dwóch funkcji ciągłych).
Wystarczy zbadać ciągłość tej funkcji w punkcie
( )
0, 0
. Sprawdzamy, czy
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
3
2
4
,
0,0
,
0,0
lim
,
lim
0, 0
0
x y
x y
x y
f x y
f
x
y
→
→
=
=
=
+
.
Przy obliczaniu tej granicy zastosujemy twierdzenie o trzech funkcjach. W tym celu
wykorzystamy znaną już nierówność:
dla dowolnych
0 ,
0
a
b
>
>
2
2
1
2
ab
a
b
≤
+
.
Mamy:
2
2
3
2
4
2
4
1
0
2
x y
x y
x y
x y
x
y
x
y
≤
=
⋅
≤
+
+
, ( tutaj
2
,
a
x
b
y
=
=
).
Ponieważ
( ) ( )
,
0,0
1
lim
0
2
x y
x y
→
=
, więc z twierdzenia o trzech funkcjach wynika, że
221
( ) ( )
2
3
2
4
,
0,0
lim
0
x y
x y
x
y
→
=
+
.
Funkcja f jest więc ciągła w punkcie
( )
0, 0
.
Ostatecznie stwierdzamy, że funkcja ta jest ciągła na całej płaszczyźnie
2
R .
Twierdzenie 3. (Weierstrassa o osiąganiu kresów)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na zbiorze D domkniętym i ograniczonym na płaszczyźnie, to
w zbiorze tym istnieją punkty
( )
,
a b
oraz
( )
,
c d
, dla których zachodzą równości
( )
( )
( )
( )
( )
,
,
,
sup
,
max
,
x y
D
x y
D
f a b
f x y
f x y
∈
∈
=
=
oraz
( )
( )
( )
( )
( )
,
,
,
inf
,
max
,
x y
D
x y
D
f c d
f x y
f x y
∈
∈
=
=
.
Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych
I. Pochodne cząstkowe funkcji
Definicja 1. (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w otoczeniu punktu
(
)
0
0
0
,
P
x y
=
.
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej
x
w punkcie
(
)
0
0
0
,
P
x y
=
określamy wzorem:
(
)
(
) (
)
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
lim
def
x
f x
x y
f x y
f
x y
x
x
∆ →
+ ∆
−
∂
=
∂
∆
.
Pochodną tę oznacza się także symbolem
(
)
0
0
,
x
f
x y
.
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej y w punkcie
(
)
0
0
0
,
P
x y
=
określamy wzorem:
(
)
(
) (
)
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
lim
def
y
f x y
y
f x y
f
x y
y
y
∆ →
+ ∆ −
∂
=
∂
∆
.
Pochodną tę oznacza się także symbolem
(
)
0
0
,
y
f
x y
.
Przykład 1.
Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu podanych funkcji we
wskazanych punktach:
a)
( )
(
) ( )
0
0
,
2
,
,
0, 0
f x y
x
xy
x y
= +
=
; b)
( )
(
) ( )
4
4
0
0
,
,
,
0, 0
f x y
x
y
x y
=
+
=
.
Rozwiązanie
a)
( )
,
2
,
f x y
x
xy
= +
( )
0, 0
0
f
=
.
( )
(
) ( )
(
) (
)
0
0
0
0
, 0
0, 0
0
2 0
0 0
0, 0
lim
lim
lim
1
def
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
x
x
x
∆ →
∆ →
∆ →
+ ∆
−
+ ∆ +
+ ∆ ⋅ −
∂
∆
=
=
=
=
∂
∆
∆
∆
.
( )
(
) ( )
(
)
0
0
0, 0
0, 0
0 2 0 0
0
0, 0
lim
lim
0
def
y
y
f
y
f
y
f
y
y
y
∆ →
∆ →
+ ∆ −
+ ⋅ ⋅ + ∆ −
∂
=
=
=
∂
∆
∆
.
222
b)
( )
4
4
,
,
f x y
x
y
=
+
( )
0, 0
0
f
=
.
( )
(
) ( )
(
)
( )
4
2
4
0
0
0
0
0
0
0
0
, 0
0, 0
0, 0
lim
lim
lim
lim
0
def
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x
x
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
+ ∆
+
−
+ ∆
−
∆
∂
=
=
=
=
∆ =
∂
∆
∆
∆
.
( )
(
) ( )
(
)
( )
4
2
4
0
0
0
0
0
0
0
0, 0
0, 0
0, 0
lim
lim
lim
lim
0
def
y
y
y
y
y
f
y
f
y
f
y
y
y
y
y
∆ →
∆ →
∆ →
∆ →
+ + ∆
−
+ ∆ −
∆
∂
=
=
=
=
∆ =
∂
∆
∆
∆
.
Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych
Niech funkcja
( )
,
z
f x y
=
ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
(
)
0
0
0
,
P
x y
=
. Ponadto niech
α
oznacza kat nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w
wyniku przekroju powierzchni będącej wykresem funkcji f płaszczyzną
0
y
y
=
(równoległą
do płaszczyzny xOz ) w punkcie
(
)
0
0
0
0
0
,
, ( ,
)
Q
x y
f x y
=
, do płaszczyzny xOy oraz niech
β
oznacza kat nachylenia stycznej do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju powierzchni
będącej wykresem funkcji f płaszczyzną
0
x
x
=
(równoległą do płaszczyzny yOz ) w
punkcie
(
)
0
0
0
0
0
,
, ( ,
)
Q
x y
f x y
=
, do płaszczyzny xOy . Wtedy:
(
)
(
)
0
0
0
0
,
,
,
f
f
x y
tg
x y
tg
x
y
∂
∂
= α
= β
∂
∂
.
Pochodna cząstkowa
(
)
0
0
,
x
f
x y
jest miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcji f względem
zmiennej
x
przy ustalonej wartości zmiennej y , zaś pochodna cząstkowa
(
)
0
0
,
y
f
x y
jest
miarą lokalnej szybkości wzrostu funkcji f względem zmiennej y przy ustalonej wartości
zmiennej
x
.
Rys.1 Interpretacja geometryczna pochodnej Rys.2 Interpretacja geometryczna pochodnej
cząstkowej .
(
)
0
0
,
x
f
x y
cząstkowej
(
)
0
0
,
y
f
x y
.
Uwaga.
Odmiennie niż dla funkcji jednej zmiennej wygląda związek miedzy ciągłością funkcji a
istnieniem pochodnych cząstkowych. Funkcja dwóch zmiennych może mieć w punkcie obie
pochodne cząstkowe, ale nie musi być w tym punkcie ciągła.
223
Przykład 2.
Niech
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
,
0, 0 ,
,
0
,
0, 0 .
xy
dla
x y
x
y
f x y
dla
x y
≠
+
=
=
Funkcja ta nie ma granicy dla
( ) ( )
,
0, 0
x y
→
, (patrz przykład 2,b) , a więc nie jest ciągła
w tym punkie. Pokażemy, że pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
( )
0, 0
istnieją. Obliczymy je z definicji.
( )
0, 0
0
f
=
,
( )
(
) ( )
(
)
(
)
2
2
0
0
2 0
0
0
0
, 0
0, 0
0
0
0, 0
lim
lim
0
def
x
x
x
f
x
f
x
f
x
x
x
∆ →
∆ →
+ ∆ ⋅
−
+ ∆
−
+ ∆
+
∂
=
=
=
∂
∆
∆
.
( )
(
) ( )
(
)
(
)
2
2
0
0
2 0 0
0
0, 0
0, 0
0
0
0, 0
lim
lim
0
def
y
y
y
f
y
f
y
f
y
y
y
∆ →
∆ →
⋅ ⋅ + ∆
−
+ ∆ −
+ + ∆
∂
=
=
=
∂
∆
∆
.
Definicja 2. (pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na zbiorze otwartym)
Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru
otwartego
2
D
R
⊂
, to funkcje
( )
( )
,
,
,
f
f
x y
x y
x
y
∂
∂
∂
∂
, gdzie
( )
,
x y
D
∈
,
nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu funkcji f na zbiorze D i oznaczamy
odpowiednio przez
,
f
f
x
y
∂
∂
∂
∂
lub
,
x
y
f
f
.
Uwaga.
Prze obliczaniu pochodnej cząstkowej względem jednej zmiennej drugą zmienną traktujemy
jako stałą. Niech
( )
(
)
0
,
def
F x
f x y
=
oraz
( )
(
)
0
,
def
G y
f x y
=
, gdzie
(
)
0
0
,
x y
jest ustalonym
punktem dziedziny funkcji f . Wówczas
(
)
( )
0
0
0
,
f
x y
F x
x
∂
′
=
∂
oraz
(
)
( )
0
0
0
,
f
x y
G y
y
∂
′
=
∂
.
Przy obliczaniu pochodnych cząstkowych można stosować reguły różniczkowania funkcji
jednej zmiennej tj. wzory na pochodne sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu oraz wzór na
pochodną funkcji złożonej.
224
Zadanie 1.
Korzystając z reguł różniczkowania obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
podanych funkcji:
a)
( )
3
3
,
3
f x y
x
y
xy
= +
−
; b)
( )
3
2
3
5
,
5
f x y
x
xy
xy
y
= +
−
+
; c)
( )
3
3
,
f x y
x y
y x
=
−
;
d)
( )
,
x
y
f x y
x
y
−
=
+
; e)
( )
(
)
2
2
,
ln
f x y
x
y
=
+
; f)
( )
,
xy
f x y
e
=
; g)
( )
(
)
2
2
,
sin 2
f x y
x
y
=
+
.
Odpowiedzi
a)
2
2
3
3
,
3
3
f
f
x
y
y
x
x
y
∂
∂
=
−
=
−
∂
∂
; b)
2
2
3
2
4
3
5
,
2
15
5
f
f
x
y
y
xy
xy
y
x
y
∂
∂
=
+
−
=
−
+
∂
∂
;
c)
2
3
3
2
3
,
3
f
f
x y
y
x
xy
x
y
∂
∂
=
−
= −
∂
∂
; d)
(
)
(
)
2
2
2
2
,
f
y
f
x
x
y
x
y
x
y
∂
∂
−
=
=
∂
∂
+
+
;
e)
2
2
2
2
2
2
,
f
x
f
y
x
x
y
y
x
y
∂
∂
=
=
∂
+
∂
+
; f)
,
xy
xy
f
f
ye
xe
x
y
∂
∂
=
=
∂
∂
; g)
(
)
2
2
4 cos 2
f
x
x
y
x
∂ =
+
∂
,
(
)
2
2
2 cos 2
f
y
x
y
y
∂ =
+
∂
.
Definicja 3. (pochodne cząstkowe drugiego rzędu)
Niech funkcja ma pochodne cząstkowe
/
,
/
f
x
f
y
∂ ∂ ∂ ∂
przynajmniej w otoczeniu punktu
(
)
0
0
,
x y
.
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji f w punkcie
(
)
0
0
,
x y
określamy
wzorami:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
def
def
def
def
f
f
f
f
x y
x y
x y
x y
x
x
x
x y
y
x
f
f
f
f
x y
x y
x y
x y
y x
x
y
y
y
y
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
=
=
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
=
=
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
Powyższe pochodne oznacza się także odpowiednio przez
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
,
,
,
xx
xy
yx
yy
f
x y
f
x y
f
x y
f
x y
.
Definicja 4. (pochodne cząstkowe drugiego rzędu na zbiorze otwartym )
Jeżeli funkcja ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego
2
D
R
⊂
, to funkcje:
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
f
f
f
f
x y
x y
x y
x y
x
x y
y x
y
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
gdzie
( )
,
x y
D
∈
,
nazywamy pochodnymi drugiego rzędu funkcji f na zbiorze D i oznaczamy odpowiednio
przez
2
2
2
2
2
2
/
,
/
,
/
,
/
f
x
f
x y
f
y x
f
y
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
∂
przez
,
,
,
xx
xy
yx
yy
f
f
f
f .
Uwaga.
Pochodne cząstkowe
,
xy
yx
f
f
nazywamy pochodnymi cząstkowymi mieszanymi.
225
Twierdzenie 1. (Schwarza o pochodnych mieszanych)
Jeżeli pochodne cząstkowe mieszane
2
2
/
,
/
f
x y
f
y x
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
są ciągłe w punkcie
(
)
0
0
,
x y
,
to zachodzi równość :
(
)
(
)
2
2
0
0
0
0
,
,
.
f
f
x y
x y
x y
y x
∂
∂
=
∂ ∂
∂ ∂
Przykład 3.
Obliczyć wszystkie pochodne cząstkowe drugiego rzędu podanych funkcji:
a)
( )
3
2
2
4
,
3
f x y
x
x y
y
= +
+
; b)
( )
3
3
2
,
1
f x y
x
y
x y
xy
= − +
− +
; c)
sin
( , )
y
f x y
xe
=
.
Rozwiązanie
a) Obliczamy najpierw pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
2
2
2
3
3
6
,
6
4
f
f
x
xy
x y
y
x
y
∂
∂
=
+
=
+
∂
∂
.
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
6
,
6
12
,
12
,
12
f
f
f
f
x
y
x
y
xy
xy
x
y
x y
y x
∂
∂
∂
∂
=
+
=
+
=
=
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
.
b) Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
2
2
2
3
2
,
3
f
f
x
xy
y
y
x
x
x
y
∂
∂
=
+
−
= −
+ −
∂
∂
.
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
2
2
2
2
2
2
6
2 ,
6 ,
2
1 ,
2
1
f
f
f
f
x
y
y
x
x
x
y
x y
y x
∂
∂
∂
∂
=
+
= −
=
−
=
−
∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
.
c) Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu:
sin
sin
,
cos
y
y
f
f
e
x
y e
x
y
∂
∂
=
=
∂
∂
.
Pochodne cząstkowe drugiego rzędu:
(
)
2
2
2
sin
2
sin
sin
2
sin
2
2
2
sin
0 ,
sin
cos
sin
cos
,
cos
,
cos
.
y
y
y
y
y
f
f
f
x
y e
y e
x e
y
y
y e
x
y
x y
f
y e
y x
∂
∂
∂
=
=
−
+
=
−
+
=
∂
∂
∂ ∂
∂
=
∂ ∂
.
II. Różniczka funkcji
Definicja 5. (funkcja różniczkowalna w punkcie)
Załóżmy, ze istnieją pochodne cząstkowe
(
)
(
)
0
0
0
0
,
,
,
f
f
x y
x y
x
y
∂
∂
∂
∂
. Funkcja f jest
różniczkowalna w punkcie
(
)
0
0
,
x y
wtedy i tylko wtedy, gdy:
( ) ( )
(
) (
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
,
0,0
,
,
,
,
lim
0
h k
f
f
f x
h y
k
f x y
x y
h
x y
k
x
y
h
k
→
∂
∂
+
+ −
−
⋅ −
⋅
∂
∂
=
+
.
Twierdzenie 2.
226
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie
(
)
0
0
,
x y
, to jest ciągła w tym punkcie.
Uwaga.
Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Świadczy o tym następujący przykład:
Funkcja
( )
2
2
,
f x y
x
y
=
+
jest ciągła w punkcie
( )
0, 0
, gdyż
( ) ( )
( )
2
2
,
0,0
lim
0
0, 0
x y
x
y
f
→
+
= =
.
W punkcie
( )
0, 0
nie istnieją jednak pochodne cząstkowe tej funkcji, gdyż ilorazy różnicowe:
(
) ( )
(
)
2
2
2
2
0
0
0
0
1
0,
0
, 0
0, 0
1
0.
h
gdy h
h
f
h
f
gdy h
h
h
h
+
+
−
+
>
+
−
=
=
=
−
<
oraz
(
) ( )
(
)
2
2
2
2
0
0
0
0
1
0,
0, 0
0, 0
1
0.
k
gdy k
k
f
k
f
gdy k
k
k
k
+ +
−
+
>
+ −
=
=
=
−
<
nie mają granicy odpowiednio dla
0
h
→
oraz
0
k
→
.
Funkcja nie jest więc różniczkowalna w punkcie
( )
0, 0
.
Twierdzenie 3.
Jeżeli funkcja f ma pochodne cząstkowe
/
,
/
f
x
f
y
∂ ∂
∂ ∂
cią
głe w punkcie
(
)
0
0
,
x y
,to jest
różniczkowalna w tym punkcie.
Definicja 6. (różniczka funkcji)
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu
/
,
/
f
x
f
y
∂ ∂
∂ ∂
w punkcie
(
)
0
0
,
x y
.
Różniczką zupełną funkcji f w punkcie
(
)
0
0
,
x y
nazywamy wyrażenie
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
,
,
,
def
f
f
df x y
x y
dx
x y
dy
x
y
∂
∂
=
+
∂
∂
,
lub
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
,
,
,
def
f
f
df x y
x y
h
x y
k
x
y
∂
∂
=
⋅ +
⋅
∂
∂
,
gdzie dx
x
h
= ∆ = −
przyrost argumentu
0
x
, dy
y
k
= ∆ = −
przyrost argumentu
0
y
.
Uwaga.
Wyrażenia
(
)
0
0
,
f
x y
dx
x
∂
∂
oraz
(
)
0
0
,
f
x y
dy
y
∂
∂
nazywamy
różniczkami cząstkowymi
funkcji f w punkcie
(
)
0
0
,
x y
.
Przykład 4.
Obliczyć różniczki podanych funkcji we wskazanych punktach:
a)
( )
(
) (
)
2
2
0
0
,
,
,
3, 4
=
+
=
−
f x y
x
y
x y
;
b)
( )
(
) (
)
2
3
0
0
,
,
,
1,1
=
= −
f x y
x y
x y
;
Rozwiązanie:
a)
(
)
(
)
2
2
2
2
3
4
,
3, 4
,
,
3, 4
5
5
∂
∂
∂
∂
=
− =
=
− = −
∂
∂
∂
∂
+
+
f
x
f
f
y
f
x
x
y
x
x
y
x
y
.
227
Różniczka zupełna
(
)
(
)
(
)
3
4
3, 4
3, 4
3, 4
5
5
f
f
df
dx
dy
dx
dy
x
y
∂
∂
− =
−
+
−
=
−
∂
∂
.
b)
(
)
(
)
3
2
2
2
,
1,1
2 ,
3
,
1,1
3.
∂
∂
∂
∂
=
−
= −
=
−
=
∂
∂
∂
∂
f
f
f
f
xy
x y
x
x
y
x
Różniczka zupełna
(
)
(
)
(
)
1,1
1,1
1,1
2
3
∂
∂
−
=
−
+
−
= −
+
∂
∂
f
f
df
dx
dy
dx
dy
x
y
.
Wniosek.
Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
(
)
0
0
,
x y
. Wtedy dla
dostatecznie małych przyrostów
,
x
y
∆
∆
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
f
f
f x
x y
y
f x y
x y
x
x y
y
x
y
∂
∂
+ ∆
+ ∆ ≈
+
∆ +
∆
∂
∂
,
przy czym błąd
(
)
,
x
y
δ ∆ ∆
powyższego przybliżenia, tj. różnica f
df
∆ −
, dąży szybciej do 0
niż wyrażenie
( ) ( )
2
2
x
y
∆
+ ∆
. Oznacza to, że
(
) ( )
(
)
( ) ( )
2
2
,
0,0
,
lim
0
x
y
x
y
x
y
∆ ∆ →
δ ∆ ∆
=
∆
+ ∆
,
(
(
) (
)
0
0
0
0
,
,
f
f x
x y
y
f x y
∆ =
+ ∆
+ ∆ −
) .
Przykład 5.
Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:
a)
(
) (
)
4
2
1, 02
0, 97
⋅
; b)
(
) (
)
2
2
3, 03
4, 04
+
.
Rozwiązanie.
a) Niech
( )
4
2
,
=
f x y
x y
,
0
0
1 ,
1 ,
0, 02 ,
0, 03
=
=
∆ =
∆ = −
x
y
x
y
. Wówczas
(
) (
)
(
) (
)
4
2
0
0
1, 02
0, 97
,
1 0, 02,1 0, 03
⋅
=
+ ∆
+ ∆ =
+
−
f x
x y
y
f
.
Stosujemy przybliżony wzór:
(
) (
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
∂
∂
+ ∆
+ ∆ ≈
+
∆ +
∆
∂
∂
f
f
f x
x y
y
f x y
x y
x
x y
y
x
y
.
W naszym przypadku
( )
1,1
1
=
f
,
( )
( )
3
2
4
4
,
1,1
4 ,
2
,
1,1
2
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
f
f
f
f
x y
x y
x
x
y
x
. Zatem
(
) (
)
( )
( )
( )
(
)
(
)
4
2
1, 02
0, 97
1,1
1,1
1,1
1 4 0, 02
2
0, 03
1, 02
f
f
f
x
y
x
y
∂
∂
⋅
≈
+
∆ +
∆ = + ⋅
+ ⋅ −
=
∂
∂
.
b) Niech
( )
2
2
,
=
+
f x y
x
y
,
0
0
3 ,
4 ,
0, 03 ,
0, 04
=
=
∆ =
∆ =
x
y
x
y
. Wówczas
(
) (
)
(
) (
)
2
2
0
0
3, 03
4, 04
,
3 0, 03, 4 0, 04
+
=
+ ∆
+ ∆ =
+
+
f x
x y
y
f
.
Stosujemy przybliżony wzór:
228
(
) (
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
∂
∂
+ ∆
+ ∆ ≈
+
∆ +
∆
∂
∂
f
f
f x
x y
y
f x y
x y
x
x y
y
x
y
.
W naszym przypadku
( )
2
2
3, 4
3
4
5
=
+
=
f
,
( )
( )
2
2
2
2
3
4
,
3, 4
,
,
3, 4
5
5
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
+
+
f
x
f
f
y
f
x
x
y
y
x
y
x
y
.
Zatem
(
) (
)
2
2
3, 03
4, 04
+
( )
( )
( )
(
)
(
)
3
4
3, 4
3, 4
3, 4
5
0, 03
0, 04
5, 05
5
5
f
f
f
x
y
x
y
∂
∂
≈
+
∆ +
∆ = + ⋅
+ ⋅
=
∂
∂
.
Zadanie 1.
Wykorzystując różniczkę zupełną funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych wyrażeń:
a)
(
) (
)
2
3
1, 02
0, 99
+
; b)
(
) (
)
2
2
6, 01
7,99
+
.
Odpowiedzi.
a) 2,01 ; b) 9,998 .
III. Pochodne cząstkowe funkcji złożonej
Twierdzenie 4 (o pochodnej funkcji złożonej)
Niech
1. funkcje
( )
( )
,
x
x t
y
y t
=
=
mają pochodne w punkcie
0
t ,
2. funkcja
( )
,
z
f x y
=
ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
(
)
0
0
( ), ( )
x t
y t
.
Wtedy funkcja złożona
( )
(
)
( ), ( )
F t
f x t y t
=
ma pochodną w punkcie
0
t i
dF
f dx
f dy
dt
x dt
y dt
∂
∂
=
⋅
+
⋅
∂
∂
,
gdzie pochodne
/
,
/
dx dt
dy dt
obliczane są w punkcie
0
t , a pochodne cząstkowe
/
,
/
f
x
f
y
∂ ∂
∂ ∂
w punkcie
(
)
0
0
( ), ( )
x t
y t
.
Uwaga.
Powyższy wzór można zapisać w formie iloczynu macierzy, tj.
dx
dF
f
f
dt
dy
dt
x
y
dt
∂
∂
=
∂
∂
.
Przykład 6.
Korzystając z powyższych wzorów obliczyć pochodną funkcji złożonej
( )
(
)
( ), ( )
F t
f x t y t
=
w punkcie
0
t , jeżeli
( )
2
2
0
,
,
,
,
0
t
t
f x y
xy
y
x
e
y
e
t
−
=
−
=
=
=
.
Rozwiązanie.
Obliczamy kolejno:
2
2
,
2
1 ,
,
2
t
t
f
f
dx
dy
y
xy
e
e
x
y
dt
dt
−
∂
∂
=
=
−
= −
=
∂
∂
.
229
Tak więc
( )
(
)
( ) ( ) (
)
2
2
2
2
2
2
3
2
2
1 2
2
1 2
3
2
.
t
t
t
t
t
t
t
t
t
dF
f dx
f dy
y
e
xy
e
e
e
e e
e
dt
x dt
y dt
e
e
−
−
−
∂
∂
=
⋅
+
⋅
=
−
+
−
=
−
+
−
=
∂
∂
=
−
Ostatecznie
( )
0
1
dF
dt
=
.
Uwaga.
Wynik ten można uzyskać prościej wstawiając do funkcji
( )
,
f x y
za
2
,
t
t
x
e
y
e
−
=
=
.
Otrzymamy wówczas
( )
( )
2
2
2
3
2
t
t
t
t
t
F t
e
e
e
e
e
−
=
−
=
−
i
( )
3
2
3
2
t
t
F t
e
e
′
=
−
.
Zatem
( )
0
3 2 1
F
′
= − =
.
Twierdzenie 5 (o pochodnych cząstkowych funkcji złożonej)
Niech
1. funkcje
( )
( )
,
,
,
=
=
x
x u v
y
y u v
mają pochodne w punkcie
(
)
0
0
,
u v
,
2. funkcja
( )
,
=
z
f x y
ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
(
)
0
0
0
0
(
,
), (
,
)
x u v
y u v
.
Wtedy funkcja złożona
( ) (
)
,
( , ), ( , )
=
F u v
f x u v y u v
ma w punkcie
(
)
0
0
,
u v
pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu wyrażone wzorami:
,
,
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
=
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
F
f
x
f
y
F
f
x
f
y
u
x
u
y
u
v
x
v
y
v
gdzie pochodne cząstkowe
/
,
/
,
/
,
/
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
x
u
x
v
y
u
y
v obliczone są w punkcie
(
)
0
0
,
u v
, a pochodne
/
,
/
∂ ∂
∂ ∂
f
x
f
y w punkcie
(
)
0
0
0
0
(
,
), (
,
)
x u v
y u v
.
Uwaga.
Powyższe wzory można zapisać w formie iloczynu macierzy:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
x
F
F
f
f
u
v
y
v
u
x
x
y
u
v
,
Jeżeli f jest funkcją tylko jednej zmiennej, to reguły różniczkowania funkcji złożonej
( ) (
)
,
( , )
=
F u v
f x u v
przyjmują postać:
,
.
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
=
⋅
=
⋅
∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
F
f
x
F
f
x
u
x
u
v
x
v
Przykład 6.
Obliczyć pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji złożonej
( ) (
)
,
( , ), ( , )
=
F u v
f x u v y u v
w punkcie
(
)
0
0
,
u v
, jeżeli
( )
(
) ( )
2
2
0
0
,
,
,
,
,
1,1
=
−
+
= +
= −
=
f x y
x
xy y
x
u v
y
u v
u v
.
Rozwiązanie.
Mamy:
2
,
2 ,
1 ,
1,
1 ,
1
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
= − +
=
=
=
= −
∂
∂
∂
∂
∂
∂
f
f
x
x
y
y
x
y
x
y
x
y
u
v
u
v
.
(
) (
)
2
1
2
1
2 ,
∂
∂ ∂
∂ ∂
=
⋅
+
⋅
=
− ⋅ + − +
⋅ = + = + + − =
∂
∂ ∂
∂ ∂
F
f
x
f
y
x
y
x
y
x
y
u v u v
u
u
x
u
y
u
230
(
) (
)( )
2
1
2
1
3
3
3(
) 3(
)
6 ,
∂
∂ ∂
∂ ∂
=
⋅
+
⋅
=
− ⋅ + − +
− =
−
=
+ −
− =
∂
∂ ∂
∂ ∂
F
f
x
f
y
x
y
x
y
x
y
u v
u v
v
v
x
v
y
v
Zatem
( )
( )
1,1
2 ,
1,1
6
∂
∂
=
=
∂
∂
F
F
u
v
.
IV. Pochodna kierunkowa funkcji
Definicja 7. (pochodna kierunkowa funkcji)
Niech będzie dany na płaszczyźnie wektor
=
v
(
)
,
x
y
v v
taki, że
2
2
1
=
+
=
x
y
v
v
v
. Wektor
v
nazywamy wektorem jednostkowym (wersorem). Jeżeli
α
jest miarą kąta, jaki tworzy ten
wektor z dodatnim kierunkiem osi OX a
β −
miarą kąta, jaki tworzy ten wektor z dodatnim
kierunkiem osi OY , to
cos
,
cos
=
α
=
β
x
y
v
v
. Są to tzw. cosinusy kierunkowe wektora
v .
Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie
(
)
0
0
,
x y
w kierunku wersora
=
v
(
)
,
x
y
v v
określamy wzorem:
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
lim
→
+
+
−
∂
=
∂
def
x
y
t
f x
tv y
tv
f x y
f
x y
v
t
.
Uwaga.
1. Z definicji pochodnej kierunkowej wynika, że dla wektorów
( )
1, 0
= =
v
i
oraz
( )
0,1
= =
v
j
mamy:
(
)
(
)
0
0
0
0
,
,
∂
∂
=
∂
∂
f
f
x y
x y
i
x
i
(
)
(
)
0
0
0
0
,
,
∂
∂
=
∂
∂
f
f
x y
x y
j
y
2. Niektórzy autorzy przyjmują, że w definicji pochodnej kierunkowej t dąży do zera
poprzez wartości dodatnie tj.
0
+
→
t
.
Twierdzenie 6.
Jeżeli istnieją ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji f w punkcie
(
)
0
0
,
x y
, to
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
,
,
cos
,
cos
∂
∂
∂
=
⋅
α +
⋅
β
∂
∂
∂
f
f
f
x y
x y
x y
v
x
y
,
lub
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
,
,
,
∂
∂
∂
=
⋅ +
⋅
∂
∂
∂
x
y
f
f
f
x y
x y
v
x y
v
v
x
y
.
W zapisie macierzowym
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
,
,
,
∂
∂
∂
=
⋅
∂
∂
∂
x
y
v
f
f
f
x y
x y
x y
v
v
x
y
.
Przykład 7.
Obliczyć pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach dla
wymienionych wersorów:
231
a)
( )
(
) ( )
(
)
2
2
1
1
0
0
2
2
,
2
,
,
1,1 ,
,
=
+
=
=
f x y
x
y
x y
v
;
b)
( )
(
) ( )
(
)
2
2
3
4
0
0
5
5
,
,
,
4,3 ,
,
=
+
=
= − −
f x y
x
y
x y
v
.
Rozwiązanie.
a)
( )
( )
4 ,
1,1
4 ,
2 ,
1,1
2
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
f
f
f
f
x
y
x
x
y
y
,
1
1
,
2
2
=
=
x
y
v
v
.
Zatem pochodna kierunkowa
( )
( )
( )
1
1
6
1,1
1,1
1,1
4
2
3 2
2
2
2
∂
∂
∂
=
⋅ +
⋅ = ⋅
+ ⋅
=
=
∂
∂
∂
x
y
f
f
f
v
v
v
x
y
.
b)
( )
( )
2
2
2
2
4
3
,
4, 3
,
,
4, 3
5
5
∂
∂
∂
∂
=
=
=
=
∂
∂
∂
∂
+
+
f
x
f
f
y
f
x
x
y
y
x
y
x
y
,
3
4
,
5
5
= −
= −
x
y
v
v
.
Pochodna kierunkowa
( )
( )
( )
4
3
3
4
24
4, 3
4, 3
4, 3
5
5
5
5
25
∂
∂
∂
=
⋅ +
⋅ =
−
+
−
= −
∂
∂
∂
x
y
f
f
f
v
v
v
x
y
.
Interpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej
Niech
γ
oznacza kąt nachylenia do płaszczyzny xOy półstycznej do krzywej otrzymanej w
wyniku przekroju wykresu funkcji f półpłaszczyzną przechodzącą przez prostą
0
0
,
=
=
x
x
y
y oraz równoległą do wersowa
v . Wtedy
(
)
0
0
,
∂
= γ
∂
f
x y
tg
v
.
Pochodna kierunkowa określa
szybkość zmiany wartości funkcji f w kierunku wektora
v .
Rys.2 Inerpretacja geometryczna pochodnej kierunkowej funkcji.
Definicja 8. (gradient funkcji)
Gradientem funkcji nazywamy wektor
grad
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
∂
∂
=
∂
∂
def
f
f
f x y
x y
x y
x
x
.
232
Uwaga.
Jeżeli dane są dwa wektory na płaszczyźnie:
(
)
(
)
,
,
,
=
=
x
y
x
y
a
a a
b
b b
, to iloczynem
skalarnym tych wektorów nazywamy liczbę:
| | | | cos
=
+
=
⋅
⋅
γ
x x
y y
a b
a b
a b
a
b
,
gdzie
γ
jest miarą kąta między tymi wektorami ( 0
≤ γ ≤ π
).
Pochodną kierunkową można zapisać zatem w następujący sposób:
(
)
0
0
,
∂
=
∂
f
x y
v
grad
(
)
0
0
,
f x y
v
=
|grad
(
)
0
0
,
f x y
| | | cos
⋅
⋅
γ
v
,
gdzie
γ
jest miarą kąta między gradientem a wektorem kierunkowym.
Pochodna kierunkowa osiągnie największą wartość, gdy cos
1
γ =
, czyli
0
γ =
.Oznacza to,
ż
e w tym przypadku gradient jest równoległy do wektora
v .
Interpretacja geometryczna gradientu
1. Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym
punkcie.
2. Gradient funkcji w punkcie jest prostopadły do poziomicy funkcji przechodzącej przez ten
punkt.
Rys.3 Gradient wskazuje kierunek najszybszego Rys.4 Gradient funkcji jest prostopadły
wzrostu funkcji w punkcie. do poziomicy.
Przykład 7.
Obliczyć gradienty i pochodne kierunkowe podanych funkcji we wskazanych punktach i
kierunkach
:
a)
( )
(
) (
)
(
)
3
3
3
1
0
0
2
2
,
,
,
1,1 ,
,
=
+
= −
=
−
f x y
x
y
x y
v
;
b)
( )
(
) ( )
(
)
3
4
0
0
5
5
,
sin cos
,
,
0,
,
,
=
=
π
=
−
f x y
x
y
x y
v
.
Rozwiązanie.
a)
(
)
(
)
2
2
3
,
1,1
3 ,
3
,
1,1
3
∂
∂
∂
∂
=
−
=
=
−
=
⇒
∂
∂
∂
∂
f
f
f
f
x
y
x
x
y
x
grad
(
) ( )
1,1
3,3
−
=
f
Pochodna kierunkowa
(
)
1,1
∂ − =
∂
f
v
grad
(
)
1,1
−
f
v
=
( )
(
)
( )
3
3
3 3
3
1
1
2
2
2
2
2
2
3, 3
,
3
3
−
= ⋅ + ⋅ −
= −
.
b)
( )
( )
cos cos
,
0,
1 ,
sin sin
,
0,
0
∂
∂
∂
∂
=
π = −
= −
π =
∂
∂
∂
∂
f
f
f
f
x
y
x
y
x
x
y
x
,
233
grad
( ) (
)
0,
1, 0
π = −
f
.
Pochodna kierunkowa
( )
0,
∂
π =
∂
f
v
grad
( )
0,
π
f
v
=
(
)
(
)
( )
( )
3
3
3
4
4
5
5
5
5
5
1, 0
,
1
0
−
− = − ⋅ + ⋅ − = −
.
V. Ekstrema funkcji dwóch zmiennych
1. Ekstrema lokalne
Definicja 9. (minimum lokalne funkcji dwóch zmiennych)
1. Funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego punktu
takie, że dla dowolnego punktu
( )
,
x y
z tego otoczenia zachodzi nierówność :
( )
(
)
0
0
,
,
f x y
f x y
≥
.
Rys.5 Funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
Rys.6 Funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
minimum lokalne minimum lokalne właściwe.
2. Funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo
tego punktu takie, że dla dowolnego punktu
( )
,
x y
z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność :
( )
(
)
0
0
,
,
f x y
f x y
>
.
Definicja 10. (maksimum lokalne funkcji dwóch zmiennych)
1. Funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie tego
punktu takie, że dla dowolnego punktu
( )
,
x y
z tego otoczenia zachodzi nierówność :
( )
(
)
0
0
,
,
f x y
f x y
≤
.
2. Funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo
tego punktu takie, że dla dowolnego punktu
( )
,
x y
z tego sąsiedztwa zachodzi nierówność :
( )
(
)
0
0
,
,
f x y
f x y
<
.
234
Rys.5 Funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
Rys.6 Funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
maksimum lokalne maksimum lokalne właściwe.
Uwaga.
Maksimum lub minimum lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.
Twierdzenie 7. (warunek konieczny istnienia ekstremum)
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. ma ekstremum lokalne w punkcie
(
)
0
0
,
x y
,
2. istnieją pochodne cząstkowe
(
)
(
)
0
0
0
0
/
,
,
/
,
f
x x y
f
y x y
∂ ∂
∂ ∂
,
to
(
)
(
)
0
0
0
0
,
0 ,
,
0
f
f
x y
x y
x
y
∂
∂
=
=
∂
∂
.
Uwaga.
Funkcja może mieć ekstrema tylko w punktach, w których wszystkie jej pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu są równe 0 albo w punktach, w których przynajmniej jedna z nich nie
istnieje.
Punkty , w których pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe 0 nazywamy punktami
stacjonarnymi.
Uwaga.
1. Warunek
(
)
(
)
0
0
0
0
,
0 ,
,
0
f
f
x y
x y
x
y
∂
∂
=
=
∂
∂
można zapisać w równoważny sposób:
grad
(
) ( )
0
0
,
0, 0
f x y
=
.
2. Zerowanie się w punkcie obu pochodnych cząstkowych nie gwarantuje istnienia
ekstremum lokalnego. Np. funkcja
( )
3
,
f x y
x
= −
, (rys.) spełnia warunki
( )
( )
0, 0
0 ,
0, 0
0
f
f
x
y
∂
∂
=
=
∂
∂
,
ale nie ma ekstremum w punkcie
( )
0, 0
(rys).
235
Twierdzenie 8. (warunek dostateczny ekstremum funkcji dwóch zmiennych)
Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego w otoczeniu punktu
(
)
0
0
,
x y
oraz niech
(
)
(
)
0
0
0
0
,
0 ,
,
0
f
f
x y
x y
x
y
∂
∂
=
=
∂
∂
.
1. Jeżeli
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
2
0
0
0
0
2
,
,
,
,
,
,
0
,
,
f
f
x y
x y
x
x y
f
f
f
W x y
x y
x y
x y
x
y
x y
f
f
x y
x y
y x
y
∂
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
=
=
−
>
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂ ∂
∂
,
to funkcja f ma ekstremum lokalne właściwe w punkcie
(
)
0
0
,
x y
.
a) Jest to minimum , gdy
(
)
2
0
0
2
,
0
f
x y
x
∂
>
∂
.
b) Jest to maksimum , gdy
(
)
2
0
0
2
,
0
f
x y
x
∂
<
∂
.
2. Jeżeli
(
)
0
0
,
0
W x y
<
, to funkcja nie ma ekstremum w punkcie
(
)
0
0
,
x y
.
Uwaga
Jeżeli
(
)
0
0
,
0
W x y
=
, to badanie, czy funkcja ma ekstremum lokalne w punkcie
(
)
0
0
,
x y
,
przeprowadzamy innymi metodami (np. korzystając z definicji).
Przykład 8.
Znaleźć ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych:
a)
( )
3
2
,
3
6
4
f x y
y
x y
xy
=
+
−
+
;
b)
( )
(
)
2
,
2
x
f x y
x
y
e
=
+
.
Rozwiązanie.
a) Dziedzina
2
f
D
R
=
(cała płaszczyzna).
Warunek konieczny ekstremum:
2
2
6
0,
3
3
6
0
0.
f
xy
y
x
f
y
x
x
y
∂
=
− =
∂
∂
=
+
−
= =
∂
Rozwiązaniami tego układu są punkty (stacjonarne):
( )
(
)
( ) ( )
1
2
3
4
1,1 ,
1, 1 ,
0, 0 ,
2, 0
P
P
P
P
−
.
Teraz obliczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu oraz ich wartości dla punktów
stacjonarnych. Wyniki wygodniej jest przedstawić w postaci tabeli:
236
( )
1
1,1
P
(
)
2
1, 1
P
−
( )
3
0, 0
P
( )
4
2, 0
P
2
2
6
f
y
x
∂
=
∂
6
6
−
0
0
2
6
6
f
x
x y
∂
=
−
∂ ∂
0
0
6
−
6
2
6
6
f
x
y x
∂
=
−
∂ ∂
0
0
6
−
6
2
2
6
f
y
y
∂
=
∂
6
6
−
0
0
( )
,
W x y
=
6
6
6
6
6
6
y
x
x
y
−
−
( )
1,1
36
0
W
=
>
minimum
lokalne
(
)
1, 1
36
0
W
− =
>
maksimum
lokalne
( )
0, 0
36
0
W
=
− <
brak
ekstremum
( )
2, 0
36
0
W
=
− <
brak
ekstremum
Zatem funkcja f ma minimum lokalne w punkcie
( )
1,1
równe
( )
min
1,1
2
f
f
=
=
oraz
ma maksimum lokalne w punkcie
(
)
1, 1
−
równe
(
)
max
1, 1
6.
f
f
=
− =
b) Dla funkcji
( )
(
)
2
,
2
x
f x y
x
y
e
=
+
mamy:
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
,
2
,
x
x
x
x
f
f
e
x
y
e
x
y
e
ye
x
y
∂
∂
=
+
+
=
+
+
=
∂
∂
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
,
2
,
2
x
x
x
x
x
f
f
f
f
e
x
y
e
x
y
e
ye
e
x
x y
y x
y
∂
∂
∂
∂
=
+
+
+
=
+
+
=
=
=
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
.
Rozwiązaniem układu równań
(
)
2
2
2
0,
2
0,
x
x
f
x
y
e
x
f
ye
y
∂
=
+
+
=
∂
∂
=
=
∂
są liczby
1
x
= −
i
0
y
=
. Zatem funkcja f może mieć ekstremum w punkcie
(
)
1, 0
−
.
Ponieważ w tym punkcie mamy
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1, 0
1, 0
2
0
1, 0
4
0
0
2
1, 0
1, 0
f
f
x
x y
e
W
e
e
f
f
y x
y
−
−
−
∂
∂
−
−
∂
∂ ∂
−
=
=
=
>
∂
∂
−
−
∂ ∂
∂
,
oraz
(
)
2
1
2
1, 0
2
0
f
e
x
−
∂
−
=
>
∂
,
więc funkcja f ma tam minimum lokalne równe
(
)
1
min
1, 0
2
f
f
e
−
=
−
= −
.
237
Zadanie2
Znaleźć ekstrema lokalne podanych funkcji dwóch zmiennych:
a)
( )
3
2
,
6
f x y
x
xy
xy
= +
+
;
b)
( )
(
)
1
2
2
,
y
f x y
x
y e
=
+
.
Odpowiedzi.
a)
(
)
min
3, 3
6 3
f
f
=
− = −
,
(
)
max
3, 3
6 3
f
f
=
−
− =
.
b)
(
)
min
2
0, 2
f
f
e
=
− = −
.
2. Ekstremum warunkowe funkcji
Definicja 11. (minimum warunkowe funkcji)
Funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
minimum lokalne właściwe z warunkiem
( )
,
0
g x y
=
(minimum warunkowe) , gdy
(
)
0
0
,
0
g x y
=
oraz istnieje liczba
δ
>0 taka, że
( )
(
)
0
0
,
,
f x y
f x y
>
dla każdego punktu
( )
,
x y
należącego do sąsiedztwa
(
)
0
0
( ,
),
S
x y
δ
spełniającego warunek
( )
,
0
g x y
=
.
Definicja 12. (maksimum warunkowe funkcji)
Funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
maksimum lokalne właściwe z warunkiem
( )
,
0
g x y
=
(maksimum warunkowe) , gdy
(
)
0
0
,
0
g x y
=
oraz istnieje liczba
δ
>0 taka, że
( )
(
)
0
0
,
,
f x y
f x y
<
dla każdego punktu
( )
,
x y
należącego do sąsiedztwa
(
)
0
0
( ,
),
S
x y
δ
spełniającego warunek
( )
,
0
g x y
=
.
Rys. 7. Funkcja f osiąga w punkcie
(
)
0
0
,
x y
maksimum z warunkiem
( )
,
0.
g x y
=
Uwaga.
Jeżeli równanie
( )
,
0
g x y
=
daje się rozwikłać, czyli możliwe jest wyznaczenie zmiennej y
jako funkcji zmiennej
x
tj.
( )
y
h x
=
,
;
x
a b
∈
, lub zmiennej
x
jako funkcji zmiennej y
tj.
( )
x
p y
=
,
;
y
c d
∈
, to szukamy ekstremów funkcji jednej zmiennej
(
)
, ( )
f x h x
na
przedziale
;
a b
lub funkcji jednej zmiennej
(
)
( ),
f p y y
na przedziale
;
c d
( stosując
rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej ).
238
Przykład 9.
Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji przy podanych warunkach:
a)
( )
2
,
2
2
,
f x y
x
xy
y
=
−
+
( )
,
g x y
=
2
0
y
x
−
=
;
b)
( )
2
,
2
f x y
x
xy
=
−
,
( )
2
,
0
g x y
x
y
= −
=
.
Rozwiązanie.
a) Równanie
( )
,
0
g x y
=
w tym przypadku daje się rozwikłać. Mamy
2
y
x
=
. Wstawiając
do funkcji f otrzymujemy funkcję jednej zmiennej :
( )
( )
2
2
2
2
4
3
( )
,
2
2
2
2 .
h x
f x x
x
x x
x
x
x
x
=
=
−
⋅ +
=
−
+
Warunek konieczny istnienia ekstremum:
( )
0
h x
′
=
.
(
)
(
)
2
3
2
1
2
1
( )
4
6
2
4
1
0
1
2
h x
x
x
x
x
x
x
′
=
−
+ =
+
−
=
⇔
= − ∨ =
.
W punkcie
1
2
x
= −
funkcja h ma minimum lokalne (gdyż pochodna
( )
h x
′
zmienia znak z
−
na
+
w otoczeniu tego punktu), natomiast w punkcie
1
x
=
nie ma ekstremum (gdyż
pochodna nie zmienia znaku w otoczeniu tego punktu). Dla
1
2
x
= −
2
1
1
2
4
y
= −
=
.
Zatem funkcja
( )
2
,
2
2
f x y
x
xy
y
=
−
+
ma w punkcie
(
)
1
1
2
4
,
−
minimum warunkowe przy
warunku
2
y
x
=
.
(
)
1
1
11
min
2
4
16
,
f
f
=
−
= −
.
b) Równanie
( )
,
0
g x y
=
w tym przypadku daje się też rozwikłać. Mamy
2
x
y
=
.
Wstawiając do funkcji f otrzymujemy funkcję jednej zmiennej :
(
) ( )
2
2
2
2
4
3
( )
,
2
2
p y
f y
y
y
y
y
y
y
=
=
−
⋅ =
−
.
Warunek konieczny istnienia ekstremum:
( )
0
p y
′
=
.
(
)
3
2
2
3
2
3
( )
4
6
4
0
0
2
p y
y
y
y
y
y
y
′
=
−
=
− =
⇔ = ∨ =
.
W punkcie
3
2
x
=
funkcja ma minimum lokalne (gdyż pochodna
( )
p y
′
zmienia znak z
−
na
+
w otoczeniu tego punktu), natomiast w punkcie
0
y
=
nie ma ekstremum (gdyż
pochodna nie zmienia znaku w otoczeniu tego punktu). Dla
3
2
y
=
9
4
x
=
.
Zatem funkcja
( )
2
,
2
f x y
x
xy
=
−
ma w punkcie
( )
9
3
4
2
,
minimum warunkowe przy
warunku
2
x
y
=
.
( )
9
3
27
min
4
2
16
,
f
f
=
= −
.
Zadanie 3.
Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji przy podanych warunkach:
a)
( )
( )
,
4
,
,
6
0
f x y
xy
g x y
x
y
=
= − − =
;
b)
( )
( )
2
2
,
,
,
1
0
f x y
x
xy
y
g x y
x
y
=
+
+
= + − =
.
Odpowiedzi.
a)
(
)
min
3, 3
36
f
f
=
− =
; b)
( )
3
1
1
min
2
2
4
,
f
f
=
=
.
239
Metoda mnożników nieoznaczonych Lagrange`a
Wyznaczanie ekstremów warunkowych funkcji f przy warunku
( )
,
0
g x y
=
możemy
przeprowadzić wprowadzając funkcję pomocniczą ( funkcję Lagrange`a ) postaci:
(
)
( )
( )
, ,
,
,
L x y
f x y
g x y
λ =
+ λ
,
gdzie
λ
jest pewnym nieoznaczonym mnożnikiem.
Wówczas możemy wypowiedzieć następujące twierdzenie.
Twierdzenie 9. (warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego)
Niech funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
ekstremum lokalne właściwe z warunkiem
( )
,
0
g x y
=
. Załóżmy, że funkcje dwóch zmiennych f oraz g mają ciągłe pochodne
cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu w otoczeniu punktu
(
)
0
0
,
x y
.
Wówczas istnieje liczba
0
λ
taka, że:
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
0,
,
,
0,
,
0.
x
y
L
x y
L
x y
g x y
λ =
λ =
=
Twierdzenie 10. (warunek dostateczny istnienia ekstremum warunkowego)
Załóżmy, że funkcje dwóch zmiennych f oraz g mają ciągłe pochodne cząstkowe
pierwszego i drugiego rzędu w otoczeniu punktu
(
)
0
0
,
x y
oraz niech liczby
0
0
,
x y
oraz
0
λ
spełniają układ równań:
(
)
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
,
,
0,
,
,
0,
,
0,
x
y
L
x y
L
x y
g x y
λ =
λ =
=
gdzie
(
)
( )
( )
, ,
,
,
L x y
f x y
g x y
λ =
+ λ
jest funkcją Lagrange`a.
Oznaczmy przez
(
)
0
0
0
det
,
,
H x y
λ
wyznacznik stopnia trzeciego (zwany hesjanem
obramowanym) postaci:
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
( ,
)
( ,
)
det
,
,
( ,
)
( ,
,
)
( ,
,
)
( ,
)
( ,
,
)
( ,
,
)
x
y
x
xx
xy
y
yx
yy
g x y
g
x y
H x y
g x y
L
x y
L
x y
g
x y
L
x y
L
x y
λ =
λ
λ
λ
λ
.
1. Jeżeli
(
)
0
0
0
det
,
,
0
H x y
λ >
, to funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
maksimum warunkowe
z warunkiem
( )
,
0
g x y
=
.
2. Jeżeli
(
)
0
0
0
det
,
,
0
H x y
λ <
, to funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
minimum warunkowe
z warunkiem
( )
,
0
g x y
=
.
240
Uwaga.
Ekstremum warunkowe funkcji f formułuje się także przy warunku
( )
,
g x y
c
=
. Wówczas
funkcja Lagrange`a ma postać :
(
)
( )
( )
, ,
,
,
L x y
f x y
c
g x y
λ =
+ λ −
. Nie zmienia to jednak
warunków koniecznych i dostatecznych ekstremum warunkowego.
Mnożnik
λ
oraz stała
c
w tym przypadku mają pewne interpretacje ekonomiczne .
Algorytm znajdowania ekstremów warunkowych metodą mnożników nieoznaczonych
Lagrange`a.
1. Wyznaczamy dziedzinę funkcji f przy warunku
( )
,
0
g x y
=
.
2. Tworzymy funkcję Lagrange`a :
(
)
( )
( )
, ,
,
,
L x y
f x y
g x y
λ =
+ λ
.
3. Wyznaczamy pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji L .
4. Rozwiązujemy układ równań:
(
)
(
)
( )
, ,
0,
, ,
0,
,
0.
x
y
L
x y
L
x y
g x y
λ =
λ =
=
5. Wyznaczamy pochodne cząstkowe drugiego rzędu funkcji L oraz pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu funkcji g i tworzymy wyznacznik
(
)
det
, ,
H x y
λ
.
6. Badamy znak wyznacznika
(
)
det
, ,
H x y
λ
dla rozwiązań układu z punktu
4:
a) jeżeli
(
)
0
0
0
det
,
,
0
H x y
λ >
, to funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
maksimum
warunkowe z warunkiem
( )
,
0
g x y
=
.
b) jeżeli
(
)
0
0
0
det
,
,
0
H x y
λ <
, to funkcja f ma w punkcie
(
)
0
0
,
x y
minimum
warunkowe z warunkiem
( )
,
0
g x y
=
.
7. Obliczamy wartości funkcji f w punktach, w których występuje ekstremum.
Przykład 10.
Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji przy podanych warunkach stosując metodę
mnożników Lagarange`a:
a)
( )
,
2
f x y
x
y
= +
przy warunku
( )
2
2
,
5
0
g x y
x
y
=
+
− =
;
b)
( )
2
2
,
2
1
f x y
x
x
y
=
−
−
+
przy warunku
( )
2
2
,
2
3
0
g x y
x
y
x
=
+
−
− =
.
Rozwiązanie.
a) Dziedziną funkcji
( )
,
2
f x y
x
y
= +
jest
2
R . Funkcja Lagrange`a ma postać:
(
)
(
)
2
2
, ,
2
5
L x y
x
y
x
y
λ = +
+ λ
+
−
.
1 2
,
2 2
x
y
L
x
L
y
= + λ
= + λ
.
(
)
(
)
( )
2
2
, ,
0
1 2
0
, ,
0
2 2
0
5
,
0
x
y
L
x y
x
L
x y
y
x
y
g x y
λ =
+ λ =
λ =
⇔
+ λ =
+
=
=
.
241
Rozwiązaniem tego układu są następujące trójki liczb:
1
1
1
1
1 ,
2 ,
2
x
y
=
=
λ = −
oraz
2
2
2
1
1 ,
2 ,
2
x
y
= −
= −
λ =
.
Obliczamy następnie:
2 ,
2
xx
yy
L
L
= λ
= λ
,
0
xy
yx
L
L
=
=
oraz
2 ,
2
x
y
g
x
g
y
=
=
.
Hesjan obramowany ma postać:
(
)
0
0
2
2
det
, ,
2
2
0
2
0
2
x
y
x
xx
xy
y
yx
yy
g
g
x
y
H x y
g
L
L
x
g
L
L
y
λ =
=
λ
λ
.
(
)
1
2
0
2
4
det
1, 2,
2
1
0
20
0
4
0
1
H
− =
−
=
>
−
,
(
)
1
2
0
2
4
det
1, 2,
2
1
0
20
0
4
0
1
H
−
−
− −
= −
= − <
−
.
Zatem funkcja
( )
,
2
f x y
x
y
= +
ma w punkcie
( )
1, 2
maksimum warunkowe równe
( )
max
1, 2
5
f
f
=
=
a w punkcie
(
)
1, 2
− −
minimum warunkowe równe
(
)
min
1, 2
5
f
f
=
− − = −
.
b) Dziedziną funkcji
( )
2
2
,
2
1
f x y
x
x
y
=
−
−
+
jest
2
R . Funkcja Lagrange`a ma postać:
(
)
(
)
2
2
2
2
, ,
2
2
3
L x y
x
x
y
x
y
x
λ =
−
−
+ λ
+
−
−
.
2
2
(2
2)
(2
2)(1
) ,
2
2
x
y
L
x
x
x
L
y
y
=
− + λ
− =
−
+ λ
= − + λ
.
(
)
(
)
( )
2
2
, ,
0
(2
2)(1
)
0
, ,
0
2
2
0
2
3
0
,
0
x
y
L
x y
x
L
x y
y
y
x
y
x
g x y
λ =
−
+ λ =
λ =
⇔
−
+ λ =
+
−
− =
=
.
Rozwiązaniem tego układu są następujące trójki liczb:
1
1
1
1 ,
2 ,
1
x
y
=
=
λ =
;
2
2
2
1 ,
2 ,
1
x
y
=
= −
λ =
;
3
3
3
1 ,
0 ,
1
x
y
= −
=
λ = −
;
4
4
4
3 ,
0 ,
1
x
y
=
=
λ = −
.
Obliczamy następnie:
2 2 ,
2
xx
yy
L
L
= + λ
= λ
,
0
xy
yx
L
L
=
=
oraz
2
2 ,
2
x
y
g
x
g
y
=
−
=
.
Hesjan obramowany ma postać:
(
)
0
0
2
2
2
det
, ,
2
2
2 2
0
2
0
2
x
y
x
xx
xy
y
yx
yy
g
g
x
y
H x y
g
L
L
x
g
L
L
y
−
λ =
=
−
+ λ
λ
.
(
)
0
0
4
det
1, 2,1
0
4
0
64
0
4
0
2
H
=
= − <
,
(
)
0
0
4
det
1, 2,1
0
4
0
64
0
4
0
2
H
−
=
= − <
,
(
)
0
4
0
det
1, 0, 1
4
0
0
32
0
0
0
2
H
−
−
− = −
=
>
−
,
(
)
0
4
0
det
3, 0, 1
4
0
0
32
0
0
0
2
H
− =
=
>
−
.
242
Zatem funkcja
( )
2
2
,
2
1
f x y
x
x
y
=
−
−
+
ma w punktach
( )
1, 2
oraz
(
)
1, 2
−
minimum
warunkowe równe
( )
(
)
min
1, 2
1, 2
4
f
f
f
=
=
− = −
a w punktach
(
)
1, 0
−
oraz
( )
3, 0
maksimum
warunkowe równe
(
)
( )
max
1, 0
3, 0
4
f
f
f
=
−
=
=
.
Zadanie 4.
Wyznaczyć ekstrema warunkowe funkcji przy podanych warunkach stosując metodę
mnożników Lagarange`a:
a)
( )
,
4
f x y
x
y
= +
przy warunku
( )
,
4
0
g x y
xy
=
− =
;
b)
( ) (
)
2
,
f x y
x
y
= +
przy warunku
( )
2
2
,
2
0
g x y
x
y
=
+
− =
.
Odpowiedzi.
a)
( )
(
)
min
max
4,1
8 ,
4, 1
8
f
f
f
f
=
=
=
− − = −
;
b)
(
)
(
)
( )
(
)
min
max
1,1
1, 1
0 ,
1,1
1, 1
4
f
f
f
f
f
f
=
−
=
− =
=
=
− − =
.
3. Największa i najmniejsza wartość funkcji dwóch zmiennych
w obszarze domkniętym
Definicja 13. (najmniejsza i największa wartość funkcji w obszarze domkniętym)
1. Liczba
m
jest
najmniejszą wartością funkcji w obszarze domkniętym
f
A
D
⊂
, jeżeli w
tym obszarze istnieje taki punkt, w którym ta funkcja przyjmuje wartość
m
oraz dla
dowolnego punktu
( )
,
x y
A
∈
zachodzi nierówność
( )
,
f x y
m
≥
.
2. Liczba M jest największą wartością funkcji w obszarze domkniętym
f
A
D
⊂
, jeżeli w
tym obszarze istnieje taki punkt, w którym ta funkcja przyjmuje wartość M oraz dla
dowolnego punktu
( )
,
x y
A
∈
zachodzi nierówność
( )
,
f x y
M
≤
.
Uwaga.
Najmniejszą i największą wartość funkcji w obszarze domkniętym nazywamy
ekstremami
globalnymi funkcji f a tym obszarze.
Ich istnienie zapewnia nam twierdzenie 3 (Weierstrassa) str. 101.
Wyznaczanie najmniejszej i największej wartości funkcji w obszarze
domkniętym.
Załóżmy, że funkcja f ma ciągle pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w obszarze
domkniętym A i niech krzywa
Γ
będzie brzegiem tego obszaru.
243
Algorytm znajdowania ekstremów globalnych:
1. Wyznaczamy punkty
(
)
(
)
(
)
1
1
1
2
2
2
,
,
,
,...,
,
k
k
k
P x y
P x y
P x y
A
∈
, w których zerują się
pochodne cząstkowe pierwszego rzędu (punkty stacjonarne). Obliczamy wartości funkcji f
w tych punktach:
( ) ( )
( )
1
2
,
,...,
k
f P
f P
f P
.
2. Znajdujemy największą i najmniejszą wartość funkcji f na krzywej
Γ
będącej brzegiem
tego obszaru (ekstrema warunkowe). Niech te wartości będą osiągnięte w punktach
1
2
,
Q
Q
∈Γ
tj. niech
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
,
,
min
,
,
max
,
x y
x y
f Q
f x y
f Q
f x y
∈Γ
∈Γ
=
=
.
Wówczas:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
{
}
1
2
1
,
min
,
min
,
,...,
,
k
x y
A
f x y
f P
f P
f P
f Q
∈
=
,
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
{
}
1
2
2
,
max
,
max
,
,...,
,
k
x y
A
f x y
f P
f P
f P
f Q
∈
=
.
Przykład 11.
Wyznaczyć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych obszarach:
a)
( )
2
2
,
2
f x y
x
y
=
−
na obszarze
( )
{
}
2
2
2
,
:
36
A
x y
R
x
y
=
∈
+
≤
;
b)
( )
2
,
8
4
f x y
x y
x
y
=
− −
na obszarze
( )
{
}
2
,
:
0
0
4
A
x y
R
x
y
x
y
=
∈
≥ ∧ ≥ ∧ + ≤
.
Rozwiązanie
a) Obszar A jest kołem domkniętym o środku w początku układu i promieniu długości 6
(rysunek)
Znajdziemy najpierw punkty we
wnętrzu rozważanego obszaru,
w którym funkcja może mieć
ekstrema. Mamy:
2
0
0
0
4
0
f
x
x
x
y
f
y
y
∂
=
=
∂
⇔ = ∧ =
∂
= −
=
∂
,
(warunek konieczny istnienia ekstremum).
Funkcja f może mieć ekstremum
w punkcie
( )
0, 0
A
∈
. Obliczamy wartość funkcji w tym punkcie:
( )
0, 0
0
f
=
.
Zbadamy teraz funkcję f na brzegu obszaru A tj. na okręgu
2
2
36
x
y
+
=
.
Z równania
2
2
36
x
y
+
=
otrzymujemy, że
2
2
36
y
x
=
−
. Po wstawieniu do wzoru na funkcję
f otrzymujemy funkcję jednej zmiennej :
( )
(
)
2
2
2
2 36
3
72,
6; 6 .
g x
x
x
x
x
=
−
−
=
−
∈ −
Funkcja kwadratowa
g przyjmuje wartość najmniejszą w punkcie
0
x
=
, równą
(0)
72
g
= −
,
oraz wartość największą w punktach
6
x
= −
i
6
x
=
równą
( )
( )
6
6
36
g
g
− =
=
Z porównania otrzymanych wartości w punktach
( ) (
) ( ) (
) ( )
0, 0 ,
6, 0 , 6, 0 , 0, 6 , 0, 6
−
−
wynika, że funkcja f osiąga wartość najmniejszą równą 72
−
, (w punktach
(
)
0, 6
−
i
( )
0, 6
),
a wartość największą równą 36 , (w punktach
(
)
6, 0
−
i
( )
6, 0
). Ostatecznie:
( )
( )
,
min
,
72
x y
A
f x y
∈
= −
,
( )
( )
,
max
,
36
x y
A
f x y
∈
=
.
244
b) Rozważany obszar jest trójkątem o wierzchołkach
( ) ( ) ( )
0, 0 , 0, 4 , 4, 0
, (rysunek)
Wyznaczymy punkty wewnątrz tego trójkąta,
w których funkcja może mieć ekstremum. Mamy:
2
2
8
0,
4
0.
f
xy
x
f
x
y
∂
=
− =
∂
∂
=
− =
∂
Rozwiązując powyższy układ otrzymujemy
dwa punkty:
( )
2, 2
i
(
)
2, 2
− −
. Zauważmy, że
punkt
( )
2, 2
leży na brzegu, a punkt
(
)
2, 2
− −
poza
rozważanym obszarem, czyli żaden z nich nie leży
w jego wnętrzu.
Zbadamy teraz funkcję na brzegu obszaru A . Brzeg składa się z trzech odcinków (zobacz
rysunek). Badanie funkcji na brzegu sprowadza się do analizy tej funkcji na odpowiednich
prostych:
I :
0,
y
=
gdzie 0
4 ,
x
≤ ≤
II :
0,
x
=
gdzie 0
4 ,
y
≤ ≤
III :
4
y
x
= −
, gdzie 0
4
x
≤ ≤
.
Mamy zatem:
I :
( )
( )
, 0
8
g x
f x
x
=
= −
, gdzie 0
4 ,
x
≤ ≤
II :
( )
( )
0,
4
h x
f
y
y
=
= −
, gdzie 0
4 ,
y
≤ ≤
III :
( )
(
)
3
2
, 4
4
4
16
p x
f x
x
x
x
x
=
− = − +
−
−
, gdzie 0
4
x
≤ ≤
.
Ponieważ dwie pierwsze funkcje są liniowe, więc największe i najmniejsze wartości na
końcach przedziału określoności. Mamy zatem trzy punkty, w których funkcja f może mieć
wartości ekstremalne. Są to punkty:
( ) ( ) ( )
0, 0 , 0, 4 , 4, 0
. W punktach tych mamy:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0
0, 0
0
0 ,
4
4, 0
32 ,
4
0, 4
16
g
f
h
g
f
h
f
=
=
=
=
= −
=
= −
.
Natomiast dla funkcji p mamy:
( )
2
3
8
4
p x
x
x
′
= −
+
−
. Zatem
( )
2
2
0
3
8
4
0
2
3
g x
x
x
x
x
′
=
⇔ −
+
− =
⇔ = ∨ =
.
Ponieważ wyznaczone powyżej dwa punkty należą do wnętrza przedziału
0; 4
, więc
funkcja p może przyjmować wartości ekstremalne dla
2
3
,
2
x
x
=
=
oraz na końcach
przedziału, czyli dla
0
x
=
i
4.
x
=
Tym samym funkcja
f może mieć wartości
ekstremalne na prostej III w punktach
( )
( ) ( )
10
2
3
3
,
, 2, 2 , 0, 4
i
( )
4, 0
, przy czym
( )
( )
10
464
5
2
2
3
3
3
27
27
,
17
p
f
=
= −
= −
, oraz
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2, 2
16 ,
0
0, 4
16 ,
4
4, 0
16
p
f
p
f
p
f
=
= −
=
= −
=
= −
.
Z porównania otrzymanych wartości wynika, że
( )
( )
( )
,
min
,
4, 0
32
x y
A
f x y
f
∈
=
= −
,
( )
( )
( )
,
max
,
0, 0
0
x y
A
f x y
f
∈
=
=
.
245
Zadanie 5.
Wyznaczyć najmniejsze i największe wartości podanych funkcji na wskazanych obszarach:
a)
( )
4
4
,
f x y
x
y
=
+
na obszarze
( )
{
}
2
2
2
,
:
9
A
x y
R
x
y
=
∈
+
≤
;
b)
( )
2
,
4
4
f x y
xy
xy
x
=
+
−
na obszarze
( )
{
}
2
,
:
3
3
3
0
A
x y
R
x
y
=
∈
− ≤ ≤ ∧ − ≤ ≤
.
c)
( )
(
)
2
,
4
f x y
x y
x
y
=
− −
na obszarze
( )
{
}
2
,
:
0
0
6
A
x y
R
x
y
x
y
=
∈
≥ ∧ ≥ ∧ + ≤
.
Odpowiedzi.
a)
( )
( )
( )
,
min
,
0, 0
0
x y
A
f x y
f
∈
=
=
,
( )
( )
(
)
(
)
,
max
,
0, 3
3, 0
81
x y
A
f x y
f
f
∈
=
± =
±
=
.
b)
( )
( )
(
)
,
min
,
3, 2
24
x y
A
f x y
f
∈
=
− = −
,
( )
( )
(
)
,
max
,
3, 2
24
x y
A
f x y
f
∈
=
− − =
.
c)
( )
( )
( )
,
min
,
4, 2
64
x y
A
f x y
f
∈
=
= −
,
( )
( )
( )
,
max
,
2,1
4
x y
A
f x y
f
∈
=
=
.
VI. Funkcje jednorodne
Definicja 13.
Mówimy, że funkcja f jest jednorodna stopnia
α
, jeżeli pomnożenie każdego z jej
argumentów przez stałą
t powoduje zmianę wartości funkcji w proporcji t
α
, to znaczy:
(
)
( )
,
,
f t x t y
t f x y
α
=
.
Uwaga.
Ogólnie rzecz biorąc
t może przyjmować dowolną wartość. Aby jednak powyższe równanie
miało sens, punkt
(
)
,
t x t y
nie może wykraczać poza dziedzinę funkcji
f . Z tego powodu w
zastosowaniach ekonomicznych zwykle zakłada się, że stała
t jest dodatnia, ponieważ
większość zmiennych ekonomicznych nie przyjmuje wartości ujemnych.
Twierdzenie 11. (Eulera)
Funkcja
f różniczkowalna w obszarze
2
D
R
⊂
jest jednorodna stopnia
α
wtedy i tylko
wtedy, gdy spełnia warunek
( )
( )
( )
,
,
,
f
f
x
x y
y
x y
f x y
x
y
∂
∂
+
= α
∂
∂
.
Równość ta nosi nazwę
wzoru Eulera.
Liniowa jednorodność.
Funkcje jednorodne stopnia pierwszego nazywamy funkcjami
liniowo jednorodnymi.
Oznacza to, że
(
)
( )
,
,
f t x t y
t f x y
=
.
Zatem zwiększenie wszystkich argumentów (zmiennych niezależnych)
t
−
krotnie zawsze
spowoduje dokładnie
t
−
krotne zwiększenie wartości funkcji.
Uwaga.
Dla funkcji liniowo jednorodnych wzór Eulera ma postać:
246
( )
( )
( )
,
,
,
f
f
x
x y
y
x y
f x y
x
y
∂
∂
+
=
∂
∂
.
Przykład 12.
Zbadać, czy podane funkcje są liniowo jednorodne i czy spełniają związek Eulera.
a)
( )
3
2
3
,
f x y
x
xy
y
= −
+
; b)
( )
,
f x y
x
y
=
⋅
; c)
( )
,
x
f x y
y
=
.
Rozwiązanie.
a) Mamy dla dowolnego
0
t
>
(
) ( )
( ) ( )
(
)
( )
3
2
3
3
3
3
2
3
3
3
3
2
3
3
,
,
f t x t y
tx
tx ty
ty
t x
t xy
t y
t
x
xy
y
t f x y
=
− ⋅
+
=
−
+
=
−
+
=
.
Zatem funkcja jest jednorodna stopnia 3.
2
2
2
3
,
2
3
f
f
x
y
xy
y
x
y
∂
∂
=
−
= −
+
∂
∂
.
Sprawdzamy, czy spełnione jest równanie Eulera:
( )
( )
(
) (
)
(
)
( )
2
2
2
3
2
3
3
2
3
,
,
3
2
3
3
3
3
3
3
,
.
f
f
x
x y
y
x y
x
x
y
y
xy
y
x
xy
y
x
y
x
xy
y
f x y
∂
∂
+
=
−
+ −
+
=
−
+
=
∂
∂
=
−
+
=
.
Funkcja ta spełnia więc równanie Eulera.
b) Mamy dla dowolnego
0
t
>
(
) ( )( )
( )
2
,
,
f t x t y
tx ty
t xy
t xy
t f x y
=
=
=
=
.
Zatem funkcja jest jednorodna stopnia 1 czyli jest liniowo jednorodna.
( )
,
f x y
x
y
=
⋅
⇒
,
2
2
y
f
f
x
x
y
x
y
∂
∂
=
=
∂
∂
.
Sprawdzamy, czy spełnione jest równanie Eulera:
( )
( )
( )
1
1
,
,
,
2
2
2
2
x y
f
f
y x
x
x y
y
x y
x
y
x
y
x y
f x y
x
y
x
y
∂
∂
+
=
+
=
⋅
+
⋅
=
=
∂
∂
.
Funkcja ta spełnia więc równanie Eulera.
c) Mamy dla dowolnego
0
t
>
(
)
( )
0
,
,
tx
x
f t x t y
t
f x y
ty
y
=
= = ⋅
.
Funkcja jest jednorodna stopnia 0.
2
1
,
f
f
x
x
y
y
y
∂
∂
=
= −
∂
∂
.
Sprawdzamy, czy spełnione jest równanie Eulera:
( )
( )
( )
2
1
,
,
0
0
,
f
f
x
x
x y
y
x y
x
y
f x y
x
y
y
y
∂
∂
+
=
+
−
= = ⋅
∂
∂
.
Funkcja ta spełnia więc równanie Eulera
247
VII. Funkcje uwikłane
Niech F będzie funkcją dwóch zmiennych określoną i ciągłą w pewnym obszarze
2
D
R
⊂
i
niech E będzie zbiorem takich punktów
( )
,
x y
, w których
( )
,
0
F x y
=
.
Niech punkt
(
)
0
0
,
x y
E
∈
. Powstaje ważne dla zastosowań pytanie: kiedy przez punkt
(
)
0
0
,
x y
przechodzi krzywa ciągła o równaniu
( )
y
y x
=
,
której wszystkie punkty należą do zbioru E ? Jeżeli taka krzywa istnieje, to jedna czy więcej?
Możemy więc wypowiedzieć następującą definicję.
Definicja 14. (funkcje uwikłane)
Funkcją uwikłaną określoną przez warunek
( )
,
0
F x y
=
nazywamy każdą funkcję
( )
y
y x
=
spełniającą równość
(
)
, ( )
0
F x y x
=
dla wszystkich
x
z pewnego przedziału I , lub każdą
funkcję
( )
x
x y
=
spełniającą równość
(
)
( ),
0
F x y y
=
dla wszystkich y z pewnego
przedziału J .
Uwaga.
Funkcję
( )
y x
spełniającą warunek
(
)
, ( )
0
F x y x
=
nazywamy elementem funkcji uwikłanej
zmiennej
x
, albo rozwiązaniem równania
( )
,
0
F x y
=
względem zmiennej y w otoczeniu
punktu
(
)
0
0
,
x y
.
Rys.8 Funkcje uwikłane
( )
y
y x
=
oraz
( )
x
x y
=
określone warunkiem
( , )
0
F x y
=
.
Odpowiedź na postawione pytanie daje nam następujące twierdzenie.
Twierdzenie 12. ( o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej)
Niech funkcja F ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w otoczeniu punktu
(
)
0
0
,
x y
oraz niech spełnia warunki:
1.
(
)
0
0
,
0
F x y
=
,
2.
(
)
0
0
,
0
F
x y
y
∂
≠
∂
.
248
Wtedy w pewnym otoczeniu
( )
0
O x
punktu
0
x istnieje jednoznacznie określona funkcja
uwikłana
( )
y
y x
=
spełniająca warunki:
a)
( )
0
0
y x
y
=
,
b)
( )
(
)
(
)
, ( )
, ( )
F
x y x
x
y x
F
x y x
y
∂
∂
′
= − ∂
∂
dla każdego
( )
0
x
O x
∈
.
Uwaga.
Jeżeli ponadto funkcja F ma pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu
(
)
0
0
,
x y
, to funkcja uwikłana
( )
y
y x
=
jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym
otoczeniu punktu
0
x
i jej druga pochodna wyraża się wzorem:
2
2
3
2
xx
y
xy
x
y
yy
x
y
F F
F F F
F F
y
F
−
+
′′ = −
.
Rys.9 Ilustracja do twierdzenia o istnieniu i różniczkowalności funkcji uwikłanej
Przykład 13.
Obliczyć pierwszą i drugą pochodną funkcji uwikłanych postaci
( )
y
y x
=
określonych
podanymi równaniami w otoczeniu wskazanych punktów:
a)
(
) ( )
2
2
0
0
2
0,
,
1,1
x y
xy
x y
+
− =
=
; b)
2
0
x
y
e
e
xy
+ − − =
,
(
) ( )
0
0
,
0, 0
x y
=
.
Rozwiązanie.
a) Niech
( )
2
2
,
2.
F x y
x y
xy
=
+
−
Obliczmy kolejno:
2
2
2
,
2
x
y
F
xy
y
F
x
xy
=
+
=
+
,
2 ,
2 ,
2
2
xx
yy
xy
F
y
F
x
F
x
y
=
=
=
+
. Ponieważ
( )
1,1
3
0
y
F
= ≠
, więc w otoczeniu punktu
( )
1,1
istnieje funkcja uwikłana postaci
( )
y
y x
=
.
2
2
2
2
x
y
F
xy
y
y
F
x
xy
+
′ = −
= −
+
i dla
1,
1
x
y
=
=
( )
3
1
1
3
y
′
= − = −
.
(
)
(
)
(
)(
) (
)
(
)
2
2
3
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
.
2
xx
y
xy
x
y
yy
x
y
F F
F F F
F F
y
F
y x
xy
x
y
x
y
x
xy
x
xy
y
x
xy
−
+
′′ = −
=
+
−
+
+
+
+
+
=
+
249
Dla
1,
1
x
y
=
=
( )
54
1
2.
27
y
′′
= −
= −
b) Niech
( )
,
2.
x
y
F x y
e
e
xy
= + − −
Obliczmy kolejno:
,
x
y
x
y
F
e
y F
e
x
= −
= −
,
,
,
1
x
y
xx
yy
xy
F
e
F
e
F
=
=
= −
. Ponieważ
( )
0, 0
1
0
y
F
= ≠
, więc w otoczeniu punktu
( )
0, 0
istnieje funkcja uwikłana postaci
( )
y
y x
=
.
x
x
y
y
F
e
y
y
F
e
x
−
′ = −
= −
−
i dla
0,
0
x
y
=
=
( )
0
1
y
′
= −
.
(
)
(
)(
) (
)
(
)
2
2
2
2
3
3
2
2
x
y
x
x
y
y
x
xx
y
xy
x
y
yy
x
y
y
e
e
x
e
e
y
e
x
e
e
y
F F
F F F
F F
y
F
e
x
−
−
−
− +
−
−
+
′′ = −
=
−
.
Dla
0,
0
x
y
=
=
( )
0
0
y
′′
=
.
Ekstrema funkcji uwikłanej
Twierdzenie 13. (o ekstremach lokalnych funkcji uwikłanej)
Niech funkcja F ma ciągłe pochodne cząstkowe drugiego rzędu w otoczeniu punktu
(
)
0
0
,
x y
oraz niech spełnia warunki:
1.
(
)
0
0
,
0
F x y
=
,
2.
(
)
(
)
0
0
0
0
,
0 ,
,
0
F
F
x y
x y
x
y
∂
∂
=
≠
∂
∂
,
3.
(
)
(
)
(
)
2
0
0
2
0
0
0
0
,
,
0
,
F
x y
x
A x y
F
x y
y
∂
∂
= −
≠
∂
∂
.
Wtedy funkcja uwikłana
( )
y
y x
=
określona przez warunek
( )
,
0
F x y
=
ma w punkcie
0
x
ekstremum lokalne i jest to:
minimum, gdy
(
)
0
0
,
0
A x y
>
albo
maksimum, gdy
(
)
0
0
,
0.
A x y
<
Uwaga.
Równość
(
)
0
0
/
,
0
F
x x y
∂ ∂
=
jest warunkiem koniecznym, a nierówność
(
)
2
2
0
0
/
,
0
F
x
x y
∂
∂
≠
warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum funkcji uwikłanej.
Prawdziwe jest analogiczne twierdzenie o ekstremach funkcji uwikłanej postaci
( )
x
x y
=
.
250
Rys.10. Funkcja uwikłana
1
( )
y
y x
=
ma w punkcie
1
x maksimum lokalne, a funkcja
2
( )
y
y x
=
ma
w punkcie
2
x minimum lokalne .
Algorytm znajdowania ekstremów lokalnych funkcji uwikłanej
1. Punkty, w których funkcja uwikłana może mieć ekstrema lokalne, znajdujemy korzystając
z warunku koniecznego istnienia ekstremum. W tym celu rozwiązujemy układ warunków:
( )
,
0
F x y
=
,
( )
( )
,
0 ,
,
0
F
F
x y
x y
x
y
∂
∂
=
≠
∂
∂
.
2. W otrzymanych punktach
(
)
0
0
,
x y
sprawdzamy warunek wystarczający istnienia
ekstremum, tj. badamy, czy zachodzi nierówność:
(
)
(
)
(
)
2
0
0
2
0
0
0
0
,
,
0
,
F
x y
x
A x y
F
x y
y
∂
∂
= −
≠
∂
∂
.
Na podstawie znaku A ustalamy rodzaj ekstremum.
Przykład 14.
Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanych postaci
( )
y
y x
=
określonych podanymi
równaniami:
a)
2
2
2
0
x
xy
y
x
y
+
+
+ − − =
; b)
3
3
3
0
x
y
xy
+
−
=
.
Rozwiązanie
a) Niech
( )
2
2
,
2
F x y
x
xy
y
x
y
=
+
+
+ − −
. Mamy:
2
1
F
x
y
x
∂ = + +
∂
.
Otrzymujemy układ równań:
( )
2
2
,
2
0,
2
1
0.
F x y
x
xy
y
x
y
F
x
y
x
=
+
+
+ − − =
∂ = + + =
∂
Rozwiązaniem tego układu są punkty:
(
) (
)
1
1
,
0, 1
x y
=
−
oraz
(
)
(
)
5
7
2
2
3
3
,
,
x y
= −
. Zatem tylko
w tych punktach funkcje uwikłane (jeżeli istnieją) mogą mieć ekstremum. Zbadamy teraz, czy
w tych punktach spełniony jest warunek gwarantujący istnienie funkcji uwikłanej.
Mamy
2
1
F
x
y
y
∂ = + −
∂
.
251
Stwierdzamy, że
(
)
(
)
5
7
3
3
0, 1
3
0 ,
,
2
0
F
F
y
y
∂
∂
− = − ≠
−
= ≠
∂
∂
.
Zatem w otoczeniach punktów
1
0
x
=
i
2
5
3
x
= −
istnieją funkcje uwikłane. Korzystamy
teraz z warunku dostatecznego. Obliczamy:
2
2
2
F
x
∂
=
∂
, (dla każdego
( )
2
,
x y
R
∈
), a następnie
( )
( )
( )
2
2
,
2
,
2
1
,
F
x y
x
A x y
F
x
y
x y
y
∂
∂
= −
=
∂
+
−
∂
.
Mamy:
(
)
2
0, 1
0
3
A
− = − <
oraz
(
)
5
7
3
3
,
1
0
A
−
= >
.
Funkcje uwikłane postaci
( )
y
y x
=
mają w punktach
1
0
x
=
i
2
5
3
x
= −
odpowiednio
maksimum oraz minimum lokalne równe
max
1
y
= −
i
min
7
3
y
=
.
b) W tym przykładzie mamy do rozwiązania układ równań:
( )
3
3
2
,
3
0,
3
3
0.
F x y
x
y
xy
F
x
y
x
= +
−
=
∂ = − =
∂
Rozwiązaniami tego układu są punkty
( )
(
)
3
3
0, 0 ,
2, 4 .
Ponieważ
2
3
3
F
y
x
y
∂ = −
∂
, więc
( )
0, 0
0
F
y
∂
=
∂
oraz
(
)
3
3
3
2, 4
3 2
0
F
y
∂
=
≠
∂
.
Zatem jedynym punktem, w którym funkcja uwikłana
( )
y
y x
=
określona równaniem
3
3
3
0
x
y
xy
+
−
=
istnieje i może mieć ekstremum jest punkt
(
)
3
3
2, 4 . Ponieważ
2
2
6
F
x
x
∂
=
∂
,
więc
( )
( )
( )
2
2
2
,
6
,
3
3
,
F
x y
x
x
A x y
F
y
x
x y
y
∂
∂
= −
=
∂
−
∂
,
i
(
)
3
3
3
3
6 2
2, 4
2
0
3 2
A
= −
= − <
,
co oznacza, ze rozważana funkcja uwikłana w punkcie
3
0
2
x
=
ma maksimum lokalne
równe
3
max
4
y
=
.
252
Zadanie 6.
Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanych postaci
( )
y
y x
=
określonych podanymi
równaniami:
a)
2
2
2
4
0
x
y
xy
x
y
+
− −
+
=
; b)
2
(
)
3
x
y
y
xy
x
−
= +
−
.
Odpowiedzi.
a) Rozważana funkcja uwikłana ma w punkcie
1
2
3
x
=
maksimum lokalne równe
max
4
2
3
y
=
−
, a w punkcie
2
2
3
x
= −
minimum lokalne równe
min
4
2
3
y
−
=
−
.
b) ) Rozważana funkcja uwikłana ma w punkcie
1
0
x
=
minimum lokalne równe
min
1
y
=
, a w punkcie
2
6
5
x
=
maksimum lokalne równe
max
9
5
y
=
.
VIII. Wybrane zastosowania ekonomiczne funkcji dwóch
zmiennych
1. Elastyczności cząstkowe
Dla funkcji dwóch zmiennych
( )
,
z
f x y
=
określamy tzw.
elastyczność cząstkową funkcji
w danym punkcie.
Załóżmy, że w ustalonym punkcie
(
)
0
0
,
x y
dziedziny funkcji
(
)
0
0
,
0
f x y
≠
.
1. Elastyczność cząstkową funkcji f względem zmiennej
x
w punkcie
(
)
0
0
,
x y
definiujemy wzorem:
(
)
(
) ( )
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
x
x
f
E f x y
x y
x
f x y
∂
=
⋅
∂
.
2. Elastyczność cząstkową funkcji f względem zmiennej y definiujemy wzorem:
(
)
(
) ( )
0
0
0
0
0
0
0
,
,
,
y
y
f
E f x y
x y
y
f x y
∂
=
⋅
∂
.
Uwaga.
Elastyczności cząstkowe podają w przybliżeniu procentowy przyrost (wzrost lub spadek)
wartości funkcji f gdy odpowiednia zmienna wzrośnie o 1% przy ustalonej wartości
drugiej zmiennej.
Przykład 15.
Powróćmy do przykładu 2, w którym podana jest funkcja produkcji Cobba – Douglasa.
Ma
ona postać:
,
, ,
0
Y
AK L
A
α β
=
α β >
,
253
gdzie: Y
−
wielkość produkcji, K
−
wartość kapitału, L
−
zatrudnienie (kapitał ludzki),
A
−
stała dodatnia. Jest ona szczególnym przypadkiem funkcji produkcji w postaci ogólnej:
(
)
,
Y
Y K L
=
,
gdzie, tak jak poprzednio Y
−
produkcja , K
−
kapitał, L
−
zatrudnienie.
Omówimy teraz kilka interesujących własności tej funkcji.
1. Pochodna cząstkowa
Y
K
∂
∂
, (przy stałym zatrudnieniu L ) , określa prędkość zmian w
produkcji odpowiadającą dowolnie małym zmianom kapitału, podczas gdy zatrudnienie jest
stałe
Zatem
Y
K
∂
∂
, (przy stałym zatrudnieniu L ) , określa funkcję krańcowej (marginalnej) zmiany
produkcji Y względem kapitału K , czyli krańcową produkcyjność kapitału.
Podobnie pochodna cząstkowa
Y
L
∂
∂
, (przy stałym kapitale K ) , określa prędkość zmian w
produkcji odpowiadającą dowolnie małym zmianom zatrudnienia, podczas gdy kapitał jest
stały.
Zatem
Y
L
∂
∂
(przy stałym kapitale K ) określa funkcję krańcowej (marginalnej) zmiany
produkcji Y względem zatrudnienia L , czyli krańcową wydajność pracy.
Dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa Y
AK L
α β
=
−
krańcowa produkcyjność kapitału jest równa
1
Y
A K
L
K
α−
β
∂ = α⋅ ⋅
⋅
∂
,
−
krańcowa wydajność pracy jest równa
1
Y
A K
L
L
α
β−
∂ = β⋅ ⋅ ⋅
∂
.
2. Zbadamy teraz jednorodność funkcji produkcji Cobba-Douglasa .
Dla dowolnego
0
t
>
(
)
( ) ( )
(
)
,
,
Y tK tL
A tK
tL
t
AK L
t
Y K L
α
β
α+β
α β
α+β
= ⋅
⋅
=
⋅
=
.
Zatem funcja ta jest jednorodna stopnia
α + β
.
a) Jeżeli
1
α + β <
, to funkcja produkcji wskazuje
malejące efekty skali.
b) Jeżeli
1
α + β =
, to funkcja produkcji jest liniowo jednorodna. Oznacza to, że
w tym
przypadku, zwiększenie kapitału i zatrudnienia
t
−
krotnie spowoduje dokładnie
t
−
krotne
zwiększenie wartości produkcji. Mówimy w tym przypadku o
stałych efektach skali.
c) Jeżeli
1
α + β >
, to funkcja produkcji wskazuje
rosnące efekty skali.
3. Obliczymy teraz elastyczności cząstkowe funkcji produkcji Cobba-Douglasa w dowolnym
punkcie
(
)
,
K L
. Mamy:
(
)
(
) ( )
1
,
,
,
K
Y
K
K
E Y K L
K L
AK
L
K
Y K L
AK L
α− β
α β
∂
=
⋅
= α
⋅
= α
∂
,
(
)
(
) ( )
1
,
,
,
L
Y
L
L
E Y K L
K L
AK L
L
Y K L
AK L
α β−
α β
∂
=
⋅
= β
⋅
= β
∂
,.
Oznacza to, ze elastyczności cząstkowe produkcji względem kapitału i względem wielkości
zatrudnienia są wielkościami stałymi.
254
Przykład 16.
Funkcja produkcji Y wyrażasię za pomocą funkcji Cobba-Douglasa majacej postać:
0,25
0,5
520
Y
K
L
=
⋅
.
Obliczyć krańcową produkcyjność kapitału i krańcową wydajność pracy dla
0
16
K
K
=
=
oraz dla
0
81
L
L
=
=
.
Rozwiązanie.
−
krańcowa produkcyjność kapitału jest równa
(
)
( ) ( )
0,75
0,5
1
16,81
0, 25 520 16
81
146, 25
Y
A K
L
K
−
α−
β
∂
= α ⋅ ⋅
⋅ =
⋅
⋅
=
∂
,
−
krańcowa wydajność pracy jest równa
(
)
( ) ( )
0,25
0,5
1
16,81
0, 5 520 16
81
57, 77
Y
A K
L
L
−
α
β−
∂
= β⋅ ⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
∂
.
2. Ekonomiczne wykorzystanie ekstremum warunkowego
1. Załóżmy, że do wyprodukowania Y jednostek towaru jest wykorzystywane
x
jednostek
kapitału oraz y jednostek siły roboczej. Funkcja produkcji
( )
,
Y
Y x y
=
wyrażona jest
wzorem Cobba-Douglasa :
1
,
0 , 0
1
Y
Ax y
A
α
−α
=
>
< α <
.
Załóżmy, że każda jednostka kapitału kosztuje
1
p
zł a każda jednostka siły roboczej
2
p
zł.
Załóżmy dalej, ze całkowita wartość kosztów zaangażowanych w produkcję wynosi M tj.
1
2
p x
p y
M
+
=
(zł.). Jaka wielkość kapitału oraz siły roboczej maksymalizuje produkcję?
Rozwiązać ten problem, gdy
0,2
0,8
Y
x
y
=
,
1
10
p
=
,
2
p
=
20,
5000
M
=
.
Rozwiązanie
Należy wyznczyć ekstremum warunkowe funkcji produkcji
0,2
0,8
Y
x
y
=
przy warunku
( )
,
10
20
5000
0
g x y
x
y
=
+
−
=
.
Funkcja Lagrange`a ma postać:
(
)
(
)
0,2
0,8
, ,
10
20
5000
L x y
x
y
x
y
λ =
+ λ
+
−
Warunek konieczny ekstremum:
(
)
(
)
( )
0,8
0,8
0,2
0,2
, ,
0
0, 2
10
0
, ,
0
0,8
20
0
10
20
5000
,
0
x
x
y
y
L
x y
L
x
y
L
x y
L
x
y
x
y
g x y
−
−
λ =
=
+ λ =
λ =
⇒
=
+ λ =
+
=
=
Wyznaczamy
λ
z dwóch pierwszych równań :
0,8
0,8
1
50
x
y
−
λ = −
oraz
0,2
0,2
1
25
x
y
−
λ = −
.
Porównując te wielkości otrzymujemy
255
0,8
0,8
0,2
0,2
1
1
50
25
x
y
x
y
−
−
−
= −
Wynika stąd, że
2
y
x
=
.
Wstawiając otrzymane y do równania
( )
,
0
g x y
=
otrzymujemy
100
x
=
i
2
200
y
x
=
=
oraz
5
5
1
16
50
25 2
λ = −
= −
.
Sprawdzamy warunek dostateczny ekstremum w punkcie
(
)
100, 200
.
Mamy:
1,8
0,8
0,8
0,2
0,2
1,2
10 ,
20 ,
0,16
,
0,16
,
0,16
x
y
xx
xy
xx
g
g
L
x
y
L
x
y
L
x
y
−
−
−
−
=
=
= −
=
= −
oraz
(
)
5
100, 200
0, 0016
16
xx
L
= −
⋅
,
(
)
5
100, 200
0, 0008
16
xy
L
=
⋅
,
(
)
5
100, 200
0, 0004 16
yy
L
= −
.
Hesja obramowany, w tym przypadku, ma postać:
(
)
5
5
5
5
16
50
5
5
0
10
20
0
det
100, 200,
10
0, 0016 16
0, 0008 16
16
0
20
0.0008 16
0, 0004 16
x
y
x
xx
xy
y
yx
yy
g
g
H
g
L
L
g
L
L
−
=
=
−
=
>
−
,
a to oznacza, że w punkcie
(
)
100, 200
funkcja podukcji ma maksimum równe
(
) ( ) ( )
0,2
0,8
5
max
100, 200
100
200
100 16
Y
Y
=
=
=
.
2. Konsument może wydać 1280 zł na dwa dobra A i B , która kosztują odpowiednio12 zł
i 16 zł za jednostkę. Jego funkcja użyteczności, jak ceni sobie
x
jednostek dobra A i y
jednostek dobra B , dana jest wzorem
( )
0,8
0,2
,
U x y
x
y
=
.
Jaka liczba jednostek dobra A oraz jednostek dobra B maksymalizuje użyteczność
( )
,
U x y
przy ograniczeniu budżetowym:
12
16
1280
x
y
+
=
.
Zastosować metodę Lagrange`a .
Rozwiązanie
Funkcja Lagrange`a ma postać:
(
)
(
)
0,75
0,25
, ,
12
16
1280
L x y
x
y
x
y
λ =
+ λ
+
−
,
( )
,
12
16
1280
g x y
x
y
=
+
−
.
(
)
(
)
( )
0,25
0,25
0,75
0,75
, ,
0
0, 75
12
0
, ,
0
0, 25
16
0
12
16
1280
0.
,
0
x
x
y
y
L
x y
L
x
y
L
x y
L
x
y
x
y
g x y
−
−
λ =
=
+ λ =
λ =
⇒
=
+ λ =
+
−
=
=
Wyznaczamy
λ
z dwóch pierwszych równań :
0,25
0,25
1
16
x
y
−
λ = −
256
oraz
0,75
0,75
1
64
x
y
−
λ = −
.
Porównując te wielkości otrzymujemy
0,25
0,25
1
16
x
y
−
−
=
0,75
0,75
1
64
x
y
−
−
.
Wynika stąd, że
4
x
y
=
oraz
4
4
1
20
2
16
32
80
λ = − ⋅
= −
.
Wstawiając otrzymane
x
do równania
( )
,
0
g x y
=
otrzymujemy
20
y
=
i
4
80
x
y
=
=
oraz
4
4
1
20
2
16
32
80
λ = − ⋅
= −
.
Sprawdzamy warunek dostateczny ekstremum w punkcie
(
)
80, 20
.
Mamy:
1,25
0,25
0,25
0,75
0,75
1,75
3
3
3
12 ,
16 ,
,
,
16
16
16
x
y
xx
xy
xx
g
g
L
x
y
L
x
y
L
x
y
−
−
−
−
=
=
= −
=
= −
oraz
(
)
4
5
4
3
20
3 2
80, 20
16
2560
80
xx
L
= − ⋅
= −
,
(
)
4
3
4
3
1
1
3 2
80, 20
16
640
80
20
xy
L
=
⋅
⋅
= −
,
(
)
3
4
7
4
3
80
3 2
80, 20
16
160
20
yy
L
= − ⋅
= −
.
Hesja obramowany, w tym przypadku ma postać:
(
)
2
3 2
3 2
32
2560
640
3 2
3 2
640
160
0
12
16
0
48 2
det
80, 20,
12
0
10
16
x
y
x
xx
xy
y
yx
yy
g
g
H
g
L
L
g
L
L
−
=
=
−
=
>
−
,
A to oznacza, że w punkcie
(
)
80, 20
funkcja użyteczności ma maksimum równe
(
) ( ) ( )
(
) ( )
( ) ( )
0,75
0,25
0,75
0,25
0,75
0,25
0,75
max
4
3
0,75 0,25
4
4
80, 20
80
20
20 4
20
4
20
20
4
20
16 4 20
2 4 20
40 2.
U
U
+
=
=
=
⋅
=
⋅
⋅
=
=
⋅
=
⋅ ⋅
=
⋅
=
3. Metoda najmniejszych kwadratów
Za pomocą rachunku różniczkowego funkcji wielu zmiennych można wyznaczyć tzw. krzywe
regresji, często używane w statystyce i ekonometrii. Metoda najmniejszych kwadratów
(MNK) polega na wyznaczeniu współczynników funkcji, którą przyjmujemy jako
dopasowanie do danych empirycznych ( punktów obserwacji).
Załóżmy, że danych jest
n
punktów (obserwacji)
(
)
,
i
i
x y
,
1, 2,...,
i
n
=
. W naszych
rozważaniach zajmiemy się dopasowaniem do tych punktów
funkcji liniowej y
ax b
=
+
.
Oznaczmy przez ˆ
i
i
y
ax
b
=
+
. Liczby ˆ
i
y nazywamy wartościami teoretycznymi zmiennej y .
257
Idea tej metody polega na wyznaczeniu wartości ,
a b
tak, aby suma kwadratów odchyleń
zaobserwowanych wartości
i
y od jej wartości teoretycznych ˆ
i
y była najmniejsza. Warunek
ten zapisujemy następująco:
(
)
2
1
ˆ
n
i
i
i
y
y
=
−
→
∑
min.
Rys. 11. Interpretacja MNK dla regresji liniowej
Zanim wyprowadzimy wzory na współczynniki funkcji regresji, podamy pewne właności
znaku sumy i średniej arytmetycznej.
Załóżmy, że
1
2
,
,...,
n
x x
x są liczbami rzeczywistymi.. Wówczas
sumę tych liczb zapisujemy
za pomocą
znaku sumy
∑
(sigma) w następująy sposób:
1
2
1
..
n
n
i
i
x
x
x
x
=
+ + +
=
∑
i czytamy „sigma od i równego 1 do
n
”. Liczba i jest tzw. wskaźnikiem sumacyjnym i
może być oznaczona inną literą np.
,
k
j
itp. ,
1
i
= −
dolna granica sumowania, n
−
górna
granica sumowania.
Dolna granica sumowania może być dowolnie ustaloną liczbą całkowitą. Górna granica nie
może być mniejsza od dolnej.
Symbol sumy ma następujące własności:
1)
(
)
1
1
1
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
x
y
x
y
=
=
=
+
=
+
∑
∑
∑
.
Istotnie
(
) (
) (
)
(
) (
) (
)
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
...
..
..
.
n
i
i
n
n
n
n
i
n
n
i
i
i
i
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
x
y
y
y
x
y
=
=
=
+
=
+
+
+
+ +
+
=
+ + +
+
+ + +
=
=
+
∑
∑
∑
2)
1
1
n
n
i
i
i
i
c x
c
x
=
=
⋅ =
∑
∑
( stałą można wyłączyć przed znak sumy).
Istotnie
(
)
1
2
1
2
1
1
...
...
n
n
i
n
n
i
i
i
c x
c x
c x
c x
c
x
x
x
c
x
=
=
⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅
+ + +
=
∑
∑
.
258
3)
1
...
n
i
n razy
c
c
c
c
c n
=
−
= + + + = ⋅
∑
.
Średnią arytmetyczną liczb
1
2
,
,...,
n
x x
x nazywamy liczbę
(
)
1
2
1
1
1
..
n
n
i
i
x
x
x
x
x
n
n
=
=
+ + +
=
∑
.
Wynika stad, że
1
2
1
..
n
n
i
i
x
x
x
x
n x
=
+ + + =
= ⋅
∑
.
Udowodnimy teraz trzy interesujące
własności średniej arytmetycznej:
1)
(
)
1
0 ;
n
i
i
x
x
=
−
=
∑
2)
(
)
2
2
2
1
1
.
n
n
i
i
i
i
x
x
x
n x
=
=
−
=
− ⋅
∑
∑
3)
(
)(
)
1
n
i
i
i
x
x
y
y
=
−
−
∑
=
1
.
n
i
i
i
x y
n x y
=
− ⋅ ⋅
∑
Dowód.
1)
(
) (
) (
)
(
) (
)
1
2
1
2
1
...
...
0
n
i
n
n
i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n x
n x
n x
=
−
=
−
+
−
+ +
− =
+ + +
− ⋅ = ⋅ − ⋅ =
∑
.
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2)
2
2
2
2
.
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
n
n
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x n x
n x
x
n x
n x
x
n x
=
=
=
=
=
=
=
=
−
=
−
+
=
−
+
=
=
−
⋅ + ⋅
=
−
⋅
+ ⋅
=
− ⋅
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(
)(
)
(
)
(
) (
)
1
1
1
1
1
1
1
1
3)
2
.
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x y
xy
yx
x y
x y
x
y
y
x
n x y
x y
x n y
y n x
n x y
x y
n x y
n x y
x y
n x y
=
=
=
=
=
=
=
=
−
−
=
−
−
+ ⋅
=
−
−
+ ⋅ ⋅ =
=
−
⋅ −
⋅ + ⋅ ⋅ =
−
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
− ⋅ ⋅
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Wyprowadzenie wzorów na współczynniki funkcji regresji
Oznaczmy przez
( )
,
S a b
funkcję zmiennych ,
a b
postaci:
( )
(
)
(
)
2
2
1
1
ˆ
,
n
n
i
i
i
i
i
i
S a b
y
y
y
ax
b
=
=
=
−
=
−
−
∑
∑
.
Naszym zadaniem jest wyznaczyć minimum tej funkcji.
Z warunku koniecznego ekstremum wynika, że
( )
( )
,
0,
,
0.
S
a b
a
S
a b
b
∂
=
∂
∂
=
∂
Korzystając z twierdzenia o pochodnej sumy funkcji i funkcji złożonej, mamy:
(
)
(
)
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
S
y
ax
b
y
ax
b x
a
x
b
x
x y
a
a
=
=
=
=
=
∂
∂
=
−
−
= −
−
−
=
+
−
∂
∂
∑
∑
∑
∑
∑
,
259
(
)
(
)
2
1
1
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
S
y
ax
b
y
ax
b
a
x
nb
y
b
b
=
=
=
=
∂
∂
=
−
−
= −
−
−
=
+
−
∂
∂
∑
∑
∑
∑
.
Otrzymujemu układ równań normalnych:
2
1
1
1
1
1
0,
0.
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
a
x
b
x
x y
a
x
nb
y
=
=
=
=
=
+
−
=
+
−
=
∑
∑
∑
∑
∑
Rozwiązaniem tego układu są liczby:
( )
(
)(
)
(
)
1
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
,
n
n
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
i
i
x y
nx y
x
x
y
y
a
b
y
a
x
y
ax
n
n
x
n x
x
x
=
=
=
=
=
=
−
⋅
−
−
=
=
=
−
= −
−
−
∑
∑
∑
∑
∑
∑
,
gdzie
,
x
y są średnimi arytmetycznymi z obserwacji.
Aby sprawdzić warunek dostateczny, obliczamy:
( )
2
2
2
1
,
2
,
n
i
i
S
a b
x
a
=
∂
=
∂
∑
( )
2
2
,
2
S
a b
n
b
∂
=
∂
,
( )
2
1
,
2
2
n
i
i
S
a b
x
nx
a b
=
∂
=
=
∂ ∂
∑
,
a następnie
( )
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
2
,
4
4
0.
2
2
n
n
n
i
i
i
i
i
i
S
S
x
nx
a
a b
W a b
n
x
nx
n
x
x
S
S
nx
n
b a
b
=
=
=
∂
∂
∂
∂ ∂
=
=
=
−
=
−
>
∂
∂
∂ ∂
∂
∑
∑
∑
Ponieważ
( )
2
2
2
1
,
2
0
n
i
i
S
a b
x
a
=
∂
=
>
∂
∑
oraz
( )
,
0
W a b
>
, więc otrzymane stałe
a
i b minimalizują
funkcję
( )
,
S a b
.
Uwaga
Metodę najmniejszych kwadratów możemy także stosować w regresji nieliniowej, tzn. w
sytuacji, gdy funkcja, którą chcemy dopasować do danych, nie jest liniowa np. jest
wielomianem, funkcją wykładniczą, funkcją logarytmiczną itp.
Przykład 17.
W poniższej tabeli zestawiono wielkość produkcji pewnego przedsiębiorstwa w kolejnych
latach:
lata
( )
i
x
1
2
3
4
produkcja
( )
i
y
2
3,5
5
5
260
Za pomocą MNK wyznaczyć funkcję trendu liniowego y
ax b
=
+
, która najlepiej
dopasowuje się do danych empirycznych.
Rozwiązanie
Korzystamy z wyprowadzonych wzorów.
1
2
3
4
1 ,
2 ,
3 ,
4
x
x
x
x
=
=
=
=
oraz
1
2
3
4
2 ,
3, 5 ,
5 ,
5
y
y
y
y
=
=
=
=
.
Ś
rednia arytmetyczna
(
)
4
1
1
1
10
1 2 3 4
2, 5
4
4
4
i
i
x
x
=
=
=
+ + + =
=
∑
.
Ś
rednia arytmetyczna
(
)
4
1
1
1
2 3, 5 5 5
3,875
4
4
i
i
y
y
=
=
=
+
+ + =
∑
.
4
2
2
2
3
2
1
1
2
3
4
30
i
i
x
=
= + + +
=
∑
,
4
1
1 2 2 3, 5 3 5 4 5
44
i
i
i
x y
=
= ⋅ + ⋅
+ ⋅ + ⋅ =
∑
.
Zatem
( )
( )
4
1
4
2
2
2
1
44 4 2, 5 3,875
5, 25
1, 05 ,
3,875 1, 05 2, 5 1, 25
5
30 4 2, 5
i
i
i
i
i
x y
nx y
a
b
y
ax
x
n x
=
=
−
⋅
− ⋅
⋅
=
=
=
=
= −
=
−
⋅
=
− ⋅
−
∑
∑
.
Poszukiwana funkcja liniowa regresji ma postać :
1, 05
1, 25
y
x
=
+
.
261
BIBLOGRAFIA
1.
Banaś J. , Podstawy matematyki dka ekonomistów,
Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2005.
2. Gawinecki J. , Matematyka dla ekonomistów, Wyższa Szkoła Handlu i Prawa
w Warszawie, 2000.
3. Gewert M. , Skoczylas Algebra liniowa 1, Definicje, twierdzenia, wzory,
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław ,1999.
4
.
Gurgul H. , Suder M. Matematyka dla kierunków ekonomicznych ,
Oficyna a Wolter Kluwer business , Kraków .2009.
5. Mostowski A., Stark M. , Elementy algebry wyższej, PWN . Warszawa , 1968,
(lub wydania późniejsze)
Opracował: dr Franciszek Bogowski