EGZAMIN Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ, I ROK INFORMATYKI
Nazwisko
Imię
Data
Nr zestawu
1
• W polu
należy wpisać jedną z dwu wartości logicznych: 1 – gdy zdanie jest prawdziwe lub 0 – gdy zdanie jest fałszywe.
Za prawidłowe rozwiązanie 2 pkt., za brak rozwiązania 0 pkt., za błędne rozwiązanie −2 pkt.
• W zadaniach bez pola
należy dokończyć rozpoczęte zdanie w taki sposób, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Za prawi-
dłowe rozwiązanie 2 pkt., za błędne rozwiązanie lub jego brak 0 pkt.
• Zadania, w których zapis odpowiedzi jest niejednoznaczny (np. skreślenia w polu
, poprawki w tym polu) traktowane
są jako zadania bez rozwiązania (0 pkt.)
1.
Granica ciągu o wyrazie ogólnym a
n
=
n
q
(
1
4
)
n
+ (
1
π
)
n
jest równa
1
π
.
2.
Ciąg o wyrazie ogólnym a
n
= cos(nπ) + 3 ma granicę równą 2.
3. lim
n→∞
3n+2
3n+6
6n+5
=
4.
Ciąg o wyrazie ogólnym a
n
=
√
n
2
+ 4n + 1 −
√
n
2
+ 2n ma granicę równą 1.
5.
Szereg
∞
P
n=1
2n+5
3n
3
+2
jest zbieżny na mocy kryterium porównawczego.
6.
∞
P
n=1
2
n+1
6
n
=
7.
Na mocy kryterium d’Alemberta szereg
∞
P
n=1
2
n
n!
n
n
jest zbieżny.
8.
Szereg
∞
P
n=1
(−1)
n+1
n
n
2
+n+1
jest zbieżny.
9.
Granica lim
x→0
sin 8x
7x
jest równa
7
8
.
10. Granica lim
x→−2
x+2
√
2x
2
+8+2x
jest równa
11.
Funkcja f (x) =
4−x
2
x
2
−1
osiąga maksimum lokalne w punkcie x
0
= 0.
12. Funkcja f (x) =
1
3
x
3
+
3
2
x
2
− 4x jest rosnąca w zbiorze
13.
Pochodna funkcji f (x) = arcsin
√
x w punkcie x
0
=
1
4
jest równa
3
4
.
14.
Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f (x) = 3
x
w punkcie (2, 9) jest
równy 18 ln 3.
15.
Jeśli f (x) =
1
x
e
1
x
, to f
0
(−1) = −e
−1
.
16.
Ciąg funkcyjny (f
n
)
n∈N
, f
n
(x) =
2nx
2
1+nx
3
, jest zbieżny punktowo na zbiorze [−3, 8] ale
nie jest zbieżny jednostajnie na [−3, 8].
17. Promień zbieżności szeregu potęgowego
∞
P
n=1
(2n)!
(n!)
2
x
n
jest równy
18. Pochodna cząstkowa funkcji f : f (x, y) = x sin(x + 2y) względem zmiennej x w punkcie
x
0
= (2, 1) jest równa
∂f
∂x
(x
0
) =
19.
Gradient funkcji f (x, y) = x
2
y − 5x + 8y
2
w punkcie (1, 3) jest równy [1 48].
20.
R (2 − 7x) sin x dx =
21.
e
R
1
(3 − ln x)
1
x
dx =
(c)
0
= 0,
(x
α
)
0
= αx
α−1
,
(sin x)
0
= cos x,
(cos x)
0
= − sin x,
(tgx)
0
=
1
cos
2
x
,
(ctgx)
0
= −
1
sin
2
x
, (a
x
)
0
= a
x
ln a, a > 0, a 6= 1, (sinhx)
0
= coshx,
(coshx)
0
= sinhx,
(tghx)
0
=
1
cosh
2
x
,
(ctghx)
0
= −
1
sinh
2
x
,
(log
a
x)
0
=
1
x ln a
, a > 0, a 6= 1,
(arcsinx)
0
=
1
√
1−x
2
,
(arccosx)
0
= −
1
√
1−x
2
,
(arctgx)
0
=
1
1+x
2
,
(arcctgx)
0
= −
1
1+x
2
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
więcej podobnych podstron