1

Konrad Weinreb 

 

ZADANIA  ZE STANÓW USTALONYCH SYMETRYCZNYCH 

 MASZYN ELEKTRYCZNYCH  

 

1.  TRANSFORMATORY 

 

1.1.      Transformator  jednofazowy  o  danych  :  S

N

 = 10kVA,  U

1N

 = 500V,  U

2N

 = U

20

 = 220V, 

u

k

 = 4,5%, P

wN

 = 100W, P

Fe

 = 120W, I

0

 = 5% I

N

 ma uzwojenie wykonane z miedzi. Po napra-

wie  zastąpiono  uzwojenie  miedziane  uzwojeniem  aluminiowym  o  tych  samych  wymiarach. 
Zakładając równość strat znamionowych przed i po remoncie wyznaczyć dla tego transforma-
tora:  nowe  parametry  schematu  zastępczego,  nową moc znamionową S

x

, nowy prąd znamio-

nowy  I

1x

  oraz  nowe  napięcie  zwarcia  u

k

.  Konduktywność:  miedzi - 

γ

Cu

 = 57MS/m,  alumi-

nium - 

γ

Al

 = 34,8MS/m. 

 
1.2.    Transformator jednofazowy ma liczby zwojów N

1

 = 400, N

2

 = 200, zaś jego parametry 

wynoszą: L

σ

1

 = 0,01H, L

σ

2

 = 0,0025H, L

m

 = 0,75H, R

1

 = 0,6

Ω

, R

2

 = 0,15

Ω

. Określić napięcie 

po  stronie  wtórnej, jeŜeli po stronie pierwotnej przyłoŜono napięcie sinusoidalnie zmienne o 
wartości  skutecznej  220V  i  częstotliwości  f = 50Hz  oraz  gdy  strona  wtórna  jest:  a)  rozwarta, 
b) obciąŜona rezystancją R = 8

Ω

, c) obciąŜona impedancją o charakterze indukcyjnym i war-

tości Z = 8

Ω

, cos

ϕ

 = 0,6. 

 

1.3. 

 Transformator jednofazowy o danych: S

N

 = 5kVA, U

1N

 = 500V, U

2N

 = 220V, u

k

 = 10%, 

P

wN

 = 250W  zasila  element  grzejny  o  danych  znamionowych:  P

N

 = 5kW,  U

N

 = 220V.  O  ile 

zmieniła  się  moc  grzejnika  przy  zasilaniu  z  tego  transformatora?  Wskazówka:  przy  oblicze-
niach  przyjąć  schemat  zastępczy  transformatora  z  pominięciem  prądu  biegu  jałowego  czyli 
parametrów gałęzi poprzecznej. 
 
1.4. 

 Transformator  trójfazowy  ma  dane:  S

N

 = 1000kVA,  U

1N

 = 110kV,  U

2N

 = 6kV,  Yy0, 

u

k

 = 9,5%,  P

wN

 = 4kW,  P

Fe

 = 5kW,  I

0

 = 1,5% I

N

.  Zakładając 

2

1

σ

σ

X

X

′

=

oraz 

2

1

R

R

′

=

  wyzna-

czyć parametry schematu zastępczego transformatora. 
 
1.5. 

 Transformator  3-fazowy  o  danych:  S

N

 = 1000kVA,  U

1N

 = 60kV,  U

2N

 = 6kV,  Yd5, 

u

k

 = 8%,  P

wN

 = 5kW  jest  zasilony  z  sieci  trójfazowej  o    napięciu  U = 60kV.  Na  linii  U = 6kV 

nastąpiło zwarcie trójfazowe w odległości dziesięciu kilometrów od stacji transformatorowej. 
Przyjmując reaktancję fazową linii równą 0,4

Ω

/km obliczyć ustalony prąd zwarcia I

kx

 po stro-

nie 60kV. 
 
1.6. 

 Transformator  o  połączeniu  uzwojeń  Yd5  ma  dane  znamionowe:  S

N

 = 200kVA, 

U

1N

 = 20kV,  U

2N

 = 400V,  u

k

 = 6%,  P

wN

 = 4kW,  f

N

 = 50Hz.  Transformator ten zasila odbiornik 

połączony  w  gwiazdę  o  stałej  impedancji  o  charakterze  pojemnościowym  i  danych  znamio-
nowych: P

N

 = 200kW, U

N

 = 400V, 

6

0,

cos

=

N

ϕ

. Pomijając prąd biegu jałowego określić prąd 

przewodowy  strony  pierwotnej  oraz  napięcie  fazowe  na  odbiorniku,  jeśli  napięcie  zasilające 
transformator  wynosi  dokładnie  20kV.  Obliczyć  procentową  zmienność  napięcia  po  stronie 
wtórnej. Jak zmieni się moc czynna pobierana przez odbiornik w stosunku do mocy znamio-
nowej odbiornika? 
 
1.7. 

 Obliczyć  prądy  fazowe  transformatora  po  stronie  pierwotnej  i  wtórnej,  jeŜeli  jest  on 

obciąŜony  symetrycznie  impedancjami  o  charakterze  indukcyjnym  i  wartościach  fazowych 

 

2

Z = 2,5

Ω

,  przy  cos

ϕ

 = 0,8.  Transformator  ma  układ  i  grupę  połączeń  Yy0,  impedancje  połą-

czone  są  w  trójkąt.  Dane  transformatora:  L

σ

1

 = 0,01H,  L

σ

2

 = 0,05mH,  L

m

 = 7,5H,  R

1

 = 0,3

Ω

, 

R

2

 = 1,5m

Ω

,  U

1ph

 = 6000/ 3 V,  U

2ph

 = 400/ 3 V.  Jak  zmienią  się  prądy  w  transformatorze, 

jeśli  obciąŜenie  będzie  miało  charakter  pojemnościowy  o  tych  samych  wartościach  liczbo-
wych? Wskazówka: przy zmianie symetrycznych impedancji fazowych z połączenia w trójkąt 
(

∆

) na połączenie w gwiazdę (Y) spełniona jest zaleŜność Z

∆

 = 3Z

Y

. 

 

 

ROZWIĄZANIA ZADAŃ I ODPOWIEDZI DO ROZDZIAŁU 1 

 
1.1.  Prąd znamionowy strony pierwotnej (zasilanej) transformatora wynosi: 

A

U

S

I

N

N

N

20

500

10000

1

1

=

=

=

 

Wszystkie  obliczenia  zostaną  przeprowadzone  dla  przypadku,  gdy  schemat  zastępczy  odpo-
wiada sprowadzeniu strony wtórnej transformatora na stronę pierwotną. Sposób obliczeń nie 
ulega  zmianie  przy  przeciwnym  podejściu.  Parametry  gałęzi  poprzecznej  schematu  zastęp-
czego  transformatora  oblicza  się  z  danych  opisujących  stan  jałowy  pracy.  Napięcie  znamio-
nowe strony wtórnej (odbierającej moc) jest równe napięciu zmierzonemu na zaciskach trans-
formatora w stanie jałowym.  

Rezystancja reprezentująca straty w rdzeniu:  

Ω

=

=

=

)

3

(

,

2083

120

500

2

2

1

Fe

N

Fe

P

U

R

, 

stąd prąd w tej rezystancji:    

A

R

U

I

Fe

N

Fe

24

,

0

1

=

=

. 

Prąd biegu jałowego:    

A

I

I

N

1

%

5

1

0

=

=

. 

Prąd magnesujący:      

A

I

I

I

Fe

m

971

,

0

2

2

0

=

−

=

. 

Reaktancja główna:    

Ω

=

=

05

,

515

1

m

N

m

I

U

X

. 

Parametry gałęzi podłuŜnej schematu zastępczego transformatora oblicza się z danych opisu-
jących stan zwarcia.  

Rezystancja zwarcia:    

Ω

=

=

=

25

,

0

20

100

2

2

1N

wN

kCu

I

P

R

. 

Impedancja zwarcia:    

Ω

=

⋅

=

=

125

,

1

20

500

045

,

0

%

100

1

1

N

N

k

kCu

I

U

u

Z

, 

stąd reaktancja zwarcia:   

Ω

=

−

=

0968

,

1

2

2

kCu

kCu

kCu

R

Z

X

. 

 

Z  tematu  zadania  wynika,  Ŝe  pomimo  przezwojenia,  wartość  reaktancji  głównej,  reaktancji 
rozproszeń oraz rezystancji odpowiadającej stratom w rdzeniu nie zmieniają się. Przekładnia 
napięciowa transformatora jest równa stosunkowi napięć znamionowych przy spełnieniu wa-

runku, Ŝe jest 

≥

1:                      

273

,

2

20

1

2

1

=

=

=

U

U

U

U

K

N

N

N

 

Z warunku równości wymiarów geometrycznych uzwojeń przed i po remoncie wynika nastę-
pująca relacja ich rezystancji: 

Al

Cu

kCu

kAl

R

R

γ

γ

=

, 

 

3

stąd:                                 

Ω

=

⋅

=

4095

,

0

8

,

34

57

25

,

0

kAl

R

. 

PoniewaŜ reaktancja zwarcia nie zmieniła się, to:  

Ω

=

=

097

,

1

kCu

kAl

X

X

 

Impedancja zwarcia dla uzwojenia aluminiowego wynosi: 

Ω

=

+

=

171

,

1

2

2

kAl

kAl

kAl

X

R

Z

 

Z warunku wartości strat znamionowych w uzwojeniach przed i po remoncie: 

AlN

CuN

P

P

∆

=

∆

 

wynika zaleŜność: 

2

1

2

1

N

kCu

x

kAl

I

R

I

R

=

 

i dalej: 

A

I

R

R

I

N

kAl

kCu

x

627

,

15

20

781

,

0

1

1

=

⋅

=

=

. 

Moc pozorna znamionowa w nowych warunkach wyniesie: 

7,813

1

1

=

=

x

N

x

I

U

S

kVA

. 

Nowe procentowe napięcie zwarcia będzie równe: 

%

66

,

3

%

100

1

1

=

=

N

x

kAl

kx

U

I

Z

u

 

Odpowiedź:  W  wyniku  przezwojenia  uległy  zmianie  jedynie  wartości  rezystancji  uzwojeń: 

=

′

=

Al

Al

R

R

2

1

0,2047

Ω

.  Wartości  pozostałych  parametrów  schematu  zastępczego  pozostają 

bez  zmian.  Nowa  moc  znamionowa  transformatora  wynosi  7,813kVA, nowy prąd znamiono-
wy  płynący  po  stronie  górnego  napięcia  jest  równy  15,627A,  zaś  nowe  procentowe  napięcie 
zwarcia wynosi 3,66%. 

 

1.2. 

Odpowiedź: a) U

2

 = 108,55V, b) U

2

 = 102,87V, c) U

2

 = 91,87V. 

 
1.3.  Element grzejny ma charakter rezystancyjnym o wartości: 

Ω

=

=

=

68

,

9

5000

220

2

2

N

N

L

P

U

R

 

Z  danych  tematu  zadania  (pytamy  się  o  moc  grzejnika)  wynika,  Ŝe  wygodniej  jest  rozpatry-
wać schemat zastępczy transformatora od strony odbiornika (wtórnej).  
Stąd obliczamy parametry schematu zastępczego transformatora sprowadzone na stronę wtór-
ną. 

Prąd znamionowy -      

A

U

S

I

N

N

N

727

,

22

220

5000

2

2

=

=

=

. 

Rezystancja zwarcia -    

Ω

=

=

=

484

,

0

727

,

22

250

2

2

2 N

wN

k

I

P

R

. 

Impedancja zwarcia -    

Ω

=

⋅

=

=

968

,

0

727

,

22

220

1

,

0

%

100

2

2

N

N

k

k

I

U

u

Z

. 

Reaktancja zwarcia -     

Ω

=

−

=

8383

,

0

2

2

k

k

k

R

Z

X

. 

 

Interesuje nas jedynie moduł wartości skutecznej prądu, a nie jego faza.  
Zatem nie znając fazy napięcia strony wtórnej moŜemy przyjąć, Ŝe jest równa zero. 

V

e

U

U

j

N

N

220

0

2

2

=

=

. 

 

4

Wartość prądu płynącego przez odbiornik wyniesie wtedy: 

A

j

j

Z

U

I

I

k

N

L

773

,

1

5

,

21

8383

,

0

164

,

10

220

2

2

−

=

+

=

=

=

,    I

L

 = 21,57A. 

Moc pobierana przez odbiornik wynosi:  

W

I

R

P

L

L

L

4504

2

≅

=

. 

Oznacza to, Ŝe odbiornik pobiera moc czynną mniejszą od znamionowej. Jest to spowodowa-
ne spadkiem napięcia na transformatorze.  
RóŜnica wynosi:   

∆

P

L

 = P

N

 – P

L

 = 496W. 

Odpowiedź: Moc grzejnika zasilanego z transformatora zmniejszyła się w stosunku do mocy 
znamionowej o 496W. 
 
1.4. Schemat zastępczy fazowy transformatora ma postać: 

1

I

1

R

1

σ

jX

2

σ

X

j

′

2

r

I

′

3

1N

U

Fe

R

m

jX

0

I

Fe

I

m

I

3

2 N

U

′

2

R

′

 

 gdzie: 

=

′

=

2

1

R

R

24,2

Ω

, 

=

′

=

2

1

σ

σ

X

X

 574,24

Ω

, 

=

m

X

 855,6k

Ω

, 

=

Fe

R

 2,42M

Ω

. 

 

1.5.   I

kx

 = 50,453 A, 

24

,

5

1

=

N

kx

I

I

. 

 

1.6.    Na podstawie danych przyjmujemy do obliczeń uproszczony schemat zastępczy fazowy 
transformatora, z pominięciem gałęzi poprzecznej. Układ „transformator-odbiornik” rozpatru-
jemy od strony zasilania, sprowadzając układ połączeń transformatora do zastępczego układu 

Yy

, co przy skojarzeniu odbiornika w gwiazdę pozwala w prosty sposób połączyć oba sche-

maty, jak na rysunku poniŜej: 

1

I

k

R

k

jX

L

r

I

I

′

=

′

2

3

1

U

3

3

2

L

U

U

′

=

′

L

Z

′

 

 

Parametry zwarciowe transformatora dla tego zastępczego układu połączeń moŜna wyznaczyć 
z formuł: 

A

U

S

I

N

N

N

77

,

5

20000

3

200000

3

1

1

≅

⋅

=

=

, 

Ω

=

=

40

3

2

1N

wN

k

I

P

R

, 

Ω

=

⋅

=

=

120

200000

20000

06

,

0

%

100

2

2

1

N

N

k

k

S

U

u

Z

 

Ω

≅

−

=

14

,

113

2

2

k

k

k

R

Z

X

, 

 

5

Impedancję fazową odbiornika moŜna wyznaczyć z zaleŜności: 

Ω

=

⋅

=

=

48

,

0

200000

6

,

0

400

cos

2

2

N

N

N

L

P

U

Z

ϕ

, 

Ω

=

=

288

,

0

cos

N

L

L

Z

R

ϕ

, 

Ω

=

=

384

,

0

sin

N

L

L

Z

X

ϕ

. 

 

W postaci zespolonej impedancja ta jest równa: 

=

−

=

L

L

L

jX

R

Z

0,288 – j0,384 (

Ω

). 

Parametry te są sprowadzone na stronę górnego napięcia transformatora poprzez uwzględnie-
nie przekładni napięciowej: 

50

400

20000

2

1

=

=

=

N

N

U

U

K

 

Zatem: 

Ω

=

=

′

720

2

L

L

R

K

R

, 

Ω

=

=

′

960

2

L

L

X

K

X

. 

Prąd pobierany z sieci ma wartość: 

)

(

55

,

7

78

,

6

)

86

,

846

760

(

3

20000

)]

(

)

[(

3

1

1

A

j

j

X

X

j

R

R

U

I

L

k

L

k

N

x

+

=

−

=

′

−

+

′

+

=

. 

 
Zatem:  I

1x

 = 10,15A. 

Odpowiadający mu prąd przewodowy po stronie odbiornika wynosi: 

A

I

K

I

x

x

46

,

507

15

,

10

50

1

2

=

⋅

=

⋅

=

. 

Moc czynna pobierana przez odbiornik w tym stanie pracy wynosi: 

W

I

R

P

x

L

x

222494

)

46

,

507

(

288

,

0

3

3

2

2

2

=

⋅

⋅

=

=

 

i jest większa od mocy znamionowej: 

112

,

1

200000

222494

=

=

N

x

P

P

 razy. 

Napięcie fazowe na odbiorniku jest równe:  

V

I

Z

U

U

x

L

x

phx

58

,

243

3

2

2

=

⋅

=

=

. 

Zmienność napięcia strony wtórnej transformatora wynosi zatem: 

%

47

,

5

0547

,

0

400

58

,

243

3

400

2

2

2

−

=

−

=

⋅

−

=

−

=

∆

N

x

N

U

U

U

u

 

Zmienność  napięcia  przy  znamionowym  napięciu  zasilania  moŜna  równieŜ  wyznaczyć  z  za-
leŜności: 

)

sin

cos

(

%

%

2

2

%

L

XN

L

RN

N

x

u

u

I

I

U

ϕ

ϕ

+

=

∆

 

lub równowaŜnej 

)

sin

cos

(

%

%

1

1

%

L

XN

L

RN

N

x

u

u

I

I

U

ϕ

ϕ

+

=

∆

 

gdzie: 

100

%

N

wN

RN

S

P

u

=

,    

2

%

2

%

%

RN

k

XN

u

u

u

−

=

. 

 

6

W  funkcjach  kąta 

L

ϕ

  naleŜy  uwzględnić  charakter  obciąŜenia  (dla  obciąŜenia  pojemnościo-

wego kąt jest ujemny).  

Tu:   

675

,

288

2

=

N

I

 A,  

,

758

,

1

2

2

=

N

x

I

I

   

,

2

%

=

RN

u

   

657

,

5

%

=

XN

u

. 

stąd:        

%

85

,

5

%

−

=

∆

u

. 

Napięcie fazowe na obciąŜeniu wyznaczone ze zmienności napięcia wynosi: 

4

,

244

3

400

0585

,

1

3

)

100

1

(

2

%

=

⋅

=

∆

−

=

N

phx

U

u

U

V 

 
Pomimo  uproszczonej  metody  wyznaczania  napięcia  moŜna  przyjąć,  Ŝe  otrzymany  wynik 
niewiele róŜni się od uzyskanego z dokładnych obliczeń. 

 

Odpowiedź:  Prąd  przewodowy  strony  pierwotnej  obciąŜonego  transformatora  wynosi 
10,15A, napięcie fazowe na odbiorniku jest równe 243,58V i

 wzrosło w stosunku do znamio-

nowego o 5,47%. Stąd teŜ moc czynna pobierana przez odbiornik zwiększyła się w stosunku 
do jego mocy znamionowej 1,112 razy. 

 

1.7.   Dla obciąŜenia o charakterze indukcyjnym prądy fazowe transformatora wynoszą: 

=

1

I

 18,93A,   

=

2

I

 270,15A. 

Dla obciąŜenia o charakterze pojemnościowym prądy fazowe transformatora wynoszą: 

=

1

I

17,96A,  

=

2

I

 281,85A. 

 
 

2.  PRACA RÓWNOLEGŁA TRANSFORMATORÓW 

 

2.1. 

Dwa  transformatory  o  danych:  A) S

N

 = 4MVA,  U

1N

 = 30kV,  U

2N

 = 6,3kV,  f

N

 = 50Hz, 

u

k

 = 6,5%, P

wN

 = 30kW, Yd11; B) S

N

 = 2MVA, U

1N

 = 30kV, U

2N

 = 6,3kV, f

N

 = 50Hz, u

k

 = 10%, 

P

wN

 = 18kW, Yd11 są po stronie 1 zasilone znamionowo , a po stronie 2 połączone równolegle 

i  obciąŜone  impedancją  o  charakterze  indukcyjnym  i  wartości  fazowej  Z

L

 = 6

Ω

,  przy 

cos 

ϕ

L

 = 0,8,  połączoną  w  gwiazdę.  Obliczyć  prądy  obu  transformatorów  po  stronie 2.  Jaką 

największą  moc  pozorną 

max

S

moŜe  przesłać  układ  bez  przeciąŜenia  transformatorów?  Jak 

zmienią  się  te  prądy,  gdy  transformator A  będzie  miał  przekładnię  30kV/6,5kV  (dla  uprosz-
czenia  pominąć  zmianę  impedancji  zwarcia  wynikłej  ze  zmiany  przekładni).  Podać  wartość 
prądu wyrównawczego 

∆

I, jaki płynąłby po stronie 2 w przypadku odłączenia obciąŜenia. 

 
2.2. 

Trzy  transformatory  o  danych:  A) S

N

 = 2000kVA,  K = 30kV/6,3kV,  Dy11,  u

k

 = 7%, 

P

wN

 = 20kW; 

B) S

N

 = 4000kVA, 

K = 30kV/6,3kV, 

Dy11, 

u

k

 = 6,3%, 

P

wN

 = 30,2kW; 

C) S

N

 = 8000kVA,  K = 30kV/6,3kV,  Dy11,  u

k

 = 7,5%,  P

wN

 = 65kW  pracują  równolegle.  Obli-

czyć jaką maksymalną moc S

max

 moŜna obciąŜyć transformatory, aby prąd Ŝadnego nie prze-

kroczył  wartości  nominalnej.  Określić  maksymalny  kąt  rozsunięcia  fazowego 

α

max

  między 

prądami przewodowymi w tych transformatorach. 
 
2.3. 

Dwa transformatory o danych: A) S

N

 = 6,3MVA, U

1N

 = 30kV, U

2N

 = 6,3kV,  f

N

 = 50Hz, 

u

k

 = 7%,  P

wN

 = 94,5kW,  Dy0;  B) S

N

 = 2,5MVA,  U

1N

 = 30kV,  U

2N

 = 6,3kV,    f

N

 = 50Hz, 

u

k

 = 10%,  P

wN

 = 25kW,  Dy0  zasilone  znamionowo,  pracują  równolegle.  Obliczyć  ich  prądy  i 

napięcia  na  zaciskach  wtórnych,  gdy  wspólne  szyny  obciąŜono  prądem  odpowiadającym  su-

 

7

mie  arytmetycznej  mocy  znamionowej  obu  transformatorów  ,  przy  indukcyjnym  charakterze 
obciąŜenia i 

8

,

0

cos

=

ϕ

. 

 
2.4. 

Transformator  3-fazowy  ma  dane  katalogowe: 

S

N

 = 2

MVA,  U

1N

 = 60

kV,  U

2N

 = 6,3

kV, 

Yd5,  u

k

 = 8%, 

P

wN

 = 10

kW.  Transformator  jest  połączony  na  wspólnych  szynach  z  drugim  o 

danych: 

S

N

 = 3

MVA,  U

1N

 = 110

kV,  U

2N

 = 6,3

kV,  Yd5,  u

k

 = 10%, 

P

wN

 = 15

kW,  zasilonym  z 

sieci  o  napięciu  115

kV.  Obliczyć  prąd  wyrównawczy 

∆

I  na  biegu  jałowym  po  stronie  6kV. 

Wskazówka: Przyjąć, Ŝe fazy napięć sieci 60

kV i 115kV są ze sobą zgodne. 

 
2.5. 

Dwa  transformatory  trójfazowe  mają  dane  znamionowe: 

A) S

N

 = 400

kVA,  U

1N

 = 3

kV, 

U

2N

 = 0,4

kV,  Dy11,  u

k

 = 5%, 

B) S

N

 = 200

kVA,  U

1N

 = 3

kV,  U

2N

 = 0,4

kV,  Yy0,  u

k

 = 5%.  Obli-

czyć prąd wyrównawczy 

∆

I po stronie niskiego napięcia w przypadku pracy równoległej tych 

transformatorów. 
 
2.6. 

Dwa  transformatory 

Yy0  o  danych  znamionowych:  A)   S

N

 = 600

kVA,  U

1N

 = 3

kV, 

U

2N

 = 0,4

kV, u

k

 = 5%,  

P

wN

 = 12

kW;      B)    S

N

 = 250

kVA, U

1N

 = 3

kV, U

2N

 = 0,4

kV, u

k

 = 4,1%, 

P

wN

 = 6

kW pracują równolegle zasilanie z sieci sztywnej o napięciu U = 2,5kV. Transformato-

ry  te  są  obciąŜone 3-fazowym symetrycznym odbiornikiem o charakterze indukcyjnym połą-
czonym w gwiazdę, o danych: 

I = 1000A przy 

8

,

0

cos

=

ϕ

. Obliczyć moc odbiornika 

P i sto-

pień obciąŜenia w stosunku do obciąŜenia znamionowego obu transformatorów. 

 
 

ROZWIĄZANIA ZADAŃ I ODPOWIEDZI DO ROZDZIAŁU 2 

 
2.1.  W analizie pracy równoległej transformatorów wygodnie jest rozwaŜać schemat zastęp-
czy  transformatora  przy  sprowadzeniu  parametrów  schematu  na  stronę  obciąŜenia.  Z  warun-
ków zadania wynika, Ŝe schematy zastępcze dla fazy reprezentowane będą jedynie przez pa-
rametry gałęzi podłuŜnych, tzn. parametry zwarciowe. PoniewaŜ interesują nas prądy płynące 
przez  obciąŜenie  i  prądy  przewodowe  stron  wtórnych  transformatorów,  w  obliczeniach 
wprowadzamy,  niezaleŜnie  od  realnego  układu  połączeń,  równowaŜne  w  wymienionym 
aspekcie połączenie faz 

Yy .  

I tak dla transformatora: 

A)  

A

U

S

I

NA

NA

NA

57

,

366

6300

3

4000000

3

2

2

=

⋅

=

=

,   

0744

,

0

403121

30000

3

2

2

=

=

=

NA

wNA

kA

I

P

R

Ω

, 

645

,

0

4000000

6300

065

,

0

%

100

2

2

2

=

⋅

=

=

NA

NA

kA

kA

S

U

u

Z

Ω

,   

641

,

0

2

2

=

−

=

kA

kA

kA

R

Z

X

Ω

, 

641

,

0

0744

,

0

j

Z

kA

+

=

(

Ω

).

 

 

B)  

A

U

S

I

NB

NB

NB

29

,

183

6300

3

2000000

3

2

2

=

⋅

=

=

,   

1786

,

0

100786

18000

3

2

2

=

=

=

NB

wNB

kB

I

P

R

Ω

, 

9845

,

1

2000000

6300

1

,

0

%

100

2

2

2

=

⋅

=

=

NB

NB

kB

kB

S

U

u

Z

Ω

,   

9764

,

1

2

2

=

−

=

kB

kB

kB

R

Z

X

Ω

, 

9764

,

1

1786

,

0

j

Z

kB

+

=

(

Ω

). 

 

Impedancja fazowa obciąŜenia przy połączeniu w gwiazdę ma wartość: 

Ω

+

=

+

⋅

=

+

=

 

j3,6

 

 

4,8

 

 

j0,6)

 

 

(0,8

6

)

sin

(cos

L

L

L

L

j

Z

Z

ϕ

ϕ

.  

 

8

Aby  przedstawić  schemat  zastępczy  opisujący  pracę  transformatorów  na  wspólny  odbiór 
sprawdzamy, czy oba transformatory mają równe napięcia po stronie wtórnej co do amplitudy 
i  fazy.  PoniewaŜ  transformatory  mają  ten  sam  układ  i  grupę  połączeń  oraz  równe  napięcia 
strony  pierwotnej  i  napięcia  strony  wtórnej  (co  oznacza  równość  przekładni  napięciowych 

B

A

K

K

=

, powyŜsze wymaganie jest spełnione: 











=

∧

=

⇒

=

⇒

=

B

A

B

A

j

B

j

A

B

A

U

U

e

U

e

U

U

U

B

A

α

α

α

α

2

2

2

2

2

2

 

 

W zadaniu napięcia te mają wartość znamionową i dla uproszczenia analizy przyjmujemy ich 
fazy  za  równe  zeru  (przy 

B

A

α

α

=

  wartość  fazy  napięcia  strony  wtórnej  transformatora  nie 

ma wpływu na wartości skuteczne prądów, gdyŜ o nich decydują impedancje układu i moduł 
napięcia) : 

N

j

N

B

A

U

e

U

U

U

2

0

2

2

2

=

=

=

   

 
Stosując  zasadę  superpozycji  moŜna  w  tym  przypadku  pracy  równoległej  transformatorów 
przypisać schemat zastępczy, w którym ich impedancje zwarciowe są połączone ze sobą rów-
nolegle.  

L

I

3

3

2

2

NB

NA

U

U

=

3

L

U

L

Z

A

I

2

B

I

2

kA

Z

kB

Z

 

 

Zatem prąd obciąŜenia wyznaczony jest przez zaleŜność: 

=













+

+

=













+

+

=

L

kB

kA

kB

kA

N

L

kB

kA

kB

kA

N

L

Z

Z

Z

Z

Z

U

Z

Z

Z

Z

Z

U

I

3

3

2

2

438,77 – j369,24

A,  

L

I

 = 573,46

A. 

 

Z rozpływu prądów wynika, Ŝe: 

kB

kA

kB

L

A

Z

Z

Z

I

I

+

=

2

   

oraz 

 

kB

kA

kA

L

B

Z

Z

Z

I

I

+

=

2

 

 

A

j

I

A

6

276

87

332

2

,

,

−

=

, 

 

A

I

A

79

432

2

,

=

. 

A

j

I

B

62

,

92

91

,

105

2

−

=

, 

 

A

I

B

7

,

140

2

=

. 

 

Ostatnie  obliczenia  moŜna  uprościć  przez  wprowadzenie  dla  impedancji  zwarciowych,  w 
miejsce liczb zespolonych, ich modułów. Jest to uzasadnione wtedy, gdy trójkąty impedancji 
zwarciowych dla obu transformatorów będą podobne.  

 

9

k

Z

k

jX

k

R

k

ϕ

 

Dla danych tego zadania moŜna przyjąć to uproszczenie, gdyŜ kąty pomiędzy częścią czynną 
a  modułem  impedancji  (kąty  zwarciowe)  wynoszą  odpowiednio:  dla  transformatora 

A -

 

ϕ

kA

 = 83,38

°

, dla transformatora 

B - 

ϕ

kB

 = 84,84

°

.  

Kąt przesunięcia między prądami przewodowymi transformatorów wynosi zatem: 

∆

ϕ

 = 

ϕ

kA

 - 

ϕ

kB

 = -1,46

°

 

Oznacza to, Ŝe moŜna przyjąć, Ŝe trójkąty impedancji są podobne.  

Stąd:    

kB

kA

kB

L

A

Z

Z

Z

I

I

+

≅

2

 

oraz 

kB

kA

kA

L

B

Z

Z

Z

I

I

+

≅

2

 

 
Zatem ostatecznie:   

I

2A

 = 432,8

A, 

I

2B

 = 140,66

A. 

Wyniki uzyskane tą drogą nieznacznie róŜnią się od wyników z obliczeń dokładnych. 
Wyznaczony stąd stosunek prądów strony wtórnej obu transformatorów wynosi: 

08

,

3

66

,

140

8

,

432

2

2

=

=

B

A

I

I

. 

PowyŜszy rozkład prądów moŜna wyznaczyć bezpośrednio z danych znamionowych: 

NB

NA

kA

kB

NA

N

kA

NB

N

kB

NA

NA

kA

NB

NB

kB

kA

kB

B

A

kB

kA

kA

L

kB

kA

kB

L

B

A

S

S

u

u

S

U

u

S

U

u

S

U

u

S

U

u

Z

Z

I

I

Z

Z

Z

I

Z

Z

Z

I

I

I

⋅

=

=

=

=

=

+

+

≅

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

%

100

%

100

 

NB

NA

kA

kB

B

A

S

S

u

u

I

I

⋅

=

2

2

,

             

tu:   

08

,

3

2

4

5

,

6

10

2

2

=

⋅

=

B

A

I

I

. 

 

Z powyŜszej zaleŜności, określającej rozkład prądu obciąŜenia na poszczególne transformato-
ry wynikają wnioski: 

• 

przy równych mocach znamionowych (

NB

NA

S

S

=

) stosunek prądów stron wtórnych trans-

formatorów  jest  odwrotnie  proporcjonalny  do  stosunku  ich  napięć  zwarcia  -  bardziej  bę-
dzie obciąŜony transformator o mniejszym napięciu zwarcia; 

• 

przy  równych  napięciach  zwarcia  transformatorów  (

kB

kA

u

u

=

)  stosunek  prądów  stron 

wtórnych  transformatorów  jest  wprost  proporcjonalny  do  stosunku  ich  mocy  znamiono-
wych. 

Stwierdzamy, Ŝe transformator 

A jest przeciąŜony w stosunku do mocy znamionowej: 

18

1

57

366

69

432

3

3

2

2

2

2

2

2

,

,

,

=

=

=

=

=

AN

A

AN

NA

A

NA

AN

A

A

I

I

I

U

I

U

S

S

k

. 

Transformator 

B jest niedociąŜony w stosunku: 

77

0

29

183

66

140

3

3

2

2

2

2

2

2

,

,

,

=

=

=

=

=

BN

B

BN

NB

B

NB

BN

B

B

I

I

I

U

I

U

S

S

k

. 

 

10

Moc przesyłana do obciąŜenia jest sumą mocy obu transformatorów.  

BN

B

AN

A

B

A

S

k

S

k

S

S

S

+

=

+

=

 

Aby obliczyć maksymalną dopuszczalną wartość tej mocy, gdy prąd kaŜdego z transformato-
rów nie przekracza wartości znamionowej, naleŜy zmniejszyć jej wartość o krotność przecią-
Ŝ

enia transformatora 

A.  

Zatem:    

3

5

18

1

2

77

0

4

,

,

,

max

≅

⋅

+

=

+

=

+

=

A

BN

B

AN

A

BN

B

AN

A

k

S

k

S

k

S

k

S

k

S

MVA. 

 

Po zmianie przekładni dla transformatora 

A kaŜda z impedancji zwarciowych będzie zasilana 

przez inne źródła napięcia, czyli: 

kA

Z

 

przez 

3

6500

2

=

A

U

  oraz 

kB

Z

 

przez 

3

6300

2

=

B

U

 

 

W  dalszej  analizie  przyjmujemy,  Ŝe  fazy  napięć  zasilania  są  te  same  (z  uwagi  na  te  same 
układy i grupy połączeń) i są równe zeru: 

A

j

A

A

U

e

U

U

2

0

2

2

=

=

  oraz   

B

j

B

B

U

e

U

U

2

0

2

2

=

=

 

 
Prąd obciąŜenia 

L

I

 jest sumą geometryczną prądów przewodowych stron wtórnych obu trans-

formatorów i aby go wyliczyć naleŜy rozwiązać dwuoczkowy układ aktywny, przedstawiony 
na schemacie poniŜej.  

L

I

3

L

U

L

Z

A

I

2

B

I

2

kA

Z

kB

Z

3

2 A

U

3

2 NB

U

I

I

II

I

 

 

























+

−

−

+

=

























II

I

L

kB

L

L

L

kA

NB

A

I

I

Z

Z

Z

Z

Z

Z

U

U

3

3

2

2

 

Stąd wartości zespolone prądów oczkowych wynoszą: 













+

+













+

+

=













NB

A

L

kB

L

kA

kB

kA

L

kA

L

L

L

kB

II

I

U

U

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

I

I

2

2

)

(

3

 

 
czyli wartości zespolone prądów stron wtórnych:  

I

A

I

I

=

2

,  

II

B

I

I

−

=

2

. 

Ostatecznie uzyskuje się następujące wartości skuteczne prądów stron wtórnych: 

 

I

2A

 = 475,2A,   

I

2B

 = 120,6A. 

 

11

Prąd wyrównawczy 

I

I

w

∆

=

 moŜna wyznaczyć ze schematu: 

L

Z

kA

Z

kB

Z

3

2 A

U

3

2 NB

U

I

I

w

∆

=

 

 

708

,

43

225

,

4

)

6174

,

2

253

,

0

(

3

200

)

(

3

)

(

3

2

2

2

2

j

j

Z

Z

U

U

Z

Z

U

U

I

I

kB

kA

BN

A

kB

kA

BN

A

w

−

=

+

⋅

=

+

−

=

+

−

=

∆

=

(A) 

 

Stąd:   

∆

I = 43,92A.  

Jest to prąd przewodowy i fazowy zastępczego układu połączeń  Yy  transformatorów i jedno-

cześnie prąd przewodowy strony wtórnej rzeczywistego układu połączeń  Yd . 
Prąd  wyrównawczy  płynący  w  fazie  strony  wtórnej  obu  transformatorów  połączonej  w  trój-
kąt, przy odłączeniu obciąŜenia jest równy: 

35

,

25

3

=

∆

I

A

. 

Wnioski końcowe: RóŜnica napięć zwarcia wpływa na przeciąŜenie transformatora A i niedo-
ciąŜenie transformatora B w przypadku, gdy mają jednakowe przekładnie. W celu poprawnej 
eksploatacji, naleŜy zatem zmniejszyć obciąŜenie do wartości limitowanej przez znamionowe 
obciąŜenie  transformatora A.  Po  zmianie  przekładni  transformatora A  w  układzie  moŜna  do-
datkowo wyodrębnić prąd wyrównawczy, który płynąc od źródła o wyŜszym napięciu zwięk-
szył przeciąŜenie transformatora B.  

Odpowiedź: Prądy transformatorów po stronie wtórnej wynoszą odpowiednio: I

2A

 = 432,8A, 

I

2B

 = 140,66A.  Układ  moŜe  przesłać  bez  przeciąŜenia  transformatorów  maksymalną  moc: 

S

max

 = 5,085MVA.  Po  zmianie  przekładni  prądy  transformatorów  przyjmują  wartości: 

I

2A

 = 475,2A, I

2B

 = 120,6A. W przypadku odłączenia obciąŜenia w fazie strony wtórnej kaŜde-

go z transformatorów popłynie prąd wyrównawczy równy 25,35A. 

 

2.2.  S

max

 = 12,66MVA,  

α

max

 = 2,6

°

. 

 
2.3.   I

2A

 = 175,6A, I

2B

 = 631,85A, U

2

 = 5951V. 

 
2.4. Prąd wyrównawczy ma charakter indukcyjny i wartości 

∆

I

 = 56,8A oraz kąt przesunięcia 

fazowego względem napięcia strony wtórnej 

α

 = - 86,74

°

. 

 
2.5.   

∆

I

 = 515,65 – j1924,5 (A),  

∆

I

 = 1992A. 

 

2.6.   P

L

 = 442730W,   

,

77

,

0

2

2

=

AN

A

I

I

 

.

94

,

0

2

2

=

BN

B

I

I

 

 
 
 
 

 

12

3.  MASZYNY INDUKCYJNE (ASYNCHRONICZNE) TRÓJFAZOWE 

 
3.1. Dla 4-biegunowego trójfazowego silnika indukcyjnego o danych: P

N

 

= 37kW, U

N

 

= 440V, 

f

N

 

= 50Hz, t

b

 

= 2,5 i moment rozruchowy - T

1

 

= 1,6T

N

 określić wartości s

b

, s

N

, T

N

.  

Uwaga: w obliczeniach pominąć rezystancję stojana i straty mechaniczne. 
 
3.2. Określić moment rozruchowy T

1 

i maksymalny T

b

 oraz moc strat mechanicznych silnika 

indukcyjnego  pierścieniowego  o  danych  znamionowych:  P

N

 

= 45kW,  U

N

 

= 380V(Y), 

I

sN

 

= 88A,  n

N

 

= 970/min.  Dane  wirnika: 

r

U

1

= 160V(Y),  I

rN

 

= 184A,  R

r

 

= 0,0142Ω/fazę.  Prąd 

zwarcia  I

k

  wynosi  5I

sN

.  Wskazówka:  w  obliczeniach  pominąć  rezystancję  stojana  -  R

s

 

= 0  

i straty w Ŝelazie - ∆P

Fe

 

= 0 oraz załoŜyć równość reaktancji rozproszenia stojana i reaktancji 

rozproszenia wirnika, sprowadzonej na stronę stojana (

r

s

X

X

σ

σ

′

=

). 

 
3.3. Silnik indukcyjny ma obroty synchroniczne n

s

 

= 1500/min dla f

N

 =

 50Hz, U

N

 

= 500V(∆), 

cosφ

N

 = 0,876,  s

N

 

= 0,02,  η

N

 

= 0,9,  ∆P

m

 

= 200W  i  parametry  schematu  zastępczego:  R

s

 

= 0, 

Ω

=

′

7

,

0

r

R

, X

m 

/X

σ

s

 = 25, 

Ω

=

′

=

5

,

3

r

s

X

X

σ

σ

. Obliczyć s

b

, T

b

, n

N

, P

N

, I

N

. 

 
 3.4.  Silnik  indukcyjny  3-fazowy  ma  dane  znamionowe:  P

N

 

= 350kW,  U

N

 

= 500V(Y), 

cosφ

N

 = 0,88,  η

N

 

= 0,9,  n

N

 

= 980/min,  t

b

 

= 2,3,  P

ws

 

= 1kW,  ∆P

m

 

= 0,5%P

N

,  P

ad

 

= 0,5%P

N

, 

I

0

 

= 40%I

N

. Wyznaczyć parametry schematu zastępczego, przy załoŜeniu 

r

s

X

X

σ

σ

′

=

. 

 
3.5.  Silnik  indukcyjny  ma  następujące  parametry  fazowego  schematu  zastępczego: 

Ω

=

′

=

5

,

3

r

s

X

X

σ

σ

,  R

s

 

= 0,4Ω, 

Ω

=

′

7

,

0

r

R

,  X

m

/X

σ

s

 

= 25,  R

Fe

 

= 150Ω,  p = 2  przy  f = 50Hz.  Za-

kładając, Ŝe U

N

 

= 500V(∆) i s

N

 

= 0,02 oraz ∆P

m

 

= 0 obliczyć : 

a) P

N

, η

N

, I

N

, cosφ

N

, t

b

; 

b) T

1

, I

1

, i

1

 

= 

N

I

I

1

 - wartości rozruchowe po przyłączeniu silnika do sieci. 

3.6.  Silnik  indukcyjny  pierścieniowy  ma  dane  znamionowe:  P

N

 

= 190kW,  U

N

 

= 500V(Y), 

r

U

1

 

= 400V(Y), f

N

 

= 50Hz, p = 2, t

b

 

= 2,3, n

N

 

= 1480/min. 

a) Dobrać wartość rezystancji dodatkowej dołączonej do uzwojenia wirnika tak, aby moment 
rozruchowy był równy maksymalnemu (R

rd

 wyrazić w Ω), 

b) Ile będzie wynosił względny prąd rozruchowy początkowy i

1  

przy tej rezystancji? 

 
3.7.  Silnik  indukcyjny  o  danych:  P

N

 

= 100kW,  U

N

 

= 500V(∆),  cosφ

N 

= 0,88,  η

N

 

= 0,93, 

n

N

 

= 980/min,  P

ws

 

= 1000W,  ∆P

m

 

= 0,5%P

N

,  P

ad

 

= 0,5%P

N

,  I

0

 

= 40%I

N

,  t

b

 

= 2,1.  Silnik  ten 

zasilono z sieci o napięciu międzyfazowym 220V, przy połączeniu faz stojana w trójkąt. Obli-
czyć prąd pobierany z sieci i moment przy postoju. 
 
3.8.  Silnik indukcyjny 3-fazowy ma dane: P

N

 

= 10kW, U

N

 

= 380V(Y), cosφ

N

 = 0,85, η

N

 

= 0,9, 

n

N

 

= 1460/min, 

1

i

= 4. 

a)  Wyznaczyć  parametry  uproszczonego  schematu  zastępczego  przy  pominięciu  gałęzi  po-
przecznej i dobrać rezystancję rozruchową 

rd

R

′

tak, aby moment T

l

 

= T

N

 (przy s

b

 

< 1). 

b) Obliczyć ustalone obroty n, gdy 

rd

R

′

 pozostanie w obwodzie wirnika, zaś moment obciąŜe-

nia wynosi T = 0,4T

N

. 

 

3.9.    Silnik  indukcyjny  o  danych:  n

s

 

= 1500/min,  U

N

 

= 500V(Y)  ma  parametry  schematu  za-

stępczego: 

Ω

=

′

=

5

,

3

r

s

X

X

σ

σ

, 

r

R

′

= 0,7Ω,  R

s

 

= 0  (w  schemacie  zastępczym  pominąć  gałąź 

 

13

poprzeczną).  Silnik  ten  zasilany  jest  z  sieci  trójfazowej  o  napięciu  międzyfazowym 300V  
i  częstotliwości  f = 40Hz.  Obliczyć  w  tych  warunkach  T

bx

,  s

bx

  oraz  ustalone  obroty  przy  ob-

ciąŜeniu momentem obrotowym T = 0,4T

bN

. 

3.10.  Silnik  indukcyjny  dźwigowy  o  danych:  P

N

 = 100kW,  n

N

 = 1470/min,  U

N

 = 500V(Y), 

t

b

 = 2,5, U

lr

 = 300V(Y), napędza wciągarkę. 

a)  Dobrać  wartość  oporników  rozruchowych,  przy  których  silnik  ten,  obciąŜony  T = 0,9T

N

, 

pracuje z prędkością 0,6n

N

. 

b)  Obliczyć  prędkość  maszyny przy hamowaniu prądnicowym z pozostawionym z punktu a) 
oporem  rozruchowym,  gdy  maszyna  napędzana  jest  momentem  T = 500Nm  (w  obliczeniach 
pominąć rezystancję stojana i prąd biegu jałowego). 
 
3.11.  Silnik  indukcyjny  o  danych:  P

N

 = 25kW,  U

N

 = 380V,  cosφ

N

 = 0,85,  n

N

 = 960/min, 

t

b

 = 2,5, (przyjąć R

s

 = 0, a w schemacie zastępczym silnika pominąć gałąź poprzeczną). Obli-

czyć  moment znamionowy i poślizg krytyczny. Obliczyć moment jakim moŜna obciąŜyć sil-
nik,  aby  przy  napięciu  U = 220V osiągnął prędkość n = n

N

. Ile wtedy wyniesie współczynnik 

mocy - cosφ? 
 
3.12.  Silnik  indukcyjny  pierścieniowy  ma  dane:  U

N

 = 380V(Y),  obroty  synchroniczne 

n

s

 = 1500/min,  f

sN

 = 50Hz,  p = 2,  t

b

 = 2,1,  X

k

 = 7Ω, 

r

R

′

= 0,7Ω.  Silnik  zasilono,  przy niezmie-

nionym  układzie  połączeń  stojana,  napięciem  U

s

 = 220V,  i  obciąŜono  momentem  T = 0,5T

N

, 

zaś do obwodu dołączono opór dodatkowy do kaŜdej fazy równy R

rd

 = 4R

r

. Obliczyć ustalone 

obroty w nowych warunkach pracy. 
 
3.13.  Silnik  indukcyjny  o  danych:  P

N

 = 50kW,  U

N

 = 380V(∆),  cosφ

N

 = 0,86,  η

N

 = 0,88, 

n

N

 = 970/min,  T

b

/T

N

 = 2,1  ,  pracuje  zasilany  napięciami  przewodowymi 380V,  przy  połącze-

niu  uzwojenia  stojana  w  gwiazdę.  Ile  wynosi  moment  początkowy  przy symetrycznym dołą-
czeniu do wirnika oporu dodatkowego R

rd

 = 10R

r 

? Obliczyć obroty wirnika przy obciąŜeniu 

go momentem T = 0,4T

b

 (T

b

 w nowych warunkach pracy). 

 
3.14.    Silnik  indukcyjny  pierścieniowy  o  danych:  P

N

 = 50kW,  U

N

 = 380V(∆),  cosφ

N

 = 0,86, 

η

N

 = 0,88  ,  n

N

 = 970/min,  T

b

/T

N

 = 2,1  ma włączony w celach regulacji prędkości opornik do-

datkowy  o  wartości  rezystancji  fazy  R

rd

 = 8R

r

.  Obliczyć  straty  mocy  wydzielonej  w  uzwoje-

niu wirnika i w oporze dodatkowym, przy obciąŜeniu T = T

N

. 

 
3.15.    Silnik  indukcyjny  ma  dane  znamionowe:  P

N

 = 26,5kW,  U

N

 = 380V(∆),  n

N

 = 735/min, 

t

b

 = 1,9,  I

sN

 = 56A,  U

1r

= 300V(Y).  Dobrać  wartość  opornika  dodatkowego,  aby  przy  obciąŜe-

niu momentem T = 0,8T

N

 silnik miał prędkość n = 0,6n

s

. 

 
3.16.  Silnik  indukcyjny  pierścieniowy  o  danych:  P

N

 = 2500kW,  U

N

 = 6000V(Y), 

U

1r

 = 1000V(Y),  f

s

 = 50Hz,  t

b

 = 2,1,  p = 2,  n

N

 = 1480/min.  W  wyniku  dołączenia  do  kaŜdej 

fazy  wirnika  rezystancji  dodatkowej  obroty  silnika,  przy  obciąŜeniu  momentem  znamiono-
wym wynoszą 1400/min. Określić wartość tej rezystancji w Ω oraz rozdział mocy traconej w 
wirniku i na rezystancjach dodatkowych. 
 
3.17.    Silnik  indukcyjny  ma  dane  znamionowe:  P

N

 = 250kW,  U

N

 = 380V(∆),  cosφ

N

 = 0,88, 

η

N

 = 0,94 , t

b

 = 2,5 , n

N

 = 710/min, 

r

s

R

R

′

=

7

,

0

(w schemacie zastępczym silnika pominąć gałąź 

poprzeczną).  Obliczyć  indukcyjność  dławika,  jaki  trzeba  włączyć  szeregowo  w  przewody 
zasilające  uzwojenie  stojana,  aby  ograniczyć  prąd  rozruchowy  do  3I

N

.  Ile  będzie  wynosił 

wówczas  moment  rozruchowy  w  stosunku  do  znamionowego?  Jak  zmieni  się  poślizg  przy 

 

14

obciąŜeniu znamionowym, gdyby dławik nie został wyłączony? Wskazówka: w obliczeniach 
momentu stosować wzory uproszczone, nie uwzględniając R

s

. 

 
3.18.  Silnik  indukcyjny  ma  dane:  U

N

 = 380V(Y),  C

s

 = 0,97,  n

N

 = 1450/min,  f

N

 = 50Hz, 

Ω

=

′

=

5

,

3

r

s

X

X

σ

σ

, 

Ω

=

′

1

,

0

r

R

.  Silnik  pracuje  zasilany  z  sieci  trójfazowej  o  napięciu  między-

fazowym  220V,  przy  f = 40Hz.  Obliczyć:  T

b

,  s

b

  i  obroty  silnika  przy  obciąŜeniu  momentem 

T

 = 0,5T

N

 w podanych warunkach. 

 
3.19.    Silnik  indukcyjny  pierścieniowy  ma  dane:  P

N

 = 100kW,  U

N

 = 500V(Y),  n

N

 = 720/min, 

t

b

 = 2,2, η

N

 = 0,91, cosφ

N

 = 0,85, f

sN

 = 50Hz, U

1r

 = 250V(Y). Silnik pracuje zasilany napięciem 

znamionowym U

N

 przy f = 60Hz. Obliczyć nową przeciąŜalność momentem - t

bx

. Dobrać opór 

R

rd

 dołączony do wirnika tak, aby w nowych warunkach silnik obciąŜony momentem równym 

0,75T

N

  wirował z prędkością obrotową 600/min. Obliczyć prąd pobierany z sieci. 

 
3.20.    Silnik  indukcyjny  pierścieniowy  ma  dane  znamionowe:  P

N

 = 190kW,  U

N

 = 500V(Y), 

U

1r

 = 400V(Y), f

N

 = 50Hz, p = 2, t

b

 = 2,3, n

N

 = 1480/min, I

sN

 = 264A. Silnik pracuje w warun-

kach zmienionych: U = 380V(∆), 

N

f

f

2

,

1

=

, T = 0,8T

N

. Dobrać wartość rezystancji dodatko-

wej  dołączonej  do  fazy  wirnika  tak,  aby  obroty  wirnika  wynosiły  1450/min  (R

rd

  wyrazić  w 

Ω

). Obliczyć straty mocy w obwodach wirnika w tym stanie pracy. Straty mechaniczne pomi-

nąć. 
 
3.21.  Silnik  indukcyjny  pierścieniowy  ma  dane  znamionowe:  P

N

 = 190kW,  U

N

 = 500V(Y), 

p

 = 2, U

1r

 = 400V(Y), f

N

 = 50Hz, t

b

 = 2,3, n

N

 = 1480/min, I

sN

 = 264A, I

rN

 = 310A. Silnik pracu-

je  w  sieci  f = 60Hz.  Obliczyć  prędkość  silnika  przy  obciąŜeniu  momentem  znamionowym, 
jeśli napięcie zasilania nie uległo zmianie. Oszacować prąd stojana w tym stanie pracy. 
 
3.22.  Silnik  indukcyjny  pierścieniowy  ma  dane  znamionowe:  P

N

 = 190kW,  U

N

 = 500V(Y), 

p

 = 2, U

1r

 = 400V(Y), f

N

 = 50Hz, t

b

 = 2,3, n

N

 = 1480/min, I

sN

 = 264A, I

rN

 = 310A. Silnik pracu-

je w nowych warunkach, gdy: U = U

N

, f = 1,2 f

N

. Obliczyć jakim momentem moŜna obciąŜyć 

silnik, aby poślizg pozostał znamionowy. Oszacować prąd stojana w tym stanie pracy. 
 
 
 

ROZWIĄZANIA ZADAŃ I ODPOWIEDZI DO ROZDZIAŁU 3 

 
3.1. 

 WyraŜenie  na  moment  elektromagnetyczny  silnika  indukcyjnego  (wzór  Klossa)  dla 

przyjętych załoŜeń ma postać:  

s

s

s

s

T

T

b

b

b

e

+

=

2

 

Jeśli określimy przeciąŜalność chwilową momentem jako:   

T

T

t

b

=

, 

gdzie w warunkach pracy stabilnej zachodzi równość: T = T

e 

, 

to  z  rozwiązania  wyraŜenia  na  moment  otrzymamy  związek  między  poślizgiem  krytycznym  
i poślizgiem w danym stanie pracy: 

)

1

(

2

−

±

=

t

t

s

s

b

 lub 

)

1

(

2

−

±

=

t

t

s

s

b

 

 

15

PrzeciąŜalność  znamionowa  jest  równa:   

N

b

b

T

T

t

=

,  gdzie  T

N

    jest  znamionowym  momentem 

obrotowym.  

W zadaniu:  

5625

,

1

6

,

1

5

,

2

6

,

1

5

,

2

6

,

1

1

=

=

=

=

=

N

N

N

b

b

T

T

T

t

T

T

t

, dla    

1

1

=

=

s

s

  

 

 stąd: 

362

,

0

=

b

s

 (drugi wynik: s

b

 = 2,762 odrzucamy) 

076

,

0

)

1

(

2

≅

−

±

=

b

b

b

N

t

t

s

s

 (drugi wynik s

N

 = 1,734 odrzucamy). 

 

WyraŜenie na poślizg ma postać:  

s

s

p

s

ω

ω

Ω

−

=

, 

dla wartości znamionowych:    

s

N

s

N

p

s

ω

ω

Ω

−

=

. 

Tu liczba par biegunów:  p = 2.  

Stąd:    

21

,

145

)

1

(

2

)

1

(

=

−

=

−

=

Ω

N

N

N

s

N

s

p

f

s

p

π

ω

rad/s. 

Znamionowy moment obrotowy wynosi:  

Nm

P

T

N

N

N

255

8

,

254

≅

=

Ω

=

. 

Odpowiedź: 

,

362

,

0

=

b

s

 

076

,

0

=

N

s

, 

Nm

T

N

255

≅

. 

 
 
3.2. Przekładnia napięciowa jest liczona jako stosunek napięć fazowych stojana do wirnika: 
 

375

,

2

160

380

3

3

1

=

=

=

r

N

U

U

K

 

Rezystancja fazy wirnika sprowadzona na stronę stojana: 

Ω

=

=

′

0801

,

0

2

r

r

R

K

R

, 

prąd fazowy wirnika po sprowadzeniu ma wartość:  

A

K

I

I

rN

rN

47

,

77

=

=

′

 

PoniewaŜ  w  znamionowym  stanie  pracy  wartości  fazowe  prądu  wirnika 

rN

I

′

  i  prądu  stojana 

sN

I

są róŜne, w analizie schematu zastępczego naleŜy uwzględnić gałąź poprzeczną. Jest ona 

reprezentowana przez reaktancję główną 

m

X

. 

N

r

s

R

′

sN

I

s

jX

σ

3

sN

U

m

I

m

jX

r

X

j

σ

′

rN

I

′

 

 

16

Zakładamy  dla  uproszczenia,  Ŝe  w  znamionowym  stanie  pracy  prąd  wirnika  jest  w  fazie  

z  napięciem  na  gałęzi  poprzecznej  (poniewaŜ 

r

N

r

X

s

R

σ

′

>>

′

)  i  wyprzedza  prąd  magnesowania  

w tej gałęzi (

)

m

I

 o 90

0

.  

Stąd: 

A

I

I

I

rN

sN

m

7

,

41

)

(

)

(

2

2

=

′

−

=

 i dalej szacunkowa wartość reaktancji głównej wynosi:  

Ω

=

=

26

,

5

3

m

sN

m

I

U

X

 

W stanie zwarcia wypadkowa impedancja fazowa ma postać: 
 

2

2

2

2

2

2

2

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)]

(

)[

(

)

(

)

(

r

m

r

r

m

r

m

r

m

r

m

r

r

m

s

r

m

r

r

m

r

r

r

m

s

r

m

r

r

r

m

s

k

X

X

R

X

X

X

jX

X

X

R

X

R

R

jX

jX

X

X

R

X

X

j

R

X

j

R

jX

jX

X

X

j

R

X

j

R

jX

jX

Z

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

′

+

+

′

′

+

′

+

′

+

+

′

′

+

′

+

=

=

′

+

+

′

′

+

−

′

′

+

′

+

=

′

+

+

′

′

+

′

+

=

 

 
Jeśli uwzględnimy, Ŝe 

r

m

R

X

′

>>

 (patrz obliczenia wyŜej) to impedancję moŜna  

zapisać jako: 

)

(

)

(

2

2

r

r

s

r

r

r

r

m

m

r

r

m

m

s

k

X

C

X

j

R

C

X

X

X

X

j

R

X

X

X

jX

Z

σ

σ

σ

σ

σ

σ

′

+

+

′

=

′

′

+

+

′













′

+

+

≅

 

gdzie: 

r

m

m

r

X

X

X

C

σ

′

+

=

. 

W temacie zadania przyjęto: 

s

r

X

X

σ

σ

=

′

, stąd 

m

s

m

s

r

X

X

X

C

C

+

=

=

σ

 

oraz  

k

r

s

k

r

r

r

r

m

m

r

r

m

m

s

k

jX

R

C

jX

R

C

X

X

X

X

j

R

X

X

X

jX

Z

+

′

=

+

′

=

′

′

+

+

′













′

+

+

=

2

2

2

)

(

)

(

σ

σ

σ

σ

, 

gdzie: 

r

s

s

k

X

X

C

X

σ

σ

′

+

=

. 

 

Prąd zwarcia:   

A

I

I

sN

k

440

5

=

=

. 

Jednocześnie:  

2

2

)

(

)

(

3

k

r

s

sN

k

X

R

C

U

I

+

′

=

. 

Uwzględniając, Ŝe   

2

2

)

(

r

s

k

R

C

X

′

>>

 przyjmujemy wartość prądu zwarcia za równą: 

   

k

sN

k

X

U

I

3

≅

, 

stąd:     

Ω

≅

=

498

,

0

3

k

sN

k

I

U

X

. 

Aby  obliczyć  wartości  reaktancji  rozproszeń 

s

r

X

X

σ

σ

=

′

  oraz  współczynnika 

s

C   naleŜy  roz-

wiązać równanie kwadratowe ze względu na 

s

X

σ

: 

s

s

m

s

m

r

s

s

k

X

X

X

X

X

X

X

C

X

σ

σ

σ

σ

σ

+

+

=

′

+

=

, 

stąd:                               

0

)

2

(

)

(

2

=

−

−

+

m

k

s

k

m

s

X

X

X

X

X

X

σ

σ

 

 

 

17

Uwzględniając  wyznaczone  wcześniej  przybliŜone  wartości  indukcyjności  głównej 

Ω

=

26

,

5

m

X

 i indukcyjności zwarcia 

Ω

=

498

,

0

k

X

otrzymujemy: 

0

62

,

2

02

,

10

)

(

2

=

−

+

s

s

X

X

σ

σ

 

Stąd: 

Ω

=

′

=

255

,

0

r

s

X

X

σ

σ

 oraz 

954

,

0

255

,

0

26

,

5

26

,

5

=

+

=

+

=

m

s

m

s

X

X

X

C

σ

. 

 
Dla dokładniejszego wyznaczenia wartości reaktancji  

m

X ,

s

X

σ

i dalej współczynnika 

s

C nale-

Ŝ

y uwzględnić w gałęzi wirnika rezystancję 

r

R

′

.  

Analizę przeprowadzimy dla znamionowych warunków pracy. 

Dla  rozwaŜanego  silnika  przyjmujemy  wartość  obrotów  synchronicznych  równą: 
n

s

 = 1000/min.  

Poślizg znamionowy wynosi: 

03

,

0

=

−

=

s

N

s

N

n

n

n

s

. 

ZaleŜność  między  znamionowymi  wartościami  prądów  stojana  i  wirnika  wyznaczymy  na 
podstawie schematu zastępczego z dzielnika prądów: 
 

(

)

m

r

N

r

m

sN

rN

X

X

j

s

R

jX

I

I

+

′

+

′

=

′

σ

 

 i przy załoŜeniu równości reaktancji rozproszeń - 

r

s

X

X

σ

σ

′

=

 przyjmuje postać: 

(

)

2

2

2

2

)

(

s

N

r

m

m

r

N

r

m

sN

rN

X

s

R

X

X

X

s

R

X

I

I

+













′

=

+

′

+













′

=

′

σ

                           (1) 

gdzie:  

m

r

s

X

X

X

+

′

=

σ

. 

 
Jednocześnie moŜna zapisać: 

 

=

+

+

=

+

′

+

=

′

+

+

=

′

+

=

m

s

m

s

s

m

r

m

r

s

r

m

s

m

s

r

s

s

k

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

C

X

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

σ

'

 

s

m

s

s

X

X

X

X

σ

σ

+

=

 

stąd: 

(

) (

)(

)

2

2

m

s

m

s

m

s

m

s

s

m

s

s

s

s

k

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

−

=

+

−

=

+

=

+

=

σ

σ

σ

 

czyli:                                                     

s

k

s

m

X

X

X

X

−

=

2

2

                                                       (2) 

 
Po uwzględnieniu zaleŜności (2) w równaniu (1), po wprowadzeniu parametru 

k

X ,  otrzymu-

jemy równanie kwadratowe z niewiadomą 

s

X : 

2

2

2

2

2

s

N

r

m

X

k

s

R

k

X

+













′

=

  czyli  

2

2

2

2

2

s

N

r

s

k

s

X

k

s

R

k

X

X

X

+













′

=

−

, gdzie: 

sN

rN

I

I

k

′

=

,   

i dalej:                             

0

)

1

(

2

2

2

2

=













′

+

+

−

N

r

s

k

s

s

R

k

X

X

X

k

 

 

 

18

Stąd:                             

(

)

(

)

2

2

2

2

2

1

2

1

4

k

k

k

s

R

X

X

X

N

r

k

k

s

−

−













′

+

+

=

 

  

(

)

(

)

Ω

=

=

−

−













+

+

=

184

,

6

45

,

0

783

,

2

88

,

0

1

2

88

,

0

1

88

,

0

03

,

0

0801

,

0

4

498

,

0

498

,

0

2

2

2

2

2

s

X

.   

 
Wyznaczone wartości reaktancji wynoszą: 

s

X = 6,184Ω,   

m

X = 5,93Ω. 

Wtedy stała 

s

C jest równa:  

959

,

0

=

=

s

m

s

X

X

C

, 

natomiast reaktancje rozproszenia, przy załoŜeniu 

r

s

X

X

σ

σ

′

=

, wynoszą: 

Ω

=

−

=

′

=

254

,

0

m

s

r

s

X

X

X

X

σ

σ

 

Na podstawie znamionowej wartości prędkości obrotowej przyjmujemy p = 3.  
WyraŜenie na moment krytyczny ma postać: 

(

)

k

s

sph

s

b

X

U

C

p

T

ω

2

2

3

=

 

Zatem:                                        

(

)

Nm

T

b

1273

498

,

0

100

3

/

380

959

,

0

2

3

3

2

≅

⋅

⋅

⋅

=

π

 

Poślizg krytyczny:   

161

,

0

=

′

=

k

r

b

X

R

s

. 

Moment rozruchowy:   

Nm

s

s

T

T

b

b

b

l

399

1

2

2

≅

+

=

. 

Powtórzenie powyŜszego cyklu obliczeń dla poprawionej wartości reaktancji zwarcia, równej: 

(

)

Ω

≅

′

−















=

493

,

0

3

2

2

r

s

k

sN

k

R

C

I

U

X

, 

prowadzi do otrzymania końcowych wyników:  

,

959

,

0

≅

s

C

 

,

2516

,

0

=

′

=

r

s

X

X

σ

σ

 

,

1625

,

0

=

b

s

 

Nm

T

b

1286

=

, 

Nm

T

l

407

=

. 

ZauwaŜmy, Ŝe przeprowadzona korekta poprawia wyniki w zakresie nie przekraczającym 2%. 
Biorąc pod uwagę dokładność samego modelu matematycznego moŜna uznać, Ŝe nie była ona 
konieczna. RównieŜ uproszczona procedura wyznaczenia reaktancji i stałej 

s

C (pominięcie 

wpływu rezystancji wirnika) daje wyniki zbliŜone do obliczeń dokładnych. 
Wyznaczmy teraz znamionowy moment elektromagnetyczny ze wzoru: 

Nm

s

s

s

s

T

T

b

N

b

N

b

eN

459

2

2

2

≅

+

=

 

Całkowitą moc mechaniczną wytwarzaną przez maszynę moŜemy obliczyć ze wzoru: 

(

)

46643

1

=

−

=

p

s

T

P

N

s

eN

mN

ω

W,