K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
1
PiS15 W03: Zmienne losowe II
1.
Charakterystyki liczbowe zm. l.
2.
Charakterystyki położenia
Przykład 1
3.
Charakterystyki rozrzutu
4.
Momenty zmiennej losowej
Przykład 2
5.
Charakterystyki współzależności liniowej
Przykład 3,
Przykład 4
6.
Standaryzacja zmiennej losowej
7.
Rozkład Bernoulliego i jego własności
8.
Rozkład równomierny i jego własności
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
3
1. Charakterystyki liczbowe zm. l.
Niech
na
(Ω, ℱ, ℙ) określone będą zm. l. , … , o war-
tościach rzeczywistych.
Charakterystykami liczbowymi
zm. l.
(lub ich rozkładów prawd.) nazywamy liczby charakteryzują-
ce zbiór wartości, jakie mogą one przyjmować, np. pod
względem wartości najbardziej prawd., rozrzutu wokół pew-
nej wartości, kształtu wykresu funkcji prawd. lub krzywej gę-
stości, a w przypadku kilku zm. l. współzależności między
nimi.
Charakterystyka liczbowa służy do syntetycznego opisu
wartości zm. l. Za pomocą kilku liczb można uzyskać w pro-
sty sposób dostatecznie dobre informacje o rozkładzie zm. l.
lub zależnościach pomiędzy zm. l.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
2
9.
Proces Bernoulliego
10.
Rozkład dwumianowy i jego własności
11.
Rozkład jednostajny i jego własności
12.
Rozkład normalny i jego własności
Przykład 6
Przykład 7
Przykład 8
13.
Przykładowe projektowanie badań
Przykład projektu zaliczeniowego na laboratorium cz. 1
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
4
2. Charakterystyki położenia
Charakterystykę liczbową
ℎ( ) zm. l. nazywamy
cha-
rakterystyką położenia
, jeśli dodanie do zm. l. dowolnej stałej
zmienia wartość tej charakterystyki o tę stałą, tj.
ℎ( + ) = ℎ( ) +
Podstawowe charakterystyki położenia wartości zm. l.:
a)
wartość oczekiwana
(expected value, mean),
b)
wartość modalna
(mode),
c)
kwantyle
(quantile).
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
5
Wartością oczekiwaną
(wartością średnią, ang. expected va-
lue, mean) zm. l. X nazywamy liczbę
=
, gdzie jest
operatorem wartości oczekiwanej, przy czym
a)
dla zm. l. typu dyskretnego
= ∑
b)
dla zm. l. typu ciągłego
=
( )
przy założeniu, że występujący szereg i całka są bezwzględ-
nie zbieżne. W przeciwnym przypadku powiemy, że zm. l. nie
ma wartości oczekiwanej.
Mianem wartości oczekiwanej jest miano zm. l. .
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
7
Zm. l. i , które spełniają warunek z tezy własności 5
nazywamy
nieskorelowanymi zm. l.
Jeżeli zm. l. X ma wartość oczekiwaną m, to zm. l.
= −
nazywamy zm. l. scentrowaną
.
Przykład 1. Niech będzie liczbą punktów stałych w loso-
wej permutacji zbioru
{!, ", }.
a) Wyznaczyć wartość oczekiwaną zm. l. .
b) Uogólnić wynik na zbiór
$ elementowy.
Rozwiązanie.
Doświadczenie jest tu określone poprzez per-
mutację zbioru
{!, ", }, stąd zbiór wyników
Ω = {!" , ! ", "! , " !, !", "!}.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
6
Własności wartości oczekiwanej
Niech
na
(Ω, ℱ, ℙ)
dane będą dwie zm. l. i dla których
istnieją
, oraz niech stała ! ∈ ℝ, wówczas
1.
! = !;
2.
(! ) = ! ;
3.
( + !) =
+ !;
4.
( + ) =
+
;
własność 4 ma uogólnienie na sumę skończonej ilości zm. l.
Z własności 2, 3 i 4 wynika, że operator jest liniowy.
5.
Ponadto, jeżeli zm. l. X i Y są niezależne, to
)( −
)( − )* = 0
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
8
Prawd. poszczególnych wyników oraz liczby punktów stałych
podane są w tablicy 1.1.
Ω
a b c
a c b
b a c
b c a
c a b
c b a
3
1
1
0
0
1
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Tablica 1.1. Liczby punktów stałych.
Stąd wartość oczekiwana
= 3 -
1
60 + 1 -
1
60 + 1 -
1
60 + 0 -
1
60 + 0 -
1
60 + 1 -
1
60 = 1
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
9
b) Wyznaczymy oczekiwaną liczbę punktów stałych w loso-
wej permutacji zbioru
1 = {1, 2, … , $}. Dla każdego 3 ∈ 1,
niech
(ω) równa się 1, jeśli losowa permutacja
ω
ma punkt
stały na i-tym miejscu, i 0 w p. p, stąd dla każdego i,
= .
Niech Y oznacza liczbę punktów stałych w permutacji
ω
(ω) = (ω) +
5
(ω) + ⋯ + (ω).
Stąd z własności liniowości dla n zm. l.
=
+
5
+ ⋯ +
,
czyli
= 1.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
11
Wariancją
(variance)
zm. l. nazywamy wartość oczeki-
waną kwadratu scentrowanej zm. l., tj. liczbę
7
5
określoną
wzorem:
7
5
= ( −
)
5
przy czym, jeżeli zm. l. jest:
a)
typu dyskretnego, to
7
5
= ∑ ( −
)
5
( ),
b)
typu ciągłego, to
7
5
=
( −
)
5
( )
Wariancja zm. l. istnieje, gdy szereg (całka) występujący
w definicji wariancji jest zbieżny.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
10
3. Charakterystyki rozrzutu
Charakterystykę liczbową zm. l. nazywamy
charaktery-
styką rozrzutu
, jeśli dodanie do zm. l. dowolnej stałej nie
zmienia wartości tej charakterystyki. Charakterystykami roz-
rzutu wartości zm. l. są:
a)
wariancja
(ang. variance),
b)
odchylenie standardowe
(ang. standard deviation),
c)
odchylenie ćwiartkowe
.
Względną charakterystyką rozrzutu jest
współczynnik
zmienności
(ang. coefficient of variation).
Niech będzie zm. l. określoną na
(Ω, ℱ, ℙ) i ma wartość
oczekiwaną
=
.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
12
Wartość wariancji zm. l. oznaczamy
σ
5
. Mianem wariancji
jest kwadrat miana badanej zm. l.
Własności wariancji. Niech na
(Ω, ℱ, ℙ) dane będą zm. l.
i o skończonych wariancjach oraz
! ∈ ℝ. wówczas
a)
7
5
! = 0
−
wariancja stałej jest równa zero,
b)
7
5
≥ 0 – nieujemność wariancji,
c)
7
5
( + !) = 7
5
−
niezmienniczość na przesunięcie,
d)
7
5
(! ) = !
5
7
5
dla
! ≠ 0;
e)
7
5
( ± ) = 7
5
+ 7
5
, gdy są nieskorelowane.
Odchyleniem standardowym
lub dyspersją zm. l. X nazywa-
my dodatni pierwiastek z wariancji, tj. liczbę
σ = 7 .
Mianem dyspersji jest miano badanej zmiennej.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
13
4. Momenty zmiennej losowej
Niech na
(Ω, ℱ, ℙ) dana będzie zm. l. X oraz ∈ ℝ, < ∈ ℕ.
Charakterystykę liczbową
( − )
>
(o ile istnieje) nazy-
wamy momentem k-tego rzędu zm. l. X względem stałej c.
Szczególną rolę odgrywają momenty dla
= 0 i =
.
Jeżeli
= 0, to momenty nazywają się momentami zwy-
kłymi i oznaczamy je
>
, tj.
>
( ) =
>
Jeżeli
=
, to momenty nazywają się momentami cen-
tralnymi i oznaczamy je przez
?
>
, tj.
?
>
( ) = ( −
)
>
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
15
Przykład 2. Losujemy liczbę z przedziału
(!, "), gdzie ! <
". Niech X oznacza wylosowaną liczbę. Wyznaczyć dwa
pierwsze momenty zwykłe oraz wariancję zm. l. X.
Rozwiązanie.
a) Rozkład zm. X określa gęstość
( ) = A1/(" − !),
gdy ∈ (!, "),
0,
F p. p. ,
więc momenty wyznaczamy przez całkowanie
=
H I
H
I
=
IJH
5
,
5
=
H I
5
H
I
=
H
K
I
K
L(H I)
=
I
M
JIHJH
M
L
,
stąd
7
5
=
I
M
JIHJH
M
L
− N
IJH
5
O
5
=
(H I)
M
5
.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
14
Z istnienia momentów wyższych rzędów wynika istnienie
momentów niższych rzędów.
Wartość oczekiwana jest momentem zwykłym rzędu
pierwszego.
Wariancja jest momentem centralnym rzędu drugiego.
Związek między wariancją a momentami zwykłymi
Jeżeli istnieje wariancja
7
5
zm. l. X, to
7
5
=
5
−
5
Niech na
(Ω, P, ℙ) dana będzie para zm. l. X i Y.
Momentem zwyczajnym rzędu (
< + Q) pary ( , ) nazywa-
my charakterystykę liczbową
>R
określoną wzorem:
>R
( , ) = (
> R
).
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
16
5. Charakterystyki współzależności liniowej
Jeżeli rozważamy kilka zm. l. określonych na tej samej
przestrzeni
(Ω, ℱ, ℙ), to możemy badać je nie tylko z osobna,
ale również łącznie, na przykład w celu wyznaczenia współ-
zależności pomiędzy nimi.
Podstawowymi charakterystykami określającymi współza-
leżność liniową pomiędzy parami zm. l.-ych są:
a)
kowariancja (covariance),
b)
współczynnik korelacji (
correlation coefficient
)
Niech na
(Ω, ℱ, ℙ) dane będą dwie zm. l. X i Y.
Kowariancją zm. l. X i Y dla których
| | < ∞, (tj. istnieje
moment mieszany), nazywamy liczbę
UV( , ) = (( −
)( − ))
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
17
Mianem kowariancji jest iloczyn mian zmiennych X i Y.
Własności kowariancji:
1.
UV( , ) = UV( , ) – przemienność kowariancji,
2.
UV( , ) = 7
5
,
3.
UV( , ) = ( ) −
∙
,
4.
| UV( , )| ≤ 7 7 – nierówność Schwarza.
5.
7
5
( ± ) = 7
5
+ 7
5
± 2 UV( , ),
Z własności 3) wynika, że dla każdej pary niezależnych
zm. l. X i Y
UV( , ) = 0.
Odwrotne stwierdzenie jest fałszywe. Ilustruje to przykład.
Przykład 3. Obliczyć kowariancję oraz zbadać niezależność
zm. l. brzegowych dla wektora l. (X, Y) o łącznym rozkładzie:
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
19
Niech na
(Ω, ℱ, ℙ) dana będzie para zm. l. i .
Współczynnikiem korelacji
zm. l. i nazywamy charak-
terystykę liczbową
UYY( , ) określoną wzorem:
UYY( , ) =
UV( , )
7 ∙ 7
Wartości współczynnika korelacji oznaczamy
Z
[
. Współ-
czynnik korelacji jest wielkością bez miana i nie zależy od
przyjętej skali oraz od położenia początku układu współrzęd-
nych, w którym są rejestrowane zmienne.
Własności współczynnika korelacji.
a)
−1 ≤ ρ
[
≤ 1, przy czym Z
[
= 1, wtedy i tylko wtedy,
gdy
= ! + " z prawd. 1.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
18
\ 1
2
3
6
0,2
0
0,2
8
0
0,2
0
10
0,2
0
0,2
Rozwiązanie.
Po wykonaniu obliczeń mamy:
= 8,
= 2, ( ) = 16, zatem UV( , ) = 0,
więc zm. l. X i Y są
nieskorelowane
, ale nie są niezależne, bo
P( = 6, = 1) = 0,2 ≠ P( = 6)P( = 1) = 0,16
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
20
b)
dla dowolnych stałych
!, ", ,
UV(! + ",
+ ) = ! UV( , )
Zatem, jeśli stałe a i c są tego samego znaku, to współczynnik
korelacji zm. l.
! + " i + jest taki sam, jak zm. l. i .
Oznacza to, że współczynnik korelacji nie zależy od przyjętej
skali oraz od położenia początku układu współrzędnych,
w którym są rejestrowane zm. i .
Przykład 4. W produkcji pewnego zakładu braki ze względu
na własności mechaniczne produktu stanowią 3%, a braki ze
względu na własności elektryczne tego produktu 4,5%. Pro-
dukcja dobra stanowi 95% całej produkcji. Wyznaczyć
współczynnik korelacji między brakami obu typów.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
21
Wskazówka. Wprowadzamy dwie dychotomiczne zm. l.
i . Jeśli wyrób
ω
jest brakiem ze względu na własności me-
chaniczne, to przyjmujemy, że
(ω) = 1, w przeciwnym
przypadku
(ω) = 0. Podobnie, (ω) = 1, gdy wyrób
ω
jest
brakiem ze względu na własności elektryczne oraz
(ω) = 0,
w przeciwnym przypadku. Dane uzupełniamy tak, aby otrzy-
mać rozkład łączny i rozkłady brzegowe.
\ 0
1
0
0,95
1
0,03
[
0,045
Na koniec obliczamy odpowiednie momenty.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
23
Własności.
Niech Z będzie standaryzowaną zm. l. dla zm. l.
, wówczas
a)
1 = 0,
b)
7
5
1 = 1,
c)
` ( ) = `
a
N
7
O.
Dowody. Własności wynikają z przekształceń:
1 = N
7
O =
7
( −
) = 0,
7
5
1 = 7
5
N
7
O =
7
M
7
5
( −
) = 1.
` ( ) = P( ≤ ) = P -1 ≤
−
7
0 ≝ `
a
-
−
7
0
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
22
6. Standaryzacja zmiennej losowej
Standaryzacją
zm. l. o skończonej wartości oczekiwanej
i wariancji
7
5
> 0 nazywamy przekształcenie
ℎ( ) =
−
7
Zm. l.
1 = ℎ( ) nazywamy
standaryzowaną zm. l.
(
the
stan-
dardized r. v.
)
Standaryzacja zm. l. może być uogólniona na tak zwaną
„
zm. l. zredukowaną
”, która jest określana za pomocą innej
charakterystyki położenia i/lub innej charakterystyki rozrzutu.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
24
7. Rozkład Bernoulliego i jego własności
Rozkładem Bernoulliego
(
Bernoulli distribution
) (zwa-
nym w polskiej literaturze rozkładem zero-jedynkowym) na-
zywamy rozkład zm. l. dla której
(Ω) = {0, 1}. Wartość 1
przyjmuje z prawd. p, a 0 z prawd.
d = 1 − , czyli
e
( ) = A
, dla = 1,
1 − , dla = 0.
Rozkład ten oznaczamy
h( ). Zapis ~h( ) oznacza, że
zm. l. X ma rozkład Bernoulliego z parametrem
( ∈ (0, 1))
Momenty zwykłe:
>
= 1
>
+ 0
>
(1 − ) = , dla k
=
1,
2,… , stąd
= ,
5
= , 7
5
= (1 − ).
Rozkład ten jest stosowany w kontroli jakości wyrobów.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
25
8. Rozkład równomierny i jego własności
Zm. l. X typu dyskretnego ma
rozkład równomierny
(
discrete uniform distribution
) na zbiorze
(Ω) = j, gdzie
j = { ,
5
, … , }, co oznaczamy ~k(j), jeżeli każdą
z wartości
>
∈ j przyjmuje z tym samym prawd., tj.
l
(
>
|j) = P( =
>
) =
Rozkład równomierny jest modelem losowania liczby
w totalizatorze sportowym, wyniku rzutu idealną kostką, lo-
sowania numeru produktu z ponumerowanej ich partii, itp.
Własności. Jeżeli
~k(j), to
=
∑
m
,
7
5
=
∑
m
M
− ( )
5
.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
27
10. Rozkład dwumianowy i jego własności
Zm. l. X typu dyskretnego ma
rozkład dwumianowy
(
binomial distribution
) na zbiorze
(Ω) = {0, 1, … , $} z pa-
rametrami
$ i ($ ∈ ℕ,
∈ (0, 1), co zapisujemy
~"3$($, ), jeżeli jej funkcja prawd.
H
wyraża się wzo-
rem:
H
( |$, ) = N$O (1 − ) Q! ∈ {0, 1, … , $}
Zm. l. X o rozkładzie
"3$($, ) zlicza liczbę sukcesów (je-
dynek), w ciągu n niezależnych doświadczeń, których mode-
lem jest proces Bernoulliego.
Ciąg niezależnych zm. l. o tym samym rozkładzie nazywa-
my prostą próbą losową i ozn. SRS (simple random sample).
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
26
9. Proces Bernoulliego
Procesem Bernoulliego
1
(
Bernoulli process
) nazywamy
skończony lub nieskończony ciąg
,
5
, … identycznych
i niezależnych zm. l. o rozkładzie Bernoulliego, tj. przyjmu-
jących dwie wartości: 1 z prawd. p zwanym sukcesem i 0
z prawd.
d
1
zwanym porażką.
Z procesem Bernoulliego związane są rozkłady:
Bernoul-
liego
,
dwumianowy
i
Pascala
.
1
Jakub Bernoulli (1654-1705)
Matematyk szwajcarski, jeden z licznej rodziny Bernoullich, autor Ars conjectandi, pierw-
szego dzieła poświęconego rachunkowi prawdopodobieństwa.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
28
Rys. 1. Łamane funkcji prawd. rozkładów dwumianowych
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
29
Własności rozkładu dwumianowego:
1.
Jeżeli
~h( ) dla i
=
0, 1, 2,…, n jest ciągiem nieza-
leżnych zm. l. o tym samym rozkładzie Bernoulliego, to
ich suma
n =
+
5
+ ⋯ +
ma rozkład dwumianowy
n ~"3$($
, ).
2.
Jeżeli
~"3$($, ), to
= $ , 7
5
= $ (1 − ),
U( ) = A
o($ + 1) p,
Q! ($ + 1) ∉ ℕ
r
($ + 1) , ($ + 1) − 1, Q! ($ + 1) ∈ ℕ
r
gdzie symbol
o p oznacza część całkowitą z liczby x.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
31
12. Rozkład normalny i jego własności
Zm. l. X typu ciągłego ma
rozkład normalny
(normal di-
stribution) z parametrami
i
σ, ( ∈ ℝ, σ > 0), co zapisu-
jemy
~s( , σ), jeśli jej gęstość
s
wyraża się wzorem:
t
( | , σ) =
u√5w
exp N−
( z)
M
5u
M
O , ∈ ℝ
Gęstość rozkładu normalnego zaproponował
Gauss
2
, jako
model rozkładu częstości błędów pomiarowych.
2
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
−
matematyk niemiecki. Jeden z najwybitniejszych matematyków wszystkich
czasów, zwany przez współczesnych książę matematyków. Profesor uniwersytetu w Getyndze.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
30
11. Rozkład jednostajny i jego własności
Zm. l. typu ciągłego ma
rozkład jednostajny
(
uniform
distribution
) na przedziale
(!, "), −∞ < ! < " < +∞, co za-
pisujemy
~k(!, "), gdy jej dystrybuanta dana jest wzorem:
CDF: `
l
( |!
, ") = •
0 dla < !,
− !
" − !
dla ! ≤
< "
,
1 dla ≥ ".
Własności.
Jeżeli
~k(!
, "), to
>
=
H
mۥ
I
mۥ
(H I)(>J )
,
stąd
=
IJH
5
,
7
5
=
(H I)
M
5
.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
32
Na jego cześć krzywe gęstości rozkładów normalnych na-
zywamy
krzywymi Gaussa.
Rys. 3 Krzywe Gaussa.
Gęstość osiąga maksimum w punkcie
= , natomiast
dla
= ; σ ma punkty przegięcia.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
33
Własności: Jeżeli
~s( , σ), to
= , 7
5
= σ
5
.
Rys. 4. Wykresy dystrybuant rozkładów normalnych
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
35
Standaryzowany rozkład normalny
Jeśli
~s( , ‚) i zm. l. X poddamy standaryzacji Z, to
1~s(0, 1). Rozkład s(0, 1) nazywamy
standardowym roz-
kładem normalnym
. Dystrybuanta stand. rozkładu normalne-
go jest oznaczana przez
Φ
i ma postać
Φ(„) =
√5w
exp N−
M
5
O
…
, „ ∈ ℝ.
Z symetrii gęstości stand. rozkładu normalnego względem osi
Oy wynika zależność:
Φ(−z) = 1 − Φ(z).
Wartości funkcji
Φ są stablicowane. Dla ~s( , ‚) ko-
rzystamy z tej tablicy po jej standaryzacji.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
34
Przykład 6. Wytrzymałość lin stalowych (wyrażona
w [MPa]), pochodzących z masowej produkcji, jest zm. l. X
o gęstości danej wzorem:
s
( | , σ) =
‡√5w
exp N−
(
rr)
M
ˆr
O , ∈ ℝ.
Ile wynoszą średnia i wariancja wytrzymałości lin.
Odp.:
= 100[MPa], 7
5
= 25[MPa]
2
.
Zastosowanie rozkładu normalnego
Rozkład normalny jest najważniejszym i najczęściej sto-
sowanym rozkładem w MP i SM oraz najczęściej stosowa-
nym rozkładem w zastosowaniach inżynierskich i ekono-
micznych.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
36
Przykład 7. Wytrzymałość W (w [MPa]) lin stalowych, po-
chodzących z pewnej partii, ma rozkład jak w przykładzie 6.
Obliczyć prawd. zdarzenia, że losowo wybrana lina z tej partii
będzie miała wytrzymałość większą niż 105 [MPa],
Rozwiązanie.
Z praw wielkich liczb możemy przyjąć, że czę-
stość przyjmowania wartości z przedziału (
−∞
; x) jest równa
prawd. przyjmowania wartości z tego przedziału.
Obliczamy prawd. zdarzenia
> 105 [MPa]
P( > 105) = 1 − P( ≤ 105)
=
Š‹Œ
1 − P N1 ≤
rˆ rr
ˆ
O = 1 − P(1 ≤ 1) = 1 − Φ(1),
Φ(1) odczytujemy z tablicy st. lub programu komp.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
37
Ponieważ
Φ(1) ≈ 0,8413, więc prawd., że losowo wybrana
lina z rozważanej partii będzie miała wytrzymałość większą
niż 105 [MPa] wynosi 0,1587.
Kwantyle rozkładu normalnego
Niech
` ( | , ‚) będzie dystrybuantą zm. l. X o rozkła-
dzie normalnym. Kwantyle zm. l. X wyznaczamy za pomocą
funkcji kwantylowej
` ( | , σ), która dla ∈ (0, 1) jest
określona wzorem:
` ( | , σ) =
+ 7 ∙ Φ ( ) = + σΦ ( ),
gdzie
Φ ( ) jest funkcją kwantylową rozkładu s(0, 1).
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
39
Przykład 8. Zużycie paliwa niezbędnego do przebycia przez
odrzutowiec odległości między dwoma miastami jest zm. l. X
o rozkładzie
s(5,5; 0,5) [tony]. Ustalić ilość tankowanego
paliwa tak, aby prawd. dolotu do miejsca przeznaczenia wy-
niosło ponad 0,99.
Rozwiązanie.
Wyznaczamy wartość x dla której
P( < ) =
0,99, czyli kwantyl rzędu 0,99, tj.
r,••
.
Korzystamy z zależności
r,••
=
+ 7 ∙ „
r,••
. Ponieważ
= 5,7; 7 = 0,5; „
r,••
= Φ (0,99) = 2,3263, więc
r,••
= 6,863 ton.
Zatankowanie 6,9 ton paliwa daje nam co najmniej 99% pew-
ność, że wystarczy paliwa na cały lot.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
38
Ponieważ
Φ ( ) = −Φ (1 − ), dla ∈ (0, 1)
więc wystarczy znać wartości tej funkcji dla
∈ (0,5; 1).
Kwantyl rzędu p, tj.
Φ ( ) oznaczamy „
’
.
Wartości funkcji odwrotnej
Φ
−
1
podobnie jak samej dys-
trybuanty
Φ
są zestawiane w tablicach statystycznych. Często
stosowane kwantyle podane są w podanej tablicy kwantyli.
p 0,75
0,90
0,95
0,975
0,99
0,995 0,999
z
p
0,6745 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758 3,0902
Tablica. Wybrane kwantyle rozkładu
s(0, 1)
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
40
13.
Przykładowe projektowanie badań
(Palenie i rak). Zaprojektować badanie zależności chorowania
na raka od palenia tytoniu w grupie 60 osób dla których dane
są zebrane w tablicy 1.
C\S
nie pali pali suma
bez raka
z rakiem
40 10
7 3
50
10
suma
47 13
60
Tablica 1. Palenie i rak
Realizacja projektu.
1. Oznaczenia i koncepcja badań. Niech
Ω będzie zbiorem
badanych osób. Każda osoba
“ ∈ Ω badana jest ze względu
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
41
na dwie dychotomiczne cechy, których modelami są zm. l. C i
S określone na zbiorze
Ω i o wartościach w zbiorze {0, 1}.
Niech
”(“) = 1, jeśli wylosowana osoba “ ma raka i 0 je-
ś
li nie ma oraz niech
•(“) = 1, jeśli osoba ta pali papierosy i
0 w p.p.
2.
Wyznaczamy łączny rozkład i brzegowe rozkłady.
Zauważmy, że P(C
=
0; S
=
0)
=
40/60, P(C
=
0, S
=
1)
=
10/60, i tak dalej. Łączny rozkład (C, S) jest dany w tablicy 2,
C\S
0 1
0
1
40/60 10/60
7/60 3/60
Tablica 2. Łączny rozkład.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
43
Przykład projektu zaliczeniowego na laboratorium cz. 1
Uwaga. Należy przytaczać wzory i składnie funkcji wykorzystywanych w roz-
wiązaniach. Udzielać pełnych odpowiedzi. Sporządzić tabelę ocen według
wzoru. W przypadku braku rozwiązania etapu, pod jego numerem, w polu
„uzyskano” wpisać „0”.
Etap
1 2 3 4 5 6 7 Łącznie
do uzyskania 2 2 2 1 1 2 4
14
uzyskano
Długość X (w [mm]) detalu produkowanego na pewnym automacie jest zmien-
ną losową o gęstości prawdopodobieństwa
( ) =
‡√5w
exp N
M
J–r –rr
r,r—
O , ∈ ℝ,
1. Rozpoznać rozkład długości detalu i jego parametry, wyznaczyć drugi mo-
ment zwykły długości detalu, naszkicować krzywą gęstości i dystrybuantę.
2. Obliczyć prawd. zdarzeń:
| − 19,98| ≥ 0,02, | −
| < 7 .
3. Dla jakiej wartości stałej b zachodzi równość
P)
r,rˆ
< < "* = 0,90?
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
42
Stąd rozkłady brzegowe zm. l. C i S:
˜
= - 0
1
47 60
⁄
13 60
⁄ 0
š
= - 0
1
50 60
⁄
10 60
⁄ 0
3. Badamy niezależność. Zm. l. S i C nie są niezależne, gdyż
›(” = 1, • = 1) =
L
œr
= 0,05
natomiast
›(” = 1)›(• = 1) = 0,036.
4. Obliczamy wartości oczekiwane i wariancje.
” =
r
œr
, • =
L
œr
,
(”
5
) =
r
œr
,
(•
5
) =
L
œr
,
7
5
” =
ˆ
Lœ
,
7
5
• =
œ
Lœrr
,
5. Obliczamy kowariancję i współczynnik korelacji
(”•) =
L
œr
,
UV(”, •) =
ˆ
Lœr
, stąd
UYY( , ) ≈ 0,090462.
K.J. Andrzejczak, PiS15 W03: Zmienne losowe II
44
4. Wyznaczyć kwartyle długości detalu oraz obliczyć gęstości dla nich.
5. Wyznaczyć przedział w którym mieści się 95% produkowanych detali po
złomowaniu 5% detali o największej odchyłce długości od wymiaru prze-
ciętnego.
6. Wyznaczyć prawd. zdarzenia, że łączna długość 180 detali będzie mniejsza
od 358[cm].
7. Detal spełnia normę długości, jeśli jego długość mieści się w przedziale
(19,6; 20,4). W celu sprawdzenia dokładności produkcji zmierzona zostanie
długość 180 losowo wybranych detali.
a)
Wprowadzić zmienną losową opisującą wynik sprawdzania normy długo-
ś
ci badanej partii detali. Podać jej rozkład i sporządzić wykresy PMF i
CDF.
b)
Obliczyć prawd. zdarzenia, że w badanej partii detali, co najmniej 175
z nich spełni normę długości.
c)
Wyznaczyć wartość oczekiwaną, odchylenie standardowe oraz modę licz-
by detali, które spełnią normę długości i prawdopodobieństwo dla mody.