Szczecin, 25-06-2008
Egzamin z matematyki 1
rok I, semestr II
Teoria
Zadanie I.
Podać definicję minimum funkcji dwóch zmiennych. Korzystając z definicji wykazać,
2 pkt.
że funkcja
z = x
2
+ y
2
Posiada w punkcie (0, 0) minimum.
Zadanie II.
Podać definicję pochodnej cząstkowej pierwszego rzędu funkcji f względem y w
2 pkt.
punkcie (x
0
, y
0
). Korzystając z definicji obliczyć pochodną
∂f
∂y
(−1, 1), gdzie f (x, y) =
y
x
.
Zadanie III.
Podać definicję obszaru normalnego względem osi Oy. W podanej całce iterowanej
2 pkt.
zmienić kolejność całkowania
π
3
Z
0
dx
sin x
Z
0
f (x, y)dy
Zadanie IV.
Podać kryterium porównawcze zbieżności szeregów. Korzystając z tego kryterium
2 pkt.
zbadać zbieżność szeregu liczbowego
∞
X
n=1
n
2
n
3
+ 8
Zadanie V.
Podać definicję transformaty Laplace’a funkcji f (t). Korzystając z definicji obliczyć
2 pkt.
L[t
2
]
Zadania
Zadanie 1.
Obliczyć długość łuku krzywej
1 pkt.
y =
p
x − x
2
+ arcsin
√
x
Zadanie 2.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
2 pkt.
z = 2x
3
− xy
2
+ 5x
2
+ y
2
+
3
2
x
Zadanie 3.
Obliczyć całkę podwójną
3 pkt.
ZZ
D
p
x
2
+ y
2
dxdy,
gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi x
2
+ y
2
= 4x, x
2
+ y
2
= 6x.
Zadanie 4.
Rozwiązać równania różniczkowe
6 pkt.
a. (1 + 3x
2
sin y)dx − xctgydy = 0
b. y
(5)
+ 3y
(3)
− 4y
0
= e
x
c. y
00
+ 4y
0
+ 4y = e
−2x
tg
2
x
Zadanie 5.
Znaleźć przedział zbieżności szeregu potęgowego oraz wyznaczyć jego sumę we-
3 pkt.
wnątrz tego przedziału.
∞
X
n=0
(n + 1)x
n+1
4
n
Zadanie 6.
Rozwinąć w szereg Fouriera względem sinusów funkcję
2 pkt.
f (x) = 1 − x,
0 < x < π
Zadanie 7.
Korzystając z transformacji Laplace’a rozwiązać równanie różniczkowe z warunkami
3 pkt.
początkowymi
y
000
+ y
0
= e
t
y(0) = y
0
(0) = y
00
(0) = 0
I. L[1] =
1
s
II. L[t
n
] =
n!
s
n+1
III. L[e
at
] =
1
s−a
IV. L[sin at] =
1
s
2
+a
2
V. L[cos at] =
s
s
2
+a
2
1. L[αf (t) + βf (t)] = αF (s) + βG(s)
2. L[f (αt)] =
1
α
F
s
α
3. L[1(t − t
0
)f (t − t
0
)] = e
−t
0
s
F (s)
4. L[e
s
0
t
f (t)] = F (s − s
0
)
5. L[f
(n)
(t)] = s
n
F (s)−s
n−1
f (0+)−s
n−2
f
0
(0+)−
. . . − sf
(n−2)
(0+) − f
(n−1)
(0+)
6. L[t
n
f (t)] = (−1)
n
F
(n)
(s)
7. L
h
R
t
0
f (τ )dτ
i
=
F (s)
s
8. L
h
f (t)
t
i
=
R
∞
s
F (p)dp