6.1. Zdarzenia losowe.  Prawdopodobieństwo 

 

Podstawowym pojęciem w rachunku prawdopodobieństwa jest pojęcie zdarzenia ele-

mentarnego; oznaczamy je symbolem 

ω

ω

ω

ω

. MoŜna je rozumieć poglądowo jako wynik do-

ś

wiadczenia losowego, w którym natura wyniku nie jest z góry przewidywalna.  

Wszystkie moŜliwe zdarzenia elementarne 

 

tworzą zbiór zdarzeń elementarnych, któ-

ry oznaczamy 

Ω

Ω

Ω

Ω

. MoŜe to być zbiór skończony lub nieskończony. 

 

Definicja 

Zdarzeniem losowym (zdarzeniem) nazywamy kaŜdy podzbiór A zbioru zdarzeń ele-

mentarnych doświadczenia losowego, czyli A

⊂

 

Ω

Ω

Ω

Ω

.  O zdarzeniach elementarnych składa-

jących się na zdarzenie A mówimy, Ŝe sprzyjają zdarzeniu A. 

 

Definicja 

Wśród zdarzeń losowych pewnego doświadczenia losowego wyróŜniamy zdarzenie nie-

moŜliwe, tzn. to, któremu nie sprzyja Ŝadne zdarzenie elementarne (zbiór zdarzeń jest pu-

sty), oznaczamy je symbolem 

∅

 oraz zdarzenie pewne 

Ω

Ω

Ω

Ω

, któremu sprzyjają wszystkie 

zdarzenia ze zbioru 

Ω

Ω

Ω

Ω

. 

 

Definicje 

    a)  Iloczyn   A

1

 

∩

 A

2

 

∩

...

∩

 A

n

  zdarzeń   A

1

, A

2

, ..., A

n

 jest to zdarzenie składające się z 

tych zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, które sprzyjają kaŜdemu ze zda-

rzeń A

i

. Jest to zdarzenie polegające na jednoczesnym zajściu wszystkich zdarzeń  A

i

.  

     b) Suma  A

1

 

∪

 A

2

 

∪

...

∪

  A

n

  zdarzeń A

1

, A

2

, ..., A

n

 jest to zdarzenie składające się z tych 

zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, które sprzyjają co najmniej jednemu 

zdarzeniu A

i

. Jest to zdarzenie polegające na zajściu co najmniej jednego zdarzenia A

i

. 

    c)  RóŜnica A

1

\ A

2

 zdarzeń A

1

, A

2

 jest to zdarzenie składające się z tych zdarzeń elemen-

tarnych doświadczenia losowego, które sprzyjają zdarzeniu A

1

 a nie sprzyjają zajściu 

zdarzenia A

2

. Jest to zdarzenie polegające na zajściu zdarzenia A

1

, a nie zajściu zdarze-

nia A

2

.  

    d)  Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A, które oznaczamy 

A

  lub A' nazywamy zda-

rzenie  

Ω

Ω

Ω

Ω

\ A, będące dopełnieniem zdarzenia A do zdarzenia pewnego 

Ω

Ω

Ω

Ω

..  

 

    
 
Definicja 

Borelowskim ciałem (

σσσσ

 - ciałem) zdarzeń nazywamy zbiór B, do którego naleŜą zdarze-

nia: 

-    zdarzenie pewne U = 

ω

ω

ω

ω

1

  

∪

 

ω

ω

ω

ω

2  

∪

 … 

∪

 

ω

ω

ω

ω

n

 , zdarzenie niemoŜliwe V 

oraz w którym dla kaŜdych zdarzeń losowych A

1

, A

2

 naleŜących do zbioru B naleŜą do 

niego takŜe zdarzenia: 

-  suma zdarzeń A

1

 

∪

  A

2

, 

-  iloczyn zdarzeń A

1

 

∩

 A

2

 , 

-  róŜnica zdarzeń A

1

\ A

2

 . 

 
 
Definicja 

Niech 

Ω

Ω

Ω

Ω

 = {

ω

ω

ω

ω

1

 , 

ω

ω

ω

ω

2  

, … , 

ω

ω

ω

ω

n

 , … } będzie przeliczalnym zbiorem wyników pewnego 

doświadczenia losowego.  

a) Funkcję f, która kaŜdemu wynikowi  

ω

ω

ω

ω

i

  (i = 1, 2, …, n , …) przyporządkowuje liczbę 

nieujemną  p

i

 spełniającą warunek  p

1

 + p

2

 + … + p

n

 + … = 1 nazywamy rozkładem 

prawdopodobieństwa zadanym na 

Ω

Ω

Ω

Ω

.   

b)  Modelem probabilistycznym (

Ω

Ω

Ω

Ω

 , f) doświadczenia losowego nazywamy zbiór 

wszystkich wyników tego doświadczenia wraz z funkcją – rozkładem prawdopodo-

bieństwa.  

 

Przykład 1.  

Niech doświadczeniem losowym będzie rzut monetą i obserwacja górnej strony monety. 

Otrzymamy dwa wyniki: o – wypadł orzeł, r – wypadła reszka.  

Teoretyczna szansa pojawienia się kaŜdej ze stron jest taka sama, bowiem nie ma powodu, 

aby któraś z nich wypadała częściej. Zatem kaŜdemu z tych wyników przyporządkowu-

jemy liczbę ½ .  

Jako model probabilistyczny (teoretyczny) tego doświadczenia losowego przyjmujemy  

(

Ω

Ω

Ω

Ω

 , f), gdzie 

Ω

Ω

Ω

Ω

 = { o, r} ,  f (o) = f ( r )  = ½ .  

 

Przykład 2.  

 Niech doświadczeniem losowym będzie rzut dwiema monetami i obserwacja górnej strony 

monet. Przyjmijmy oznaczenia o – wypadł orzeł, r – wypadła reszka.  

       Jako wynik tego doświadczenia (zdarzenie elementarne) przyjmujemy – z definicji – 

zbiór utworzony z tak wylosowanych stron obu monet. Niech 

ω

ω

ω

ω

1

  = {o, o} , 

ω

ω

ω

ω

2  

= {o, r} , 

ω

ω

ω

ω

3  

= {r, r}. Zatem przestrzenią zdarzeń jest  

Ω

Ω

Ω

Ω

 = {

ω

ω

ω

ω

1

 , 

ω

ω

ω

ω

2  

, 

ω

ω

ω

ω

3

}.  

Rozkład prawdopodobieństwa moŜna zdefiniować, np. tak:  

      a)    f

1

(

ω

ω

ω

ω

1

) = f

1

(

ω

ω

ω

ω

2

) = f

1

(

ω

ω

ω

ω

3

) = 

3

1

,  

            b)    f

2

(

ω

ω

ω

ω

1

) = f

2

(

ω

ω

ω

ω

3

) = 0, 25 ;    f

2

(

ω

ω

ω

ω

2

) = ½ . 

Otrzymamy wtedy dwa teoretyczne modele probabilistyczne doświadczenia rzutu dwiema 

monetami  (

Ω

Ω

Ω

Ω

 , f

1

 ), (

Ω

Ω

Ω

Ω

 , f

2

 ). 

       Okazuje się, Ŝe model (

Ω

Ω

Ω

Ω

 , f

1

 ) ma niewielkie szanse realizacji w praktyce. 

 

 Definicje 

Niech 

Ω

Ω

Ω

Ω

 = {

ω

ω

ω

ω

1

 , 

ω

ω

ω

ω

2  

, … , 

ω

ω

ω

ω

n

 , …} będzie zbiorem wyników pewnego doświadczenia lo-

sowego oraz na 

Ω

Ω

Ω

Ω

 jest zadany rozkład prawdopodobieństwa, przy czym wynikowi 

ω

ω

ω

ω

i

 

jest przyporządkowana liczba p

i

 (i = 1, 2, …, n, …).  ZałóŜmy, Ŝe zdarzenie losowe A 

naleŜy do borelowskiego ciała B zdarzeń utworzonego nad zbiorem 

Ω

Ω

Ω

Ω

 oraz A 

⊂

 

Ω

Ω

Ω

Ω

.  

a)  Prawdopodobieństwem zdarzenia losowego A, gdzie A = {

ω

ω

ω

ω

s

 , 

ω

ω

ω

ω

s + 1 

, … , 

ω

ω

ω

ω

s + t

 } 

nazywamy liczbę P(A) = p

s

 + p

s + 1 

+ … + p 

s + t

 . 

b)  Funkcję P, która kaŜdemu zdarzeniu losowemu A 

⊂

  

Ω

Ω

Ω

Ω

 przyporządkowuje prawdo-

podobieństwo tego zdarzenia nazywamy prawdopodobieństwem.    

          c)  Trójkę (

Ω

Ω

Ω

Ω

, B, P) nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 

 

Twierdzenia 

•

 

Prawdopodobieństwo P(A) zdarzenia losowego A, A 

⊂

  

Ω

Ω

Ω

Ω

 jest liczbą spełniającą wa-

runek  0  

≤

  P(A) 

≤

 1.        

•

 

Prawdopodobieństwo P( 

∅

) zdarzenia niemoŜliwego równa się 0,  P(

∅

) = 0. 

•

 

Prawdopodobieństwo P(

Ω

Ω

Ω

Ω

 ) zdarzenia pewnego równa się 1,  P(

Ω

Ω

Ω

Ω

) = 1. 

•

 

Prawdopodobieństwo sumy dowolnych, parami wykluczających się zdarzeń A

1

, A

2

, 

… jest równe sumie ich prawdopodobieństw P(A

1

 

∪

  A

2

 

∪

 …) = P(A

1

) + P(A

2

) + …. 

•

 

Prawdopodobieństwo zdarzenia A' przeciwnego do zdarzenia A jest równe 

 P(A') = 1 – P(A). 

•

 

JeŜeli zdarzenie A 

⊂

 B ,  to  P(A) 

≤

  P(B) . 

•

 

Prawdopodobieństwo sumy A 

∪

 B dwóch zdarzeń A, B  jest równe 

P(A 

∪

 B) = P(A) + P(B) – P (A 

∩

 B). 

 

Przykład 3. 

Niech doświadczeniem losowym będzie rzut dwiema monetami i obserwacja górnej stro-

ny monet (zob. przykład 2 powyŜej). Przyjmijmy oznaczenia o – wypadł orzeł, r – wy-

padła reszka.  

   Jako wynik tego doświadczenia (zdarzenie elementarne) przyjmujemy – z definicji – 

zbiór utworzony z tak wylosowanych stron obu monet.   

1. RozwaŜamy przestrzeń probabilistyczną (

Ω

 , f

1

 ), gdzie f

1

(

ω

1

) = f

1

(

ω

2

) = f

1

(

ω

3

) = 

3

1

.  

     Oto zdarzenia losowe i ich prawdopodobieństwa: 

A – orzeł wypadł przynajmniej raz; A = { 

ω

ω

ω

ω

2  

, 

ω

ω

ω

ω

3

}.  P(A) = 

3

2

. 

B – reszka wypadła co najwyŜej dwa razy; B =  {

ω

ω

ω

ω

1

 , 

ω

ω

ω

ω

2  

, 

ω

ω

ω

ω

3

} = 

Ω

Ω

Ω

Ω

 . P(B) = 1. 

C – orzeł  wypadł dwa razy; C = {

ω

ω

ω

ω

1

}.  P(C) = 

3

1

. 

D – reszka wypadła trzy razy; D =  

∅

 . P(D) = 0. 

2. RozwaŜamy przestrzeń probabilistyczną (

Ω

 , f

2

 ), gdzie f

2

(

ω

ω

ω

ω

1

) = f

2

(

ω

ω

ω

ω

3

) = 0, 25 ; f

2

(

ω

ω

ω

ω

2

) = ½ .  

     Oto zdarzenia losowe i ich prawdopodobieństwa: 

A – orzeł wypadł przynajmniej raz; A = { 

ω

ω

ω

ω

2  

, 

ω

ω

ω

ω

1

}.  P(A) = 0,75. 

B – reszka wypadła co najwyŜej dwa razy; B =  {

ω

ω

ω

ω

1

 , 

ω

ω

ω

ω

2  

, 

ω

ω

ω

ω

3

} = 

Ω

Ω

Ω

Ω

 . P(B) = 1. 

C – orzeł wypadł dwa razy; C = {

ω

ω

ω

ω

1

}.  P(C) = 0,25. 

D – reszka wypadła trzy razy; D =  

∅

 . P(D) = 0. 

 

 

Zadania do samodzielnego rozwiązywania 

 
Zadanie 1. 

Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema nierozróŜnialnymi kostkami do gry.  

a) Zdefiniuj (przynajmniej na 4 róŜne sposoby) zdarzenia elementarne tego doświadczenia. 

b) Zdefiniuj model probabilistyczny tego doświadczenia losowego w kaŜdym przypadku; 

podaj rozkład prawdopodobieństwa.  

 

Zadanie 2. 

StraŜnik obserwujący pojazdy wjeŜdŜające na parking strzeŜony notuje tylko płeć kierowcy 

pojazdu.  

a) Zdefiniuj doświadczenie losowe związane z tą sytuacją. Określ jego zbiór zdarzeń. Określ 

zdarzenie pewne, niemoŜliwe.  

b) Przyjmując, Ŝe dwukrotnie częściej kobieta jest kierowcą niŜ męŜczyzna oblicz prawdopo-

dobieństwo zdarzenia, Ŝe kolejne trzy samochody prowadzili męŜczyźni.  

 

Zadanie 3. 

Granicę przekracza wycieczka 15 osób. Wśród nich jest 4 przemytników. Do odprawy celnej 

wybiera się losowo 4 osoby. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe w wylosowanej grupie: 

a) nie znajdzie się Ŝaden przemytnik,  

 b) będzie w niej dokładnie jeden przemytnik?  

 

Zadanie 4. 

Rzut monetą powtarzamy tak długo, aŜ wyniki trzech ostatnich rzutów utworzą serię r o r.  

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia związanego z czekaniem na serię r o r :  

a) zdarzenia A, w którym serię r o r  poprzedzą same orły,  

b) zdarzenia B, w którym seria r o r  pojawi się po pięciu rzutach monetą.