1
METODY STATYSTYCZNE I
Ć
WICZENIA 3, 4
Zad. 1
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej
(
)
Y
X
,
dana jest wzorem
(
)
(
)
>
>
−
−
=
poza.
,
0
,
0
,
0
dla
,
3
2
exp
,
y
x
y
x
a
y
x
f
a)
Wyznaczyć stałą a.
b)
Wyznaczyć rozkłady brzegowe.
c)
Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.
d)
Wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej losowej X przy warunku
y
Y =
.
e)
Obliczyć
(
)
3
0
,
2
1
<
<
<
<
Y
X
P
.
Zad. 2
G
ę
sto
ść
dwuwymiarowej zmiennej losowej
(
)
Y
X
,
dana jest wzorem
(
)
(
)
>
>
−
−
=
poza.
,
0
,
0
,
0
dla
,
exp
,
y
x
y
x
a
y
x
f
a)
Wyznaczy
ć
stał
ą
a.
b)
Sprawdzi
ć
, czy zmienne X i Y s
ą
niezale
ż
ne.
c)
Obliczy
ć
(
)
2
1
,
2
1
<
<
<
<
Y
X
P
.
Zad. 3
G
ę
sto
ść
dwuwymiarowej zmiennej losowej
(
)
Y
X
,
dana jest wzorem
(
)
+
<
<
−
<
<
−
=
poza.
,
0
,
2
,
0
1
dla
,
,
x
y
x
x
a
y
x
f
a)
Wyznaczy
ć
stał
ą
a.
b)
Wyznaczy
ć
dystrybuant
ę
(
)
y
x
F
,
.
c)
Wyznaczy
ć
rozkłady brzegowe.
Zad. 4
Wyznaczy
ć
dystrybuant
ę
dwuwymiarowej zmiennej losowej
(
)
Y
X
,
, której g
ę
sto
ść
dana jest
wzorem
(
)
≤
≤
≤
≤
=
poza.
,
0
,
1
0
,
2
0
dla
,
,
y
x
xy
y
x
f
Zad. 5
G
ę
sto
ść
dwuwymiarowej zmiennej losowej
(
)
2
1
, X
X
dana jest wzorem
(
)
<
<
<
<
+
=
poza.
,
0
,
1
0
,
1
0
dla
,
,
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
x
x
f
a)
Wyznaczy
ć
g
ę
sto
ś
ci brzegowe.
b)
Wyznaczy
ć
g
ę
sto
ś
ci warunkowe.
c)
Wyznaczy
ć
wektor warto
ś
ci oczekiwanych oraz macierz kowariancji.
3
c)
Wyznaczyć
rozkład wektora
AX
Y =
, gdzie
=
2
1
0
2
0
1
A
.
Zad. 11
W badaniu miesięcznych wydatków (w zł.) na energię (zmienna
1
X
), telefon (zmienna
2
X
),
gaz (zmienna
3
X
) dla próby 30 rodzin otrzymano, że średnie wydatki w złotych wynoszą
odpowiednio
130
1
=
x
,
85
2
=
x
,
95
3
=
x
,
macierz kowariancji
−
=
300
120
150
50
70
450
~
S
Wiedząc, że rozkład wektora losowego
[
]
T
X
X
X
3
2
1
=
X
jest normalny, czy można
przypuszczać, że te wydatki wynoszą średnio
[
]
T
100
100
120
? Przyjąć poziom istotności
01
,
0
=
α
.
Zad. 12
Zbadano pot 20 kobiet pod względem trzech składowych:
1
X
- wskaźnik potu,
2
X
- zawartość sodu,
3
X
- zawartość potasu. Otrzymano następujące wyniki:
=
965
,
9
400
,
45
640
,
4
x
,
−
−
−
−
=
628
,
3
640
,
5
810
,
1
640
,
5
788
,
199
010
,
10
810
,
1
010
,
10
879
,
2
S
.
Wiedząc, że rozkład wektora losowego X jest normalny
(
)
Σ
µ
,
3
N
, zweryfikować hipotezę
[
]
T
H
10
50
4
:
0
=
µ
wobec
[
]
T
H
10
50
4
:
1
≠
µ
? Przyjąć poziom istotności
1
,
0
=
α
.
Zad. 13
Zbadano losowo wybranych 30 studentów matematyki i 20 studentów fizyki pod względem
ocen z języka angielskiego (zmienna
1
X
) i niemieckiego (zmienna
2
X
). Otrzymano
następujące wyniki:
Studenci matematyki:
1
,
4
1
=
x
,
85
,
3
2
=
x
,
−
−
=
56
,
0
35
,
0
35
,
0
5
,
0
~
S
.
Studenci fizyki:
2
,
4
1
=
x
,
95
,
3
2
=
x
,
=
45
,
0
25
,
0
25
,
0
65
,
0
~
S
.
Zakładając normalność wektora losowego X sprawdzić, czy średnie ocen uzyskanych
przez studentów obu kierunków są takie same. Przyjąć poziom istotności
05
,
0
=
α
.
4
Zad. 14
W badaniu struktury miesięcznych wydatków studentów i studentów uwzględniono wydatki
na żywność (zmienna
1
X
), wydatki na książki (zmienna
2
X
) i wydatki na ubrania (zmienna
3
X
). Dla losowo wybranych 30 studentek i 20 studentów otrzymano następujące średnie
w zł.:
Studentki:
280
1
=
x
,
85
2
=
x
,
250
3
=
x
,
Studenci:
320
1
=
x
,
85
2
=
x
,
200
3
=
x
.
Odwrotność uśrednionej macierzy kowariancji dla tej próby wyniosła:
=
−
20
,
0
02
,
0
15
,
0
05
,
0
15
,
0
25
,
0
~
1
*
S
.
Wiedząc, że rozkład wektora losowego
[
]
T
X
X
X
3
2
1
=
X
jest normalny, czy można
stwierdzić, że struktury wydatków studentek i studentów są takie same.
Zad. 15
Zweryfikować hipotezę, czy macierz wariancji – kowariancji w populacji generalnej
o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym
(
)
Σ
µ
,
N
jest równa
3
1
1
3
, jeśli dla 100
elementowej próby pobranej z tej populacji obciążona macierz wariancji – kowariancji
ma postać
3
2
2
3
. Przyjąć poziom istotności
01
,
0
=
α
.
