MECHANIKA BUDOWLI
semestr zimowy
1 |
S t r o n a
mgr in
ż
. Hanna Weber
P=12kN
M=6kNm
q =4kN/m
4
5
3
EJ
2EJ
2EJ
2
X
1
X
2
X
3
X =1
1
1
0
9m
4
5
3
9
5
M
1
Rozwi
ą
zywanie ramy statyczne niewyznaczalnej Metod
ą
Sił
Polecenie: Narysuj wykres sił wewn
ę
trznych w ramie. Zadanie rozwi
ąż
metod
ą
sił.
Okre
ś
lenie stopnia statycznej niewyznaczalno
ś
ci układu:
— układ trzykrotnie statycznie niewyznaczalny.
Rozwi
ą
zanie nr 1.
1. Schemat podstawowy (zwalniamy podpory):
Wykresy jednostkowe:
MECHANIKA BUDOWLI
semestr zimowy
3 |
S t r o n a
mgr in
ż
. Hanna Weber
12
M
0
[kNm]
12
6
6
18
12
M
0
[kNm]
12
6
6
18
12
12
18
12
ql /8=4 3 /8=4,5kNm
2
2
X =1
1
1
0
9m
4
5
3
9
5
M
1
7
X =1
2
1
0
4m
4
5
3
M
2
4
2
Wykres momentów zginaj
ą
cych:
Podział wykresów momentów do całkowania:
MECHANIKA BUDOWLI
semestr zimowy
4 |
S t r o n a
mgr in
ż
. Hanna Weber
Współczynniki układu równa
ń
kanonicznych:
11
δ
- całkujemy wykres M
1
sam przez siebie
EI
EI
2
243
9
3
2
9
9
2
1
2
1
11
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
12
δ
- całkujemy wykres M
1
z M
2
EI
EI
3
92
5
3
1
9
3
2
4
4
2
1
2
1
12
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
13
δ
- całkujemy wykres M
1
z M
3
EI
EI
42
5
2
1
9
2
1
4
3
2
1
13
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
=
δ
10
δ
- całkujemy wykres M
1
z M
0
EI
EI
2
61
9
3
1
7
3
2
2
12
2
1
7
3
1
9
3
2
2
12
2
1
7
2
1
5
2
1
2
12
5
2
1
5
6
2
1
10
=
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
=
δ
21
δ
- całkujemy wykres M
2
z M
1
EI
3
92
12
21
=
=
δ
δ
22
δ
- całkujemy wykres M
2
sam przez siebie
EI
EI
3
32
4
3
2
4
4
2
1
2
1
22
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
23
δ
- całkujemy wykres M
2
z M
3
EI
EI
12
4
2
1
4
3
2
1
23
−
=
⋅
−
⋅
⋅
=
δ
20
δ
- całkujemy wykres M
2
z M
0
EI
EI
8
2
3
1
4
3
2
2
12
2
1
4
3
1
2
3
2
2
12
2
1
2
2
1
2
12
2
1
20
=
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
δ
31
δ
- całkujemy wykres M
3
z M
1
EI
42
13
31
−
=
=
δ
δ
32
δ
- całkujemy wykres M
3
z M
2
EI
12
23
32
−
=
=
δ
δ
33
δ
- całkujemy wykres M
3
sam przez siebie
(
)
EI
EI
EI
27
3
3
2
3
3
2
1
1
3
4
3
2
1
33
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
δ
30
δ
- całkujemy wykres M
3
z M
0
( )
( )
EI
EI
EI
5
,
76
5
,
1
3
5
,
4
3
2
3
3
2
3
18
2
1
1
3
2
12
2
1
3
2
12
2
1
3
2
12
2
1
30
−
=
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
=
δ
Układ równa
ń
kanonicznych metody sił:
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
0
0
0
30
3
33
2
32
1
31
20
3
23
2
22
1
21
10
3
13
2
12
1
11
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
X
X
X
X
X
X
X
X
X
⋅
=
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
EI
EI
X
EI
X
EI
X
EI
EI
EI
X
EI
X
EI
X
EI
EI
EI
X
EI
X
EI
X
EI
/
0
5
,
76
27
12
42
3
/
0
8
12
3
32
3
92
6
/
0
2
61
42
3
92
2
243
3
2
1
3
2
1
3
2
1
MECHANIKA BUDOWLI
semestr zimowy
5 |
S t r o n a
mgr in
ż
. Hanna Weber
P=12kN
M=6kNm
q =4kN/m
2
8,41kN
3,59kN
3,59kN
0,44kNm
0,85kNm
1,03kN
1,03kN
9,2kNm
1,29kNm
1,03kN
2,56kN
2,56kN
1,29kNm
2,56kN
0kN 0kN
0,85kNm
5,57kN
6,43kN
6,43kN
6,43kN
6,43kN
0,44kNm
x
A
B
C
D
E
F
G
=
−
⋅
+
⋅
−
⋅
−
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
0
5
,
76
27
12
42
0
24
36
32
92
0
183
252
184
729
3
2
1
3
2
1
3
2
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Rozwi
ą
zanie układu równa
ń
:
=
=
=
kN
X
kN
X
kN
X
57
,
5
56
,
2
03
,
1
3
2
1
Ostateczny wykres momentów dla układu statycznie niewyznaczalnego:
Wykres momentów w poszczególnych punktach wyznaczamy na podstawie wzoru:
Zaznaczenie charakterystycznych punktów na konstrukcji:
kNm
M
A
2
,
9
12
57
,
5
3
56
,
2
4
03
,
1
9
−
=
−
⋅
−
⋅
+
⋅
=
kNm
M
B
62
,
7
12
57
,
5
3
56
,
2
2
03
,
1
7
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
kNm
M
C
44
,
0
12
57
,
5
3
56
,
2
0
03
,
1
5
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
kNm
M
D
85
,
0
6
57
,
5
0
56
,
2
0
03
,
1
5
−
=
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
kNm
M
E
29
,
1
18
57
,
5
3
56
,
2
0
03
,
1
0
=
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
kNm
M
F
6
6
57
,
5
0
56
,
2
0
03
,
1
0
−
=
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
→
podpora przegubowa obci
ąż
ona momentem skupionym
kNm
M
G
0
0
57
,
5
0
56
,
2
0
03
,
1
0
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
→
podpora przegubowa nie obci
ąż
ona momentem skupionym
Wyznaczenie warto
ś
ci sił tn
ą
cych i normalnych w zadanej ramie:
i
i
i
i
i
M
X
M
X
M
X
M
M
0
3
3
2
2
1
1
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
MECHANIKA BUDOWLI
semestr zimowy
6 |
S t r o n a
mgr in
ż
. Hanna Weber
N
[kN]
+
-
6,43
6,43
2,56
2,56
+
8,41
8,41
3,59
1,03
1,03
6,43
5,57
+
-
-
-
T
[kN]
M
[kNm]
9,2
7,62
0,44
1,29
0,85
6
3,88
Wyznaczenie ekstremum
m
x
x
x
T
39
,
1
4
57
,
5
0
4
57
,
5
)
(
=
=
→
=
−
=
kNm
m
x
M
88
,
3
2
39
,
1
4
39
,
1
57
,
5
)
39
,
1
(
2
=
⋅
−
⋅
=
=
Wykresy sił wewn
ę
trznych w ramie statycznie niewyznaczalnej:
MECHANIKA BUDOWLI
semestr zimowy
7 |
S t r o n a
mgr in
ż
. Hanna Weber
X
1
X
1
X
2
X
2
X
3
X =1
1
X =1
1
0
9
20
1
5
1
4
1
M
1
3
4
5
X =1
2
X =1
2
1
5
1
5
0
1
3
1
3
4
5
3
Rozwi
ą
zanie nr 2.
2. Schemat podstawowy (wprowadzenie przegubów):
Wykresy jednostkowe:
MECHANIKA BUDOWLI
semestr zimowy
9 |
S t r o n a
mgr in
ż
. Hanna Weber
1
M
1
0,5
1
M
3
0,5
P=12kN
2
M=6kNm
q =4kN/m
4
5
3
6
5
kN
6kN
6kN
6kN
24
5
kN
M
0
6
12
4,5
[kNm]
A
B
F
G
V =
A
H =
A
V =
F
V =
G
H =
G
T
0
[kN]
+
-
-
+
-
6
6
6
6
6
1,2
Wykres sił tn
ą
cych:
Wykres momentów zginaj
ą
cych:
Podział wykresów momentów do całkowania:
MECHANIKA BUDOWLI
semestr zimowy
10 |
S t r o n a
mgr in
ż
. Hanna Weber
Współczynniki układu równa
ń
kanonicznych:
EI
EI
2
3
1
3
2
5
1
2
1
1
3
2
4
1
2
1
2
1
11
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EI
EI
6
5
1
3
2
5
1
2
1
2
1
12
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EI
EI
3
1
1
3
1
4
1
2
1
2
1
13
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EI
EI
2
7
1
3
1
5
6
2
1
1
3
1
5
,
0
3
2
2
12
2
1
5
,
0
3
2
2
12
2
1
2
1
10
=
⋅
⋅
⋅
⋅
−
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EI
6
5
12
21
=
=
δ
δ
EI
EI
EI
6
11
1
3
2
3
1
2
1
1
1
3
2
5
1
2
1
2
1
22
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
0
23
=
δ
EI
EI
EI
2
1
2
1
3
5
,
4
3
2
1
1
3
1
5
6
2
1
2
1
20
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
−
=
δ
EI
3
1
13
31
=
=
δ
δ
0
23
32
=
=
δ
δ
EI
EI
3
2
1
3
2
4
1
2
1
2
1
33
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EI
EI
6
2
1
3
2
2
12
2
1
1
3
1
2
1
3
2
2
12
2
1
2
1
30
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
Układ równa
ń
kanonicznych metody sił:
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
EI
EI
X
EI
X
X
EI
EI
EI
X
X
EI
X
EI
EI
EI
X
EI
X
EI
X
EI
3
/
0
6
3
2
0
3
1
6
/
0
2
0
6
11
6
5
6
/
0
2
7
3
1
6
5
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
=
+
⋅
+
⋅
+
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
0
18
2
0
0
12
0
11
5
0
21
2
5
9
3
2
1
3
2
1
3
2
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Rozwi
ą
zanie układu równa
ń
:
−
=
−
=
=
kNm
X
kNm
X
kNm
X
21
,
9
29
,
1
43
,
0
3
2
1
Ostateczny wykres momentów dla układu statycznie niewyznaczalnego:
(
) (
)
kNm
M
A
21
,
9
0
21
,
9
1
29
,
1
0
43
,
0
0
−
=
+
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
(
)
(
)
kNm
M
B
61
,
7
12
21
,
9
5
,
0
29
,
1
0
43
,
0
5
,
0
=
+
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
(
)
(
)
kNm
M
C
43
,
0
0
21
,
9
0
29
,
1
0
43
,
0
1
=
+
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
MECHANIKA BUDOWLI
semestr zimowy
11 |
S t r o n a
mgr in
ż
. Hanna Weber
M
[kNm]
9,21
7,61
0,43
1,29
0,86
6
3,88
X
1
X
1
X
2
X
3
X
2
X
3
X =1
1
X =1
1
4
5
3
0
1
5
0
1
1
5
0
(
)
(
)
kNm
M
D
86
,
0
0
21
,
9
0
29
,
1
1
43
,
0
1
−
=
+
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
(
)
(
)
kNm
M
E
29
,
1
0
21
,
9
0
29
,
1
1
43
,
0
0
=
+
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
=
(
)
(
)
kNm
M
F
6
6
21
,
9
0
29
,
1
0
43
,
0
0
−
=
−
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
→
podpora przegubowa obci
ąż
ona momentem skupionym
(
)
(
)
kNm
M
G
0
0
21
,
9
0
29
,
1
0
43
,
0
0
=
+
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
→
podpora przegubowa nie obci
ąż
ona momentem
skupionym
Wyznaczenie warto
ś
ci sił tn
ą
cych i normalnych w zadanej ramie odbywa si
ę
identycznie jak w rozwi
ą
zaniu
nr 1.
Wykres momentów w ramie statycznie niewyznaczalnej:
Niewielkie ró
ż
nice w warto
ś
ci momentów w w
ę
złach w stosunku do rozwi
ą
zania nr 1 wynikaj
ą
z zaokr
ą
gle
ń
wyników układu równa
ń
. Wykres sił tn
ą
cych i normalnych analogicznie jak w rozwi
ą
zaniu nr 1.
Rozwi
ą
zanie nr 3.
3. Schemat podstawowy (przeci
ę
cie układu):
Wykresy jednostkowe:
MECHANIKA BUDOWLI
semestr zimowy
13 |
S t r o n a
mgr in
ż
. Hanna Weber
4
2
M
3
P=12kN
M=6kNm
q =4kN/m
5
3
2
4
V =12kN
A
H =0kN
A
M =24kNm
A
V =4,8kN
F
V =4,8kN
G
H =12kN
G
+
12
12
12
4,8
+
-
18
6
24
T
[kN]
0
M
[kNm]
0
Wykres M
0
(moment zginaj
ą
cy od obci
ąż
enia zewn
ę
trznego):
Wyznaczenie reakcji:
- cz
ęść
lewa układu
- cz
ęść
prawa układu
kNm
M
M
M
A
A
A
24
0
2
12
=
→
=
⋅
+
−
=
∑
kN
V
V
M
F
F
G
8
,
4
0
6
5
,
1
3
4
5
=
→
=
+
⋅
⋅
+
−
=
∑
kN
H
H
R
A
A
X
L
0
0
=
→
=
−
=
∑
kN
H
H
R
G
G
X
P
12
0
3
4
=
→
=
−
⋅
=
∑
kN
V
V
R
A
A
Y
L
12
0
12
=
→
=
−
=
∑
kN
V
V
R
G
G
Y
P
8
,
4
0
8
,
4
=
→
=
+
−
=
∑
Wykres sił tn
ą
cych:
Wykres momentów zginaj
ą
cych:
Podział wykresów momentów do całkowania:
MECHANIKA BUDOWLI
semestr zimowy
14 |
S t r o n a
mgr in
ż
. Hanna Weber
18
6
24
M
[kNm]
0
18
ql /8=4 3 /8=4,5kNm
2
2
+
6
18
Współczynniki układu równa
ń
kanonicznych:
EI
EI
6
17
1
3
2
5
1
2
1
1
4
1
2
1
11
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
δ
EI
EI
2
5
3
3
2
5
1
2
1
2
1
12
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EI
EI
4
4
2
1
4
1
2
1
13
=
⋅
⋅
⋅
=
δ
( )
EI
EI
2
1
6
3
1
18
3
2
5
1
2
1
1
2
24
2
1
2
1
10
=
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
+
−
⋅
⋅
⋅
=
δ
EI
2
5
12
21
=
=
δ
δ
EI
EI
EI
2
33
3
3
2
3
3
2
1
1
3
3
2
5
3
2
1
2
1
22
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
0
23
=
δ
EI
EI
EI
105
3
2
1
3
5
,
4
3
2
3
3
2
3
18
2
1
1
6
3
1
18
3
2
5
3
2
1
2
1
20
=
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
⋅
+
⋅
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EI
4
13
31
=
=
δ
δ
0
23
32
=
=
δ
δ
EI
EI
3
32
4
3
2
4
4
2
1
2
1
33
=
⋅
⋅
⋅
⋅
=
δ
EI
EI
40
2
3
1
4
3
2
2
24
2
1
2
1
30
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
⋅
⋅
=
δ
Układ równa
ń
kanonicznych metody sił:
⋅
=
−
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
EI
EI
X
EI
X
X
EI
EI
EI
X
X
EI
X
EI
EI
EI
X
EI
X
EI
X
EI
3
/
0
40
3
32
0
4
2
/
0
105
0
2
33
2
5
6
/
0
2
1
4
2
5
6
17
3
2
1
3
2
1
3
2
1
MECHANIKA BUDOWLI
semestr zimowy
15 |
S t r o n a
mgr in
ż
. Hanna Weber
M
[kNm]
9,21
7,61
0,43
1,29
0,86
6
3,88
=
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
0
120
32
0
12
0
210
0
33
5
0
3
24
15
17
3
2
1
3
2
1
3
2
1
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Rozwi
ą
zanie układu równa
ń
:
=
−
=
=
kN
X
kN
X
kNm
X
59
,
3
43
,
6
43
,
0
3
2
1
Ostateczny wykres momentów dla układu statycznie niewyznaczalnego:
(
)
( )
kNm
M
A
21
,
9
24
59
,
3
4
43
,
6
0
43
,
0
1
−
=
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
(
)
( )
kNm
M
B
61
,
7
0
59
,
3
2
43
,
6
0
43
,
0
1
=
+
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
(
)
( )
kNm
M
C
43
,
0
0
59
,
3
0
43
,
6
0
43
,
0
1
=
+
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
(
)
( )
kNm
M
D
86
,
0
18
59
,
3
0
43
,
6
3
43
,
0
1
−
=
+
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
(
)
( )
kNm
M
E
29
,
1
18
59
,
3
0
43
,
6
3
43
,
0
0
=
−
⋅
+
−
⋅
−
⋅
=
(
)
( )
kNm
M
F
6
6
59
,
3
0
43
,
6
0
43
,
0
0
−
=
−
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
→
podpora przegubowa obci
ąż
ona momentem skupionym
(
)
( )
kNm
M
G
0
0
59
,
3
0
43
,
6
0
43
,
0
0
=
+
⋅
+
−
⋅
+
⋅
=
→
podpora przegubowa nie obci
ąż
ona momentem
skupionym
Wyznaczenie warto
ś
ci sił tn
ą
cych i normalnych w zadanej ramie odbywa si
ę
identycznie jak w rozwi
ą
zaniu
nr 1.
Wykres momentów w ramie statycznie niewyznaczalnej:
Inne przykładowe schematy podstawowe dla rozwi
ą
zania tego zadania:
