1.  Wprowadzenie 

 


 - przestrzeń (ustalony niepusty zbiór) 

 
Klasę  (B, nie beta) podzbiorów przestrzeni  nazywamy ciałem przeliczalnie addytywnym (-ciałem 
<sigma ciałem>), gdy: 

 

jeżeli A , to A’ =  - A  , 

 

jeżeli A

1

, A

2

, …, A

K

   dla k = 1, 2, …, to ⋃

∈  (suma ciągów) 

 

Wniosek: 

 

∅ ∈ , Ω ∈  

 

(

,

, … ,

∈  

  = 1, 2, … ) → ⋂

∈  

 

( ∈ ,

∈ ) →

−

∈  

 

Przykład: 

 

= {∅, Ω},   - klasa wszystkich podzbiorów przestrzeni Ω 

 

Rzeczywista  funkcja zbioru  P  określona  na  -ciele   podzbiorów  przestrzeni    spełniająca  wszystkie 
aksjomaty  prawdopodobieństwa  nazywa  się  prawdopodobieństwem;  taką  funkcję  P  nazywa  się 
również rozkładem prawdopodobieństwa w przestrzeni . 
 
Przestrzenią probabilistyczną nazywamy uporządkowaną trójkę (, , P). 
 
Elementy klasy  nazywamy zdarzeniami. 
Zbiór pusty ∅ nazywamy zdarzeniem niemożliwym. 
Całą przestrzeń  nazywamy zdarzeniem pewnym. 
Liczbę P(A), A   nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia A. 
 
UWAGA! 

a)  Gdy   =  R  =  (-∞,  ∞),  to  zdarzeniami  są  np. zbiory  borelowskie  na  prostej.  Klasa   zbiorów 

borelowskich  na  prostej  jest  to z  definicji  najmniejsze -ciało  podzbiorów  przestrzeni  =  R 
zawierające klasę 

0

 skończonych sum przedziałów <a, b) = {x: a ≤ x < b}. 

b)  Gdy   = R

2

 (płaszczyzna), to zdarzeniami są np. zbiory borelowskie na płaszczyźnie. Klasę  

zbiorów borelowskich na płaszczyźnie definiuje się jako najmniejsze -ciało zawierające zbiory 
postaci A = {(x, y): x < a, y < b}; a, b – dowolne liczby rzeczywiste. 

 

Zbiory borelowskie przestrzeni R

n

 (czyli przykłady zdarzeń, gdy  = R

n

) definiuje się analogicznie, jak w 

przestrzeni R

n

. 

 

2.  Zmienne losowe (jednowymiarowe) 

 
Określenie  intuicyjno-poglądowe:  zmienną  losową  nazywamy  taką  wielkość,  która  w  wyniku 
doświadczenia  przyjmuje  tylko  jedną  wartość,  znaną  dopiero  po  zrealizowaniu  doświadczenia,  a  nie 
dającą się określić (przewidzieć) przed realizacją doświadczenia. 
 
Przykład I: jednokrotny rzut kostką. 



 = {

1

, 

2

, 

3

, 

4

, 

5

, 

6

} 



 -  wszystkie podzbiory przestrzeni  

P({

k

}) = 1/6 dla k = 1, 2, …, 6 

X = X() – liczba oczek, jaka wypadnie na ściance kostki: X(

k

) = k 

 
Przykład II: dobowa liczba zgonów na określonym terenie. 
Przykład III: ilość zajętych linii telefonicznych w centrali telefonicznej w ustalonej chwili czasu. 
 
Przykłady  I,  II  i  III  to  zmienne  losowe  typu  dyskretnego  lub  skokowego,  które  mają  skończony  lub 
przeliczalny zbiór wartości. 

 
Przykład IV: czas między kolejnymi zgłoszeniami abonentów w pewnej central telefonicznej. 
 
Spośród zmiennych losowych, z którymi często spotykamy się w praktyce, można wymienić dwie grupy 
zmiennych: 

a)  wyniki pomiarów, 
b)  wartości cech jednostek statystycznych wylosowanych z populacji generalnej, np.: 

 

wzrost osób 

 

wiek osób 

 

Przykład  IV  to  zmienne  losowe  typu  ciągłego  –  przyjmują  wartości  ze  zbioru  nieprzeliczalnego,  np. 
odcinka. 
 
Niech dana jest przestrzeń probabilistyczna (, , P),   . Zmienną losową nazywamy jednoznaczną 
funkcję X = X():   R spełniającą warunek: dla każdego a  R zbiór {: X() <a}  . 
 
Twierdzenie:  

a)  Jeżeli X = X() jest zmienną losową, to jej funkcja, np. |X|, X

2

, 3X+5, są zmiennymi losowymi. 

b)  Jeżeli  f(x)  jest  funkcją  borelowską  na  prostej  R,  a  X  =  X()  jest  zmienną  losową,  to  funkcja 

Y()=f(x()) jest zmienną losową. 

c)  Jeżeli X = X(), Y = Y() są zmiennymi losowymi, to np. X+Y, X∙Y są zmiennymi losowymi. 
d)  Jeżeli  X

1

  = X

1

(),  X

2

  =  X

2

(),  …,  X

n

  =  X

n

()  są  zmiennymi  losowymi,  a f(x

1

),  f(x

2

),  …,  f(x

n

)  jest 

funkcją  borelowską  n-zmiennych,  to  funkcja  Y()  =  f(x

1

(),  x

2

(),  …,  x

n

())  jest  zmienną 

losową. 

 

Dystrybuantą zmiennej losowej X = X() nazywamy funkcję F

X

(x) = F(x) = P({: X() < x}), x  R.