1. Twierdzenie o zastępczym źródle napięcia (twierdzenie Thevenina):
Dowolny aktywny obwód liniowy można od strony wybranych zacisków a, b zastąpić obwodem
równoważnym, złożonym z szeregowo połączonego jednego idealnego źródła napięcia, równego
napięciu pomiędzy zaciskami a, b w stanie jałowym oraz jednej impedancji równej impedancji
zastępczej obwodu pasywnego widzianego od strony zacisków a, b.

Przykład:

Wydzieloną gałęzią badaną jest gałąź między zaciskami a-b, przez którą płynie prąd I. Schemat
zastępczy wg twierdzenia Thevenina:

Napięcie Thevenina E

T

wyznaczamy jako napięcie stanu jałowego między zaciskami a-b.

E

T

– J*R

2

– E – J*R

3

= 0, więc: E

T

= J*R

2

+ E + J*R

3

Rezystancję R

T

wyznaczamy ze schematu (z układu usunięto źródła samodzielne):

R

T

= R

2

+ R

3

Prąd I wyznaczamy ze schematu zastępczego układu wg twierdzenia Thevenina:

I = E

T

/ R

T

+ R

5

2. Twierdzenie Nortona Każdy liniowy obwód elektryczny prądu stałego, traktowany jako dwójnik
źródłowy o zaciskach a – b, można zastąpić jednym źródłem prądu, równym prądowi zwarcia na
zaciskach a – b oraz równolegle włączonym opornikiem o konduktancji równej konduktancji
wewnętrznej obwodu mierzonej na zaciskach a – b. Prąd płynący przez odbiornik jest proporcjonalny
do konduktancji gałęzi odbiornika.

Przykład:

Zgodnie z twierdzeniem Nortona usuwamy z układu rezystancję R

4

i zwieramy zaciski a-b. Prąd

płynący między tymi zaciskami jest prądem Nortona

Równanie dla węzła 1 ma postać:

V

1

* G

11

= J

z1

Gdzie: G

11

= 1/R

1

+ 1/R

2

+ 1/R

3

J

z1

= E

1

/R

1

+ E

2

/R

2

– J

3

Stąd: V

1

= J

z1

/G

11

Ponieważ prąd I

3

= V

1

/R

3

to

J

N

= I

3

+ J

3

Wyznaczamy rezystancję R

T

:

R

T

= (R

1

*R

2

/ R

1

+ R

2

) + R

3

Obliczamy prąd I:

I = J

N

* (R

T

/ R

T

+ R

4

)

LC

f

r





2

1

LC

r

1





Twierdzenie o kompensacji: Rozpływ prądów w obwodzie elektrycznym nie ulegnie zmianie, jeżeli
dowolny element rezystancyjny R tego obwodu zostanie zastąpiony źródłem idealnym o napięciu
źródłowym R równym spadkowi napięcia RI na tym elemencie i o zwrocie przeciwnym niż zwrot prądu
I.

Twierdzenie o kompensacji

5. REZONANS W UKŁADZIE SZEREGOWYM RLC
Obwodami rezonansowymi lub drgającymi są nazywane obwody elektryczne w których występuje
zjawisko zwane rezonansem. Rezonans to taki stan pracy obwodu elektrycznego pasywnego, przy
którym reaktancja wypadkowa obwodu jest równa zeru. Częstotliwość przy której reaktancja
wypadkowa obwodu jest równa zeru jest nazywana częstotliwością rezonansową. Rezonans
wystąpu wtedy gdy φ=0, tzn X=0 czyli X

C

=X

L

lub ωL = 1/ωC!!!.

Częstotliwość rezonansowa wynosi

Pulsacja rezonansowa:

  

0

'

















U

E

V

V

V

V

V

V

b

d

b

c

b

c

C

L

C

L

r

r













1

R

RC

R

L

U

U

U

U

Q

r

r

R

C

R

L

















1

f

f

f

f

r

r

r

r



















W stanie rezonansu szeregowego słuszne są ponadto zależności: Z=R; U=U

R

; U

L

+U

L

=0:

Stwierdzamy zatem że w stanie rezonansu napięć:

-impedancja obwodu jest równa rezystancji X=0,
-napięcie przyłożone do obwodu jest równe napięciu na rezystancji,
-suma geometryczna napięc na indukcyjności i na pojemności jest równa 0,
-wobec X=0, prąd w obwodzie może osiągać bardzo duże wartości, a w przypadku bardzo
małej rezystancji źródło napięcia pracuje niemal w warunkach zwarcia.

Impedancję falową ρ nazywamy reaktancję indukcyjną lub pojemnościową obwodu przy
częstotliwości rezonansowej.

W obwodzie szeregowym dobrocią nazywamy stosunek napięcia na elemencie reaktancyjnym do
napięcia na elemencie rezystancyjnym

Gdy pulsacja źródła wynosi ω

0

– czyli gdy w rozpatrywanym obwodzie wystąpi rezonans napięć –

wówczas mówimy że obwód jest dostrojony do rezonansu, natomiast gdy nie zachodzi ta zależność
to następuje rozstrojenie obwodu czyli obwód jest odstrojony od rezonansu. Rozstrojeniem
bezwzględnym nazywamy stosunek reaktancji wypadkowej do rezystancji ξ=X/R=tgφ.
Rozstrojeniem względnym nazywamy wielkość względną będącą stosunkiem X/ρ, tj. reaktancji
wypadkowej X do impedancji falowej obwodu ρ.

Rozstrojenie bezwzględne i względne oraz dobroć są ze sobą związane zależnością:

ξ=Qδ

.

2.

Metoda superpozycji:

Odpowiedź chwilowa obwodu liniowego na wiele wymuszeń jest równa sumie odpowiedzi
chwilowych na każde wymuszenie z osobna. Układ nieliniowy nie spełnia zasady superpozycji.

Przykład:

Stosując zasadę superpozycji obliczamy rozpływ prądów od każdego źródła oddzielnie.
Rezystancja widziana z zacisków źródła E

1

wynosi:

R’ = R

1

+ ( (R

2

*R

3

) / (R

2

+ R

3

) )

Stąd: I

1

’ = E

1

/R’ I

2

’ = I

1

’

* (R

3

/ R

3

+ R

2

) I

3

’ = I

1

’

* (R

2

/ R

3

+ R

2

)

Analogicznie rezystancja widziana z zacisków źródła E

2

wynosi:

R’’ = R

2

+ ( (R

1

*R

3

) / (R

1

+ R

3

) )

Stąd: I

2

’’ = E

2

/R’’ I

1

’’ = I

2

’’

* (R

3

/ R

1

+ R

3

) I

3

’’ = I

2

’’

* (R

1

/ R

1

+ R

3

)

Sumując prądy płynące otrzymujemy:

I

1

= I

1

’ + I

1

’’

I

2

= I

2

’ + I

2

’’

I

3

= I

3

’ + I

3

’’

Twierdzenie o przenoszeniu źródeł napięcia : Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie,
jeżeli idealne źródło napięcia E, znajdujące się w jednej gałęzi obwodu, przynależnej do danego węzła,
zostanie przeniesione do pozostałych gałęzi przynależnych do tego węzła, ale ze zwrotem przeciwnym
względem danego węzła.

Przenoszenie źródeł prądu

Rozpływ prądów w obwodzie elektrycznym nie ulegnie zmianie, jeżeli do dowolnego węzła tego
obwodu zostaną dodatkowo włączone dwa idealne źródła prądu o jednakowych prądach źródłowych,
różniące się jedynie zwrotami względem węzła.


Rozpływ prądów w obwodzie nie ulegnie zmianie, jeżeli równoległe do każdej gałęzi dowolnie
wybranego oczka zostanie włączone idealne źródło prądu o takim samym prądzie źródłowym i o takim
samym zwrocie w stosunku do przyjętego obiegu oczka (rys. 4.26a i b).

Twierdzenie o wzajemności oczkowe: jeżeli w obwodzie liniowym rozgałęzionym, jedyne źródło
napięcia znajdujące się w k-tej gałęzi wywołuje w gałęzi l-tej tego obwodu prąd I , to po
przeniesieniu tego źródła do l-tej, w gałęzi k-tej również popłynie prąd I.

Przekształcenia trójkąt-gwiazda gwiazda-trojkat (nie smiac się z rysunku, w paincie był robiony
:D)

Gwiazda – trojkat

Rab = Ra + Rb + ((Ra*Rb) / Rc)

Rac = Ra + Rc + ((Ra*Rc) / Rb)
Rbc = Rb + Rc + ((Rb*Rc) / Ra)
Trojkat – gwiazda

Ra = ((Rab * Rac) / (Rab + Rac + Rbc))
Rb = ((Rab * Rbc) / (Rab + Rac + Rbc))
Rc = ((Rbc * Rac) / (Rab + Rac + Rbc))

6. Dopasowanie odbiornika na maksymalną moc.
Stan w którym z danego źródła napięcia lub prądu pobierana możliwie największa moc

nazywamy dopasowaniem odbiornika do źródła. Moc pobierana przez odbiorniik P

2

=R

z

I

2

. Jeżeli

R

Z

=0 (zwarcie odbiornika) to moc pobierana przez odbiornik jest również równa 0. Jeżeli

natomiast P

2

=f(R

Z

), E=const oraz R

W

=const to

2

2

2

)

(

W

Z

Z

Z

R

R

E

R

I

R

P







Schemat!!!!!!!
Wprowadzając dla R

W

≠0 parametr bezwymiarowy k=R

Z

/R

W

moc jest równa:

1

2

2

1

1

2

2

2

2













k

k

k

R

E

k

k

R

E

P

W

W

Chcąc znaleźć P

2MAX

przyrównujemy do zera dP

2

/dk i stąd znajdujemy warunek dla k

2

2

2

2

2

)

1

2

(

)

2

2

(

1

2















k

k

k

k

k

k

R

E

dk

dP

W

dP

2

/dk = 0 gdy k

2

+2k+1-2k

2

-2k=0

czyli k=±1. Dla k=-1 mianownik staje się zerem. Stosunek rezystancji przyjmujemy więc

jako dodatni, czyli k=1. Dla k=1 wyrażenie d

2

P/dk

2

jest ujemne a zatem obliczonej wartości k

odpowiada maksimum funkcji P

2

=f(k). Z tego wszystkiego można wywnioskować że po

podstawieniu k=1 moc maksymalna wynosi: P

2MAX

=E

2

/4R

W

Dopasowanie odbiornika do źródła prądu. Schemat!!!!!!


Moc pobieraną przez odbiornik o kondunktancji G

2

=1/R

Z

wyznaczamy ze wzoru:

2

2

2

)

(

W

Z

Ź

Z

Z

G

G

I

G

U

G

P







Wprowadzając dla G

W

≠0 parametr bezwymiarowy l=Gz/Gw wyrazimy P

2

= f(l)

1

2

2

1

1

2

2

2

2













l

l

l

G

I

l

l

G

I

P

W

Ź

W

Ź

Porównując wzory z wzorem przy dopasowaniu do źródła napięcia stwierdzamy że

dP

2

/dl=0 dla l= ±1. Stąd też P

2MAX

dla l=1 a więc Gz=Gw. Zatem:

W

Ź

MAX

G

I

P

4

2

2

