Analiza Matematyczna 1

I Kolokwium

26 listopada 2007

Na pierwszej stronie pracy prosz¦ napisa¢ swoje imi¦ i nazwisko, numer indeksu, wydziaª, dat¦, a

tak»e narysowa¢ poni»sz¡ tabelk¦. Ponadto prosz¦ ponumerowa¢, podpisa¢ i spi¡¢ wszystkie kartki

pracy.

1

2

3

4

P

B

Tre±ci zada« prosz¦ nie przepisywa¢. Na rozwi¡zanie zada« przeznaczono 60 minut, za rozwi¡zanie

ka»dego zadania mo»na otrzyma¢ od 0 do 5 punktów. W rozwi¡zaniach zada« nale»y dokªadnie

opisywa¢ przebieg rozumowania tzn.: formuªowa¢ wykorzystywane denicje i twierdzenia, przytacza¢

stosowane wzory, uzasadnia¢ wyci¡gane wnioski.

1. Korzystaj¡c z twierdzenia o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym uzasadnij zbie»-

no±¢ ci¡gu:

x

n

=

2

n

n!

2. Oblicz granic¦:

lim

n→∞

 3n + 1

3n + 4



2n+1

3. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech funkcjach znajd¹ granic¦:

lim

x→∞

E(e

x

+ 2)

e

x

+ 1

4. Dobierz parametr a ∈ R tak, aby podana poni»ej funkcja byªa ci¡gªa w punkcie

x

0

= 0

:

f (x) =







sin

2

2x

x

2

dla x < 0,

a tg(

π

4

+ x)

dla x ≥ 0