305 

Portfele obciążone gaussowskim szumem multiplikatywnym 

Krzywa Markowitz’a  

 

zbiór obarczonych ryzykiem finansowych instrumentów podstawowych 

 

















n

i

C

t

i

i

,

,

2

,

1

:

~

~

,

,

1

,

0





























,  

                                                

 

i

C

~

 prognoza wartości przyszłej instrumentu podstawowego 

i





.  

i

f

~

   czynnik akumulacji kapitału zainwestowanego w instrument podstawowe 

i





  

 

i

i

C

f

~

~



.                                                                                                                   

 

 

306 





i

i

i

i

i

i

i

f

s

f

C



















1

~

,                                                       

 

1

;

0

~

~

N

i



 

 

 

i

i

f







F

                                                                                                     

oczekiwany czynnik aprecjacji kapitału zainwestowanego w instrument 

i





; 

 

- 

 

0







i

i

s



V

                                                                                               

współczynnik zmienności czynnika aprecjacji kapitału zainwestowanego w 

i





; 

 

- 

 

i

i

i

i

s

f











M



                                                                                  

odchylenie standardowe czynnika aprecjacji kapitału zainwestowanego w  

i





; 

 

 

 

307 

Macierz kowariancji wektora  





T

n

f

f

f

~

,

,

~

,

~

2

1



jest dana w postaci 

 

 

 

j

i,







 





j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

j

i

f

f

s

s

f

f

s

s















,

cov

,

,

,



























.   

                     

 





 jest scharakteryzowana przez 





T

n

f

f

f

f

,

,

,

2

1





 i macierz kowariancji 



  

 

Wariancja 

i

i,



 jest względną miarą ryzyka obciążającego instrument finansowy 

i





.  

 

308 



 







n

n

c

c

c

































2

2

1

1

                                                                  

bieżąca cenę portfela 





                           

0

1

0







c

C

T

,                                            





n

T

R





1

;

;

1

;

1

1



      





T

n

c

c

c

c

,

,

,

2

1





.  

 

c

C

p







1

0

,                                                                                                            

f

p

f

T







,                                                                                                         

p

p

T











2



.                                                                                                     

 

Zbiór 





 wszystkich par 











,

f

 nazywamy zbiorem portfeli dopuszczalnych.  

 

309 

 Krzywa Markowitz’a      

 

0

:









R

R

  

 























,

:

min

f

f

.                                                                               

 

min









p

p

T

             

1

1





T

p

,                                                                                                             

f

f

p

T





.                                                                                                           

 

 















 

 



2

2

2

2

1

1

1

1

2

1

1

f

f

f

f

f

f

f

f

f

T

T

T

T

T

T







































































,                      

 

310 

dolne oszacowanie wariancji dopuszczalnego portfela 





  





1

2

1

1















T



.                                                                                               

 

Dowolna  para  różnych  portfeli  z  minimalną  wariancją  replikuje  dowolny  portfel  z  minimalną 

wariancją . 

 

zbiór portfeli efektywnych  

 





 













1

1

1

,

:

max

:

,





















T

ef

f

f

f







.    

                                   

krzywa portfeli efektywnych jest dana jako funkcja  



 

























































,

1

1

,

1

1

1

:

1

1

T

T

T

f

                                

Dowolna para różnych portfeli efektywnych replikuje dowolny portfel efektywny.

  

 

 

311 

zmodyfikowana krzywa Markowitz’a  

 





















s

f

f

s

f

,

:

min

.         

                                                                    

 

 

 















 

 







2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

2

1

1

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

f

s

T

T

T

T

T

T











































































.        

 

 

oszacowanie  minimalnej  wartości  współczynnika  zmienności 



s

    portfela  dopuszczalnego 





1

2















f

f

s

T

.                                                                                                

 

312 

zmodyfikowany zbiór portfeli efektywnych  

 





 













1

,

:

max

:

,





















f

f

s

s

f

f

s

f

T

ef

.  

                                       

 



 

























































,

,

1

:

1

1

f

f

f

f

f

T

T

T

                              

  

Krzywa  portfeli  efektywnych  jest  wypukła  do  góry  i  rośnie  wraz  ze  wzrostem  współczynnika 

zmienności.

  

 

 

313 

Hiperbola rynku kapitałowego 

 

jednostkowy instrument dłużny 























C

t ;

,

1

;

0

0



.  

0

f

C





,                                                                                                               

 

instrument dłużny 

0





 jest reprezentowany przez  





0

;

0

f

.  

 





f

f

f

ef









0

:

,



.                                                                                        

 

Portfel złożony jedynie z instrumentu 

0





 jest portfelem efektywnym.

  

 

314 







 





























0

1

          

                                                                         









 

s

f

f

f

f

f

s

f

f

























0

0

.     

                                                                        

portfel rynkowy 





 jest scharakteryzowany przez  parę 









s

f ,

.  

 



 







n

n

m

m

m

































2

2

1

1

                                                              

1

1





m

T

,                                                                                                               







f

f

m

T

,                                                                                                           

2

2















s

f

m

m

T

,                                                                                                                                                                                           

 

315 

hiperbola rynku kapitałowego  









 

s

f

f

f

f

f

s

f

f

























0

0

.     

                                                                           

 

 

[Tobin58]:  Jeśli  istnieje  instrument  dłużny,  to  dowolny  portfel  efektywny  jest  replikowany  przez 

kombinację tego instrumentu i portfela rynkowego.  

 

316 

Jeśli istnieje wolny od ryzyka instrument finansowy z czynnikiem aprecjacji  

0

f

 , to: 

 

-chcąc  uzyskać  najefektywniejszy  portfel  o  założonym  oczekiwanym  czynniku  aprecjacji 

kapitału 

f

 nieprzekraczającym rynkowy czynnika aprecjacji 



f

 należy inwestować w portfel 

replikowany przez parę złożoną z istniejącego instrumentu dłużnego i z portfela rynkowego; 

 

-chcąc  uzyskać  najefektywniejszy  portfel  o  założonym  oczekiwanym  czynniku  aprecjacji 

kapitału 

f

 przekraczającym czynnik rynkowy aprecjacji 



f

 należy inwestować we właściwy 

portfel efektywny złożony jedynie z instrumentów obciążonych ryzykiem.  

 

 

 

317 

 jednostkowy kredyt komercyjny 























C

t ;

,

1

;

0

0



.  







f

C

,                                                                                                                    

kredyt komercyjny 

0





 jest reprezentowany przez parę 





0

;



f

.  





f

f

0

.    

                                                                                                                







































1

0

                                                                                   

 









 

s

f

f

f

f

f

s

f

f





























.                                                                                (2.13) 

 

318 

 portfel aktywów netto





 jest scharakteryzowany przez parę 



 

















s

f

f

f

,

,



.  







f

f

.    

                                                                                                           



 







n

n

a

a

a

































2

2

1

1

                                                                

1

1





a

T

,                                                                                                            

  







f

f

a

T

,                                                                                                           

2

2















s

f

a

a

T

,    

                                                                                        

hiperbola rynku kredytowego 

.









s

f

f

f

f

s

f

f























                                                                                           

 

319 

Jeśli jest dostępny kredyt konsumpcyjny z oczekiwanym czynnikiem aprecjacji 



f

, to: 

 

-chcąc  uzyskać  najefektywniejszy  portfel  o  założonej  wartości  oczekiwanego  czynnika 

aprecjacji  kapitału 

f

  przekraczającej  wartość  czynnika  aprecjacji 



f

  w  portfelu  aktywów 

netto należy inwestować w portfel replikowany przez parę złożoną z kredytu konsumpcyjnego i 

z portfela aktywów netto; 

 

-chcąc  uzyskać  najefektywniejszy  portfel  o  założonej  wartości  oczekiwanego  czynnika 

aprecjacji kapitału nie przekraczającej wartości czynnika akumulacji 



f

 w portfelu aktywów 

netto  należy  inwestować  we  właściwy  portfel  efektywny  złożony  jedynie  z  instrumentów 

obarczonych ryzykiem.  

  

 

320 

Model CAPM  II rodzaju 

 

instrument dłużny 

0





 , 

 portfel rynkowy 





 reprezentowany przez parę 



 

















s

f

f

f

,

,



.  

portfel efektywny 





 reprezentowany przez parę 



 

















s

f

f

f

,

,



.  

współzależność portfela 





 i portfela r 





 określona przy pomocy współczynnika korelacji 





,



. 

  

model CAPM II rodzaju 

























































f

f

s

s

f

f

f

f

0

,

0

0

1

1

1





                                                          

 

 

 

 

321 

 

zbiór obarczonych ryzykiem podstawowych instrumentów finansowych  

















n

i

C

t

i

i

,

,

2

,

1

:

~

~

,

,

1

,

0





























,                                                     

 



 







n

n

m

m

m

































2

2

1

1

                                                                  

 

 





T

n

m

m

m

m

,

,

,

2

1





                                                     

1

1





m

T

.                                                                                                                   

 







f

f

m

T

.                                                                                                               

 dla każdego efektywnego  

i





  tutaj mamy 



























f

f

f

f

R

i

i

i

0

0

1

1

:





.                                                                           

 

322 



 







n

n

c

c

c

































2

2

1

1

                                                                   

 

0

1

0







c

C

T

,                                           





T

n

c

c

c

c

,

,

,

2

1





 

 





c

C

p

p

p

p

T

n









1

0

2

1

,

,

,



,                             

f

p

f

T







.    

                                                                                                     

































f

f

f

f

R

0

0

1

1

:





.                  



















n

i

i

i

n

i

i

i

i

f

p

f

p

1

1





.                                                                                              

 

323 

 

i



 może posłużyć do określenia właściwości podstawowych instrumentów finansowych: 

 

-  jeśli mamy 

1



i



 to 

i





 reaguje na zmiany sytuacji na rynku kapitałowym silniej, niż portfel 

rynkowy i dlatego jest to instrument o podniesionym ryzyku; 

-   

-  jeśli mamy 

1

0





i



 to 

i





reaguje na zmiany sytuacji na rynku kapitałowym słabiej, niż 

portfel rynkowy i dlatego jest to instrument o obniżonym  ryzyku; 

-   

-  jeśli mamy 

0



i



 to 

i





 broni przed skutkami bessy; 

-   

-  jeśli mamy 

0



i



 to

i





 wykorzystuje pozytywne skutki hossy. 

 

324 

 





 można także wykorzystać do użytecznej zaklasyfikowania  portfela 





; 

 

-  jeśli mamy 

1







, to portfel 





jest portfelem agresywnym; 

-   

-  jeśli  mamy 

1







,  to  portfel 





  jest  portfelem  zrównoważonym  i  może  być  uważany  za 

indeks rynkowy typu benchmark.; 

-   

-  jeśli mamy 

1

0









, to portfel 





`

 jest portfelem umiarkowanego wzrostu; 

-   

-  jeśli mamy 

0







, to portfel 





 jest portfelem wolnym od ryzyka rynkowego. 

 

 

 

325 

Model  CAPM  II  rodzaju  pozwala  cenę  równowagi  rynkowej    każdego  efektywnego  portfela 























C

t

C

~

;

,

;

0

0



. 

  



0

C

 obowiązująca w chwili bieżącej cenę inwestycji 





.  

R

C







:

~

  prognoza  wartości  przyszłej    inwestycji 





.  Dzięki  tej  prognozie  otrzymujemy 

daną w postaci 

CAPM  

        



 

 















f

C

C

C

0

~

E

   uzasadniona wartość przyszłą inwestycji                                                                              





f

    spodziewany przez inwestorów czynnik aprecjacji kapitału zainwestowanego w portfel 















f

C

C

0

.      spodziewana wartość przyszła                                                                                        

 

 

326 

cena równowagi rynkowej 









1

1

0

1

0

0

0

0



















































f

f

f

f

C

f

f

C

f

C

C



                                 

 









f

f

,           



                                 KUPUJ.  

 

 









f

f

.     



          TRZYMAJ       



                  STAN RÓWNOWAGI  

 









f

f

,       



      SPRZEDAJ. 

wyceny portfela 





 w oparciu o cenę bieżąca i układ czynników aprecjacji 





0

,

,

f

f

f







.  

 

327 

i

i

f

f





,          



      KUPUJ 

i





.  

 

i

i

f

f





,       



    TRZYMAJ  

i





.  

 

i

i

r

r





,      



       SPRZEDAJ  

i





. 

 

 

 

 

 

328 

Kryteria zarządzania portfelem 

 



 



















C

t

C

~

,

,

,

0

0



 efektywna inwestycja,                  













,

f

 





f

 obserwowany na rynku finansowym przypuszczalny czynnik aprecjacji 



0

C

 opisuje obserwowaną na rynku bieżącą cenę 





, 

 

R

C







:

~

 prognozę wartości przyszłej 





.  



f

 oczekiwany czynnik aprecjacji  wyznaczony  przy pomocy jednego z racjonalnie uzasadnionych 

modeli analizy rynku finansowego.  

cena równowagi 

















f

f

C

C

0

0

.                                                                                                         

 

329 

Kryterium Sharpe’a 

0





 instrument dłużny   





0

,

0

f

                             





 portfel rynkowy  











,

f

.  

Twierdzenie  Tobina   



  każdy  dopuszczalny  portfel  efektywny 











,

f

  spełnia  warunek 

wyznaczony przez  linię rynku kapitałowego zapisaną tutaj w postaci  



















0

0

f

f

f

f

.                                                                                                    

 





 inwestycja  reprezentowana przez portfel dopuszczalny 













,

f

.   

miernik typu Sharpe’a 























S

r

r

f

f

S





0

0

ˆ

                                                                                                         

 

330 













0

f

f

S

,      



           









f

f

    



               KUPUJ 





 

 













0

f

f

S

,        



          









f

f

   



          TRZYMAJ 





 

 













0

f

f

S

,   



    









f

f

          



              SPRZEDAJ   





. 

 

 

331 

Kryterium typu Jensena 

 

0

f

wolny od ryzyka czynnik aprecjacji   



f

 rynkowy czynnik aprecjacji.  











,

f

 efektywna inwestycja  

model CAPM II    



     











































f

f

f

f

0

0

1

1



.   





  inwestycja  reprezentowaną przez parę 













,

f

.   

miernik typu Jensena 











































f

f

f

J

0

1

1

ˆ



 

 

332 

                                                                                          

0

ˆ

f

J





,      



      









f

f

    



               KUPUJ 





 

 

0

ˆ

f

J





,    



          









f

f

   



          TRZYMAJ 





 

 

0

ˆ

r

J





,    



    









f

f

          



              SPRZEDAJ   





. 

 

 

333 

Kryterium typu Treynora 

0

f

wolny od ryzyka czynnik aprecjacji   



f

 rynkowy czynnik aprecjacji.  











,

f

 efektywna inwestycja  

model CAPM II    



  

 

1

1

0

1

1

0





















f

f

f

f



.                                

   





 inwestycja  reprezentowaną przez parę 













,

f

, gdzie 

0







.   

miernik typu Treynora 

 



















1

1

0

ˆ

f

f

T

 

 

334 

                                                                                          

 

1

1

0

ˆ













f

f

T

,   



      









f

f

    



               KUPUJ 





 

 

1

1

0

ˆ













f

f

T

,   



          









f

f

   



          TRZYMAJ 





 

                                                                                                      

 

1

1

0

ˆ













f

f

T

,         



    









f

f

          



              SPRZEDAJ   





. 

 

  Miernik Sharpe’a 



 ranking wysokości premii jednostkowej za ryzyko ogólne.  

Miernik  typu Jensena 



 ranking wartości premii za ryzyko stopy rynkowej.  

Miernik typu Treynora 



 ranking wysokości premii jednostkowej za ryzyko stopy rynkowej.