Obwody Elektryczne i Magnetyczne
®
1
Obwody elektryczne
Wykład 5 – Metoda Klasyczna – część IV
Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski
Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii
Wydział Elektryczny
Politechnika Wrocławska
D-1, 205/1
tel: (071) 320 21 60
fax: (071) 320 20 06
email:
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
®
2
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Wyznaczenie odpowiedzi całkowitej jako sumy składowej ustalonej (wymuszonej)
oraz składowej przejściowej (swobodnej)
RORN=RSRN+RORJ
Analiza obwodu w stanie ustalonym przed
komutacją
Warunek początkowy dla t=0-
Warunek początkowy dla t=0+
Dla układów wyższego rzędu warunki początkowe
dla pochodnych dla t=0+
Układ równań Kirchhoffa
Równanie różniczkowe szukanej wielkości
RSRN
składowa ustalona (wymuszona)
Analiza obwodu w stanie ustalonym
po komutacji
RORJ
składowa przejściowa (swobodna)
Wyznaczenie wartości składowej
ustalonej dla t=0+
Dla układów wyższego rzędu
wyznacznie wartości pochodnych
składowej ustalonej w chwili t=0+
Określenie przewidywanej postać
składowej przejściowej na podstawie
wielomianu charakterystycznego
Wyznaczenie wartości składowej
przejściowej w chwili to=+, oraz, dla
ukłądów wyższego rzędu, wartości
pochodnych składowej przejściowej w
chwili t=0+
Wyznaczenie stałych składowej
przejściowej
t<0
t=0-
t=0+
t>0
t->+inf
Historia obwodu
Przyszłość obwodu
®
3
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
1 Stan nieustalony w gałęzi RLC
1.1 Załączanie szeregowej gałęzi RLC na napięcie sinusoidalne
Dane:
( )
(
)
m
e
®
4
e(t)
R
L
t = 0
u
L
(t)
i(t)
u
R
(t)
u
C
(t)
C
e t
E
t
R L C
sin
, ,
ω ψ
=
+
Po komutacji dwa elementy
zachowawcze różnego typu LC
Równanie różniczkowe II rzędu
oprzeć na
( )
lub
L
i t
( )
c
u t
1. t<0, Analiza obwodu w stanie ustalonym przed komutacją (historia obwodu) oraz
wyznaczenie warunku początkowego dla t=0-
( )
( )
,
L
L
i
t
0 dla t
0
i 0
0
−
=
< →
=
( )
( )
,
C
C
u
t
0 dla t
0
u
0
0
−
=
< →
=
2. t=0+, wyznaczenie warunku początkowego dla t=0+
Po załączeniu łącznika nie stwierdzamy ani oczek osobliwych ani węzłów osobliwych, a zatem napięcie
na kondensatorze oraz prąd płynący przez cewkę zachowują prawa komutacji:
( ) ( )
L
L
i 0
i 0
0
+
−
=
=
( )
( )
C
C
u
0
u
0
0
+
−
=
=
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Ze względu na dwa różne elementy zachowawcze pozostające w obwodzie po komutacji,
wyznaczane równanie różniczkowe, czy to dla
( )
czy
L
i t
( )
c
u t
, będzie równaniem 2 rzędu i do
jego rozwiązania wymagana jest dodatkowo, tzn. oprócz
( )
L
i 0
+
oraz
( )
C
u
0
+
, znajomość
warunków początkowych dla ich pochodnych w chwili t=0
+
tj.
( )
( )
0
L
di
dt
+
oraz
0
C
du
dt
+
.
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
0
C
i
+
0
0
0
0
0
0
L
C
L
i
i
e
i
u
u
R
+
+
+
+
+
+
⎧⎪
⎨
=
+
+
=
⎪⎩
=
R
L
t = 0
u
L
( )
i( )
C
u
c
( )
u
R
( )
+
0
+
0
+
0
+
0
+
e(0
+
)
Skąd dla
( )
( )
,
L
C
i 0
0 u
0
0
+
+
=
=
otrzymujemy
( )
( )
( )
®
5
( )
( )
0
0
1
L
L
L
m
e
di
E
0
0
A
dt
L
L
e
u
u
s
sin
ψ
+
+
⎡ ⎤
=
→
=
=
⎢ ⎥
⎣ ⎦
+
+
( )
Ponadto:
( )
( )
0
+
( )
1
0
0
0
0
C
C
C
du
V
dt
C
s
i
C
+
+
+
⎡ ⎤
→
=
=
=
0
L
i
i
⎢⎣
=
⎥⎦
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
3.
, wyznaczanie równania różniczkowego
0
t
>
W przypadku dwóch i więcej elementów zachowawczych musimy podjąć decyzję, na którym z
sygnałów zachowawczych oprzeć równanie różniczkowe. W analizowanym obwodzie mamy do
dyspozycji
( )
,
(
L
i t
)
c
u t
Przykład wyznaczania równania różniczkowego dla
( )
L
i t
( )
( )
( )
E
R
L
t > 0
u
L
(t)
i(t)
C
u
c
(t)
u
R
(t)
(
)
( )
( )
( )
L
C
m
e
C
i t
i t
i
t
di t
E
t
L
Ri t
u
t
dt
sin
ω ψ
⎧
=
=
⎪
⎨
+
=
+
+
⎪
⎩
.
gdzie:
( )
( )
1
C
u
t
i t dt
C
=
∫
Stąd po wyrażeniu wszystkich sygnałów biorących udział w II Prawie Kirchhoffa przez prąd płynący
przez cewkę, równanie dla
( )
L
i t
przyjmie postać różniczkowo-całkową:
(
)
( )
( )
( )
m
e
di t
1
d
E
t
L
Ri t
i t dt
dt
C
dt
sin
ω ψ
+
=
+
+
∫
Aby otrzymać szukane równanie różniczkowe możemy zróżniczkować obustronnie postać różniczkowo-
całkową:
(
)
( )
( )
( )
2
m
e
2
d i t
di t
1
E
t
L
R
i t
L
dt
dt
C
cos
ω
ω ψ
+
=
+
+
÷
®
6
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
(
)
( )
( )
( )
2
m
e
2
d i t
di t
E
R
1
t
i t
L
dt
L dt
LC
cos
ω
ω ψ
+
=
+
+
Stwierdzamy równanie różniczkowe liniowe niejednorodne o stałych współczynnikach. Szukane
rozwiązanie tj. prąd płynący przez cewkę
( )
i t
w stanie nieustalonym zawierał będzie zarówno składową
przejściową jak i składową przejściową:
( )
( )
( )
u
p
RORN
RSRN
RORJ
i t
i t
i
t
=
+
⇒
=
+
4.
, analiza obwodu w stanie ustalonym po komutacji (przyszłość obwodu) – składowa
ustalona odpowiedzi (składowa wymuszona)
t
→ +∞
( )
u
i t
Zapis
symboliczny
-jX
u
C
I
Cu
U
Ru
U
E
e(t)=E
m
sin(
ω
t+
ψ
e
)
R
L
u
Lu
(t)=0
i(t)=0
C
u
Cu
(t)=E
u
Ru
(t)=0
u
t
→ +∞
R
Lu
U
jX
L
(
)
2
2
1
1
,
L
C
z
R
L
arctg
C
R
ω
ω
ω
ϕ
ω
⎛
⎞
−
⎜
⎟
=
+
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
( )
(
)
(
)
m
u
um
iu
e
E
i t
I
t
t
z
sin
sin
ω ψ
ω ψ
ϕ
=
+
=
+
−
Powrót z zapisu
symbolicznego
(
)
e
e
j
j
u
j
E
Ee
E
I
e
z
ze
z
ψ
ψ ϕ
ϕ
−
=
=
=
®
7
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
5. t>0, składowa przejściowa (swobodna)
( )
p
i
t
( )
Równanie jednorodne
( )
( )
2
2
1
0
d i t
di t
R
i t
dt
L dt
LC
=
+
+
Wielomian
charakterystyczny
( )
2
R
1
V
L
LC
λ
λ
λ
=
+
+
2
1
R
1
2L
R
2L
®
8
Pierwiastki wielomianu
charakterystycznego
C
L
α β
⎛
⎞ −
⎜
⎟
⎝
⎠
+
=
−
λ
=
+
2
2
R
1
2L
R
2L
C
L
α β
⎛
⎞ −
⎜
⎟
⎝
⎠
−
=
−
λ
=
−
gdzie:
2
2
2
r
r
2
1
1
R
1
2
2
R
L
2
C
L
LC
L
,
,
α
β
Δ
ω
ω
⎛
⎞
=
=
−
⎜
⎟
=
−
⎠
=
⎝
α
= −
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
5.1. Przypadek 1:
, dwa różne pierwiastki rzeczywiste,
0
Δ
>
1
2
λ λ
,
®
9
Przewidywana postać składowej przejściowej
( )
1
2
t
t
p
11
21
i
t
A e
A e
t
0
,
λ
λ
=
+
>
L
R
2
C
>
2
1
R
1
2L
R
C
2L
L
α
⎛
⎞ −
⎜
⎟
⎝
⎠
+
=
−
=
+
2
2
R
1
2L
C
L
R
2L
α β
⎛
⎞ −
⎜
⎟
⎝
⎠
−
=
−
λ
β
oraz
λ
=
−
( )
(
)
(
)
t
t
p
11
21
i
t
A e
A e
t
0
,
α β
α β
+
−
=
+
>
W odróżnieniu do obwodów I rzędu do wyznaczenia są dwie stałe
11
21
A
A
,
. Nie wystarczy zatem jedno
równanie dla warunków początkowych. Drugie równanie otrzymamy adaptując równanie na warunki
początkowe w formie pochodnych.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p
u
p
u
i t
i
t
i t
di
t
di t
di t
dt
dt
dt
=
+
⎧
⎪
⎨
=
+
⎪
⎩
, gdzie:
( )
( )
(
)
1
2
p
t
t
u
m
11 1
21
2
e
di
t
di t
E
A
e
A
e
t
dt
dt
z
,
cos
λ
λ
ω
λ
λ
ω ψ
ϕ
=
+
=
+
−
,
W szczególności dla t=0
+
:
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
m
p
u
11
21
e
p
u
m
11 1
21
2
e
E
i 0
i
0
i 0
A
A
z
di 0
di
0
di 0
E
A
A
dt
dt
dt
z
sin
cos
ψ
ϕ
ω
λ
λ
ψ
ϕ
+
+
+
+
+
+
⎧
=
+
=
+
+
−
⎪⎪
⎨
⎪
=
+
=
+
+
−
⎪⎩
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przy czym z warunków początkowych
( )
( )
( )
m
e
i 0
0
di 0
E
dt
L
sin
ψ
+
+
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=
⎩
Ostatecznie układ równań do znalezienia stałych przyjmie postać:
(
)
( )
(
)
m
11
21
e
m
e
m
11 1
21
2
e
E
0
A
A
z
E
E
A
A
L
z
sin
sin
cos
ψ
ϕ
ψ
ω
λ
λ
ψ
ϕ
⎧ = + +
−
⎪⎪
⎨
⎪
=
+
+
−
⎪⎩
Po przekształceniach szukane stałe :
( )
(
) (
)
(
)
( )
(
) (
)
(
)
m
m
m
11
m
m
m
21
E
E
E
L
z
z
A
2
E
E
E
L
z
z
A
2
sin
cos
sin
sin
cos
sin
ω
ψ
ψ ϕ
α β
ψ ϕ
β
ω
ψ
ψ ϕ
α β
ψ ϕ
β
⎧
−
−
+
−
−
⎪
=
⎪
⎪
⎨
⎪
−
−
+
+
−
⎪
=
⎪
−
⎩
®
10
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
( )
(
) ( ) (
) ( )
1
2
t
t
t
p
12
21
21
11
11
21
i
t
A e
A e
A
A
t
A
A
t
e
sh
ch
λ
λ
α
β
β
=
+
=
−
+
+
⋅
⎡
⎤
⎣
⎦
gdzie:
2
1
R
1
2
2L
R
2L
®
11
LC
,
β
Δ
⎛
⎞
=
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
α
= −
( )
(
)
m
u
e
E
i t
t
z
sin
ω ψ
ϕ
=
+
−
6.1. Przypadek 1: Ostatecznie prąd w omawianym obwodzie zawiera zarówno składową
przejściową jak i ustaloną:
( )
( )
( )
p
u
i t
i
t
i t
dla t
0
,
=
+
>
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład przebiegu stanu przejściowego w obwodzie RLC załączanym na napięcie sinusoidalne
dla przypadku 1,
0
Δ
>
,
L
R
2
C
>
- charakter aperiodyczny (nieokresowy)
®
12
Dane:
R = 300
Ω
, L = 0.1 H, C = 10
μ
F = 10
-5
F
ω
= 500 s
-1
,
( )
(
)
e
e t
300
500t
ψ
=
+
sin
L
C
1
X
L
50
X
200
C
ω
Ω
Ω
ω
=
=
=
=
;
czyli:
L
R
2
300
200
C
Ω
Ω
>
⎯⎯
→
>
3
1
r
1
10 s
LC
ω
−
=
=
,
2
1
R
1
2
2L
R
2L
α
= −
LC
β
Δ
⎛
⎞
=
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
,
(
)
2
1
3
6
1
1
300
1500 s
1 5 10
10
500 5s
1118s
2 0 1
α
β
−
−
−
= −
=
=
⋅
−
=
≈
⋅
;
.
.
(
)
(
)
1
1
1
1
1
2
1500
500 5
500 3
5 s
2618s
1500
500 5
500 3
5 s
382s
λ
λ
−
−
−
−
= −
−
= −
+
≈ −
= −
+
= −
−
≈ −
UWAGA: Dla uproszczenia obliczeń dobrano
e
ψ
ϕ
=
[ ]
L
C
rad
X
X
1
arc
arc
0 46
R
2
ϕ
−
⎛
⎞
⎛
⎞
=
=
−
≈
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
tg
tg
.
−
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
t [ s ]
-1.2
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
i(t)
i (t)
u
i (t)
p
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
sin
sin
6
500 3
5
t
500 3
5
t
500 3
5
t
500 3
5
t
300
10
300
i t
e
e
500t
150 5 2 500 5 500
150 5
4
2
e
e
5
500t
A
5
5
−
+
−
−
−
+
−
−
⎡
⎤
=
⋅
−
+
=
⎢
⎥
⋅
⋅
⎣
⎦
⎡
⎤
=
−
+
⎢
⎥
⎣
⎦
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
5.2. Przypadek 2:
, jeden rzeczywisty pierwiastek podwójny
0
Δ
=
1
k
1 2
λ
=
,
,
®
13
Przewidywana postać składowej przejściowej
( )
1
1
t
t
p
11
12
i
t
A e
A te
t
0
,
λ
λ
=
+
>
L
R
2
C
=
2
1
R
1
0
2
2L
LC
β
Δ
⎛
⎞
=
=
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
1
2
R
2L
λ
λ
λ
−
=
= =
( )
R
R
t
t
t
t
2 L
2 L
p
11
12
11
12
i
t
A e
A te
A e
A te
t
0
,
λ
λ
−
−
=
+
=
+
>
Podobnie jak w przypadku pierwszym pełna postać składowej przejściowej wymaga wyznaczenia
dwóch stały
11
12
A
A
,
.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p
u
p
u
i t
i
t
i t
di
t
di t
di t
dt
dt
dt
=
+
⎧
⎪
⎨
=
+
⎪
⎩
, przy czym
( )
p
t
t
t
11
12
12
di
t
A
e
A e
A
te
dt
λ
λ
λ
λ
λ
=
+
+
;
( )
(
)
u
m
e
di t
E
t
dt
z
cos
ω
ω ψ
ϕ
=
+
−
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
W szczególności dla t=0
+
:
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
m
p
u
11
e
p
u
m
11
12
e
E
i 0
i
0
i 0
A
z
di 0
di
0
di 0
E
A
A
dt
dt
dt
z
sin
cos
ψ
ϕ
ω
λ
λ
ψ
ϕ
+
+
+
+
+
+
⎧
=
+
=
+
−
⎪⎪
⎨
⎪
=
+
=
+
+
−
⎪⎩
gdzie
( )
( )
( )
m
e
i 0
0
di 0
E
dt
L
sin
ψ
+
+
⎧
=
⎪
⎨
⎪
=
⎩
Ostatecznie układ równań do znalezienia stałych przyjmie postać:
(
)
( )
(
)
m
11
e
m
e
m
11
12
e
E
0
A
z
E
E
A
A
L
z
sin
sin
cos
ψ
ϕ
ψ
ω
λ
ψ
ϕ
⎧ = +
−
⎪⎪
⎨
⎪
=
+
+
−
⎪⎩
(
)
( )
(
)
(
)
m
11
e
R
e
e
2
e
m
12
E
A
z
Z
L
E
A
Z
L
sin
sin
cos
sin
ψ
ϕ
ψ
ω
ψ
ϕ
ψ
ϕ
⎧
= −
−
⎪⎪
⎨
−
−
−
−
⎪
=
⎪⎩
;
( )
( )
(
)
t
t
p
11
12
m
u
e
i
t
A e
A te
t
0
E
i t
t
z
,
sin
λ
λ
ω ψ
ϕ
=
+
>
=
+
−
6.2. Przypadek 2: Ostatecznie prąd w omawianym obwodzie zawiera zarówno składową
przejściową jak i ustaloną:
( )
( )
( )
p
u
i t
i
t
i t
dla t
0
,
=
+
>
®
14
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład przebiegu stanu przejściowego w obwodzie RLC załączanym na napięcie sinusoidalne
dla przypadku 2,
0
Δ
=
,
L
R
2
C
=
- charakter aperiodyczny granicznie (graniczny)
Dane:
R = 200
Ω
, L = 0.1 H, C = 10
μ
F = 10
-5
F
( )
(
)
ω
= 500 s
-1
,
e
e t
300
500t
ψ
=
+
sin
czyli:
L
R
2
200
0
C
,
Ω β
=
=
=
3
1
,
r
10 s
ω
−
=
3
1
200
10 s
0 2
.
λ α
−
= = −
= −
UWAGA: Dla uproszczenia obliczeń dobrano
e
ψ
ϕ
=
[ ]
rad
3
arc
0 64
4
tg
.
ϕ
⎛
⎞
=
−
= −
⎜
⎟
⎝
⎠
2
2
5
1
Z
200
0 1 500
250
500 10
.
Ω
−
⎛
⎞
=
+
⋅
−
=
⎜
⎟
⋅
⎝
⎠
0.000
0.005
0.010
0.015
0.020
t [ s ]
-1.2
-0.8
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
i(t)
i (t)
u
i (t)
p
( )
(
)
(
)
6
1000t
3
1000t
300
10
i t
500t
t
e
1 2
500t
t 2 10 e
A
250
500
sin
.
sin
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
=
− ⋅
⋅
=
− ⋅ ⋅
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
UWAGA: Porównaj z Przypadkiem 1. Rezystancja krytyczna nie uległa zmianie. Zmniejszyliśmy
rezystancję fizyczną R. Zmniejszył się współczynnik tłumienia α. Udział składowej przejściowej jest
większy.
®
15
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
5.3. Przypadek 3:
, dwa pierwiastki zespolone sprzężone
0
Δ
<
1
2
2
1
,
;
*
λ λ λ
λ
=
®
16
Przewidywana postać składowej przejściowej
( )
1
2
t
t
p
11
21
i
t
A e
A e
t
0
,
λ
λ
=
+
>
L
R
2
C
<
2
1
R
1
2L
R
C
2L
L
α β
⎛
⎞ −
⎜
⎟
⎝
⎠
+
=
−
=
+
2
2
R
1
2L
C
L
R
2L
α β
⎛
⎞ −
⎜
⎟
⎝
⎠
−
=
−
λ
oraz
λ
=
−
,
przy czym
β
jest urojona. Jeśli zapiszemy pierwiastki w jawnej postaci zespolonej:
1
1
1
j
2
2
λ α β α
Δ α
Δ
= + = +
= +
−
oraz
2
1
1
j
2
2
λ
α β α
Δ α
Δ
= − = −
= −
−
gdzie:
0
2
2
2
r
1
1
R
2
LC
2L
Δ
ω
α
ω
⎛
⎞
− =
−
=
−
=
⎜
⎟
⎝
⎠
. , gdzie
2
2
r
0
ω
α
−
>
Stąd pierwiastki
1
0
2
0
j
j
;
λ α
ω λ
α
ω
= +
= −
,
0
2
2
r
ω
α
ω
−
=
UWAGA: Gdy rezystancja gałęzi RLC jest mniejsza od rezystancji krytycznej, przebieg prądu w gałęzi w
stanie nieustalonym od załączania napięcia stałego ma charakter aperiodyczny czyli okresowy
(oscylacyjny) o pulsacji
0
ω
. W odróżnieniu jednak od przypadku załączania na napięcie stałe, obwód
będzie dążył do ustalenia pracy z pulsacją źródła sinusoidalnego czyli
ω
.
Podsumujmy:
ω
- pulsacja źródła sinusoidalnego;
r
ω
- pulsacja rezonansowa obwodu RLC,
0
ω
- pulsacja oscylacji składowej przejściowej.
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Podobnie jak dla przypadku pierwszego szukamy z układu równań:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
p
u
p
u
i t
i
t
i t
di
t
di t
di t
dt
dt
dt
=
+
⎧
⎪
⎨
=
+
⎪
⎩
, gdzie:
( )
( )
(
)
1
2
p
t
t
u
m
11 1
21
2
e
di
t
di t
E
A
e
A
e
t
dt
dt
z
,
cos
λ
λ
ω
λ
λ
ω ψ
ϕ
=
+
=
+
−
,
W szczególności dla t=0
+
:
( ) ( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
(
)
m
p
u
11
21
e
p
u
m
11 1
21
2
e
E
i 0
i
0
i 0
A
A
z
di 0
di
0
di 0
E
A
A
dt
dt
dt
z
sin
cos
ψ
ϕ
ω
λ
λ
ψ
ϕ
+
+
+
+
+
+
⎧
=
+
=
+
+
−
⎪⎪
⎨
⎪
=
+
=
+
+
−
⎪⎩
( )
(
) (
)
(
)
( )
(
) (
)
(
)
m
m
m
11
m
m
m
21
E
E
E
L
z
z
A
2
E
E
E
L
z
z
A
2
sin
cos
sin
sin
cos
sin
ω
ψ
ψ ϕ
α β
ψ ϕ
β
ω
ψ
ψ ϕ
α β
ψ ϕ
β
⎧
−
−
+
−
−
⎪
=
⎪
⎪
⎨
⎪
−
−
+
+
−
⎪
=
⎪
−
⎩
®
17
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
( )
(
)
m
u
e
E
i t
t
z
sin
ω ψ
ϕ
=
+
−
( ) (
)
( ) (
)
( )
0
0
t
p
21
11
11
21
i
t
A
A
j
t
A
A
t
e
sin
cos
α
ω
ω
=
−
+
+
⋅
⎡
⎤
⎣
⎦
Uwaga:
21
11
A
A
−
jest liczbą urojoną i po wymnożeniu z „j” przy
( )
0
t
ω
sin
da współczynnik rzeczywisty
(
)
11
21
A
A
+
jest liczbą rzeczywistą dając rzeczywisty współczynnik przy
( )
0
t
ω
cos
6.3. Przypadek 3: Ostatecznie prąd w omawianym obwodzie zawiera zarówno składową
przejściową jak i ustaloną:
( )
( )
( )
p
u
i t
i
t
i t
dla t
0
,
=
+
>
Stan przejściowy w gałęzi RLC załączanej na napięcie sinusoidalne reprezentuje ciekawy przypadek
pracy obwodu elektrycznego gdzie do głosu dochodzą charakterystyczne cechy tego obwodu:
ω
- pulsacja źródła sinusoidalnego;
r
ω
- pulsacja rezonansowa obwodu RLC,
L
2
C
®
18
0
ω
- pulsacja oscylacji składowej przejściowej, R – rezystancja fizyczna,
- rezystancja krytyczna.
Prześledzimy teraz różnice w zachowaniu się obwodu w stanie przejściowym w zależności od relacji
przywołanych tu parametrów. Wspólną cechą rozważań jest sytuacja:
L
R
2
C
<
- charakter periodyczny (oscylacyjny)
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład przebiegu stanu przejściowego w obwodzie RLC załączanym na napięcie sinusoidalne
dla przypadku 3,
0
Δ
<
,
L
R
2
C
<
- charakter periodyczny (oscylacyjny)
®
19
DODATKOWO:
(
)
r
R
0
0 ,
α
ω
ω
≈ → ≈
<<
1
100s
ω
−
=
R = 2
Ω
, L = 0.1 H, C = 10
μ
F = 10
-5
F ,
,
( )
(
)
e
e t
300
100t
ψ
=
+
sin
;
3
1
r
1
10 s
LC
ω
−
=
=
⇒
r
10
ω
ω
≈
(
)
r
R
0 ,
;
ω
ω
≈
<<
L
R
2
2
200
C
Ω
Ω
<
⎯⎯
→
<
;
1
R
10s
2L
α
−
= −
= −
;
0
2
2
6
2
1
1
r
10
10 s
999 95s
ω
ω
α
−
−
=
−
=
−
≈
.
1
100s
ω
−
=
;
;
1
0
999 95s
ω
−
≈
.
1
r
1000s
ω
−
=
UWAGA: Dla uproszczenia obliczeń dobrano
e
ψ
ϕ
=
;
2
2
5
1
Z
2
0 1 100
990
100 10
.
Ω
−
⎛
⎞
=
+
⋅
−
≈
⎜
⎟
⋅
⎝
⎠
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t [ s ]
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
i(t) = i (t) + i (t)
u
p
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
10t
10t
300
1000
i t
100t
e
999 95t
0303
100t
10e
999 95t
A
990
100
sin
sin
.
sin
sin
.
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
≅
−
≈
−
⎣
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Oscylacje z pulsacją
1
0
999 95s
ω
−
≈
.
1
r
1000s
ω
bliską rezonansowej
−
=
tłumione wykładniczo ze
współczynnikiem
1
10s
α
−
= −
1
100s
ω
−
=
do pulsacji źródła
dalekiej od rezonansowej
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład przebiegu stanu przejściowego w obwodzie RLC załączanym na napięcie sinusoidalne
dla przypadku 3,
0
Δ
<
,
L
R
2
C
<
- charakter periodyczny (oscylacyjny)
DODATKOWO:
(
)
r
R
0
0,
α
ω ω
≈ → ≈
≈
1
900s
ω
−
=
R = 2
Ω
, L = 0.1 H, C = 10
μ
F = 10
-5
F ;
( )
(
)
e
e t
30
900t
ψ
=
+
sin
;
,
3
1
r
1
10 s
LC
ω
−
=
=
⇒
r
1 11
.
ω
ω
≈
(
)
r
R
0 ,
ω ω
≈
≈
;
L
R
2
2
200
C
Ω
Ω
<
⎯⎯
→
<
;
®
20
1
R
10s
2L
α
−
= −
= −
;
0
2
2
6
2
1
1
r
10
10 s
999 95s
ω
ω
α
−
−
=
−
=
−
≈
.
1
900s
ω
−
=
;
;
1
0
999 95s
ω
−
≈
.
1
r
1000s
ω
−
=
UWAGA: Dla uproszczenia obliczeń dobrano
e
ψ
ϕ
=
;
2
2
5
1
Z
2
0 1 900
21 2
900 10
.
.
Ω
−
⎛
⎞
=
+
⋅
−
≈
⎜
⎟
⋅
⎝
⎠
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t [ s ]
-2.0
-1.0
0.0
1.0
2.0
i(t) = i (t) + i (t)
u
p
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
10t
10t
30
1000
i t
900t
e
999 95t
1 42
900t
1 11e
999 95t
A
21 2
900
sin
sin
.
.
sin
.
sin
.
.
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
≅
−
≈
−
⎣
⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
Oscylacje z pulsacją
1
0
999 95s
ω
−
≈
.
1
r
1000s
ω
bliską rezonansowej
−
=
tłumione wykładniczo ze
współczynnikiem
1
10s
α
−
= −
1
900s
ω
−
=
do pulsacji źródła
bliskiej rezonansowej
Obwody Elektryczne i Magnetyczne
Przykład przebiegu stanu przejściowego w obwodzie RLC załączanym na napięcie sinusoidalne
dla przypadku 3,
0
Δ
<
,
L
R
2
C
<
- charakter periodyczny (oscylacyjny)
DODATKOWO:
(
)
r
R
0
0,
α
ω ω
≈ → ≈
=
1
1000s
ω
−
=
R = 2
Ω
, L = 0.1 H, C = 10
μ
F = 10
-5
F;
( )
(
)
e
e t
30
1000t
ψ
=
+
sin
;
,
3
1
r
1
10 s
LC
ω
−
=
=
⇒
r
1
ω
ω
=
(
)
r
R
0 ,
;
ω ω
≈
=
L
R
2
2
200
C
Ω
Ω
<
⎯⎯
→
<
;
®
21
1
R
10s
2L
α
−
= −
= −
;
0
2
2
6
2
1
1
r
10
10 s
999 95s
ω
ω
α
−
−
=
−
=
−
≈
.
1
1000s
ω
−
=
;
;
1
0
999 95s
ω
−
≈
.
1
r
1000s
ω
−
=
UWAGA: Dla uproszczenia obliczeń dobrano
e
0
ψ
ϕ
= =
;
Z
R
2
Ω
= =
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t [ s ]
-10
-5
0
5
10
i(t) = i (t) + i (t)
u
p
( )
(
)
10t
i t
15
1 e
1000t
A
sin
−
⎡
⎤
≅
⋅ −
⋅
⎣
⎦
Oscylacje z pulsacją
1
0
999 95s
ω
−
≈
.
1
r
1000s
ω
bliską rezonansowej
−
=
tłumione wykładniczo ze
współczynnikiem
1
10s
α
−
= −
1
1000s
ω
−
=
do pulsacji źródła
równej rezonansowej.