Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
1
Systemy produkcji typu input-autput. Model von Neumanna
Rozważamy model gospodarki, w którym zużywa się lub
wytwarza
n towarów za pomocą skończonej liczby m
procesów technologicznych nazywanych bazowymi.
Oznaczenia
Rozważmy j-ty bazowy proces technologiczny.
a
j
= (a
j1
,a
j2
,...,a
jn
)----
wektor nakładów
b
j
= (b
j1
,b
j2
,...,b
jn
)----
wektor wyników
Interpretacja
Zużywając a
j1
jednostek towaru 1, a
j2
jednostek towaru 2,....,a
jn
jednostek towaru n otrzymamy w j-tym bazowym procesie
produkcyjnym b
j1
jednostek towaru 1, b
j2
jednostek towaru
2,...,b
jn
jednostek towaru n.
Uwaga
W modelu ten sam towar może być zarówno nakładem jak i produktem np. stal, węgiel. .
Wygodnie jest opisać wszystkie procesy bazowe za pomocą macierzy
mn
2
m
1
m
n
2
22
21
n
1
12
11
m
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
m
acierz nakładów
mn
2
m
1
m
n
2
22
21
n
1
12
11
m
2
1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
B
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
macierz wyników (produkcji)
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
2
Intensywności. Liniowość modelu
Przypuśćmy teraz, że poszczególne technologie zostały
użyte z intensywnością odpowiednio x
1
,x
2
,...x
m
.
Model von Neumanna jest liniowy
. Oznacza to, że: przyjmując
technologię 1 i stosując wielokrotność x
1
nakładów pierwszej
technologii tzn. (x
1
a
11
, x
1
a
12
,..., x
1
a
1n
) spodziewamy się
identycznej wielokrotności wyników tzn. (x
1
b
11
, x
1
b
12
,..., x
1
b
1n
),
. . .
. . .
. . .
przyjmując technologię m i stosując wielokrotność x
m
nakładów
tzn. (x
m
a
m1
, x
m
a
m2
,..., x
m
a
mn
) spodziewamy się identycznej
wielokrotności wyników tzn. (x
m
b
m1
, x
m
b
m2
,..., x
m
b
mn
).
Przy intensywnościach (x
1
,x
2
,...,x
m
) łączne nakłady czynników
wynoszą:
(*) (x
1
a
11
+...+ x
m
a
m1,
x
1
a
12
+...+ x
m
a
m2
,..., x
1
a
1n
+...+ x
m
a
mn
)= x A
nakład 1 czynnika,
nakład 2 czynnika,
,
nakład n-tego czynnika
inny zapis
Łączne wyniki produkcji wynoszą:
(**) (x
1
b
11
+...+ x
m
b
m1,
x
1
b
12
+...+ x
m
b
m2
,..., x
1
b
1n
+...+ x
m
b
mn
)= x B
1 produkt,
2 produkt,
n-ty produkt,
inny zapis
Uwaga
(*) i (**) jest właściwie formalną definicją lewostronnego
mnożenia wektora wiersza (x
1
,x
2
,...x
m
) przez macierze A i B
odpowiednio. (x A)
i
= x
1
a
1i
+...+ x
m
a
mi
, (x B)
i
= x
1
b
1i
+...+ x
m
b
mi
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
3
Założenia o modelu
Model von Neumanna jest jednoznacznie opisany parą
macierzy A, B. Zakłada się, że
Z1
Każdy wiersz macierzy nakładów A zawiera element dodatni
Z2
Każda kolumna macierzy wyników B zawiera element dodatni.
(W każdej technologii jakiś towar jest zużyty. Każdy towar jest
wytwarzany przynajmniej w jednym procesie technologicznym.)
Przypominamy
Przy intensywności produkcji wyrażonej wektorem x=
(x
1
,x
2
,...,x
m
)
wielkość zużycia i-tego towaru wynosi (x A)
i
= x
1
a
1i
+...+ x
m
a
mi
natomiast wielkość produkcji (x B)
i
= x
1
b
1i
+...+ x
m
b
mi
(I) Wskaźnikiem technologicznej efektywności wytwarzania
i-tego towaru
przy intensywności produkcji x=(x
1
,x
2
,...,x
m
)
nazywamy liczbę
0
xB
xA
gdy
na
nieokre
śie
0
xB
0
xA
gdy
0
xA
gdy
xA
xB
x
i
i
i
i
i
i
i
i
)
(
)
(
,
,
)
(
,
)
(
,
,
)
(
,
)
(
)
(
)
(
(II) Wskaźnikiem technologicznej efektywności procesu
wytwarzania (stopą produkcji) przy intensywności
produkcji x=(x
1
,x
2
,...,x
m
) nazywamy liczbę
)
(
min
)
(
x
x
i
i
Można pokazać, że przy Założeniach 1,2
.
0
x
gdy
okreslone
jest
nie
0
x
gdy
xB
xA
:
max{
)
x
(
(*)
i=1,2,…,n.
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
4
(III)
Optymal
nym
wskaźnikiem
technologicznej
efektywności w modelu (optymalną stopą produkcji)
nazywamy liczbę
)
x
(
max
0
x
,
0
x
opt
.
Zauważmy, że ( ze względu na (*) )
opt
jest rozwiązaniem
zadania: znaleźć
max
przy ograniczeniach:
xB
xA
, x
0, x
Zadanie to mo
żna zapisać dokładniej:
max
przy ograniczeniach
0
x
.
0
x
)
xB
(
)
xA
(
)
xB
(
)
xA
(
n
n
1
1
Problemy a). Rozwi
ązać powyższe zadanie podając optymalny
wskaźnik
technologicznej
efektywności
(optymalną
stop
ę
produkcji)
opt
b) Wyznaczy
ć intensywności produkcji, przy której wskaźnik ten
jest osiągany ?
Można wykazać por. ref. [Panek. str.247] , że przy przyjętych
założeniach modelu, optymalny wskaźnik technologicznej efektywności
(optymalna stopa produkcji) spełnia warunek 0 <
opt
.
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
5
Wektor intensywności
x
dla którego
)
(x
opt
nazywa się
optymalnym
wektorem intensywności w modelu. Zauważmy, że
o
ptymalny wektor intensywności jest określony z dokładnością do
struktury ( z dokładnością do mnożenia przez stałą dodatnią).
Efektywność ekonomiczna.
Niech p
i
oznacza cenę rynkową i-tego towaru.
(x B)
1
p
1
+ (x B)
2
p
2
+...+(x B)
n
p
n
=
wartość produkcji przy intensywności
x=
(x
1
,x
2
,...,x
m
). W zapisie macierzowym, przy traktowaniu
wektora cen jak kolumnę, wartość tę wyraża się krótko: xBp,
p
wektor koluumniwy.
(xA)
1
p
1
+ (xA)
2
p
2
+...+(x A)
n
p
n
=
wartość nakładu przy intensywności
x=
(x
1
,x
2
,...,x
m
). W zapisie macierzowym, przy traktowaniu
wektora cen jak kolumnę, wartość tę wyraża się krótko: xAp.
Wskaźnikiem ekonomicznej efektywności (stopą dochodu ),
przy wektorach
intensywności x i cenach p, nazywamy liczbę
.
,
.
,
,
,
)
,
(
0
xBp
0
xAp
gdy
nieokr
0
xBp
0
xAp
gdy
0
xAp
gdy
xAp
xBp
p
x
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
6
Iloraz liczb
xAp
xBp
oznacza stopę dochodu przy intensywności
wyrażonej wektorem x i wektorem cen p.
Iloraz liczb
xBp
xAp
oznacza stopę wydatków przy intensywności
wyrażonej wektorem x i wektorem cen p.
Zauważmy, że: a) Ap - wartości jednostkowych nakładów poszczególnych
technologii. Bp -
wartości jednostkowych przychodów poszczególnych
technologii. b) Wskaźnik ekonomicznej efektywności mówi o relacji wartości
przychodów do wartości nakładów -- ile razy przy cenach p i intensywności x
wartość produkcji przekracza wartość nakładów.
Równowaga
Pytanie: czy można znaleźć taki wektor intensywności produkcji
i takie ceny, przy których ekonomiczna efektywność jest równa
efektywności technologicznej?
Warunki takie podał von Neumann i Thompson. Noszą one
nazwę warunków równowagi w modelu von Neumanna.
Definicja.
O wektorze intensywności x~ 0, x~
0
i wektorze
cen
p
~
0,
p
~
oraz liczbie
0
mówimy, że charakteryzują
gospodarkę w równowadze von Neumanna, jeżeli spełniają
następujące warunki:
(I)
,
~
~
B
x
A
x
(II)
dla każdego x
0
,
p
xA
p
xB
~
~
,
(III)
0
p
B
x
~
~
.
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
7
Wektor x
~ nazywamy wektorem intensywności procesów
technologicznych w równowadze, wektor cen
p
~
nazywa się
wektorem cen w równowadze. Pokażemy, że wyraża
wskaźnik ekonomicznej i technologicznej efektywności przy
x
~ ,
p
~
.
Komentarze.
Warunki (I)-(III) okr
eślają punkt równowagi w pewnej 2-
osobowej grze. (por.
Łoś. Linear Methods In the Theory of
Economical Models, Aarhus Universitet,1967 ).
Warunek (II) można zastąpić (II)
:
p
A
p
B
~
~
. (Wystarczy
rozważyć intensywności postaci (0,0,..0,1,0,0,..0,) z 1 na różnych miejscach.)
Wnioski z definicji (por. Panek. ref.1)
1.
Prawdziwe są następujące implikacje: jeśli
i
i
B
x
A
x
)
~
(
)
~
(
to
i
p
~
=0, jeśli
i
p
~
>0 to
i
i
B
x
A
x
)
~
(
)
~
(
.
Uzasadnienie. Gdyby
i
i
B
x
A
x
)
~
(
)
~
(
i
i
p
~
>0 to mnożąc obie
strony (I) przez
p
~
otrzymalibyśmy :
p
B
x
p
A
x
~
~
~
~
co jest
sprzeczne z (II).
2. Liczba
w definicji jest wskaźnikiem technologicznym
efektywności procesu przy intensywności x~ . Zatem
=
( x
~ ).
Uzasadnienie. Gdyby
( x
~ ) to z definicji i warunku (I)
<
( x
~ ). Zatem dla każdego i byłoby
i
i
B
x
A
x
)
~
(
)
~
(
a więc na
mocy wniosku 1
i
p
~
=0, co oznaczałoby
0
p
B
x
~
~
i zaprzeczałoby
warunkowi (III) definicji.
3.
Ekonomiczna efektywność przy x~ ,
p
~
= technologicznej
efektywności przy x~ . Innymi słowy
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
8
)
~
(
)
~
,
~
(
x
p
x
(=
)
Uzasadnienie.
Mnożąc obie strony (I) przez wektor cen w
równowadze mamy
p
B
x
p
A
x
~
~
~
~
. Warunek (II) daje nierówność
p
B
x
p
A
x
~
~
~
~
, Zatem
p
A
x
p
B
x
~
~
~
~
=
)
~
,
~
( p
x
.
4.
Dla każdego x ,
)
p
~
,
x
(
)
p
~
,
x
~
(
jeśli tylko wskaźnik
)
~
,
( p
x
jest określony.
Uzasadnienie. Z definicji
)
~
,
( p
x
i z warunku (II) mamy:dla
każdego x jeśli xA
p
~
>0 to
)
~
,
( p
x
=
p
xA
p
xB
~
~
p
A
x
p
B
x
~
~
~
~
=
)
~
,
~
( p
x
.
Twierdzenie (Panek. Ekon. Mat, 2003 str.250). W modelu
von Neumanna,
(spełniającym Założenia 1 i 2) z
p
rostokątnymi macierzami A,B o wymiarach (m
n), istnieje
stan równowagi z optymalnym wskaźnikiem technologicznej
efektywności
opt
. Liczba stanów równowagi z różnymi
wskaźnikami technologicznej efektywności nie przekracza
min{m,n}.
Ćwiczenia. Zestaw 3.
1. Dlaczego model von Neumanna nazywany jest modelem liniowym.
2.
Opisz macierze nakładów i wyników.
3.
Co to jest wskaźnik technologicznej efektywności procesu
wytwarzania (stopa produkcji) przy intensywności produkcji x=(x
1
,x
2
,...,x
m
). Podaj d
efinicję optymalnej intensywności.
4.
Podaj
definicję
i
ekonomiczną
interpretację
wskaźnika
ekonomicznej intensywności.
Ekonomia matematyczna. Wykład14a R. Rempała. Materiały dydaktyczne
9
5.
Czy stan równowagi musi być jedyny? Podaj własności stanów
równowagi.
6.
Znajdź optymalny stan równowagi w modelu z macierzami:
A=
2
1
0
1
, B=
2
1
1
2
.