POCHODNA FUNKCJI . ZASTOSOWANIE POCHODNYCH.
1. Obliczyć pochodne funkcji: a)
x
tg
)
4
x
1
(
)
x
(
f
4
⋅
+
+
=
b)
x
sin
arc
e
)
x
(
f
3
x
4
=
c)
x
cos
x
sin
2
2
3
2
)
x
(
f
=
d)
x
2
cos
3
e
x
tg
)
x
(
f
=
e)
x
sin
arc
x
1
x
)
x
(
f
2
⋅
−
−
=
f)
x
sin
1
x
cos
)
x
(
f
2
+
⋅
=
g)
x
ln
)
x
sin(
)
x
(
f
2
2
⋅
=
h)
x
a
cos
aarc
a
x
)
x
(
f
2
2
−
−
=
i)
3
2
x
cos
x
sin
)
x
(
f
⋅
=
j)
x
3
ctg
tg
arc
)
x
(
f
=
k)
x
ln
)
x
sin(
)
x
(
f
2
2
⋅
=
l)
x
a
a
x
)
x
(
f
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
m)
x
sin
arc
x
)
x
(
f
=
n)
( )
x
cos
2
x
ln
)
x
(
f
=
.
2. Sprawdzić, że podana niżej funkcja
)
x
(
f
y
=
spełnia dane obok równanie różniczkowe:
a)
x
2
x
2
e
x
y
y
x
;
e
)
1
x
(
x
y
+
′
=
′′
−
+
=
b)
0
y
2
y
2
y
;
x
sin
e
y
x
=
+
′
−
′′
=
c)
y
)
1
y
(
)
y
(
2
;
2
x
5
x
y
2
′′
−
=
′
+
−
=
d)
.
y
x
y
)
x
1
(
;
x
sin
arc
y
2
′
=
′′
−
=
3. Znaleźć wzór funkcyjny n-tej pochodnej funkcji:
a)
x
a
)
x
(
f
=
b)
x
log
)
x
(
f
a
=
c)
b
ax
1
)
x
(
f
+
=
d)
x
xe
)
x
(
f
=
.
4. Stosując regułę de L`Hospitala, obliczyć granice:
a)
x
ln
x
lim
2
x
+∞
→
b)
x
)
1
x
ln(
lim
0
x
+
→
c)
x
x
cos
ln
lim
0
x
→
d)
)
e
x
(
lim
2
x
2
x
−
+∞
→
⋅
e)
)]
x
1
ln(
x
[ln
lim
1
x
−
−
→
f)
)
e
x
(
lim
x
1
0
x
⋅
+
→
g)
)
x
ctg
arc
(
x
[
lim
x
π
−
−∞
→
h)
)]
1
e
(
x
[
lim
x
1
x
−
⋅
∞
→
i)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
→
x
ln
1
1
x
x
lim
1
x
j)
.
1
e
1
x
1
lim
x
0
x
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
→
5. Wyznaczyć dziedzinę, przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
a)
1
x
x
)
x
(
f
2
3
−
=
b)
2
x
xe
)
x
(
f
−
=
c)
x
x
ln
)
x
(
f
3
=
d)
x
ln
x
)
x
(
f
2
2
⋅
=
e)
)
2
x
ln(
3
2
x
)
x
(
f
2
−
−
=
.
6. Napisać wzór Taylora funkcji f (x) w punkcie x
o
dla podanego n ( reszta jest n-tego rzędu):
a)
5
n
,
1
x
,
e
)
x
(
f
0
x
=
−
=
=
b)
4
n
,
2
x
,
1
x
x
)
x
(
f
0
=
=
−
=
, c)
5
n
,
2
x
,
x
4
sin
)
x
(
f
0
=
=
π
=
.
7. Napisać wzór Maclaurina funkcji
x
e
)
x
(
f
=
dla
5
n
=
. Na podstawie tego wzoru obliczyć przybliżoną
wartość liczby
4
e
1
i oszacować błąd przybliżenia.
8. Napisać wzór Maclaurina funkcji
x
1
)
x
(
f
+
=
dla
4
n
= . Na podstawie tego wzoru obliczyć
przybliżoną wartość liczby
5
,
1
i oszacować błąd przybliżenia.
9. Napisać wzór Maclaurina funkcji
)
1
x
ln(
)
x
(
f
+
=
dla
6
n
=
. Wykorzystując ten wzór, obliczyć
przybliżoną wartość liczby
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
4
5
ln
, a następnie oszacować błąd przybliżenia.
10. Napisać wzór Maclaurina funkcji
x
cos
)
x
(
f
=
dla
5
n
=
. Na podstawie tego wzoru obliczyć
przybliżoną wartość liczby
o
10
cos
.
