METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
OBLICZANIE OBWODÓW METODĄ PRZEKSZTAŁCANIA DO
UKŁADU RÓWNOWAŻNEGO
Metoda ta znajduje zastosowanie przy obliczaniu obwodów
szeregowych, równoległych, o mieszanym połączeniu elementów oraz
układów o większym stopniu złożoności – zawierających układy typu
gwiazda - trójkąt.
Postępowanie we wszystkich przypadkach jest podobne: układ
złożony zastępujemy układem równoważnym, przy czym podobnie jak w
przypadku przekształcania układów gwiazda - trójkąt nie może ulec
zmianie rozpływ prądów i rozkład napięć w niezmienionej części układu.
Dzięki niej możliwe jest obliczenie rozpływu prądów w obwodzie, a także
wartości spadków napięć na poszczególnych elementach.
Przy zastępowaniu układu jego wersją równoważną wykorzystuje się
wzory na rezystancję zastępcze układu rezystorów oraz zależności służące
do zastępowania źródeł napięcia i prądu. Przy obliczaniu prądów i napięć
stosuje się wzory wynikające z prawa Ohma i Kirchhoffa.
Przykład:
Obliczyć wartości prądów przepływających przez rezystancje R
5
i R
8
korzystając z metody przekształcania.
Dane układu: U
AB
= 24 V; R
1
= 3
; R
2
= R
5
= R
7
= R
8
= 4
;
R
3
= 12
; R
4
= 6
; R
6
= 12
.
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
Układ przykładowy do metody przekształcania
W pierwszej kolejności wyznaczamy rezystancję zastępczą układu od
strony napięcia zasilającego:
Układ po zastąpieniu części rezystancji elementami zastępczymi
3
4
12
4
12
R
R
R
R
R
8
3
8
3
38
2
6
3
6
3
R
R
R
R
R
4
1
4
1
14
2
4
4
4
4
R
R
R
R
R
5
2
5
2
25
4
R
R
R
25
14
1245
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
3
12
4
12
4
R
R
R
R
R
6
1245
6
1245
I
6
3
3
R
R
R
38
I
II
4
,
2
4
6
4
6
R
R
R
R
R
7
II
7
II
C
Dla tak obliczonej wartości rezystancji całkowitej prąd całkowity:
A
10
4
,
2
24
R
U
I
C
AB
Pozostałe wartości:
A
6
4
24
R
U
I
7
AE
7
Rozpływ prądów dla węzła B:
I
7
– I + I
II
= 0 skąd: I
II
= I – I
7
= 10 – 6 = 4 A
Spadek napięcia na rezystancji zastępczej R
38
:
U
II
= I
II
R
38
= 4
3 = 12 V
Prąd w gałęzi z rezystancją R
8
:
I
8
=
4
12
R
U
8
II
3 A
Równanie bilansu napięć dla oczka z rezystorami R
6
, R
7
oraz R
38
wygląda następująco:
U
AB
– U
6
– U
II
= 0
skąd napięcie na rezystancji R
6
:
U
6
= U
AB
– U
II
= 24 –12 = 12 V
Prąd przepływający rezystancję R
6
:
I
6
=
12
12
R
U
6
6
1 A
Dla węzła A pierwsze prawo Kirchhoffa będzie wyglądać
następująco:
I – I
7
– I
14
– I
6
= 0,
natomiast prąd przepływający przez rezystancję zastępczą R
1245
:
I
14
= I – I
7
– I
6
= 10 – 6 – 1 = 3 A
Napięcie na rezystancji R
25
:
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
U
25
= I
14
R
25
= 3
2 = 6 V
Prąd przepływający rezystancję R
5
:
I
5
=
4
6
R
U
5
25
1,5 A
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
OBLICZANIE OBWODÓW METODĄ PRAW KIRCHHOFFA
Metoda ta zyskała nazwę metody klasycznej – oparta jest na dwóch
prawach Kirchhoffa i jest stosowana zwykle w przypadku obwodów
zawierających stosunkowo niewielką liczbę węzłów i gałęzi, w
przeciwnym przypadku obliczenia są kłopotliwe ze względu na dużą
liczbę równań. Możliwe jest rozwiązanie ich w postaci macierzowej za
pomocą programów matematycznych. Zastosowanie metody sprowadza
się do utworzenia określonej liczby równań prądowych i napięciowych.
Dla obwodu zawierającego
węzłów oraz b gałęzi możliwe jest
utworzenie:
1
równań prądowych (I prawo Kirchhoffa)
b
(
1) = b
+ 1
równań
napięciowych
(II
prawo
Kirchhoffa)
Z ułożonych w ten sposób równań wyznaczamy poszukiwane wartości
prądów, a następnie spadki napięć na poszczególnych elementach obwodu.
Przykład:
Obliczyć rozpływ prądów w układzie przedstawionym na rysunku.
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
Układ przykładowy do metody praw Kirchhoffa
Dane obwodu: E
1
= 12 V; E
2
= 8 V; E
3
= 16 V; E
4
= 6 V; R
w1
= 0,5
;
R
w2
= R
w3
= 0;
R
w4
= 1
;
R
1
= 3,5
;
R
2
= R
3
= 2
;
R
4
= 15
;
R
5
= 3
.
Układ posiada:
= 3 węzłów; b = 5 gałęzi. Do rozwiązania konieczne
jest ułożenie b –
+ 1 = 3 równań napięciowych,
– 1 = 2 równań
prądowych.
Węzeł b:
I
2
+ I
5
– I
1
= 0 skąd: I
2
= I
1
– I
5
Węzeł a:
– I
5
+ I
3
– I
4
= 0 skąd: I
3
= I
5
+ I
4
Oczko 1:
E
1
– R
w1
I
1
– R
1
I
1
+ E
2
– R
2
I
2
= 0
Oczko 2:
E
3
– R
3
I
3
– R
5
I
5
+ R
2
I
2
– E
2
= 0
Oczko 3:
R
4
I
4
+ R
w4
I
4
– E
4
+ R
3
I
3
– E
3
= 0
Po uporządkowaniu:
R
w1
I
1
+ R
1
I
1
+ R
2
I
2
= E
1
+ E
2
R
2
I
2
– R
3
I
3
– R
5
I
5
= E
2
– E
3
R
4
I
4
+ R
w4
I
4
+ R
3
I
3
= E
4
+ E
3
Podstawiając wartości wyznaczone z równań prądowych:
R
w1
I
1
+ R
1
I
1
+ R
2
I
1
– R
2
I
5
= E
1
+ E
2
R
2
I
1
– R
2
I
5
– R
3
I
5
– R
3
I
4
– R
5
I
5
= E
2
– E
3
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
R
4
I
4
+ R
w4
I
4
+ R
3
I
5
+ R
3
I
4
= E
4
+ E
3
(R
w1
+ R
1
+ R
2
)I
1
– R
2
I
5
= E
1
+ E
2
R
2
I
1
– R
3
I
4
– (R
2
+ R
3
+ R
5
)I
5
= E
2
– E
3
(R
4
+ R
w4
+ R
3
)I
4
+ R
3
I
5
= E
4
+ E
3
Po podstawieniu wartości liczbowych i uproszczeniu:
3I
1
– I
5
= 10
2I
1
– 2I
4
– 7I
5
= – 8
9I
4
+ I
5
= 11
Rozwiązując powyższy układ równań uzyskuje się następujące
wartości prądów:
I
1
= 4 A
I
4
= 1 A
I
5
= 2 A
Pozostałe wartości wyznacza się z równań prądowych:
I
2
= 2 A
I
3
= 3 A
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
OBLICZANIE OBWODÓW METODĄ SUPERPOZYCJI
Oparta jest ona na omawianej w rozdziale piątym zasadzie
superpozycji. Metoda ta znalazła zastosowanie w przypadku obwodów
liniowych o kilku źródłach energii. Ponadto może być ona stosowana w
przypadku układów dla których rozpływ prądów został wcześniej
wyznaczony, a których konfiguracja zmieniła się na skutek dołączenia
dodatkowych źródeł zasilania. Metoda ta spotykana jest także pod nazwą
metody nakładania.
W przypadku obwodu o n źródeł napięcia lub prądu obliczenia
przebiegają następująco:
1. Dany układ zastępowany jest przez n obwodów zasilanych jednym
źródłem, przy czym rezystancje elementów nie ulegają zmianie (w
każdym przypadku w układzie działa inne źródło napięcia, pozostałe są
zwarte, a źródła prądu rozwarte).
2. Każdy z otrzymanych w sposób podany w punkcie 1 obwodów
rozwiązujemy za pomocą praw Kirchhoffa lub przekształcania.
3. Na podstawie obliczonych dla układów składowych wartości prądów
pochodzących od poszczególnych źródeł oblicza się prądy rzeczywiste
w gałęziach obwodu (suma algebraiczna wszystkich prądów
występujących w danej gałęzi w obwodach składowych).
Przykład:
Wyznaczyć wartości prądów w układzie przedstawionym na rysunku,
korzystając z metody superpozycji.
Dane: R
1
= 8
; R
2
= 2
; R
w1
= 2
; R
w2
= 0,5
; R
3
= 5
; E
1
= 15
V; E
2
= 12 V.
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
Układ wyjściowy do metody superpozycji
1. Siła E
1
:
Układ przy zasilaniu siłą E
1
Rezystancja zastępcza układu:
R
I
= R
2
+ R
w2
= 2 + 0,5 = 2,5
R
II
=
3
5
5
5
,
2
5
5
,
2
R
R
R
R
3
I
3
I
R
C
= R
w1
+ R
1
+ R
II
= 2 + 8 +
3
5
=
3
35
Prąd płynący przez rezystancję zastępczą układu:
7
9
35
45
35
3
1
15
R
E
I
C
1
1
A
0
U
U
U
E
3
1
1
w
1
skąd:
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
1
1
w
1
3
U
U
E
U
15
8
7
9
2
7
9
=
7
15
V
Pozostałe prądy:
7
3
5
1
7
15
R
U
I
3
3
3
A
2
3
1
I
I
I
0
skąd:
7
6
7
3
7
9
I
I
I
3
1
2
A
2. Siła E
2
:
Układ przy zasilaniu siłą E
2
Rezystancja zastępcza układu:
R
I
= R
1
+ R
w1
= 8 + 2 = 10
R
II
=
3
10
15
50
5
10
5
10
R
R
R
R
3
I
3
I
R
C
= R
II
+ R
2
+ R
w2
=
6
35
2
1
2
3
10
Obliczenia prądów w poszczególnych gałęziach układu:
35
72
35
6
12
R
E
I
C
2
2
A
70
72
10
5
35
72
R
I
U
2
w
2
2
w
V
35
144
2
35
72
R
I
U
2
2
2
V
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
3
2
2
w
2
U
U
U
E
0
stąd
2
2
w
2
3
U
U
E
U
12
35
144
35
36
=
35
240
V
35
48
5
35
240
R
U
I
3
3
3
A
3
1
2
I
I
I
0
stąd:
35
24
35
48
35
72
I
I
I
3
2
1
A
Ostatecznie wartości prądów gałęziowych obliczamy jako nałożenie
wyników obliczeń dla obu sił oddzielnie:
I
1
=
35
21
35
72
7
9
I
I
1
1
0,6 A
I
2
=
35
42
35
30
35
72
I
I
2
2
1,2 A
I
3
=
5
9
35
48
7
3
I
I
3
3
1,8 A
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
OBLICZANIE OBWODÓW METODĄ PRĄDÓW OCZKOWYCH
Metoda służy do wyznaczania prądów gałęziowych w danym
obwodzie. W bezpośredni sposób wywodzi się z praw Kirchhoffa, będąc
modyfikacją opartej na nich metody obliczeniowej. Związek pomiędzy
obiema metodami przedstawiony zostanie w oparciu o następujący układ:
Schemat układu ilustrującego związki pomiędzy metodą praw
Kirchhoffa, a metodą prądów oczkowych
Przedstawiony powyżej układ jest układem rozgałęzionym o czterech
węzłach i sześciu gałęziach. Aby było możliwe rozwiązanie go korzystając
z praw Kirchhoffa konieczne jest ułożenie trzech równań prądowych (I
prawo Kirchhoffa) oraz trzech równań napięciowych (II prawo
Kirchhoffa). Równania prądowe dla węzłów a, b, c:
a:
I
3
– I
4
+ I
1
= 0
b:
I
2
+ I
5
– I
3
= 0
c:
I
6
I
1
I
2
= 0
Równania napięciowe dla poszczególnych oczek:
I:
E
1
– R
1
I
1
R
4
I
4
– R
6
I
6
= 0
II:
E
2
– R
2
I
2
+ R
5
I
5
– R
6
I
6
= 0
III:
E
3
– R
3
I
3
– R
4
I
4
– R
5
I
5
= 0
Po uporządkowaniu równania przyjmują postać:
E
1
= R
1
I
1
+ R
4
I
4
+ R
6
I
6
E
2
= R
2
I
2
R
5
I
5
+ R
6
I
6
E
3
= R
3
I
3
+ R
4
I
4
+ R
5
I
5
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
W dalszej kolejności równania przekształcone zostaną do postaci w
której prądy I
4
, I
5
oraz I
6
wyrażone są za pomocą trzech pozostałych
prądów występujących w obwodzie:
I
4
= I
3
+ I
1
I
5
= I
3
– I
2
I
6
= I
1
+ I
2
Wyznaczone w ten sposób prądy podstawiane są do równań 6.3:
E
1
= R
1
I
1
+ R
4
(I
3
+ I
1
) + R
6
(I
1
+ I
2
)
E
2
= R
2
I
2
R
5
(I
3
– I
2
) + R
6
(I
1
+ I
2
)
E
3
= R
3
I
3
+ R
4
(I
3
+ I
1
) + R
5
(I
3
– I
2
)
Po wykonaniu obliczeń i uporządkowaniu równań względem prądów:
E
1
= (R
1
+ R
4
+ R
6
)I
1
+ R
6
I
2
+ R
4
I
3
E
2
= R
6
I
1
+ (R
2
+ R
5
+ R
6
)I
2
– R
5
I
3
E
3
= R
4
I
1
– R
5
I
2
+ (R
3
+ R
4
+ R
5
)I
3
Równania powyższe można w oparciu o występujące w nich
prawidłowości zapisać w prostszej postaci:
E
11
= R
11
I
I
+ R
12
I
II
+ R
13
I
III
E
22
= R
21
I
I
+ R
22
I
II
+ R
23
I
III
E
33
= R
31
I
I
+ R
32
I
II
+ R
33
I
III
Porównując powyższe zależności można zapisać następujące
równania:
E
11
= E
1
; E
22
= E
2
; E
33
= E
3
W równaniach występują napięcia źródłowe oznaczane symbolami
E
kk
. Są to tzw. napięcia źródłowe oczkowe. Napięcie źródłowe oczkowe
równe jest sumie napięć źródłowych wszystkich gałęzi tworzących
oczko.
R
11
= R
1
+ R
4
+ R
6
R
22
= R
2
+ R
5
+ R
6
R
33
= R
3
+ R
4
+ R
5
Równania zawierają tzw. rezystancje własne oczek oznaczane
symbolami R z dwoma jednakowymi indeksami np. R
11
. Rezystancja
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
własna oczka jest to suma rezystancji wszystkich gałęzi tworzących
oczko.
R
1
= R
21
= R
6
R
13
= R
31
= R
4
R
23
= R
32
=
R
5
W równaniach występują rezystancje wzajemne oczek, oznaczane
jako R z dwoma różnymi indeksami np. R
23
. Rezystancja wzajemna
oczek to rezystancja gałęzi wspólnej dwóch oczek.
I
I
= I
1
I
II
= I
2
I
III
= I
3
Ostatnią z wielkości, których definicję należy przybliżyć są
występujące we wzorach prądy oczkowe np. I
II
. Prąd oczkowy – prąd
umowny płynący w danym oczku, przez jego wszystkie gałęzie.
W gałęziach należących wyłącznie do jednego oczka prąd gałęziowy
równy jest prądowi oczkowemu, natomiast w gałęziach wspólnych
należących do dwóch oczek prąd gałęziowy równy jest sumie lub różnicy
prądów oczkowych zależnie od ich zwrotów.
Podczas rozwiązywania obwodu składającego się z b gałęzi i
węzłów tok postępowania jest następujący:
1. W pierwszej kolejności wybieramy oczka dla których będą układane
równania - zgodnie ze wzorem b
+ 1. Dla wybranych oczek
przyjmujemy zwroty obiegowe.
2. Zgodnie z obranymi zwrotami przyjmujemy prądy oczkowe. Ponadto
znakujemy zwroty prądów gałęziowych.
3. Zgodnie z podanymi powyżej definicjami wyznaczamy rezystancje
własne oraz wzajemne oczek.
4. Analogicznie wyznaczamy oczkowe napięcia źródłowe.
5. Przystępujemy do ułożenia równań z uwzględnieniem wyznaczonych
powyżej: rezystancji własnych i wzajemnych oczek oraz napięć
źródłowych oczkowych.
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
6. Otrzymany
układ równań rozwiązujemy dowolną z metod
rozwiązywania układów równań liniowych (np.: wyznacznikową).
7. Na podstawie wyznaczonych w punkcie 6 wartości prądów oczkowych
obliczamy prądy gałęziowe.
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
OBLICZANIE OBWODÓW METODĄ POTENCJAŁÓW
WĘZŁOWYCH
Metoda ta opiera się na prawach Kirchhoffa oraz prawie Ohma, jest
szczególnie korzystna w przypadku obwodów o małej liczbie węzłów np.:
o równoległym połączeniu elementów. Pozwala ona obliczyć wartości
prądów gałęziowych.
Przykład:
Układ ilustrujący związki pomiędzy prawami Kirchhoffa a metodą
potencjałów węzłowych
W układzie występują trzy węzły, w każdym obwodzie można
uziemić jeden węzeł bez wpływu na rozpływ prądów w obwodzie. W
przypadku obwodu przykładowego uziemiony będzie węzeł 3: potencjał
tego punktu obwodu wyniesie więc zero
3
= 0.
Po oznaczeniu zwrotów prądów gałęziowych w obwodzie, dla
pozostałych węzłów zapisać można równania wynikające z pierwszego
prawa Kirchhoffa:
I
1
= I
3
+ I
4
I
4
= I
2
+ I
5
Uwzględniając prawo Ohma można przedstawić prądy przepływające
w gałęziach obwodu w następujący sposób:
I
1
= G
1
(E
1
+ U
31
) = G
1
(E
1
+
3
–
1
) = G
1
(E
1
–
1
)
I
2
= G
2
(E
2
+ U
23
) = G
2
(E
2
+
2
–
3
) = G
2
(E
2
+
2
)
I
3
= G
3
U
13
= G
3
(
1
–
3
) = G
3
1
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
I
4
= G
4
U
12
= G
4
(
1
–
2
)
I
5
= G
5
U
23
= G
5
(
2
–
3
) = G
5
2
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
Przedstawione w powyższej postaci prądy podstawiane są do dwóch
równań prądowych:
G
1
(E
1
–
1
) = G
3
1
+ G
4
(
1
–
2
)
G
4
(
1
–
2
) = G
1
(E
2
+
2
) + G
5
2
Po wymnożeniu wielkości występujących w obu równaniach i
uporządkowaniu ich względem poszczególnych potencjałów przyjmują
one nieco inną postać:
G
1
E
1
= (G
1
+ G
3
+ G
4
)
1
– G
4
2
–G
1
E
2
= –G
4
1
+ (G
1
+ G
4
+ G
5
)
2
Występujące w równaniach prawidłowości pozwalają przedstawić je
w postaci:
1
GE
= G
11
1
+ G
12
2
2
GE
= G
21
1
+ G
22
2
Porównując równania otrzymujemy następujące wzory:
1
GE
= G
1
E
1
2
GE
=
G
1
E
2
Suma iloczynów napięć źródłowych oraz konduktancji gałęzi
określają wypadkowy prąd źródłowy zasilający dany węzeł. Iloczyny GE
mogą być dodatnie (przy zwrocie napięcia źródłowego do węzła) lub
ujemne (przy zwrocie przeciwnym).
G
11
= G
1
+ G
3
+ G
4
G
22
= G
1
+ G
4
+ G
5
Wielkość oznaczana za pomocą litery G z dwoma jednakowymi
indeksami np. G
11
. Wielkość ta nosi nazwę konduktancji własnej węzła.
Konduktancja własna węzła jest równa sumie konduktancji gałęzi
zbiegających w danym węźle.
G
12
= G
21
=
G
4
Wielkość oznaczaną za pomocą litery G, z tą różnicą, że z dwoma
różnymi indeksami. Wielkość ta to konduktancja wzajemna węzłów.
Konduktancja wzajemna węzłów to wielkość równa sumie
konduktancji wszystkich gałęzi łączących bezpośrednio oba węzły.
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
Bez względu na sposób przyjęcia zwrotów prądów gałęziowych
konduktancje wzajemne mają zawsze znaki ujemne.
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
Tok postępowania przy rozwiązywaniu obwodów metodą
potencjałów węzłowych jest następujący:
1. Oznaczamy rozpływ prądów gałęziowych.
2. Numerujemy węzły obwodu, jeden dowolny z nich uziemiamy nadając
mu umownie w ten sposób potencjał równy zeru
3. Dla pozostałych węzłów obwodu wyznaczamy iloczyny napięć
źródłowych i konduktancji oraz obliczamy ich sumę.
4. Obliczamy konduktancje własne oraz wzajemne węzłów.
5. Układamy równania uwzględniając w nich wyznaczone w punktach 3 i
4 wielkości.
6. Z
utworzonych
równań
obliczamy
wartości
potencjałów
poszczególnych węzłów.
7. Z równań prądowych wyznaczamy wartości prądów gałęziowych.
8. Dokonujemy sprawdzenia poprawności obliczeń poprzez obliczenie
bilansu prądów dla poszczególnych węzłów obwodu.
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
Przykład:
Korzystając z metody potencjałów węzłowych wyznaczyć rozpływ
prądów w przedstawionym poniżej układzie.
Dane: R
1
= 3
; R
2
= 5
; R
3
= 8
; R
4
= R
5
= R
6
= R
8
= 12
;
R
7
= 6
; E
3
= 48 V; E
7
= 60 V.
Układ przykładowy dla metody potencjałów węzłowych
W układzie jako zerowy przyjęto potencjał węzła c (
c
= 0). Dla
dwóch pozostałych węzłów ułożono równania:
7
7
3
3
b
8
7
a
8
7
3
2
1
E
R
1
E
R
1
R
1
R
1
R
1
R
1
R
1
R
R
1
7
7
b
8
7
6
5
4
a
8
7
E
R
1
R
1
R
1
R
1
R
R
1
R
1
R
1
Po podstawieniu wartości liczbowych:
60
6
1
48
8
1
12
1
6
1
12
1
6
1
8
1
8
1
b
a
60
6
1
12
1
6
1
12
1
24
1
12
1
6
1
b
a
Po koniecznych uproszczeniach układ przyjmuje następującą postać:
4
4
1
2
1
b
a
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
10
8
3
4
1
b
a
Jego rozwiązaniem są następujące wartości potencjałów:
a
= 8 V
b
= 32 V
Kolejnym etapem jest obliczenie wartości prądów gałęziowych:
I
1
=
8
8
1
)
(
R
R
1
c
a
2
1
1 A
I
3
=
8
8
1
48
8
1
)
(
R
1
E
R
1
a
c
3
3
3
5 A
I
5
=
3
4
32
24
1
)
(
R
R
1
c
b
4
5
A
I
6
=
3
8
32
12
1
)
(
R
1
c
b
6
A
I
7
=
)
32
8
(
6
1
60
6
1
)
(
R
1
E
R
1
b
a
7
7
7
6 A
I
8
=
)
32
8
(
12
1
)
(
R
1
b
a
8
2 A
Sprawdzenie dla poszczególnych węzłów:
Węzeł a:
I
3
– I
1
– I
8
– I
7
= 5 – 1 – (–2) – 6 = 0
Węzeł b:
I
7
+ I
8
– I
5
– I
6
= 6 – 2 –
3
8
3
4
0
Węzeł c:
I
1
– I
3
+ I
6
+ I
5
= 1 –5 +
3
4
3
8
0.
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
OBLICZANIE OBWODÓW METODĄ THEVENINA
Metoda ta nazywana jest także metodą o zastępczym źródle napięcia,
jest stosowana w sytuacji, gdy nie jest konieczne poznanie rozpływu
prądów w całym badanym układzie, lecz w konkretnej jego gałęzi. Oparta
jest ona na twierdzeniu Thevenina (twierdzenie o zastępczym źródle
napięcia), które można sformułować następująco:
Prąd płynący przez odbiornik rezystancyjny R, przyłączony do
zacisków a-b dowolnego liniowego układu zasilającego prądu stałego
jest równy ilorazowi napięcia U
ab
mierzonego na zaciskach a-b w
stanie jałowym przez rezystancję R powiększoną o rezystancję
zastępczą R
w
układu zasilającego mierzoną na tych zaciskach.
Można przedstawić to za pomocą wzoru:
I =
w
ab
R
R
U
Inaczej mówiąc:
Obwód elektryczny liniowy o dowolnym ukształtowaniu, traktowany
jako złożony dwójnik liniowy aktywny o zaciskach a-b, można zastąpić
jednym źródłem o napięciu źródłowym E, równym napięciu stanu
jałowego U
ab
na zaciskach a-b i o rezystancji wewnętrznej R
w
, równej
rezystancji zastępczej widzianej z zacisków a-b obwodu.
Aby było możliwe wyznaczenie prądu przepływającego przez
dowolną gałąź obwodu konieczne jest więc wyznaczenie rezystancji
obwodu widzianej ze strony rozpatrywanych zacisków, oraz
występującego na nich napięcia stanu jałowego. Napięcie wyznaczane jest
dowolną z omawianych wcześniej metod.
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
Przykład:
Wykorzystując metodę Thevenina wyznaczyć wartość prądu
przepływającego przez rezystor R
1
w przedstawionym układzie.
Dane: R
1
= 30
; R
2
= 120
; R
3
= 40
; R
4
= 60
; E
1
= 20 V;
E
2
= 15 V.
Układ przykładowy do metody Thevenina
W pierwszej kolejności obliczamy wartość rezystancji zastępczej
układu widzianej z zacisków rezystancji R
1
(zacisków a-b):
20
1
60
1
40
1
120
1
R
1
R
1
R
1
R
1
4
3
2
Z
-1
R
z
= 20
Do obliczenia wartości napięcia U
ab
wykorzystamy metodę prądów
oczkowych.
Układ początkowy po odłączeniu rezystancji R
1
(R
2
+ R
3
)I
I
– R
3
I
II
= 0
–R
3
I
I
+ (R
3
+R
4
)I
II
= –E
2
Po podstawieniu wartości liczbowych:
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
160I
I
– 40I
II
= 0
–40I
I
+ 100I
II
= –15
Z równania otrzymujemy dwie wartości prądów oczkowych:
I
1
=
24
1
A
I
II
=
6
1
A
Prąd I
2
przepływający przez rezystor R
2
równy jest prądowi
oczkowemu I
I
z przeciwnym znakiem:
I
2
= –I
II
=
6
1
A
Następnie przyjmujemy zwrot napięcia U
ab
i dla oczka w którym
znajdują się zaciski a-b formułujemy bilans napięć wynikający z drugiego
prawa Kirchhoffa:
U
ab
+ E
1
– R
2
I
2
= 0
skąd:
U
ab
= R
2
I
2
– E
1
= 120
24
1
20 =
15 V
Ze znaku napięcia można wywnioskować, iż zostało ono przyjęte
przeciwnie do zwrotu rzeczywistego. Uwzględniając zwrot poprawny
układ można przedstawić w postaci zastępczej:
Układ równoważny
Dla układu tego równanie wynikające z drugiego prawa Kirchhoffa
posiada następującą postać:
U
ab
– R
Z
I
1
– R
1
I
1
= 0
Poszukiwana wartość prądu przepływającego przez rezystancję R
1
wynosi:
METODY OBLICZANIA OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO
I
1
=
10
3
50
15
R
R
U
1
Z
ab
0,3 A