ro2

Rozdział 2

Poło˙zenia ciał na sferze

Streszczenie

Kierunki do ciał niebieskich mo˙zna okre´sla´c równnie˙z przy zało˙zeniu, ˙ze ciała te znajduj ˛

a si˛e na

sferze o promieniu równym jedno´sci. Geometria sfery jest geometri ˛

a na zakrzywionej powierz-

chni dwuwymiarowej i w wielu przypadkach ró˙zni si˛e od euklidesowej geometrii na płaszczy´znie.
Elementami sfery wykorzystywanymi w astronomii s ˛

a koła wielkie i skonstruowane z ich po-

moc ˛

a dwuk ˛

aty i trójk ˛

aty sferyczne. W geometrii na sferze koła wielkie pełni ˛

a rol˛e analogiczn ˛

a do

prostych w planimetrii. Suma k ˛

atów wewn˛etrznych w trójk ˛

acie sferycznym jest zawsza wi˛eksza

. Na sferze mog ˛

a istnie´c trójk ˛

aty, w których wszystkie k ˛

aty s ˛

a k ˛

atami prostymi. Elementy

trójk ˛

ata sferycznego spełniaj ˛

a kilka grup równa´n pozwalaj ˛

acych na rozwi ˛

azywanie wielu zagad-

nie´n z zakresu astronomii sferycznej. Do najcz˛e´sciej wykorzystywanych wzorów nale˙z ˛

a wzory

sinusów i cosinusów. Problemy rozwi ˛

azywane w ramach trygonometrii sferycznej daj ˛

a si˛e tak˙ze

uj ˛

a´c w formali´zmie wektorowym.

Poło˙zenie ciała na sferze ustalone jest z pomoc ˛

a dwóch k ˛

atów, azymutalnego

i polarnego

Ka˙zdy układ współrz˛ednych sferycznych wymaga okre´slenia bieguna układu, wzgl˛edem którego
mierzony jest k ˛

, oraz koła wielkiego pełni ˛

acego rol˛e płaszczyzny odniesienia, słu˙z ˛

acej jako

pocz ˛

atek rachuby dwu´sciennego k ˛

ata

W astronomii wykorzystuje si˛e wiele ró˙znych układów współrz˛ednych, st ˛

ad konieczna jest

umiej˛etno´s´c przeliczania współrz˛ednych pomi˛edzy dwoma układami.

Transformacje współ-

rz˛ednych dokonuje si˛e drog ˛

a rozwi ˛

azania odpowiedniego trójk ˛

ata sferycznego albo za pomoc ˛

macierzy obrotu, w szczególno´sci z wykorzystaniem k ˛

atów Eulera.

Słowa kluczowe: sfera niebieska, koło małe, koło wielkie, bieguny koła wielkiego, k ˛

at sferyczny,

dwuk ˛

at sferyczny, trójk ˛

at paralaktyczny, nadmiar sferyczny, współrz˛edne sferyczne, współrz˛edne

prostok ˛

atne, triada ortogonalna, transformacje współrz˛ednych, k ˛

aty Eulera

Poło˙zenia ciał na sferze

2.1

Definicja poło˙ze ´n punktów w przestrzeni

Umawiamy si˛e, ˙ze otaczaj ˛

aca nas przestrze´n jest przestrzeni ˛

a euklidesow ˛

a, trójwymiarow ˛

a, ˙ze

w tej przestrzeni dany jest układ prostok ˛

atnych osi współrz˛ednych

(x;

;

)

rozpi˛ety na trójce

wersorów

Pomi˛edzy wersorami obowi ˛

azuj ˛

a nast˛epuj ˛

ace zale˙zno´sci

(2.1)

Trójk˛e

mo˙zemy uj ˛

a´c w formie macierzy

zwanej triad ˛

[i;

k℄

(2.2)

Jej elementy s ˛

a cosinusami kierunkowymi kierunków

. Transpozycja triady

ma posta´c

(2.3)

Iloczyn

(2.4)

Co poci ˛

aga

, czyli triada

jest macierz ˛

a ortogonaln ˛

Stwierdzenie, ˙ze wektor

opisuje poło˙zenie ciała niebieskiego oznacza, ˙ze do naszej dys-

pozycji s ˛

a trzy składowe

(x;

;

)

, czyli trzy liczby wyznaczone wzgl˛edem triady

. Na pi´smie

wyra˙zamy to stwierdzenie za pomoc ˛

a zapisu

(2.5)

2.2

Elementy geometryczne na sferze

Sfera.
Sfera jest to powierzchnia, której punkty s ˛

a równo odległe od punktu zwanego ´srodkiem sfery.

Je´sli w ´srodku sfery umie´scimy pocz ˛

atek układu współrz˛ednych, to dla punktów poło˙zonych na

sferze jednostkowej b˛edzie

Sfera jest powierzchni ˛

a dwuwymiarowa, sko ´nczon ˛

a ale nieograniczon ˛

a. Geometria sferyczna jest

geometri ˛

a na powierzchni zakrzywionej, jest to geometria dwuwymiarowa znacznie ró˙zni ˛

aca si˛e

A w jaki sposób ustalono orientacj˛e trójki wersorów

? Pytanie to wykracza poza ramy tego wykładu, bowiem

po´srednio dotyczy spraw ostatecznych podobnie jak pytanie — czy najpierw było jajo, czy kura? Poniewa˙z astronomia
nie zajmuje si˛e takimi problemami, dlatego poprzestajemy na tym, ˙ze elementy tej trójki s ˛

a znamymi cosinusami kierunk-

owymi prostych, wzdłu˙z których le˙z ˛

a wersory

2.2 Elementy geometryczne na sferze

Rysunek 2.1: Ilustracja elementów sfery:

jest ´srodkiem sfery, okr ˛

ag przechodz ˛

acy przez punkty

;

tradycyjnie nazwany jest kołem wielkim. Punkty

s ˛

a biegunami koła wielkiego

od euklidesowej geometrii na płaszczy´znie. W szczególno´sci, na sferze nie istniej ˛

a linie proste,

ich rol˛e graj ˛

a okr˛egi tradycyjnie zwane kołami wielkimi.

Koło wielkie.

Ka˙zde przeci˛ecie sfery płaszczyzn ˛

a jest okr˛egiem. Przeci˛ecie sfery płaszczyzn ˛

a przechodz ˛

ac ˛

przez ´srodek sfery jest kołem wielkim, np. koło

z rysunku 2.1. Promie´n koła wielkiego

jest równy promieniowi sfery, a wektory

opisuj ˛

ace poło˙zenia punktów koła wielkiego spełniaj ˛

równanie

(2.6)

gdzie

jest wektorem definiuj ˛

acym jeden z biegunów koła wielkiego. Ko ´nce ´srednicy prostopadłej

do koła wielkiego sfery nazywamy biegunami tego koła. Na rysunku 2.1 biegunami koła wielkiego

s ˛

a punkty

, punkty poło˙zone diametralnie. Zauwa˙zmy, ˙ze dowolne koło wielkie prze-

chodz ˛

ace przez jeden z biegunów

, musi tak˙ze przechodzi´c przez drugi biegun

Dwa punkty sfery, które nie s ˛

a punktami diametralnymi jak np.

, wyznaczaj ˛

a koło

wielkie jednoznacznie, bowiem ł ˛

acznie ze ´srodkiem sfery (punktem

) jednoznacznie okre´slaj ˛

płaszczyzn˛e, której przeci˛ecie ze sfer ˛

a jest kołem wielkim. Na punktach

rozpi˛ete s ˛

a dwa łuki,

mniejszy z nich nazywany lini ˛

a geodezyjn ˛

a, jest najkrótsz ˛

a krzyw ˛

a jak ˛

a mo˙zna na sferze poł ˛

aczy´c

punkty

. Linie geodezyjne, (zwane te˙z odległo´sciami sferycznymi) pełni ˛

a na sferze rol˛e

analogiczn ˛

a jak linie proste w geometrii euklidesowej.

Poniewa˙z promie´n sfery

, długo´s´c łuku koła wielkiego równa jest k ˛

atowi w radianach

jaki ten łuk rozpina wzgl˛edem ´srodka sfery.

Dwuk ˛

at sferyczny.

W wyniku przeci˛ecia tej samej sfery dwoma kołami wielkimi wyznaczone zostan ˛

a cztery obszary

(powierzchnie) zwane dwuk ˛

atami sferycznymi (rysunek 2.2-a). Dwuk ˛

aty przeciwległe s ˛

a parami

przystaj ˛

ace. Dwuk ˛

at sferyczny okre´slony jest k ˛

atem sferycznym, np. k ˛

atem

na rysunku 2.2-a.

K ˛

at ten jest równy k ˛

atowi liniowemu okre´slonemu przez płaszczyzny, na których le˙z ˛

a koła wielkie

tworz ˛

ace dany dwuk ˛

at. Półokr˛egi tych kół wielkich nazywamy bokami dwuk ˛

ata. Na danej sferze,

boki wszystkich dwuk ˛

atów s ˛

a równe i maj ˛

a długo´s´c

, gdzie

jest promieniem sfery.

Pole

Oprócz radianów mo˙zna oczywi´scie u˙zywa´c innych miar k ˛

ata.

Ze wzgl˛edu na do´s´c cz˛este nieporozumienia, warto zapami˛eta´c, ˙ze dwuk ˛

at sferyczny (podobie trójk ˛

at sferyczny) jest

fragmentem powierzchni sfery, a nie k ˛

atem.

Poło˙zenia ciał na sferze

A’

Rysunek 2.2: Dwuk ˛

aty sferyczne: a) cztery dwuk ˛

aty powstaj ˛

a w wyniku przeci˛ecia sfery dwoma

kołami wielkimi; b) dwuk ˛

aty sferyczne s ˛

a w pełni opisane przez promie´n sfery i k ˛

at sferyczny

pwierzchni dwuk ˛

ata sferycznego mo˙zna obliczy´c ze wzoru

gdzie

jest k ˛

atem dwuk ˛

ata wyra˙zonym w radianach.

K ˛

at pomi˛edzy płaszczyznami kół wielkich cz˛esto jest nazywany k ˛

atem sferycznym. O K ˛

acie

sferycznym mo˙zna te˙z powiedzie´c, ˙ze jest to k ˛

at pomi˛edzy stycznymi wystawionymi w punkcie

wzajemnego przeci˛ecia si˛e kół wielkich (patrz rysunek 2.2-b).

Trójk ˛

at sferyczny.

Trzy koła wielkie nie przecinaj ˛

ace si˛e w jednej parze punktów diametralnych tworz ˛

a na sferze

osiem obszarów zwanych trójk ˛

atami sferycznymi (rysunek 2.3-a). Znaj ˛

ac elementy jednego z nich

(czyli trzy boki i trzy k ˛

aty sferyczne, np. łuki

kół wielkich i k ˛

aty wewn˛etrzne

;

łatwo wyznaczy´c elementy wszystkich pozostałych trójk ˛

atów. Dlatego zwykle rozpartuje si˛e

zale˙zno´sci pomi˛edzy elementami tylko jednego trójk ˛

ata, którego wszystkie boki s ˛

a krótsze od

połowy obwodu koła wielkiego. Taki trójk ˛

at sferyczny nosi nazw˛e trójk ˛

ata paralaktycznego lub

trójk ˛

ata eulerowskiego.

Boki trójk ˛

ata sferycznego tradycyjnie oznaczane s ˛

a małymi literami, a ich długo´sci mierzone

s ˛

a za pomoc ˛

a płaskich k ˛

atów k ˛

ata trój´sciennego

, np. na rysunku 2.3

℄AO

Wewn˛etrzne k ˛

aty przy wierzchołkach trójk ˛

ata oznaczane du˙zymi literami

;

mierzone s ˛

k ˛

atami dwu´sciennymi (k ˛

atami sferycznymi) tego samego k ˛

ata trój´sciennego.

Trójk ˛

aty sferyczne eulerowskie maj ˛

a pewne własno´sci wspólne z trójk ˛

atami płaskimi, np.

dowolny bok trójk ˛

ata jest mniejszy od sumy, ale wi˛ekszy od ró˙znicy dwóch boków pozostałych.

Jednak mamy te˙z mi˛edzy nimi istotne ró˙znice, np. w trójk ˛

acie sferycznym suma k ˛

atów wewn˛etrz-

nych nie jest stała, bowiem, ˙ze suma nale˙zy do przedziału

Trójk ˛

at płaski mo˙ze mie´c tylko jeden k ˛

at prosty, trójk ˛

at sferyczny niekoniecznie, mo˙ze mie´c ich

dwa a nawet trzy. Ró˙znica

gdzie nazywanajest nadmiarem sferycznym.

2.2 Elementy geometryczne na sferze

Rysunek 2.3: Trójk ˛

aty sferyczne: a) osiem trójk ˛

atów sferycznych mo˙zna otrzyma´c z przeci˛ecia

trzech kół wielkich; b) Trójk ˛

at paralaktyczny A,B,C rozpi˛ety na trzech wektorach jednostkowych.

Elementy trójk ˛

ata to k ˛

aty wierzchołkowe (k ˛

aty sferyczne)

;

i naprzeciw nich poło˙zone boki

. Zarówno k ˛

aty jak i boki mierzone s ˛

a w jednostkach k ˛

atowych.

kolo male

Rysunek 2.4: Elementy sfery: koło małe

. Jest ono odległe o k ˛

od swego bieguna

Wycinek

koła małego opiera si˛e ramionach

rozwartych o k ˛

. Długo´s´c wycinka

wynosi

sin

Pole powierzchni trójk ˛

ata sferycznego dana jest z pomoc ˛

a formuły

gdzie

jest promieniem sfery wyra˙zonym w radianach.

Koło małe.

´Slad przeci˛ecia sfery płaszczyzn ˛a nie przechodz ˛ac ˛a przez ´srodek sfery jest okr˛egiem, tradycyjnie

zwanym kołem małym. Jego biegunami s ˛

a punkty skrajne ´srednicy sfery wystawionej prostopadle

do płaszczyzny koła małego.

Promie´n koła małego jest zawsze mniejszy od promienia sfery. Na rysunku 2.4 widzimy koło

małe

, równoległe do ´n koło wielkie

oraz ich wspólne w tym przypadku bieguny

Wyprowadzimy formuł˛e na długo´s´c łuku koła małego, cz˛esto stosowan ˛

a w dalszej cz˛e´sci wykładu.

Niech

b˛edzie promieniem koła małego, łuk

jest miar ˛

a odległo´sci koła małego od

Poło˙zenia ciał na sferze

A’

kolo male

Z’

Rysunek 2.5: Sferyczne współrz˛edne biegunowe

(

;

)

punktu

. Współrz˛edna polarna

okre´sla

k ˛

atow ˛

a odległo´s´c punktu

od bieguna

układu współrzednych. Współrz˛edna azymutalna

jest

k ˛

atem dwu´sciennym. Ustala ona k ˛

atow ˛

a odległo´s´c płaszczyzny południka, w którym le˙zy punkt

, od płaszczyzny południka

. Południk

wybrano jako pocz ˛

atek rachuby współrz˛ednej

azymutalnej.

bieguna

. Z trójk ˛

ata płaskiego

wynika

sin

(2.7)

Punkt

koła małego poł ˛

aczmy z biegunem

łukiem koła wielkiego i powstały łuk przedłu˙zmy

do przeci˛ecia z kołem

w punkcie

. Je´sli k ˛

at sferyczny

oznaczymy przez

, to mamy

tak˙ze, ˙ze

. A poniewa˙z odcinki

s ˛

a do siebie równoległe, podobnie

mamy jeszcze, ˙ze k ˛

Zatem długo´s´c łuku

koła małego wynosi

sin

(2.8)

2.3

Sferyczne współrz˛edne biegunowe

W celu ustalenia poło˙zenia punktu na sferze, mo˙zna wykorzysta´c ró˙zne układy współrz˛ednych.
Przykładowo, we´zmy prawoskr˛etny prostok ˛

atny zbiór osi kartezja´nskich

, okre´slonych trójk ˛

wersorów

o pocz ˛

atkach w ´srodku

sfery jednostkowej. Dodatnie kierunki tych osi przeci-

naj ˛

a sfer˛e w punktach

;

, natomiast koła wielkie

;

poło˙zone s ˛

a w płaszczyznach

, odpowiednio, patrz (rysunek 2.5).

Obierzmy na sferze punkt

A(xy

)

, wówczas. dla sfery jednostkowej prawdziwy jest zwi ˛

azek

(2.9)

Czyli jedna z prostok ˛

atnych współrz˛ednych

;

punktu

jest zbyteczna, co oznacza, ˙ze w celu

ustalenia poło˙zenia ciała niebieskiego, tzn. kierunku do tego ciała, wystarczy posłu˙zy´c si˛e dwoma
liczbami.

Obok współrz˛ednych prostok ˛

atnych, praktyce astronomicznej wygodnie jest stosowa´c współ-

rz˛edne biegunowe

;

)

jako bli˙zsze naszemu intuicyjnemu wyczuciu kierunku. Zgodnie z

2.4 Współrz˛edne prostok ˛

atne punktów na sferze

tradycyjn ˛

a definicj ˛

a (patrz rysunek 2.5):

jest współrz˛edn ˛

a radialn ˛

a punktu

jest współrz˛edn ˛

a polarn ˛

a punktu

, jest ona identyczna z k ˛

atem

jest współrz˛edn ˛

a azymutaln ˛

a punktu

równ ˛

a k ˛

atowi dwu´sciennemu pomi˛edzy płasz-

czyzn ˛

i płaszczyzn ˛

Poniewa˙z dla sfery jednostkowej promie´n sfery

, zatem dwie współrz˛edne k ˛

atowe

(

;

)

pełni okre´slaj ˛

a poło˙zenie ciała na sferze: k ˛

jest długo´sci ˛

a łuku

, natomiast

jest k ˛

atem

sferycznym

W celu ustalenia poło˙zenia punktów na całej sferze, wystarczy je´sli współrz˛edne

(

;

)

przyjm ˛

warto´sci nale˙z ˛

ace do dziedziny

(2.10)

Z układem współrz˛ednych sferycznych niekiedy wi ˛

a˙ze si˛e siatk˛e współrz˛ednych, która defin-

iowana jest nast˛epuj ˛

aco:

dla

onst

, krzywe siatki s ˛

a małymi kołami o biegunach w

Z ;

dla

onst

, krzywe siatki s ˛

a półkolami wielkimi przecinaj ˛

acymi si˛e w biegunach

Z ;

Podsumujmy: w celu zdefiniowania jakiegokolwiek układu współrz˛ednych sferycznych musimy
(patrz rysunek 2.5):

dokona´c wyboru bieguna

układu, wzgl˛edem którego mierzona b˛edzie współrz˛edna — k ˛

polarny

dokona´c wyboru koła wielkiego

pełni ˛

acego rol˛e płaszczyzny odniesienia, wzgl˛edem

której mierzony b˛edzie dwu´scienny k ˛

at azymutalny

ustali´c skr˛etno´s´c układu,

poda´c jednostki miary i dziedzin˛e warto´sci k ˛

atów

Wszystkie sferyczne astronomiczne układy współrz˛ednych s ˛

a konstruowane w taki sposób. Ró˙zni ˛

si˛e doborem bieguna i koła odniesienia, mo˙zna ´sród nich napotka´c zarówno układy lewoskr˛etne
jak i prawoskr˛etne, cz˛esto zamiast k ˛

ata polarnego brane jest jego dopełnienie

(

)

, natomiast

warto´sci k ˛

atów podawane s ˛

a w stopniach albo w jednostkach czasu.

Poza tymi ró˙znicami astronomiczne układy współrz˛ednych zawsze stanowi ˛

a realizacje sfer-

ycznych współrz˛ednych biegunowych

(

;

)

omówionych powy˙zej.

2.4

Współrz˛edne prostok ˛

atne punktów na sferze

Pomimo nieodł ˛

acznego nadmiaru (patrz równanie (2.9)), w astronomii sferycznej warto stosowa´c

współrz˛edne kartezja´nskie. Uj˛ete w postaci uporz ˛

adkowanych trójek współrz˛edne te, pozwalaj ˛

nada´c równaniom eleganck ˛

a i uniwersaln ˛

a wektorow ˛

a form˛e.

Poło˙zenia ciał na sferze

Rysunek 2.6: Trójk ˛

at paralaktyczny ABC rozpi˛ety na trójce wektorów jednostkowych

;

Wektor

jest prostopadły do wektorów

;

Je´sli

s ˛

a jednostkowymi wektorami o własno´sciach okre´slonych równaniami (2.1), je´sli

wzdłu˙z tych wersorów zorientowano dodatnie kierunki osi

;

, wówczas zgodnie z równaniem

(2.5) poło˙zenie punktu

A(x;

;

)

na sferze (rysunek 2.5) okre´slone jest za pomoc ˛

a wektora poło˙ze-

nia

(2.11)

gdzie składowe

(x;

;

)

s ˛

a cosinusami kierunkowymi odcinka

, obliczonymi odpowiednio,

wzdłu˙z osi

;

, patrz rysunek 2.5

(2.12)

Pomi˛edzy współrz˛ednymi

;

oraz współrz˛ednymi sferycznymi

;

tego samego punktu

mamy znane zwi ˛

azki

sin

(2.13)

Dowolny problem w astronomii sferycznej mo˙zna rozwi ˛

aza´c za pomoc ˛

a metod trygonometrii sfer-

yczej i współrz˛ednych sferycznych. W czasach przedkomputerowych pozwalało to na uzyski-
wanie rozwi ˛

aza´n oszcz˛ednych pod wzgl˛edem obliczeniowym. Obecnie dawne i nowe problemy

rozwi ˛

azujemy stosuj ˛

ac bardziej ogólne podej´scie wektorowe. Jednak poniewa˙z astronomia jest

nauk ˛

a, w której dane obserwacyjne maj ˛

a inn ˛

a rang˛e ni˙z to ma miejsce np. w fizyce, w pewnych

wypadkach znajomo´s´c metod redukcyjnych jakimi kiedy´s posługiwali si˛e astronomowie jest niezb˛edna,
by przykładowo, obserwacje komety pochodz ˛

ace z odległych epok wykorzysta´c razem z ob-

serwacjami współczesnymi.

2.5

Podstawowe wzory trygonometrii sferycznej

Wyprowadzimy cz˛esto wykorzystywane przez astronomów zwi ˛

azki pomi˛edzy elementami trójk ˛

ata

paralaktycznego. Nasze podej´scie b˛edzie bardziej współczesne: skorzystamy z zale˙zno´sci wek-

2.5 Podstawowe wzory trygonometrii sferycznej

torowych, przy czym składowe wektorów wyrazimy poprzez współrz˛edne sferyczne za pomoc ˛

formuł (2.13).

Niech

b˛edzie trójk ˛

atem sferycznym (rysunek 2.6). Jak wida´c jest on rozpi˛ety na trzech

wektorach jednostkowych

;

. Wybierzmy układ współrz˛ednych

(

;

)

o biegunie w

punkcie

, łuk AB obierzmy za koło wielkie odniesienia miary współrz˛ednej azymutalnej

Po tych ustaleniach: poło˙zenie punktu

okre´slone jest przez

(

, poło˙zenie punktu

przez

(

. A zgodnie z równaniami (2.13) składowe wektorów poło˙ze´n punktów

, wynosz ˛

(sin

;

)

(sin

sin

(2.14)

K ˛

at mi˛edzy

;

jest równy długo´sci boku

trójk ˛

ata sferycznego

;

, a poniewa˙z s ˛

a to

wektory jednostkowe, ich iloczyn skalarny wynosi

Podstawiaj ˛

ac za

prawe strony równa´n (2.14) otrzymamy

sin

(2.15)

Jest to jedna z najbardziej podstawowych formuł trygonometrii sferycznej nazywana wzorem cos-
inusów.

Za pomoc ˛

a tej formuły, drog ˛

a odpowiednich przekształce´n, mo˙zna otrzyma´c dalsze wzory.

Jednak bardziej bezpo´srednio, dwa z nich uzyskamy badaj ˛

ac wektor

. Poniewa˙z k ˛

mi˛edzy wersorami

;

równy jest łukowi

, ich iloczyn wektorowy jest wektorem o długo´sci

sin

skierowanym ku punktowi

poło˙zonemu o

zarówno od

. Jak widzimy na rysunku

2.6, punkt

jest biegunem boku

trójk ˛

ata sferycznego

;

. my´sl tego co powiedziano,

mamy wi˛ec

sin

(2.16)

gdzie

jest wektorem jednostkowym punktu

, Z pomoc ˛

a równa´n (2.14) lew ˛

a stron˛e równania

wektorowego (2.16) mo˙zemy napisa´c w postaci

(sin

sin

(2.17)

Jak widzimy na rysunku 2.6, sferyczne współrz˛edne punktu

wynosz ˛

(

;

)

zatem korzystaj ˛

ac z formuł (2.13) praw ˛

a stron˛e równania (2.16) mo˙zemy wyrazi´c jako

sin

a(sin

;

sin

;

)

(2.18)

Mogliby´smy teraz porówna´c odpowiednie składowe w równaniach (2.17) i (2.18), jednak warto
przedtem pozby´c si˛e sinusów i cosinusów k ˛

atów

Dokonamy tego za pomoc ˛

a zwi ˛

azków mi˛edzy elementami trójk ˛

ata

. W tym celu popa-

trzmy na trójk ˛

at sferyczny

. Skoro

jest biegunem koła wielkiego

, to łuk

jest prostopadły do koła

. St ˛

ad k ˛

at sferyczny

i w trójk ˛

acie sferycznym

ze wzóru cosinusów mamy

sin

(90

)

sin

Komplet wzorów postaci (2.15) daje si˛e otrzyma´c np. poprzez cykliczn ˛

a permutacj˛e symboli abcABC.

Poło˙zenia ciał na sferze

Podstawiaj ˛

ac ten rezultat do składowej

-towej w równaniu (2.18), porównuj ˛

ac j ˛

a ze składow ˛

-tow ˛

a z równania (2.17) otrzymamy

sin

Na mocy symetrii, równanie to mo˙zna uzupełni´c o dodatkowy człon, i w tej pełnej postaci nosi
ono nazw˛e wzoru sinusów

sin

(2.19)

Równo´sci (2.19) wykorzystamy do wyprowadzenia kolejnych wzorów trygonometrii sferycznej.
W trójk ˛

acie sferycznym

z rysunku 2.6, dla boku

i k ˛

ata wierzchołkowego

mocy wzoru sinusów b˛edzie

sin

(90

)

sin

sin(90

)

Kład ˛

ac ten rezultat do y-kowej składowej równania (2.18), przyrównuj ˛

ac j ˛

a ze składow ˛

a y-kow ˛

równania (2.17) otrzymujemy wa˙zny wzór zwany wzorem pi˛ecioelementowym

sin

(2.20)

Pozostałe pi˛e´c wzorów typu (2.20) otrzymamy dzi˛eki odpowiednim permutacjom symboli w
trójk ˛

acie sferycznym

. Np. zmieniaj ˛

ac w ci ˛

agu symboli

b b A

rol˛e

oraz

dostaniemy nast˛epny wzór pi˛ecioelementowy

sin

(2.21)

Z wektorowego równania (2.16) nie otrzymamy ju˙z ˙zadnych nowych formuł. Ostatni wa˙zny wzór
trygonometrii sterycznej tzw. wzór cotangensowy (czterocz˛e´sciowy) mo˙zna wydedukowa´c ze
wzorów cosinusów i sinusów. W tym celu stosujmy wzór cosinusów do boków

trójk ˛

ata

(rysunek 2.6), mamy

sin

Eliminuj ˛

w pierwszym równaniu za pomoc ˛

a prawej strony drugiego równania, podstawia-

j ˛

ac za

sin

odpowiednie wyra˙zenie ze wzoru sinusów dostaniemy

a( os

sin

)

sin

a po podzieleniu obu stron przez

sin

, b˛edzie

sin

a( os

sin

)

Dziel ˛

ac w ostatnim równaniu obie strony przez

sin

otrzymujemy ostatecznie

sin

(2.22)

Istnieje komplet sze´sciu takich wzorów, mo˙zna go wypisa´c odpowiednio permutuj ˛

ac symbole w

trójk ˛

acie sferycznym

2.6 Małe przesuni˛ecie na sferze niebieskiej

X’

90−δ0

90−δ

α−αο

Rysunek 2.7: Małe przesuni˛ecie na sferze niebieskiej. a) Ciało niebieskie uległo drobnemu prze-
suni˛eciu z punktu

, wzdłu˙z koła wielkiego

. b) wersja wektorowa małego przesuni˛e-

cia.

2.6

Małe przesuni˛ecie na sferze niebieskiej

W wielu problemach astronomii sferycznej mamy do czynienia z niewielkimi zmianami poło˙ze´n
ciał niebieskich (tzw. małe przesuni˛ecie). Przyczyny zmian bywaj ˛

a ró˙zne, natomiast same zmi-

any niemal zawsze przebiegaj ˛

a w taki sam sposób, dlatego warto zapozna´c si˛e ze standardowym

opisem małego przesuni˛ecia.

Wielko´s´c przesuni˛ecia mo˙ze by´c ró˙zna, m.in. jest zale˙zna od poło˙zenia obiektu, ale zawsze

przesuni˛ecie odbywa si˛e po kole wielkim ł ˛

acz ˛

acym dany obiekt z jakim´s ustalonym punktem

sfery, wspólnym dla wszystkich obiektów. Np. małe przesuni˛ecie zwane paralaks ˛

a roczn ˛

a, ma

miejsce zawsze wzdłu˙z koła wielkiego zawieraj ˛

acego kierunki ku Sło ´nca i do danego ciała nie-

bieskiego, przesuni˛ecie zwane aberacj ˛

a dobow ˛

a, przebiega po kole wielkim rozpi˛etym na kierunku

do danego ciała i na kierunku do punktu wschodu horyzontu miejsca obserwacji. Wszystkie tego
typu przesuni˛ecia mo˙zna traktowa´c jako szczególne przypadki ogólniejszego małego przesuni˛ecia
opisanego poni˙zej.

Przyjmijmy, ˙ze np. kierunek do gwiazdy

(;

)

z rysunku 2.7a, uległ niewielkiemu prze-

suni˛eciu do punktu

, oraz ˙ze odbyło si˛e to wzdłu˙z koła wielkiego ł ˛

acz ˛

acego

z punktem

(

;

)

. Oznaczmy łuk

przez

a łuk

przez

. Załó˙zmy, ˙ze

jest małym k ˛

atem

dodatnim. Niech dalej b˛edzie, ˙ze przesuni˛ecie

da si˛e wyrazi´c za pomoc ˛

a formułki

sin

(2.23)

gdzie

jest stał ˛

a dodatni ˛

a lub ujemn ˛

a niezale˙zn ˛

a od obranej gwiazdy, co zreszt ˛

a nie jest a˙z tak

wa˙zne dla dalszego wywodu. W ten sposób umówili´smy si˛e, ˙ze interesujemy si˛e przesuni˛eciami,
których wielko´s´c dla danego

, zale˙zy jedynie od odległo´sci obiektu od pewnego punktu wspól-

nego

Niech b˛edzie, ˙ze punkt

ma współrz˛edne

(

dÆ

)

. Poszukamy wyra˙ze´n pozwalaj ˛

cych na obliczenie przyrostów

dÆ

spowodowanych małym przesunieciem

. W celu znalezie-

nia takich zwi ˛

azków, konstruujemy na sferze obiekt geometryczny, najlepiej taki, który ma znane

własno´sci matematyczne (np. trójk ˛

at), i którego elementy b˛ed ˛

a miały zwi ˛

azek z wyst˛epuj ˛

acymi w

naszym problemie wielko´sciami:

dÆ

;

Poło˙zenia ciał na sferze

Poprowad´zmy koło małe o biegunie w

, przechodz ˛

ace przez

, przecinaj ˛

ace

w punkcie

. Mo˙zemy zatem utworzy´c trójk ˛

, dla którego poszukamy wyra˙ze´n na niektóre jego

elementy.

Poniewa˙z

mamy, ˙ze k ˛

. Skoro

(Æ

dÆ

)

, st ˛

ad z równania (2.8), z dokładno´sci ˛

a do wyrazów pierwszego rz˛edu bok

wynosi

sin(90

(Æ

dÆ

))

(Æ

dÆ

)

Drugi bok

dÆ

, bowiem

Poszukamy teraz wyra˙ze´n na długo´sci tych boków, przy czym chcemy by wyst˛epowały w

nich wielko´sci mo˙zliwie bezpo´srednio zwi ˛

azane z parametrami opisuj ˛

acymi małe przesuni˛ecie.

Oznaczmy k ˛

at sferyczny

przez

, wówczas

180

. Ze wzgl˛edu na bardzo

małe rozmiary w stosunku do promienia sfery, trójk ˛

w przybli˙zeniu mo˙zna traktowa´c

jako trójk ˛

at płaski, o k ˛

acie prostym w wierzchołku

. Dla takiego przybli˙zenia, mamy

(180

)

sin(180

)

sin

Kład ˛

ac za

rezultaty uzyskane wcze´sniej, bior ˛

ac równie˙z pod uwag˛e równanie (2.23)

mamy, ˙ze

sin

dÆ

sin

(2.24)

Pozostaje nam jeszcze wyeliminowanie k ˛

atów

z pomoc ˛

a wyra˙ze´n, w których wyst˛epuj ˛

wył ˛

acznie wielko´sci znane tzn.

;

. W tym celu popatrzmy na rysunek 2.7a, na trójk ˛

sferyczny

. Mamy tu, ˙ze

co poci ˛

aga

. Dalej mamy

oraz

. Stosuj ˛

ac do trójk ˛

ata

wzor sinusów

(2.19) i wzór pi˛ecioelementowy (2.21) otrzymamy

sin

sin(90

)

sin(

)

sin

(90

)

sin(90

)

sin(90

)

(90

)

(

)

Podstawiaj ˛

ac prawe strony tych wyra˙ze´n do równa´n (2.24) ostatecznie mamy

sin(

)

dÆ

(sin

(

)

sin

)

(2.25)

Aby te równania zastosowa´c w jakim´s konkretnym przypadku np. do opisu skutków zjawiska
refrakcji, wystarczy poło˙zy´c odpowiedni ˛

a warto´s´c

oraz współrz˛edne

(

;

)

punktu

Opis małego przesuni˛ecia dany równaniami (2.25) mo˙zna równie˙z otrzyma´c w formie wek-

torowej. Niech

b˛edzie wersorem poło˙zenia punktu

(rysunek 2.7b). Poniewa˙z s ˛

a to wektory jednostkowe st ˛

ad wektor

ma długo´s´c

sin

, i

skierowany jest do punktu

na sferze, odległego o

zarówno od

jak i od

. Punkt

jest

wi˛ec biegunem koła wielkiego

Niech kierunek do punktu

opisuje wektor

. By okre´sli´c poło˙zenie punktu

musimy

policzy´c składowe wektora

i w tym celu szukamy zale˙zno´sci, w których ten wektor wyst˛epuje.

Poniewa˙z iloczyn skalarny

, ró˙zniczkuj ˛

ac to wyra˙zenie dostaniemy

(2.26)

Uwaga, nie jest to trójk ˛

at sferyczny!

Wymaga to wyczucia, czyli nosa i dlatego najcz˛e´sciej stosowan ˛

a metod ˛

a rozwi ˛

azywania takich problemów jest metoda

prób i bł˛edów.

2.7 Wektorowe transformacje współrz˛ednych sferycznych

Wynika st ˛

ad, ˙ze wektor

jest prostopadły do

, a skoro przesuni˛ecie odbywa si˛e wzdłu˙z łuku

, to wektor

jest tak˙ze prostopadły do wektora

. Korzystuj ˛

ac z reguły prawej dłoni

mo˙zna przekona´c si˛e, ˙ze

skierowany jest zgodnie z kierunkiem wektora

)

. Mo˙zna te˙z

pokaza´c, ˙ze długo´s´c tego iloczynu wektorowego równa si˛e

sin

. St ˛

ad wektorowy odpowiednik

równania (2.23) ma posta´c

)

(2.27)

Równanie to jest bardziej ogólne ni˙z równanie (2.25), bowiem dotyczy ono dowolnego układu
współrz˛ednych, nie tylko układu równikowego.

2.7

Wektorowe transformacje współrz˛ednych sferycznych

Macierze obrotów i lustrzanych odbi´c

Prostok ˛

atne układy współrz˛ednych definiowane s ˛

a za pomoc ˛

a trójek wzajemnie ortogonalnych

jednostkowych wektorów np.

, patrz rysunek 2.8a. Tak ˛

a trójk˛e mo˙zna uj ˛

a´c w formie macierzy

zwanej triad ˛

a, o rozmiarach

[i;

k℄

(2.28)

W jej kolumnach znajduj ˛

a si˛e kosinusy kierunkowe wersorów

. Wzajemna ortogonalno´s´c

tych wersorów poci ˛

aga ortogonalno´s´c triady

, co łatwo sprawdzi´c z pomoc ˛

a warunku

(2.29)

gdzie

jest macierz ˛

a jednostkow ˛

Współrz˛edne wektora

mog ˛

a by´c podane wzgl˛edem dowolnych układów współrz˛ednych,

czyli innymi słowy wzgl˛edem dowolnych triad, np.

. Je´sli

;

℄

s ˛

a współrz˛ednymi

wektora

wzgl˛edem triady

, mo˙zemy to samo wyrazi´c w postaci

(2.30)

Je´sli

[

;

℄

s ˛

a współrz˛ednymi wektora

wzgl˛edem triady

, to piszemy

(2.31)

Mno˙z ˛

ac lewostronnie równania (2.30) i (2.31) przez

widzimy, ˙ze

(2.32)

Z tego zapisu wynika, ˙ze transformacja składowych

[

;

℄

w składowe

;

℄

mo˙ze by´c

dokonana za po´srednictwem iloczynu macierzy

. Transformacja odwrotna mo˙ze by´c doko-

nana za pomoc ˛

a iloczynu

, b˛ed ˛

acego transpozycj ˛

a poprzedniego iloczynu.

Poło˙zenia ciał na sferze

cos

sin

Rysunek 2.8: a) Wektor

mo˙ze mie´c składowe okre´slone wzgledem wielu trójek wersorów

b) Zwi ˛

azki pomi˛edzy elementami triad ró˙zni ˛

acych si˛e obrotem wokół jednej osi pokrywaj ˛

acej si˛e

z wersorem

. Wersor

mo˙zna otrzyma´c za po´srednictwem wersorów

odkładaj ˛

ac w kierunku

odcinek o długo´sci

po czym w kierunku

odcinek

sin

Wyprowadzimy teraz formuły umo˙zliwiaj ˛

ace pewn ˛

a szczególn ˛

a transformacj˛e współrz˛ednych.

Mianowicie, interesuje nas przeliczenie współrz˛ednych z układu zdefiniowanego prostok ˛

atn ˛

a tri-

ad ˛

[i;

k℄

do układu współrz˛ednych danego triad ˛

[i;

;

℄

, przy czym transforma-

cja

ma posta´c

( os

(sin

(

sin

( os

co oznacza, ˙ze oba układy ró˙zni ˛

a si˛e jedynie o dodatni obrót o k ˛

wokół osi

. A w postaci

dogodniejszej do umacierzowienia zapisu b˛edzie

+0j

+0k

+( os

+(sin

sin

+( os

Zatem, zgodnie z definicj ˛

a triady, triad˛e

mo˙zemy okre´sli´c jako iloczyn macierzowy

;

℄

sin

a wobec tego co pokazano wcze´sniej, transformacji składowych wektora wyznaczonych wzgl˛edem

do składowych podanych wzgl˛edem triady

da si˛e dokona´c za pomoc ˛

a macierzy

, czyli

sin

Mamy zatem nast˛epuj ˛

acy wniosek. Transformacja współrz˛ednych (składowych) wektora

[x;

;

℄

wyznaczonych wzgl˛edem jednego układu, do współrz˛ednych

;

℄

tego˙z wektora wzgl˛e-

dem układu powstałego przez obrót

)

wokół osi

o dodatni k ˛

, mo˙ze by´c dokonana za

Jest to konsekwencj ˛

a ortogonalno´sci obu macierzy.

2.7 Wektorowe transformacje współrz˛ednych sferycznych

pomoc ˛

a formuły

)

(2.33)

gdzie

)

sin

(2.34)

Analogiczne formuły daj ˛

a si˛e wyprowadzi´c dla układów ró˙zni ˛

acych si˛e obrotami o dodatni k ˛

wokół osi

. Odpowiednie macierze transformacyjne oznaczone jako

)

maj ˛

a posta´c

)

sin

(2.35)

)

sin

(2.36)

W przypadku gdy układy współrz˛ednych ró˙zni ˛

a si˛e dwoma lub trzema obrotami, macierz transfor-

macji współrz˛ednych wyznaczona jest jako iloczyn dwóch lub trzech macierzy odpowiadaj ˛

aych

pojedynczym obrotom.

Macierz transformacyjna dla układów ró˙zni ˛

acych si˛e skr˛etno´sci ˛

a (przypadek układów lewo i

prawoskr˛etnych) jest macierz ˛

a modyfikuj ˛

ac ˛

a jedynie współrz˛edn ˛

a y-ow ˛

a (lustrzane odbicie wzgl˛e-

dem płaszczyzny

), ma ona posta´c

(2.37)

W praktyce mo˙zemy napotka´c przypadek takich układów, dla których korzystnym b˛edzie zas-
tosowanie macierzy

, pozwalaj ˛

acej na lustrzane odbicie wzgl˛edem płaszczyzny

czyli na

zmian˛e znaku współrz˛ednej x-owej.

(2.38)

W celu praktycznego zastosowania formuł podanych wy˙zej musimy dysponowa´c wzorami umo˙zli-
wiaj ˛

acymi transformacj˛e współrz˛ednych sferycznych do współrz˛ednych prostok ˛

atnych i odwrot-

nie. Je´sli dane s ˛

a współrz˛edne sferyczne

(u;

)

poło˙zenia ciała niebieskiego,

jest współrz˛edn ˛

azymutaln ˛

a a

jest dopełnieniem do

odległo´sci biegunowej. Odpowiadaj ˛

ace im prostok ˛

atne

składowe wersora poło˙zenia tego ciała wyliczamy ze pomoc ˛

a wzorów

sin

(2.39)

Poło˙zenia ciał na sferze

Rysunek 2.9: Ilustracja k ˛

atów Eulera. Układy współrz˛ednych o wspólnym pocz ˛

atku, mo˙zna trans-

formowa´c jeden w drugi za pomoc ˛

a trzech obrotów o k ˛

aty Eulera.

Zale˙zno´sci odwrotne maj ˛

a posta´c

ar sin

ar tan

(2.40)

przy czym w celu ustalenia wła´sciwej ´cwiartki k ˛

ata

musimy zastosowa´c stosown ˛

a procedur˛e

normuj ˛

ac ˛

Transformacja współrz˛ednych z wykorzystaniem k ˛

atów Eulera.

Za pomoc ˛

a macierzy podanych wy˙zej mo˙zemy z powodzeniem przelicza´c współrz˛edne pomi˛e-

dzy dowolnymi układami. W zale˙zno´sci od potrzeby, formułu transformacyjne b˛ed ˛

a zło˙zeniami

obrotów w okół osi

;

. Jednak przy takim podej´sciu dla ka˙zdego przypadku, kolejno´s´c

obrotów musimy odgadn ˛

a´c sami.

Ale mo˙zliwe jest inne podej´scie, w którym wzajemna orientacja dwóch układów współrz˛e-

dnych okre´slona jest za pomoc ˛

a tzw. k ˛

atów Eulera, natomiast transformacja składa si˛e z trzech

obrotów wzgl˛edem osi w ustalonej, zawsze takiej samej kolejno´sci.

Na rysunku 2.9 widzimy dwa prostok ˛

atne układy współrz˛ednych zorientowane wzgl˛edem

siebie tak, ˙ze ˙zadna para osi tych układów nie jest do siebie wzajemnie równoległa, płaszczyzny

tych układów przecinaj ˛

a si˛e wzdłó˙z kierunku

. Jest to najbardziej ogólny przypadek

je´sli chodzi o orientacj˛e układów.
Na rysunku 2.9 zaznaczono trzy k ˛

aty wykorzystywane do transformacji współrz˛ednych wyznac-

zonych wzgl˛edem obu układów, s ˛

a to:

k ˛

zawarty pomi˛edzy osiami

obu układów,

k ˛

zawarty pomi˛edzy osi ˛

i lini ˛

przeci˛ecia płaszczyzn

obu układów,

k ˛

pomi˛edzy osi ˛

i lini ˛

, liczony jako dodatni od linii

do osi

Transformacja współrz˛ednych

[x;

;

℄

we współrz˛edne

;

℄

, co łatwo odczyta´c z ry-

2.8 Dygresja na temat miary małych k ˛

atów

sunku 2.9, jest zło˙zeniem trzech obrotów

)p(

)r()

(2.41)

A zatem je´sli tylko mamy do dyspozycji k ˛

aty Eulera okre´slaj ˛

ace wzajemn ˛

a orientacj˛e dwóch

dowolnych układów współrz˛ednych kartezja´nskich, to transformacja pomi˛edzy współrz˛ednymi
wzgl˛edem tych układów zawsze b˛edzie miała posta´c równania (2.41).

2.8

Dygresja na temat miary małych k ˛

atów

Analizuj ˛

ac teoretyczne problemy na sferze, wygodnie jest wyra˙za´c k ˛

aty w radianach. Kiedy jed-

nak wykorzystujemy rezultaty analiz, opłaca si˛e stosowa´c inne miary k ˛

atów, np. małe k ˛

aty takie

jak k ˛

at paralaksy najcz˛e´sciej podane s ˛

a w sekundach łuku.

Na podstawie znanej definicji mamy w przybli˙zeniu

206265

(2.42)

Radiany wykorzystywane s ˛

a w przybli˙zeniach małych k ˛

atów, tzn. je´sli warto´sci małych k ˛

atów s ˛

podane w radianach, wówczas dopuszczalne s ˛

a nas˛epuj ˛

ace przybli˙zenia niektórych funkcji try-

gonometrycznych

sin

tan

(2.43)

Z równa´n (2.42), (2.43) wynika, ˙ze

sin

206265

(2.44)

Wyra˙zenie to znakomicie nadaje si˛e do zamiamy radianów na sekundy łuku. Np. je´sli zapis

oznacza liczb˛e sekund w małym k ˛

acie

, to

sin

206265

sin

Jak pami˛etamy, równania (2.25) na zmiany współrz˛ednych w rezultacie małego przesuni˛ecia s ˛

dokładne tylko do rz˛edu pierwszego, dlatego stosuj ˛

ac je nale˙zy liczy´c si˛e z bł˛edem

wynosz ˛

acym

w radianach

)

((k

sin

)

W sekundach łuku

wynosi

002

sin

)

Daje to po˙zyteczn ˛

a formuł˛e na oszacowanie dokładno´sci. Np. dla przemieszcze´n na sferze o

warto´sci

bł ˛

ad formuły pierwszego przybli˙zenia jest rz˛edu

sekundy łuku, co jest do

Kwadrat sinusa znikn ˛

ał gdy˙z trzeba było podzieli´c poprzednie wyra˙zenie przez

sin

Poło˙zenia ciał na sferze

zaniedbania w ka˙zdym przypadku. Dla przesuni˛e´c o wielko´sci

bł ˛

ad ten wynosi około

0:001

co jest jeszcze poni˙zej precyzji najdokładniejszych teleskopów astrometrycznych. Ale dla prze-
suni˛e´c rz˛edu jednej minuty łuku bł˛edy wynosz ˛

a około

0:02

co mie´sci si˛e ju˙z w zakresie precyzji

współczesnych obserwacji optycznych i radiowych. Formuły pierwszego rz˛edu s ˛

a bardzo przy-

datne, ale trzeba je stosowa´c z rozwag ˛

a i to ilo´sciow ˛

Przypu´s´cmy, ˙ze wykorzystuj ˛

ac równania (2.25) stosowano sekundy łuku. Dla jasno´sci umaw-

iamy si˛e, ˙ze

jest w radianach a zapis

oznacza t ˛

a sam ˛

a wielko´s´c podan ˛

a w sekundach łuku.

Poniewa˙z stosujemy ten sam współczynnik zamiany jednostek do obu stron równa´n (2.25),

dÆ

otrzymamy od razu w sekundach zast˛epuj ˛

przez

. St ˛

ad je´sli wyrazimy parametr

sekundach łuku, równania (2.25) w jednostkach praktycznych przyjm ˛

a posta´c

sin(

)

dÆ

(sin

(

)

sin

)

(2.45)

2.9

Zadanka

1. Podaj definicje nast˛epuj ˛

acych poj˛e´c: sfera niebieska, koło wielkie, koło małe, dwuk ˛

at sfer-

yczny, trójk ˛

at sferyczny, nadmiar sferyczny, kat sferyczny, k ˛

at dwu´scienny, k ˛

at trój´scienny.

2. Wykonaj pełne wyprowadzenie równa´n (2.17) i (2.22).

3. Drog ˛

a przestawie´n symboli

ab AB

wypisz pozostałe wzory cosinusów, wzory pi˛ecioele-

mentowe oraz wzory cotangensowe, tak by otrzyma´c komplet podstawowych formuł try-
gonometrii sferycznej.

4. Wykonaj pełne wyprowadzenie równa´n (2.25).

5. Poka˙z, ˙ze długo´s´c wektora

)

wynosi

sin

6. Podaj lepsze przybli˙zenie zale˙zno´sci (2.42).

7. Udowodnij równo´s´c (2.44).

8. Poka˙z, ˙ze warto´s´c k ˛

ata sferycznego na sferze jednostkowej równa si˛e odległo´sci na powierz-

chni sfery pomi˛edzy biegunami kół wielkich tworz ˛

acych ten k ˛

at.

9. Dla ka˙zdego trójk ˛

ata sferycznego

mo˙zna zdefiniowa´c tzw. trójk ˛

at biegunowy

Mianowicie:

jest biegunem boku

tak, ˙ze

definiuje si˛e podobnie.

Poka˙z, ˙ze boki i k ˛

aty obydwu trójk ˛

atów zwi ˛

azane s ˛

a wzorami

180