Ćwiczenie 7
Temat:
STANY NIEUSTALONE W OBWODACH RL I RC
PRZY WYMUSZENIU STAŁYM
I.
ZAGADNIENIA
1.
Doświadczalna obserwacja czasowych przebiegów przejściowych przy
załączaniu i wyłączaniu napięcia stałego w obwodach RL, RC
2.
Porównanie obserwowanych przebiegów z przebiegami otrzymanymi za
pomocą obliczeń analitycznych.
II.
WIADOMOŚCI PODSTAWOWE
Stanem nieustalonym w obwodzie nazywa się stan pośredni, jaki występuje
między dwoma kolejnymi stanami ustalonymi. Stan nieustalony może powstać
pod wpływem zmiany konfiguracji obwodu, zmiany parametrów wchodzących
w jego skład, bądź zmiany wielkości wymuszających. Stany nieustalone można
opisać za pomocą równań różniczkowych lub różniczkowo-całkowych. Aby w
sposób jednoznaczny określić rozwiązanie takiego układu równań, konieczna
jest znajomość warunków początkowych. Przez warunki początkowe rozumie
się wartości zmiennych w stanie początkowym, czyli w chwili, w której
rozpoczyna się badanie zjawisk w danym obwodzie. Warunki początkowe mogą
być zerowe, jeżeli w chwili t=0 obwód jest w stanie bezenergetycznym (napięcia
i prądy mają wartość zero). W przeciwnym razie warunki początkowe są
niezerowe.
Zmiany zachodzące w obwodzie w określonej chwili i powodujące powstanie
stanów nieustalonych (np. zamykanie i otwieranie łącznika) nazywamy
komutacją. Cewka L i kondensator C są elementami zachowawczymi w
obwodzie i z nimi związane są tzw. Prawa komutacji, wynikające z zasady
zachowania energii. Energia pola magnetycznego cewki i pola elektrycznego
kondensatora nie może zmieniać się skokowo. Zasada ciągłości w chwili
komutacji strumienia Ψ skojarzonego z cewką o indukcyjności L jest
równoznaczna z zasadą ciągłości napięcia na jego zaciskach. Powyższe zasady
ciągłości strumienia i prądu w cewce oraz ładunku i napięcia kondensatora
nazywane są prawami komutacji. Prawa te można zapisać
a) gałąź z cewką:
( ) ( ) ( ) ( )
+
−
+
−
=
≡
Ψ
=
Ψ
0
0
0
0
L
L
i
i
b)
gałąź z kondensatorem:
( ) ( )
( )
( )
+
−
+
−
=
≡
=
0
0
0
0
C
C
u
u
q
q
W przeprowadzanym ćwiczeniu prawdziwe jest założenie (dla wszystkich
układów), że przed przełączeniem przełącznika w układzie panował stan
ustalony.
1.
Stan nieustalony w obwodzie RL przy wymuszeniu stałym
L
R
e
P
1
2
t=0
0
E
L
u
i
W chwili t=0 doprowadzono napięcie stałe E
0
do gałęzi RL (pozycja 1
przełącznika P
e
)
Warunki początkowe zakładamy zerowe
( ) ( )
0
0
0
=
=
+
−
L
L
i
i
−
=
−
t
L
R
e
R
E
i
1
0
−
=
=
−
t
L
R
R
e
E
Ri
u
1
0
t
L
R
L
e
E
dt
di
L
u
−
=
=
0
W chwili t=0 dokonano operacji łączeniowej, tj. zmiany położenia przełącznika
P
e
z pozycji 1 na 2. Gałąź RL zostaje zwarta.
Warunki początkowe w obwodzie są niezerowe
( ) ( )
R
E
i
i
L
L
0
0
0
=
=
+
−
t
L
R
e
R
E
i
−
=
0
t
L
R
R
e
E
Ri
u
−
=
=
0
−
=
=
−
t
L
R
L
e
E
dt
di
L
u
1
0
τ
=
R
L
(stała czasowa)
t
0
E
0
0
E
−
R
u
L
u
t
0
E
0
L
u
R
u
τ
t
0
E
R
0
i
τ
t
0
u
E
i
R
=
0
i
Gałąź RL przy załączaniu napięcia
stałego
Gałąź RL przy zwarciu
Czasowe przebiegi dla obu powyższych przypadków (przełącznik odpowiednio
w pozycjach 1 i 2) przedstawiono na rysunku:
t
( )
R
u t
II
I
→
I
II
→
II
I
→
poz.1
poz.2
0
E
u
2.
Stan nieustalony w obwodzie RC przy wymuszeniu stałym
C
R
1
2
0
U
c
u
i
e
P
Jeżeli do obwodu złożonego z szeregowego połączenia kondensatora C i
rezystancji R przyłożymy napięcie stałe U
0
, to korzystając z bilansu napięć w
oczku, otrzymujemy równanie:
C
u
Ri
U
+
=
0
;
(
)
dt
du
C
dt
Cu
d
dt
dq
i
C
C
=
=
=
0
U
u
dt
du
RC
C
C
=
+
Cp
Cu
C
u
u
u
+
=
,
t
Cp
Ae
u
α
−
=
T
RC
1
1
=
=
α
, czyli
RC
T
=
0
U
u
Cu
=
T
t
C
Ae
U
u
−
+
=
0
W celu wyznaczenia stałej A korzystamy z warunków początkowych dla t=0,
0
=
C
u
:
A
U
+
=
0
0
, stąd
0
U
A
−
=
Ostatecznie:
−
=
−
T
t
C
e
U
u
1
0
Prąd ładowania kondensatora
T
t
C
e
R
U
dt
du
C
i
−
=
=
0
Przebieg napięcia na kondensatorze oraz przebieg prądu ładowania przedstawia
rysunek:
t
0
U
0
0
U
R
c
u
i
c
u
i
T
Przy rozładowaniu kondensatora przez rezystancję R korzystamy z tych samych
równań ogólnych, z tym, że zwarciu kondensatora odpowiada napięcie U
0
=0.
Obwód, w którym kondensator się rozładowuje nie zawiera napięcia
źródłowego, wobec czego w obwodzie w stanie ustalonym nie może płynąć prąd
ani istnieć napięcie na kondensatorze. Stan nieustalony w obwodzie jest więc
równy stanowi przejściowemu:
RC
t
cp
C
e
U
u
u
−
=
=
0
RC
t
p
e
R
U
i
i
−
=
=
0
Znak minus oznacza, że przy rozładowaniu kondensatora zwrot prądu jest
przeciwny niż przy ładowaniu. Przebieg napięcia podczas rozładowania
kondensatora oraz przebieg prądu przedstawia rysunek:
t
0
U
0
0
U
R
−
c
u
i
c
u
i
T
Energia pola elektrycznego kondensatora przy rozładowaniu zamienia się w
ciepło wydzielone na rezystancji R przez przepływający prąd i. Wartość tej
energii A można wyliczyć ze wzoru:
2
0
0
2
2
0
0
2
2
1
CU
dt
e
R
U
Rdt
i
A
T
t
=
=
=
∫
∫
∞
−
∞
Taka sama ilość energii wydziela się na rezystancji R przy ładowaniu
kondensatora, a więc całkowita energia pobrana ze źródła wyniesie:
2
0
CU
A
=
III.
Przebieg ćwiczenia
1.
Obserwacja oraz zapis przebiegów napięć przy
załączaniu i odłączaniu napięcia stałego w układzie RL
a)
Schemat połączeń
GFP
R
L
Do oscyloskopu
b)
Przebieg pomiarów
Sygnał z generatora fali prostokątnej (GFP):
u
U
0
t
1
t
2
t
3
t
4
t
5
t
Połączyć układ według schematu. Podłączyć oscyloskop w odpowiednie punkty
układu (jak na schemacie), tak aby można było obserwować przebieg napięcia
u
R
(t). Obserwacje prowadzić dla różnych wartości rezystora R (0; 100; 200; 300
Ω). Dobrać odpowiednio zakres obserwowanych napięć i zapisać wybrane
przebiegi.
c)
Obliczenia
i.
Zaznaczyć na otrzymanych przebiegach podziałkę czasową i
amplitudową.
ii.
Wyprowadzić, stosując metodę klasyczną, postać czasową napięcia
(u
R
(t) oraz i(t)) wskazanego przez prowadzącego zajęcia. Podstawić
wartości liczbowe i narysować przebieg wybranego napięcia i prądu.
iii.
Obliczyć stałą czasową układu dla różnych wartości rezystora R i
cewki L.
iv.
Wyznaczyć graficznie z przebiegów stałe czasowe rzeczywistych
układów i porównać je z wyznaczonymi teoretycznie.
2.
Obserwacja oraz zapis przebiegów napięć przy
załączaniu i załączaniu napięcia stałego w układzie RC
a)
Schemat połączeń
GFP
R
Do oscyloskopu
Do
oscyloskopu
b)
Przebieg pomiarów
Połączyć układ według schematu. Podłączać oscyloskop w odpowiednie punkty
układu (jak na schemacie), tak aby można było obserwować przebiegi napięć
u
R
(t) oraz u
C
(t). Obserwacje prowadzić dla różnych wartości rezystancji R (0;
100; 200; 300 Ω) i C (10; 20; 30 μF). Dobrać odpowiednio zakres
obserwowanych napięć i narysować wybrane przebiegi.
c)
Obliczenia
i. Zaznaczyć na otrzymanych przebiegach podziałkę czasową i
amplitudową.
ii.
Wyprowadzić, stosując metodę klasyczną, postać czasową napięcia (u
R
(t),
u
C
(t) oraz i(t)) wskazanego przez prowadzącego zajęcia. Podstawić
wartości liczbowe i narysować przebieg wybranego napięcia i prądu.
iii. Obliczyć stałą czasową układu dla różnych wartości rezystora R i
kondensatora C.
iv. Wyznaczyć graficznie z przebiegów stałe czasowe rzeczywistych
układów i porównać je z wyznaczonymi teoretycznie.