Dr inŜ. Robert KrzyŜek
Akademia Górniczo – Hutnicza
Wydział Geodezji Górniczej i InŜynierii Środowiska
Katedra Geomatyki
Al. Mickiewicza 30, 30-059 Kraków
Pawilon C-4, pokój 305 III piętro, tel. (0-12) 617-38-92
rkrzyzek@uci.agh.edu.pl
WYKŁADY Z GEODEZJI II
POMIARY KĄTOWE
W SZCZEGÓŁOWYCH
OSNOWACH POZIOMYCH
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Metody pomiarów kątowych:
Metoda kierunkowa
Metoda wypełnienia horyzontu
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Metoda kierunkowa
•Od 3 do 8 kierunków
•Wybór kierunku początkowego – cel o
najlepszych warunkach celowania (dobrze
oświetlony, na tle kontrastowym, o ostrych
zarysach – moŜe to być dowolny cel, który
potem eliminujemy)
•Celowa nie powinna przechodzić w pobliŜu
przeszkód (refrakcja boczna)
•Zrównanie instrumentu z temperaturą
otoczenia (15min)
•Właściwe ustawienie ostrości obrazu i siatki
celowniczej (zjawisko paralaksy)
•Sprawdzenie zamknięcia horyzontu
2
2
k
p
m
f
=
k
m
- średni błąd pomiaru kierunku w obu
połoŜeniach lunety
k
s
m
f
2
=
- dla serii
- dla półserii
•Problematyczna zasada rozrzucenia odchyłki
zamknięcia horyzontu (zjawisko porywania
limbusa dla dawnych typach teodolitu)
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Wyrównanie stacyjne
SłuŜy do określenia wartości najprawdopodobniejszych poszczególnych kierunków - K
i
- i do
oceny dokładności – błędu m
K
- (w cyklu pełnych lub niepełnych serii)
Etapy wyrównania stacyjnego
1. Pomiar
k’’’
1z
k’’
1z
k’
1z
1
k’’’
i
k’’
i
k’
i
i
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
k’’’
2
k’’
2
k’
2
2
k’’’
1
k’’
1
k’
1
1
S III
S II
S I
Nr kier.
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
2. Obliczamy stałą wartość kątową dla kaŜdej serii
2
'
'
1
'
1
z
k
k
L
+
=
2
''
''
1
''
1
z
k
k
L
+
=
2
''
'
''
'
1
''
'
1
z
k
k
L
+
=
dla serii I
dla serii II
dla serii III
3. Obliczamy kierunki skręcone – (k
i
) = k
i
– L dla kaŜdej serii
k’’’
1z
- L’’’
k’’
1z
- L’’
k’
1z
- L’
1
k’’’
i
- L’’’
k’’
i
- L’’
k’
i
- L’
i
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
k’’’
2
- L’’’
k’’
2
- L’’
k’
2
- L’
2
k’’’
1
- L’’’
k’’
1
- L’’
k’
1
– L’
1
S III
S II
S I
Nr kier.
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
4. Obliczamy kierunki uzgodnione – (K
i
) dla kaŜdego kierunku
( ) ( )
[
]
s
k
k
K
z
2
1
1
1
+
=
( )
[ ]
s
k
K
i
i
=
- dla pierwszego (i zamykającego) kierunku
- dla i-tego kierunku
5. Kontrola poprawności obliczeń kierunków uzgodnionych K
i
( )
∑
∑
⋅
=
i
i
k
s
K
1
6. Obliczenie poprawek v
i
do obserwacji dla kaŜdej serii
( )
i
i
i
k
K
v
−
=
K
1
- k’’’
1z
K
1
- k’’
1z
K
1
- k’
1z
1
K
i
- k’’’
i
K
i
- k’’
i
K
i
- k’
i
i
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
K
2
- k’’’
2
K
2
- k’’
2
K
2
- k’
2
2
K
1
- k’’’
1
K
1
- k’’
1
K
1
- k’
1
1
S III
S II
S I
Nr kier.
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
7. Obliczamy błędy kierunków uzgodnionych
- błąd pojedynczego spostrzeŜenia
- błąd pierwszego kierunku
- błąd i-tego kierunku
[ ]
(
)
1
0
−
−
±
=
n
ns
vv
m
s
m
m
K
2
1
0
1
±
=
s
m
m
Ki
1
0
±
=
n – liczba wszystkich kierunków razem z kierunkiem zamykającym
s – liczba serii
(n-1) – liczba niewiadomych (wyznaczanych kierunków)
8. Zestawienie kierunków uzgodnionych z oceną dokładności
1
1
........
K
m
K
±
=
Ki
m
K
±
=
........
2
Ki
i
m
K
±
=
........
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Zalety i wady metody kierunkowej:
Pełne serie (nie zawsze jest to moŜliwe)
Eliminacja błędów grubych
Kilka serii eliminuje błędy podziału limbusa i mimośrodu
Czas pracy 20-30 min (do 8 kierunków)
W nowych instrumentach nie występuje porywanie limbusa (brak rozrzucenia odchyłki
zamknięcia horyzontu)
Błędy kierunków nie zawsze miarodajne
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Metoda wypełnienia horyzontu
•Pomiar kaŜdego kąta metodą zwykłą w n seriach
•Przesunięcie limbusa i skali mikrometru
•Sprawdzenie zamknięcia horyzontu – tylko kontrola bez
rozrzucenia odchyłki
•NiezaleŜność pomiarów kątowych w stosunku do metody
kierunkowej
•MoŜliwość pomiaru tych kątów, dla których w danej chwili
występują korzystne warunku atmosferyczne
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Wyrównanie stacyjne
- uzgodnione wartości kątów
- kąty obserwowane w I serii
- kąty obserwowane w II serii
i
α
α
α
,...,
,
2
1
'
'
2
'
1
,...,
,
i
l
l
l
''
''
2
''
1
,...,
,
i
l
l
l
Zakładając jednakową dokładność pomiaru kaŜdego z kątów (pomiar w jednakowej
liczbie serii)
i
i
i
l
v
−
=
α
Przyjmując oznaczenia:
Równania poprawek:
PoniewaŜ przyjmujemy jednakową dokładność pomiaru to otrzymujemy:
1
...
...
''
'
''
2
'
2
''
1
'
1
=
=
=
=
=
=
=
=
i
i
p
p
p
p
p
p
[ ] [ ]
[ ]
s
p
p
p
i
=
=
=
=
...
2
1
- błąd pojedynczego spostrzeŜenia
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
[ ]
s
l
i
i
=
α
[ ]
(
)
1
0
−
±
=
s
i
vv
m
s
m
m
i
1
0
±
=
α
- średni błąd kąta
- średnia wartość kąta z s serii
Wnioski z obliczeń i wyrównania stacyjnego dla metody kierunkowej i
wypełnienia horyzontu:
1.
Obliczenie wartości kątów w metodzie kierunkowej i wypełnienia horyzontu sprowadza
się do obliczenia średniej arytmetycznej ze wszystkich obserwacji
2.
Otrzymana z wyrównania stacyjnego ocena dokładności pomiarów kątów (dla metody
wypełnienia horyzontu) i kierunków (dla metody kierunkowej) ma znaczenie
orientacyjne; określa bowiem dokładność pomiaru na podstawie wewnętrznej zgodności
wyników a więc moŜe słuŜyć tylko do oceny poprawności przeprowadzonych
pomiarów na stanowisku
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Analiza wpływu róŜnych czynników na średni
błąd pomiaru kąta poziomego
1.
Czynniki instrumentalne
2.
Czynniki osobowe
3.
Czynniki związane z warunkami
zewnętrznymi
Czynniki instrumentalne
-Eliminujemy przez: rektyfikację, sposób pomiaru (2 połoŜenia lunety), pomiar w wielu
seriach, celowanie środkiem krzyŜa kresek (unikamy błędu skręcenia siatki celowniczej)
-Błąd niepionowości osi głównej instrumentu (niedokładność poziomowania libeli,
niedokładność rektyfikacji libeli, naruszenie poziomowania w trakcie pomiaru, niestabilność
osi alidady w tulei limbusa lub spodarki przy obrocie instrumentu wokół tej osi)
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
β
α
ε
sin
''
''
⋅
⋅
=
tg
v
v
''
v
ε
''
v
α
β
- wpływ wychylenia osi głównej instrumentu od pionu na wartość pomierzonego kąta poziomego
- wychylenie osi głównej instrumentu od pionu
- kąt nachylenia osi celowej do poziomu
- kąt dwusieczny pomiędzy płaszczyzną wychylenia osi obrotu instrumentu od pionu a płaszczyzną
celową
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Ekstrema wpływu wychylenia osi głównej instrumentu od pionu
na wartość pomierzonego kąta poziomego
0
''
max
90
=
−
α
ε
gdy
v
0
0
''
min
0
lub
0
=
=
−
β
α
ε
gdy
v
α
ε
tg
v
v
⋅
=
''
''
max
0
90
=
β
0
0
=
α
0
0
=
β
- strome celowe
- gdy oś celowa jest pozioma
- płaszczyzna pionowa pokrywa się z płaszczyzną celowania
Dla rozwaŜań praktycznych przyjmuje się
Maksymalne błędy kierunku spowodowane niedokładnym spoziomowanie instrumentu w zaleŜności od
kąta nachylenia osi celowej do poziomu
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Czynniki osobowe
-Błędy odczytu
-Błędy celowania
-Błędy centrowania teodolitu i sygnału
Błąd odczytu
•Koincydencja – Odczyty O
i
(n razy)
•Obliczenie odczytu średniego O
ś
r
•Obliczenie poprawek v
i
•Kontrola poprawek [v
i
]
•Obliczenie średniego błędu pojedynczego odczytu m
0
•Obliczenie średniego błędu kąta spowodowanego
błędem odczytu
n
O
O
O
O
n
ś
r
+
+
+
=
...
2
1
ś
r
i
i
O
O
v
−
=
[ ]
0
=
i
v
[ ]
1
0
−
±
=
n
vv
m
2
0
0
m
m
±
=
α
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Błąd celowania
•Celowanie - Koincydencja – Odczyty C
i
(n razy).
Odczyty C
i
obarczone są błędem celowania i odczytu
•Obliczenie odczytu średniego C
ś
r
•Obliczenie poprawek v
i
•Kontrola poprawek [v
i
]
•Obliczenie średniego błędu kierunku z tytułu tych
dwóch błędów
•Obliczenie średniego błędu kąta w jednym połoŜeniu
lunety spowodowanego błędem celowania
n
C
C
C
C
n
ś
r
+
+
+
=
...
2
1
ś
r
i
i
C
C
v
−
=
[ ]
0
=
i
v
2
0
2
m
m
C
+
±
=
µ
2
0
2
m
m
C
−
±
=
µ
[ ]
1
−
±
=
n
vv
µ
gdzie
2
C
C
m
m
=
α
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Błąd centrowania teodolitu i sygnału
(
)
+
⋅
−
+
+
±
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
''
cos
2
1
1
1
2
1
et
ep
el
e
m
b
bc
c
c
b
m
b
m
c
m
α
ρ
α
Wpływ błędów centrowania teodolitu i sygnałów na średni błąd pomiaru kąta – wzór
Helmerta
Zakładając, Ŝe:
es
ep
el
m
m
m
=
=
(
)
(
)
[
]
2
2
2
2
2
2
''
cos
2
2
1
et
es
e
m
b
bc
c
m
c
b
c
b
m
+
⋅
−
+
+
⋅
±
=
α
ρ
α
α
b, c – długości ramion kąta
m
el
, m
ep
– błąd liniowycentrowania sygnału na lewym i prawym ramieniu kąta
m
es
– błąd liniowy centrowania sygnałów
m
et
- błąd centrowania teodolitu
- kąt pomiędzy ramionami
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Wnioski:
Wpływ błędów centrowania sygnałów na błąd kąta nie zaleŜy od wielkości mierzonego
kąta i jest odwrotnie proporcjonalny do długości ramion kąta oraz wielokrotności
zróŜnicowania długości ramion
Wpływ błędu centrowania teodolitu na błąd kąta zaleŜy od wielkości mierzonego kąta i
jest odwrotnie proporcjonalny do długości ramion kąta
Wraz ze wzrostem kąta od 0
0
do 180
0
rośnie wpływ błędu centrowania teodolitu:
- minimalną wartość uzyskamy dla kątów bliskich 0
0
gdyŜ wówczas
1
cos
=
α
(
)
(
)
[
]
2
2
2
2
2
''
min
2
1
et
es
e
m
b
c
m
c
b
c
b
m
−
+
+
⋅
±
=
ρ
α
- maksymalną wartość uzyskamy dla kątów bliskich 180
0
gdyŜ wówczas
1
cos
−
=
α
(
)
(
)
[
]
2
2
2
2
2
''
max
2
1
et
es
e
m
b
c
m
c
b
c
b
m
+
+
+
⋅
±
=
ρ
α
- przy załoŜeniu, Ŝe:
b = c = d
oraz m
es
= m
et
= m
e
d
m
m
e
e
3
''
max
⋅
±
=
ρ
α
- Pomiary kątowe w szczegółowych osnowach poziomych -
Aby określić błąd m
e
musimy znać wartości błędów liniowych m
es
i m
et
, które
przyjmujemy odpowiednio w zaleŜności od rodzaju pionownika:
Pionownik optyczny 0.2 – 0.3mm
Pionownik optyczny wbudowany w alidade lub spodarkę 0.3 – 0.5mm
Pionownik drąŜkowy 0.5 – 1.0mm
Pionownik sznurkowy 2 – 3mm
Czynniki związane z warunkami zewnętrznymi
- refrakcja powietrza
- wibracja
- oświetlenie sygnałów
- nasłonecznienie
- deszcz
- mgła
- wiatry